高考数学专项复习：函数的图像 函数的零点（八大题型+模拟练）培优练习题

专题09函数的图像函数的零点（八大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01画函数的变换图像

♦题型02识别函数的图像

♦题型03函数图像变换的应用

♦题型04求函数的零点及个数

♦题型05二分法求函数的零点

♦题型06根据函数的零点求参数

♦题型07函数零点的其他应用

♦题型08补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用

♦题型01画函数的变换图像

1.（2024高三・全国・专题练习）作出下列函数的图象：

x3

（i）y=n；

（3）y=|log2x-l|；

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】⑴去绝对值化简成分段函数，画出图象即可.

⑵原式变形为y=i+—,先作出y=巳的图象，再结合图象变换，即可得出结论.

X-1尤

⑶先作出y=bg*的图象，结合图象变换，即可得出结论.

x2,x>0

【解析】(1)首先要化简解析式，y=

-x2,x>0

利用二次函数的图象作出其图象，如图①所示.

(2)原式变形为y=1+—3,先作出y=±3的图象，再将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位,

x-1'x

即得如图②所示.

⑶先作出y=IOg2X的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留无轴上方的部分，将X轴下方的图象翻折到

X轴上方来，即得y=|log2X-1|的图象，如图③所示.

【点睛】本题主要考查了绝对值函数图象的画法，关键是化为分段函数或利用图象变换来画图，属于中档

题.

♦题型02识别函数的图像

2

2.（2023•湖南岳阳•模拟预测）函数＞=；—的图象为（）

【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.

22

【解析】因为＞—，所以当x=0时，）^=--=2,故排除ABC,

1-x1-x

222

又y—=——7的图象可由函数丁=—-的图象向右平移一个单位得到，则D正确.

1-xx-1x

故选：D.

1

3.（2024•湖北•模拟预测）函数〃同=^_^_11«2的图象大致为（）

【分析】根据尤＜。时/（X）的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

1_

£ex-ex-21n(-x),x<0

［解析］/(x)=e'-e;-lnx2=.

i

ex-ex-21rix,x>0

因为当％v0时,y=ex,y=-e^,y=-21n(-x)都为增函数，

所以，ke'-l_21n（r）在（一8,0）上单调递增，故B,C错误;

1

又因为=已_》-e*-Indw,

所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.

故选：A

4.（2024.宁夏固原.一模）已知函数“X）的部分图像如图所示，则〃尤）的解析式可能为（）

A."小事B.小）=茎

U/4）号

【答案】A

【分析】利用“X）在（1,+8）上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用/（x）在（L+8）上的单调性排除D,

从而得解.

【解析】对于B,当x＞l时，/（x）=-———,易知/-小＞0,3-4x＜0,

3-4.x

则/（x）＜0,不满足图象，故B错误；

对于C，/■）=箝，定义域为~，-{|山一曲唱+8）,

e-xxx+e-x

又+ee=则“X）的图象关于〉轴对称，故c错误;

XX|

对于D,当m时，“＞所=口=1+口，

由反比例函数的性质可知，/（无）在（1,+8）上单调递减，故D错误；

检验选项A,/（》）=3।.满足图中性质,故A正确.

4|x|-3

故选：A.

♦题型03函数图像变换的应用

5.（2024•四川南充二模）已知函数〃x）=；,则函数丁=/（工一1）+1的图象（）

A.关于点（U）对称B.关于点（-U）对称

C.关于点（-1,0）对称D.关于点。,0）对称

【答案】A

【分析】

首先判断函数〃力=；为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.

【解析】函数/（X）=?的定义域为{X|XH0},又=V=

所以〃x）=9为奇函数，则函数〃尤）的图象关于原点（0,。）对称，

又y=/（x-1）+1的图象是由〃x）=：的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，

所以函数y=/（x-l）+l的图象关于点（U）对称.

故选：A

6.（22-23高二上•河南•阶段练习）直线2依+勿-2=0（°>0力>0）过函数〃尤）=了+」：+1图象的对称中心,

X-1

则？4+;1的最小值为（）

ab

A.9B.8C.6D.5

【答案】A

【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得/'（x）的对称中心，从而得到a+b=l,再利用基本不等

式"1"的妙用即可得解.

