高一数学重难点专项复习：妙用奔驰定理解决三角形面积比问题（讲义）（原卷版）

重难点专题01妙用奔驰定理解决三角形面积比问题

【题型归纳目录】

题型一：直接使用奔驰定理

题型二：三角形面积比问题

【方法技巧与总结】

奔驰定理…解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知AABC的顶点A（X1,%）,3（无2，%），C（三，%），则△ABC的重心坐标为

0+%+%%+%+%・

'3'3

注意：（1）在△ABC中，若。为重心，则两+砺+元=0.

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：.

奔驰定理：〃-函+既-9+%-西二。，则△403、AAOC、ABOC的面积之比等于4：4：4

奔驰定理证明：如图，令人函=两，4砺=西，A,oc=oq,即满足国1+砺1+闲=0

S/\AOB1S4AOC_]S&BOC_]

故SAAOB：SAAOC•SABOC=4：4：4.

5的0马44S/M10G44$△51g44

【典型例题】

题型一：直接使用奔驰定理

例1.（2024•上海奉贤•高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：

已知。是△A8C内的一点，△BOC,△AOC,AAOB的面积分别为臬、SB>Sc,则有

SA国+品丽+&■玄=6,设。是锐角△ABC内的一点，NBAC,ZABC,NAC8分别是△A8C的三个内

角，以下命题错误的是（）

A.^OA+OB+OC=Q，则。为△ABC的重心

B.若西+2砺+33=6，则SJSB：SC=1：2：3

C.则。为△ABC（不为直角三角形）的垂心，贝！ItanNBAC•示+tanNABC•丽+tanNACB•宓=0

D.若|西|=|砺|=2,ZAOB=^,2OA+3OB+4OC=6,则'钮。=2

例2.（多选题）（2024•山东•高一校联考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面

向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具

体内容是：已知“是"3C内一点，△BMC,△AMC,"MB的面积分别为%,%,%,且

SA•疯+SB・砺+%・碇=6•以下命题正确的有（）

A.若枭应：7=1：1：1,则M为AAMC的重心

B.若M为AABC的内心，则BC.凉+AC•砺+AB.标=0

C.ABAC=45°,ZABC=60°,M为AABC的外心，则见：SB:Sc=括:2:1

D.若M为&45C的垂心，3MA+4MB+5MC=O,贝UcosNAMB=-渔

例3.（多选题）（2024•全国•高一随堂练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理

对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是44BC内一

点，^BOC,AAOC,AAOB的面积分别为3,SB,Sc,贝ijS4・西•砺+Sc・灰.设。是AABC

内一点，AABC的三个内角分别为A,B,C,ABOC,AAOC,AAO3的面积分别为〃，品，S「若

30A+40B+50C=0，则以下命题正确的有（）

A.SA:SB:SC=3:4:5

B.。有可能是AABC的重心

C.若。为AABC的外心，贝sinA:sing：sinC=3:4:5

D.若。为AABC的内心，则AABC为直角三角形

变式1.（多选题）（2024.黑龙江哈尔滨.高一哈九中校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理奔驰定理：

己知。是AABC内的一点，AFOC,MOC,AAOB的面积分别为鼠、SB、SC,则有

SAZM+SBOB+SCOC=6,设。是锐角AABC内的一点，NBAC,/ABC,/ACS分别是AABC的三个

内角，以下命题正确的是（）.

A.若函+丽+花=0，则。为AABC的重心

B.^OA+2OB+3OC=0,则〃：:=1：2:3

C.若。为AABC（不为直角三角形）的垂心，贝UtanZBAC•函+tanNA8C•砺+tanNAC3•反^0

D.若伊卜|词=2,ZAOB=^,20A+30B+40C=0,贝电板=2

变式2.（多选题）（2024.重庆沙坪坝.高一重庆八中校考期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，

