高一数学重难点专项复习：玩转外接球、内切球、棱切球经典问题（十四大题型）（原卷版）

重难点08玩转外接球、内切球、棱切球经典问题

【题型归纳目录】

题型一：正方体、长方体模型

题型二：正四面体模型

题型三：对棱相等模型

题型四：直棱柱模型

题型五：直棱锥模型

题型六：正棱锥与侧棱相等模型

题型七：侧棱为外接球直径模型

题型八：共斜边拼接模型

题型九：垂面模型

题型十：最值模型

题型十一：二面角模型

题型十二：圆锥圆柱圆台模型

题型十三：锥体内切球

题型十四：棱切球

【方法技巧与总结】

技巧总结一：正方体、长方体外接球

1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

3、补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

（3）正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长。=碧，如图3所示.

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

技巧总结二：正四面体外接球

如图，设正四面体ABCD的的棱长为〃，将其放入正方体中，则正方体的棱长为变〃，显然正四面体

2

和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为”•?二手a'即正四面体外接球半径为R=

技巧总结三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可以

通过构造长方体来解决这类问题.

b1+c2=m1222

如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,C,贝,三式相加可得后+你+°2="『++广,

2

a2+b2=t2

2

而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为A,则4+62+C2=4尺2,所以R=y+厂.

技巧总结四：直棱柱外接球

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

第一步：确定球心。的位置，。［是AABC的外心，则OQ_L平面A5C；

第二步：算出小圆。］的半径A，=r,OOX—^AA:（AA=6也是圆柱的高）;

第三步：勾股定理：0A2=O.A2+a。？=>R2=(-)2+r2=>R=,解出R

技巧总结五：直棱锥外接球

如图，R4_L平面ABC,求外接球半径.

解题步骤：

第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接尸£>,则PD必过

球心O；

第二步：。1为AA5c的外心，所以oqj_平面A8C,算出小圆。I的半径QO=r(三角形的外接圆直径

算法：利用正弦定理，得，一=—丝=二=2「)，OO,=-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R，=PA，+(2r)2o2R=8d+(2r)］；

②R2=户+00：=R』2+oo；

技巧总结六：正棱锥与侧棱相等模型

户+Z?2

1、正棱锥外接球半径：R=.

2、侧棱相等模型:

如图，P的射影是AABC的外心

o三棱锥P—ABC的三条侧棱相等

。三棱锥P—ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.

AO,B

解题步骤:

第一步：确定球心。的位置，取A/WC的外心9，则尸,O,Q三点共线;

第二步：先算出小圆a的半径AQ=r,再算出棱锥的高尸。(也是圆锥的高);

-24廿

第三步：勾股定理：OA2=O,A2+0,0-R2=(h-7?)2+r2,解出R=---------.

2h

技巧总结七：侧棱为外接球直径模型

方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.

技巧总结八：共斜边拼接模型

如图，在四面体43CD中，AB1AD,CB1CD,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形

拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之.设点。为公共斜边的中点，根据直

角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA=OC=OB=OD,即点。到A,B,C,。四点的距

离相等，故点。就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径.

技巧总结九：垂面模型

如图1所示为四面体尸-ABC,已知平面上4B_L平面ABC,其外接球问题的步骤如下：

(1)找出△QLB和7BC的外接圆圆心，分别记为a和。

(2)分别过。1和仪作平面R4B和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O.

(3)过。［作AB的垂线，垂足记为。，连接仪。，则

(4)在四棱锥A-OQOO2中，垂直于平面。如图2所示，底面四边形OqOO2的四个顶

点共圆且OD为该圆的直径.

图1图2

技巧总结十：最值模型

这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等

技巧总结十一：二面角模型

如图1所示为四面体尸-ABC，已知二面角P-AB-C大小为a,其外接球问题的步骤如下：

(1)找出△P4B和△ABC的外接圆圆心，分别记为。1和..

(2)分别过Oj和a?作平面X4B和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O.

(3)过。।作的垂线，垂足记为。，连接。2〃，则QD-L4B.

(4)在四棱锥A-DOQa中，AD垂直于平面。QOQ，如图2所示，底面四边形。的四个顶点

共圆且OE>为该圆的直径.

技巧总结十二：圆锥圆柱圆台模型

1、球内接圆锥

如图1,设圆锥的高为万，底面圆半径为r,球的半径为R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来

计算R.如图2,当PC>CB时，球心在圆锥内部；如图3,当尸C<CB时，球心在圆锥外部.和本专题前

面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.

由图2、图3可知，OC=h—R或R—h,故(〃一R)?+/=R?,所以R=---------.

2h

p

2、球内接圆柱

如图，圆柱的底面圆半径为r+/=&.

3、球内接圆台

2

r-

,其中不公力分别为圆台的上底面、下底面、高.