【解析】函数/（x）=尤+<+l=x-l+工+2的图象，

x-1x-1

可由y=x+工的图象向右平移1个单位，再向上2个单位得到，

X

又丫=*+，的定义域为（-8,0）u（0,+co）,-彳+=-=一。：+1],

所以y=x+：是奇函数，则其对称中心为（0,0）,

故/（X）的对称中心为（1,2）,所以2a+2Z?—2=。，即〃+b=l,

41/_4ba、口,l4ba

所以—i—=（a+b）\—i—=5H---1—>5+2./-----=9n,

ab\abJab\ab

当且仅当4竺b=af,即a=26=2］时，等号成立，

ab3

41

所以？+；的最小值为9.

ab

故选：A.

7.(2022高三•全国•专题练习)已知二次函数/■(*)的图象的顶点坐标是(2,2),且截x轴所得线段的长度是

4,将函数/(X)的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线丁=g(x),则抛物线丁=g(x)与y轴的交点是()

A.(0,-8)B.(0,-6)C.(0,-2)D.(0,0)

【答案】B

【分析】利用二次函数的性质，结合待定系数法求得f(x),再利用平移的特征求得g(x),从而得解.

【解析】因为二次函数f(x)的图象的顶点为(2,2),

故〃力的对称轴为直线x=2,

又的图象截X轴所得线段的长度是4,

所以f(x)的图象与x轴的交点坐标为(0,0)和(4,0),

设〃x)=a(x-2)2+2(分0),将点(0,0)代入得a(-2『+2=0,解得。=一；，

19

所以=龙一2)-+2,

因为g(x)的图象为的图象右移2个单位得到的，

1919

所以g(无)=/(x_2)=_/(x_2_2)+2=_/(无一4)一+2,

1?

令x=0,贝伊=g(o)=_/(o_4)-+2=_6,

所以g(x)与y轴交点生标为(0,-6).

故选：B.

8.(23-24高一上•河南南阳,期末)已知函数的定义域为。,+8),且满足/(3'+l)=x,xeR,将

的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象.

⑴分别求“X)与g(x)的解析式；

(2)设函数/7(尤)=上3了+叫位)，若无)在区间［1,君］上有零点，求实数机的取值范围.

【答案】(1"(龙)=log3(xT)(x>l),g(x)=log3x+l(%>0)

9,

(2)--,-1

o

【分析】(1)利用换元法求得〃尤)的解析式，根据图象变换的知识求得g(x)的解析式.

(2)先求得〃(力的解析式，然后利用换元法，根据根据函数的零点与方程的解、分离参数法、对钩函数的

性质求得加的取值范围.

【解析】(1)令3，+l=f,xeR,则te(l,+co),x=log3(/-l),

所以/⑺=log3(?-1),则=log3(x-l)(x>l).

由题意可得，g(x)=/(x+l)+l=log3(x+l-l)+l=log3x+l(x>0).

2

(2)/?(A:)=(log3x+iy+/n(log3x+1)=(log3尤+1)~+m(21og3A:+1).

令w=log3X,当括］时，ne0,1)

函数M无)有零点等价于关于〃的方程(〃+1)2+〃Z(2〃+1)=。在o］上有解.

JJ—I

令2〃+1=〃，贝n=

+

所以5+1)2“2+2u+1

m=-----------=---------------=——u-\----F2

2n+lu4u4(u

由双勾函数的单调性可知，

函数加=-^［"+7+2)在［1,2］上单调递减，

当〃=2时，该函数取得最小值，即机mi“=-!、12+：+2］=-：

当"=1时，该函数取得最大值，即mmax=-：x(l+：+2］=-l,

I-9'

因此，实数机的取值范围为-g，T.

6

【点睛】利用换元法求函数的解析式，要注意函数的定义域在求解过程中的变化.求解函数的零点问题，可

转化为方程的根来进行研究.如果零点问题含有参数，则可以考虑分离参数法、构造函数，转化为值域问题

来进行求解.