这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知。是AABC内部一点，将

ABOC,AAOC,AAOB的面积分别记为猿，SB，SC,则见•次+SB•砺+Sc•定=。.根据上述结论，下

列命题中正确的有（）

A.若26+3砺+4玄=0，则臬应£=4：3:2

,1-,2>

B.^AO=-AB+-AC,贝USA：SB：SC=2:1:2

TT

C.若。为AABC的内心，S.5OA+12OB+13OC=d>则/人口二万

D.若。为AASC的垂心，则tan/BAG砺+tan/ABC•赤+tanNAC2•灭^0

题型二：三角形面积比问题

例4.（2024•江西宜春•高一统考期末）已知。为正三角形A3C内一点，且满足34+4历+。+力）4=6,

若AQ4B的面积与AOAC的面积之比为3,则2=（）

A.1B.-C.-D.-

2442

例5.（2024•辽宁沈阳•高一东北育才学校校考期末）点P是AABC所在平面上一点，若

>1—►1—►

AP=-AB+-ACf则4AB9与△ACP的面积之比是（）

A.—B.3C.—D.—

233

例6.（2024.广东深圳.高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知点尸是△ABC所在平面内一点，若

__,2__►1__、

AP=-AB+-ACf贝!kAB尸与“。尸的面积之比是（）

A.3:1B.2:1C.1:3D.1:2

变式3.（2024.安徽黄山•高一统考期末）已知。是AABC所在平面内的一点，/A,NB,2C所对的边分

别为a=3,b=2,c=4,^aOA+bOB+cOC=Q^过。作直线/分别交A5、AC（不与端点重合）于P、

。，若AP=4AB，AQ=juAC,若△PAO与△QA。的面积之比为5,则万=（）

5143

A.—B.—C.—D.一

6334

变式4.（2024・四川绵阳•高一四川省绵阳南山中学阶段练习）设G为等边AABC的重心，过G作直线/分别

交AB,AC（不与端点重合）于尸,。，若4尸=LW，AQ=^iAC,若△尸AG与△QAG的面积之比为：，

则〃=（）

A.-B.-C.-D.-

3346

变式5.（2024.四川德阳•高一统考期末）己知P是AABC内部一点，且西+5闻+西=，贝U

△。45”尸。4、/3。面积之比为（）

A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1

、.—.1—.―.1—»

变式6.（2024・全国•高三专题练习）已知点A,B,C,P在同一平面内，PQ=-PA,QR=-QB,

坪三立，则LBC：S"等于（）

A

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

【同步练习】

1.（2024.江苏.高三盐城中学校考阶段练习）记AABC所在平面内一点为P,满足x而+=其中

S

/+产=1,则产的取值范围为（）

A.[5/2—1,+00）B.（0,A/2—1]C.（。,1]D.[,\/2+1,+00）

91s

2.（2024・陕西高三竞赛）如图，设尸为△ABC内一点，且而=?血+?正.则甘诬=

55%ABC

1

D.

c:3

（.广东.高一仲元中学校考期末）

3.2024已知P为AABC边BC上一点，AB=a,AC=b,若鼠谢=25AA0,

rrLilli

贝!JAP=

1一3-c3一1厂

A.-a+-bB.-a+-bC.—ciH—hD.-a+-b

22332233

___.1__.3―►

4.（2024•陕西延安•高一校考阶段练习）已知M是AASC所在平面内一点’且满足2AM=/B+/C'

则AAA/与A/WC的面积之比为

A.1:4B.3:4C.3:8D.1:8

_.0__.1___

5.（2024.天津红桥•校联考二模）已知点M是ULBC所在平面内一点，^^AM=-AB+-AC,则与

34

ABCM的面积之比为

3B-1J

A.C.3D.

83

6.（2024.安徽淮南.高三淮南第一中学校考阶段练习）已知点M是△ABC所在平面内一点，若

uuur1urniutnn

AM=-AB+-ACf贝！J浏/与"CM的面积之比为（）

7.（2024・高一课时练习）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3痂■一而一衣=。，则△ABM