♦题型04求函数的零点及个数

9.（2023高三・全国・专题练习）已知指数函数为〃x）=4£，则函数y=〃x）-21的零点为（）

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.

【解析】函数〃x）=4',由〃x）—2^=0,即4'_2'=0,整理得2乂2<2）=0,解得x=l,

所以函数y=〃x）-2川的零点为1.

故选：C

10.（2023•陕西西安•模拟预测）函数〃%）=1-坨（3工+2）的零点为（）

A.log38B.2C.log37D.log25

【答案】A

【分析】根据零点的定义即可求解.

鼬H令”尤）=l—lg（3*+2）=o,得3，+2=10,则X=log38.

故选：A

11.（2024高三・全国•专题练习）函数/（x）=2%+%—2的零点个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】

解析：f（x）=2xln2+1>0,所以/（%）在R上单调递增，f（0）=—1,f（1）=1,故函数的零点个数

为1.故选B.

丫2।丫_2v<

・一一’二零点个数为（）

｛-1+lnx,x>0

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根据零点的定义计算即可.

【解析】由〃%）=0得：

：V0,或尤>0,

[%2+x-2=0[-l+lnx=0,

解得了=-2或%=6.

因此函数〃x）共有2个零点.

故选：B.

13.（2024•广东湛江•二模）已知函数〃%）=|2'-1卜4,g（x）=x2-4|.x|+2-a,则（）

A.当g（x）有2个零点时,〃尤）只有1个零点

B.当g（x）有3个零点时，〃x）有2个零点

C.当〃尤）有2个零点时，g（x）有2个零点

D.当“X）有2个零点时，g（元）有4个零点

【答案】D

【分析】作出函数ynx2-川x|+2图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与y=。的图象

的公共点的个数，结合图象可得答案.

【解析】两个函数的零点个数转化为图象与>的图象的公共点的个数，

作出y=|2l[,丁=/-4凶+2的大致图象，如图所示.

由图可知，当g（x）有2个零点时，无零点或只有1个零点；

当g（x）有3个零点时，/（X）只有1个零点；

当〃x）有2个零点时，g（元）有4个零点.

故选：D

14.（2024・全国・模拟预测）函数〃"=2而3+0“£<0<3的图像关于点信01中心对称,将函数"%）

的图像向右平移;个单位长度得到函数g（x）的图像，则函数g（x）在区间卜兀,对内的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换

【解析】•.•函数"X）的图像关于点匕,0）中心对称，.•./D=2sin（年+\=0,回g+e=E«eZ,

又一］＜0,则/（x）=2sin（2x+g）.

将函数〃尤）的图像向右平移：个单位长度得到函数g⑺=2sin卜-北的图像，

令2x-］=E,AeZ,得无=£+"，笈eZ,EI函数g（x）在区间［一兀,无］内的零点有尤=-?,》=-三,》==,无=§,

3626363

共4个.

故选：D.

♦题型05二分法求函数的零点

15.（2023高三•全国•专题练习）用二分法求函数〃尤）=111（%+1）+尤-1在区间（0,1）上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过”（weN*）次操作后,

区间长度变为g,若要求精确度为0。1时则g＜。。1,解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.

【解析】因为开区间（。,1）的长度等于1,每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，

所以经过〃（〃eN*）次操作后，区间长度变为g,

令77＜0.01,解得"27,且weN*,

故所需二分区间的次数最少为7.

故选：C.

16.（2019高三・全国•专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（）

【答案】C

【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案.

【解析】根据二分法的思想，函数”X）在区间句上的图象连续不断，且即函数的零点

是变号零点，才能将区间（。力）一分为二，逐步得到零点的近似值.

对各选项的函数图象分析可知，A,B,D都符合条件，

而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点.

故选：C.

♦题型06根据函数的零点求参数

17.（23-24高三上•浙江绍兴・期末）已知命题P：函数/（x）=2V+x-a在（1,2］内有零点，则命题P成立的

一个必要不充分条件是（）

A.3<«<18B.3<a<18C.〃<18D.a>3

【答案】D

【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出。的取值范围，结合必要不充分条件的意义判

断即得.

【解析】函数/（x）=2尤3+彳_。在R上单调递增，由函数/（》）=2/+彳_。在（1,2］内有零点,

f/（l）=3-a<0

得［二、c，解得3<a<18,即命题P成立的充要条件是3<aW18,

显然3<a418成立，不等式3Va<18、3<a<18、a<18都不一定成立，

而3<aW18成立，不等式a23恒成立，反之，当时，3<aV18不一定成立，

所以命题P成立的一个必要不充分条件是。23.

故选：D

18.（2023高三・全国•专题练习）函数/。）="2"-履-2在区间（1,2）内有零点，则实数4的取值范围

是.

【答案】（0,3）

【分析】根据题意将问题转化为，=左与g(x)=2,-工尤€(1,2)的图象有交点，再由g(x)在(1,2)上递增，

X

可求得结果.

2

【解析】令/(x)=。，则『2'-履一2=0,即左=2"-一，

x

2

即'=上与g(x)=2「一，xe(1,2)的图象有交点,

x

因为y=2工和y=在(1,2)上递增，所以g(尤)=2-'在(1,2)上递增，

所以g(D<g(x)<g(2),即0<g(尤)<3,

所以0<女<3,

即实数A的取值范围是(0,3),

故答案为：(。,3)

19.(22-23高三・全国■课后作业)已知函数〃x)=20-3”—x的零点七e(匕左+1),keZ,贝!］左=.

【答案】2

【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.

【解析】因为函数>=3-*为R上单调减函数，

故函数”x)=20.3T-x为R上单调减函数，

70?on

又/⑵=20.3-2_2=g-2=->0,/(3)=20-3^-3=--3<0,

故=20-3一'-x在(2,3)上有唯一零点，

结合题意可知左=2,

故答案为：2

20.(22-23高三•全国•对口高考)方程/+办一2=0在区间口,5］上有解，则实数。的取值范围为

-23-

【答案】-4

【分析】根据/(x)=Y+依―2在区间［1,5］端点的正负列式求解即可.

【解析】考查/(x)=d+Q-2,因为〃0)=-2<0,且〃尤)开口向上，

故/(X)在区间口,5］上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程/+6-2=0在区间口，5］上有解,

〃i）vo[12+O-2<023

解得

则/（5）>0即I|52?+5iz-2>0—,1

23

故答案为：-二」

21.(2024•全国•模拟预测)若不等式/'(力>。或,(x)<0只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式.已

知不等式a(x+l)2-|log2尤1+1>0为单元集不等式，则实数。的取值范围是.

【答案】

【分析】不等式转化为Ilog?尤l<a(x+l)2+l,引入函数"x)=|log2x|,g(x)=a(x+iy+l,分类讨论作出

函数图象，利用数形结合思想求解.

【解析】根据题意可转化为满足口。82尤1<。(*+1)2+1的整数尤的个数为1.

令〃x)=|log2,,g(x)=a(x+l)2+l,

当a>0时，作出函数_f(x)=|log2X和g(x)=a(x+l)—l的图象，如图所示，

数形结合得，〃x)<g(x)的解集中整数的个数有无数多个，不符合题意；

当a=0时，g(x)=l,所以llogRvl,解得:<尤<2,只有一个整数解x=l,

所以。=0符合题意；

当.<0时，作出函数/G)=|log2,和g(x)=a(x+l)-l的图象，如图所示，

4。+1>01

即12+1'结合可得「

综上所述，实数。的取值范围是，；,0.

故答案为：(~,0］.

4

【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：

(1)转化为函数最值问题，利用导数解决；

(2)转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；

(3)参变分离法，结合函数最值或范围解决.

♦题型07函数零点的其他应用

22.(23-24高二上•山东威海•期末)已知函数y=/(尤)的图象是连续不断的，且了⑺的两个相邻的零点是1,

2,则“现«1,2),“通)>0"是"Vxe(l,2),/(无)>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】结合函数的单调性，由充分必要条件的判断方法求解即可.