与△ABC的面积之比为（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：5

8.（2024・山东・高三阶段练习）若点P是AABC所在平面内的任意一点,满足西+2万+3同="则APBC与

Aft4c的面积之比为

A.-B.—C.-D.—

2346

9.（2024.河北衡水.高三周测）在AABC所在平面上有三点尸、。、R,满足西+丽+正=丽，

QA+QB+QC=BC,RA+RB+RC=CA,则"。尺的面积与AABC的面积之比为

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5

10.（2024•贵州贵阳•高三贵阳一中校考阶段练习）已知AABC所在平面内一点尸，满足

PA+PB+PC=-AB,贝LAB尸与AABC的面积的比值为（）

2

A.—B.—C.—D.—

6432

11.（多选题）（2024•河南南阳•高一统考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定

理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知0

是AASC内一点，瓯）C、AAOC、AA03的面积分别为臬、SB>Sc,贝|S4・瓦+SB•砺+S。-云=0.设

。是锐角AASC内的一点，NBAC、ZABC.—ACB分别是从1SC的三个内角，以下命题正确的有

（）

A.^OA+2OB+3OC=6,则SJSB：SC=1：2:3

B.|OA|=|OB|=2,ZAOB=^,2OA+3OB+4OC=6,则工

jr

C.若。为44BC的内心，3OA+4OB+5OC=6,贝!)/0=5

D.若。为AABC的重心，贝UOA+OB+OC=0

12.（多选题）（2024・湖南长沙•高一长郡中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的10go很相似，故形象地称其为“奔驰定

理”，奔驰定理：已知。是△ABC内一点，ABOC,△AOC,△AOB的面积分别为臬，SB,Sc,且

SAOA.^-SBOB+SCOC=Q.设。是锐角△ABC内的一点，ABAC,ZABC,NAC8分别是的△ABC三

个内角，以下命题正确的有（）

A.若次+2砺+3反=6，则与0戊=1：2：3

B.若网=|词=2,ZAOB=^-,2OA+3OB+4OC=6,则口c=g

c.若。为△ABC的内心，3OA+4OB+5OC=6>则/。=万

D.若。为△ABC的垂心，30A+40B+50C=0>则cos/AOB=-Y^

6

13.（多选题）（2024•重庆北倍・高一西南大学附中校考期末）奔驰定理：已知。是AASC内的一点,

ABOC,AAOC,AAOB的面积分别为%,SB，SC,则枭・次+S"•9+Sc•方=6.“奔驰定理”是平面向

量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的/og。很相似，故形

象地称其为“奔驰定理”.若0、P是锐角AABC内的点，A、3、C是AABC的三个内角，且满足

PA+PB+PC=^CA,OAOB=OBOC=OCOA,则（）

B.ZA+ZBOC=TI

c.|OA|：|OB|：|OC|=cosA:cosB:cosC

D.tanA•OA+tanBOB+tanC-OC=0

14.（2024・全国•高三专题练习）已知点尸是AABC的中位线E尸上任意一点，且E/〃5C,实数x,y满足

PA+^PB+yPC=0,设△ABC,APBC,△PCA,△B48的面积分别为S,Si,S2,S3,记*=力，常

=方，今=为，则以3取最大值时，3尤+y的值为.

—.I-_.1.----.3—•--4—■

15.（2024・高一课时练习）如图，设尸为"IBC内一点，且AP=—AB+—AC,BM=—BA,CN=—CA,

4545

则LPMB的面积与AABC的面积之比等于.

16.（2024.江西景德镇.高一景德镇一中校考期末）已知P为"1BC所在平面内一点，且满足

―»1—.2-►

AP=-AC+-AB,则A4PB的面积与△APC的面积之比为.

17.（2024・四川凉山•统考三模）如图，P为AASC内任意一点，角A,B,C的对边分别为a,b,J总

有优美等式4PBC丽+S“AC丽+S-定=0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有

以下命题：

①若P是“15。的重心，贝I有西+而+无=0;

②若4西+b而+C定=0成立，则P是AABC的内心；

—.2.1.

（3）^AP=-AB+—AC,则尸：S4ABC=2:5；

④若尸是AABC的外心，A=；,~PA=niPB+nPC，则，"+〃e[-拒,1）.

则正确的命题有.

___.3—■1--

18.（2024•高一课时练习）若点M是AABC所在平面内一点，且满足411=:河+:47