【解析】解：由题意知，/(1)=/(2)=0,对任意x«l,2)J(x)田0,

而函数y="尤)的图象是连续不断的，

由*«1,2),f(xo)>O,可得Vxe(l,2),f(x)>0,充分性成立，

反之Vxe(l,2),/(%)>0,显然可推出去(1,2),/Uo)>O,必要性成立，

故"/e(1,2),〃勺)>。"是"心«1,2),/(无)>0"的充要条件，

故选：C

23.(2020.江西赣州.模拟预测)设函数/(x)=e，+o(x-1)+6在区间［0,1］上存在零点，则/+/的最小值

为()

A.eB.yC.7D.3e

【答案】B

【分析】设/为了⑺在［0,1］上的零点，可得/+如-1)+6=0,转化为点(“⑷在直线l)x+y+e'=0上,

2?2f

根据/+〃的几何意义，可得〃2+、之令g«)=/八2「利用导数求得函数的单调性和最值，

”1)2+1(I)?+1

即可得答案.

【解析】设f为，(X)在［0,1］上的零点，则e'+a(r-l)+b=o,

所以(f-l)a+6+d=0,即点(。,〃)在直线Q-l)x+y+e'=0,

又/+k表示点(”,冲到原点距离的平方，

则E,U7r即〃+冷》

e”Ze?，(产+2-2t)-e2〈2r-2)_2e2<(f2-3f+3)

令g«)=可得g'«)=

d)2+l'(z2+2-2r)2(?2+2-2/)2

因为/'>0,〃-3/+3>0,

所以，⑺>0,

可得g⑺在［。,1］上为单调递增函数，

所以当r=。是，g。)*=g(0)=g，

所以即力+^的最小值为

故选：B

【点睛】解题的关键是根据/+〃的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数

求解，分析、计算难度大，属难题.

24.(2023,湖北武汉•模拟预测)已知%是函数〃了)=一一+111%的一个零点，若占,

1—X

则()

A./(Aj)<0,/(x2)<0B./(^)>0,/(x2)>0

C./(Aj)>0,/(x2)<0D./(^)<0,/(x,)>0

【答案】D

【分析】利用数形结合判定函数值大小即可.

【解析】令〃x)=一一+lnx=0.从而有lnx=一二，此方程的解即为函数的零点.

在同一坐标系中作出函数y=ln无与y=」匚的图象，如图所示.

x-1

由图象易知，」7>ln石，从而出王故In尤1+——<0,即〃不)<0.

玉一1石-1］_玉

同理

故选：D

25.（23-24高三上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习）已知三个函数〃x）=d+x-3,g（x）=22x+x-2,

人（九）=lnx+x—5的零点依次为。，b,c,则b,。的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理得出结果.

【解析】因为y=d,y=22*在R上为增函数，y=lnx在（0,+8）上为增函数,

所以由题知函数〃尤），g（x）,〃（力在各自定义域上都为增函数，又=/（2）=7>0,0fle（l,2）;

g（0）=-l<0,g（l）=3>0,0&e（O,l）；

/?（3）=ln3-2<0,//（4）=ln4-l>0,0ce（3,4）,

^\c>a>b.

故选：D.

llgx\-a,0<x<3

26.（20-21高三上•辽宁大连•阶段练习）已知函数/（》）=<［旭（6-刈­<6（其中皿若"X）的四

4

个零点从小到大依次为％，%2，彳3，%，则的值是（）

1=1

A.16B.13C.12D.10

【答案】C

【分析】根据零点的定义，通过转化法、数形结合思想进行求解即可.

|lgx|,0<x<3

【解析】令/（%）=。=>“=

|lg（6—x）|,3<x<6f

设g（/A、优f|lg（Lx|,0<）|x,3<…36,图象如下图所示:

4

x=6

y=g（.x）

y^=a

向

OX11X235X4x

所以有0<X1<1<X2<3<X3<5<X4<6,

且一lg玉=lgx2=-lg（6-X3）=lg（6-x4）=«,

因此可得%=10,工2=1°二七=6-1。二%4=6—10",

4

所以Z%=icr+io"+6-i（r+6-10'=12,

1=1

故选：C

♦题型08补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用

27.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量。

（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0<v<120）的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）

A.2=0.5'+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=klogav+b

【答案】C

【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.

【解析】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为［0,120］；第二，在定义域单调递增且单位

增长率变快；第三，函数图象过原点.

A选项：函数。=0.5”+。在定义域内单调递减，故A错误；

B选项：函数。=6+6的单位增长率恒定不变，故B错误；

C选项：。=。寸+从？+。满足上述三点，故C正确；

D选项：函数。=%logj，+b在v=0处无意义，D错误.

故选：c

~O20406080100120140160x

28.（23-24高三上•福建泉州•期末）函数/（X）的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）

B.f^x）=kxex+b

C.f（x）=k\x\+b

D./（x）=k^x-Y）1+b

【答案】A

【分析】由函数F（尤）的数据即可得出答案.

【解析】由函数〃尤）的数据可知，函数/（—2）=/（2）,/（-1）=/⑴,

偶函数满足此性质，可排除B,D；

当天＞0时，由函数尤）的数据可知，函数，（x）增长越来越快，可排除C.

故选：A.

29.（23-24高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组

数据：

%/月份23456

y/元1.402.565.311121.30

1V

请从模型y=/，模型y=］中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为（）

（参考数据：1g3。0.477,1g2®0.301）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，选择出好的模型之后利用解不等式求出

自变量的范围.

【解析】根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数y=?1及＞=（2尤■的图象.

g图象上或附近，因此用y后这一函数模型.

当93。。时，2、＞9。0,贝情”1唯9。。=量=三萨/814.

由14x412且xeN,》最小值为10.

故选：C.

30.（2024•北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv2,其中夕是

空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决

于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P=当P，S不变，v比原来提高

10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则尸比原来提高不超过30%

B.若C不变，则P比原来提高超过40%

C.为使尸不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使尸不变，则C比原来降低超过40%

【答案】C

【分析】由题意可得尸=：1pCSy3,C=两2P，结合选项，依次判断即可.

112P

【解析】由题意，f=-pCSv2,P=fv,所以c=—,

A：当。,5,C不变，v比原来提高10%时，

贝！]<=《pCSil+10%）3v3=1pC5（l.l）3v3=1.33-|pCSv1,

所以尸比原来提高超过30%,故A错误；

B：由选项A的分析知，^=1.33.|pCSv3,

所以尸比原来提高不超过40%,故B错误；

2P2P2P

C：当P，S,尸不变，"比原来提高1。％时，6=仃/=而升=。.75・数，

所以C比原来降低不超过30%,故C正确；

D：由选项C的分析知，C比原来降低不超过30%,故D错误.

故选：C

31.（2024•全国•模拟预测）2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任

务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半

径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：In2«0.693,

e0-462~1,587）（）

A.1.587B.1.442

C.0.587D.0.442（）

【答案】C

【分析】利用指数和对数的运算求解即可.

【解析】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，

设小主,

当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为凡，

则（2T『=纲3,

两式相比得：4，即ln4=ln[&]

⑺WR3

故&=e。用2=1,587,

R

故圆轨道半径增加的倍数大约是1.587-1=0.587.

故选：C.

inz

32.（23-24高三下•陕西•阶段练习）某种生物群的数量。与时间f的关系近似的符合：。⑺=指P（其中e

为自然对eg2.71828...）,给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（）

A.该生物群的数量不超过10

B.该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小

C.该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比

D.该生物群的数量的增长速度最大的时间务e（2,3）

【答案】C

【分析】对解析式上下同时除以e',结合反比例函数模型可判断A正确；对=求导，Q'⑺即为

该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断C错，BD正确

【解析】因为e，>0,。（"=萼=10x—<10,故该生物种群的数量不会超过10,故A正确；

v7S+9e?+9

1010⑺-90ef—90

由Q1）=野，求导得-f1Q81,显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正

e+9十？）e+ld+--

e

比，故c错误；

因为e'+2为对勾函数模型，故d+”冯廉日小，

eeVe

当且仅当e，=9,即，=ln9时取到等号，

当te（0,ln9）时生物群的数量的增长速度随时间的增加而增加，当/e（山9,+8）时生物群的数量的增长速度

随时间的增加减小，即该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；

且当f°=ln9e（2,3）时，。'⑺最大，故BD正确.

故选：C.

33.（23-24高三下•甘肃•阶段练习）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生

里氏6.2级地震，震源深度10公里.面对突发灾情，社会各界和爱心人士发扬"一方有难、八方支援"的中

华民族团结互助、无私奉献的大爱精神，帮助灾区群众渡过难关.震级是以地震仪测定的每次地震活动释

放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级.能量E

与里氏震级M的对应关系为lgE=4.8+L5M,试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的（）

A.100倍B.512倍C.1000倍D.1012倍

【答案】C

【分析】借助能量E与里氏震级M的对应关系计算即可得.

【解析】由lgE=4.8+L5M,设lgE0=4.8+L5（Af+2）,

贝！JlgEo-lgE=4.8+L5（M+2）-4.8-1.5M=3,

即1g殳=3,*=1（）3=1000.

EE

故选：C.

34.（2024・江苏•一模）德国天文学家约翰尼斯・开普勒根据丹麦天文学家第谷・布拉赫等人的观测资料和星表,

通过本人的观测和分析后,于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律一一绕以太阳为焦点的

2汽。

椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长。与公转周期T有如下关系：T=-^=.«2,其中M为

太阳质量，G为引力常量.己知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.

【解析】设火星的公转周期为工，长半轴长为%,火星的公转周期为“，长半轴长为外,

2万3

鬣①

则，工=8码且4GM

3

兀

2*②

4GM

3

@得.4（幺"=8,

a

②T22

所以，£=4,即：4=4%.

故选：B.

35.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）“开车不喝酒，喝酒不开车.”，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶

人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值/'（X）

40sin71x+13,0<x<2

随着时间x（小时）的变化规律，可以用函数模型J来拟合，则该人喝一瓶

90.e^°-5x+14,x>2

啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（）（参考数据：In15«2.71,ln30«3.40）

驾驶行为类别酒精含量值（mg/100mL）

饮酒驾驶>20,<80

醉酒驾驶>80

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】可结合分段函数建立不等式90e—°"+i4<2（）,利用指数不等式的求解即可.

【解析】对于/。）=40$亩1》）+13,

7T2元

由0Wx<2,则函数/⑴先增后减，

当工€（/2）时，/（x）=204+13>20,

所以，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量可能大于20,

n>2

则驾车只能在2个小时之后，令][9n0>「2“+14<20,队

e-0.5n<

解得〃>21nl5u2x2.71=5.42,

••,/isN,,，〃的最小值为6,故至少经过6小时才可以驾车.

故选：B.

36.（2024•陕西咸阳,模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的

变化遵循兰彻斯特模型:天分别为红、蓝两方的

初始兵力，，为战斗时间；X。），y«）分别为红、蓝两方f时刻的兵力；正实数。，b分别为红方对蓝方、蓝

方对红方的战斗效果系数；cosbx=E±±;和sinW=£士分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定:

22

当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T.则下

列结论不正确的是（）

A.若且a=b,则⑺(owYT)

则T="

B.若X0>%且〃=

a

X。b

C.若寸>£'则红方获得战斗演习胜利

>J-,则红方获得战斗演习胜利

D.若」

Va

【答案】C

【分析】对于A根据已知条件利用作差法比较大小即可得出x«)-y(r)=e”Xo-K)＞。，对于B,利用A

e^at-e八一at

中结论可得蓝方兵力先为。，即泞乂。=0解得7；对于C和D,若要红方获得战斗演习胜

2

利，分别解出红、蓝两方兵力为。时所用时间4、芍，比较大小即可.

=Xcosh(成)-Ysinh(叫

【解析】对于A,若X。＞乂且。=6,则Qo

)(%)=%cosh(成)一XQsinh(a。'

e^at+.e-ate^at-e^—at

尤(，)=

22

即-,所以x(r)_y(t)=e"(X°_E),

eat+Qat暧一e"

Yo~X。

22

由x°>4可得x(r)_y(r)=eW(x0_x)>0,即A正确;

对于B,当々=〃时根据人中的结论可知可。＞y(。，所以蓝方兵力先为0,