2h

技巧总结十三：锥体内切球

方法：等体积法，即R=』返

s表面积

技巧总结十四：棱切球

方法：找切点，找球心，构造直角三角形

【典型例题】

题型一：正方体、长方体模型

【典例1-11（2024•陕西安康•高二期末）长方体的长，宽，高分别为3,6,1，其顶点都在球。的球面

上，则球。的体积为（）

A.4岳B.12兀C.4871D.32后

【典例1-2】（2024•全国•高一阶段练习）已知三棱锥P-3CD中,BCLCD,PBJL底面BCD,BC=\,

PB=CD=2,则该三棱锥的外接球的体积为（）

「27n25

A.-71C.—冗D.—71

489

【变式1-1］（2024•北京市第三十五中学高一阶段练习）已知正方体外接球的体积是3方2万，那么正方体的

体对角线等于（）

A.9B.4C.D.迪.

333

题型二：正四面体模型

【典例2-1】（2024•全国•高三专题练习）棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体

可以在正方体内任意转动，则尤的最大值为（）

A.-aB.C.也aD.在a

2263

【典例2-2】（2024•河南•西平县高级中学模拟预测）一个正四面体的棱长为2,则这个正四面体的外接球的

体积为（）

A.展九B.2兀C.3万D.2虚万

【变式2・1】（2024.贵州师大附中高二开学考试）已知正四面体的棱长为2,则其外接球的表面积为（）

A,4TIB.6兀C.8兀D.10兀

题型三：对棱相等模型

【典例3・1】四面体P-ABC的一组对棱分别相等，且长度依次为2君，岳,5,则该四面体的外接球的表

面积为（）

2929A/29

A.——71B.28兀C.-------------71D.29万

46

【典例3-2］在四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等且依次为衣，V41,5则此四面体ABCD的外接

球的半径尺为（）

c5夜

A.5点B.5-----D.4

2

【变式3・1】如图，在三棱锥F—45C中，PA=BC=6PB=AC=2,尸C=钻=石，则三棱锥P—

外接球的体积为（）

C.娓兀D.6万

题型四：直棱柱模型

【典例4-1】（2024•山西・太原五中高一阶段练习）在直三棱柱A8C-A与G中，若

AB±BC,AB=6,BC=8,AAl=6,则该直三棱柱外接球的表面积为（）

A.727rB.1147C.136万D.1447

【典例4-2】（2024.安徽.合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱4BC-A4c的所有顶点都在一个球面上，

AB=AC=AAt,ZBAC=12.0°,且底面AABC的面积为2月，则此直三棱柱外接球的表面积是（）

A.16万B.4。而乃c.40万D.64%

3

【变式4-1]（2024•河南•高三阶段练习）已知正六棱柱ABCDEF—ABCQiEFi的每个顶点都在球。的球

面上，且AB=3,AAt=4,则球。的表面积为（）

A.427tB.48兀C.50兀D.52兀

题型五：直棱锥模型

【典例5-1】（2024•青海・海东市第一中学模拟预测）已知四棱锥A48CD中，平面A8CD,底面

ABC。是矩形，AD=3AB=3PA,若四棱锥尸-ABC。外接球的表面积为1反，则四棱锥尸-ABC。的体积为

（）

A.3B.2C.72D.1

【典例5-2】（2024•全国•高三专题练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖膈.若

三棱锥M-ABC为鳖席，M4"L平面ABC,AB1BC,AB=BC=2,MA=4,三棱锥M—ABC的四个

顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为（）

A,B.16%C.207rD.24»

【变式5-1]（2024•广西・宾阳中学高一阶段练习）已知三棱锥S-MC中，SAL平面A3C,

AB=BC=CA=3>/3,三棱锥S-ABC外接球。的表面积为100兀，则球。的体积为,异面直线

SA,所成角的余弦值为.

题型六：正棱锥与侧棱相等模型

【典例6・1】（2024•江西•高三阶段练习）在正三棱锥P-ABC中，PA1PB,尸到平面A5C的距离为2,

则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.36万B.167rC.-----D.4〃

3

【典例6-2】（2024・江苏•高一课时练习）如图在正三棱锥S-ABC中，分别是棱SC,BC的中点，。为

棱AC上的一点，且AQ=gQC,MN±MQ,若AB=2后，则此正三棱锥ASC的外接球的体积为

（）

【变式6-1]（2024•重庆市实验中学高一阶段练习）三棱锥P-ABC体积为且

6

PA=PB=PC,AB=AC=l,BC=s[3,则三棱锥外接球的表面积为.

题型七：侧棱为外接球直径模型

【典例7-1】（2024•五华区校级期末）已知三棱锥尸-ABC的所有顶点都在球。的球面上，AB=5,AC=3,

BC=4,PS为球O的直径，尸3=10,则这个三棱锥的体积为（）

A.30^/3B.1573C.10A/3D.54

【典例7-2】（2024•红花岗区校级月考）已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在同一个球面上，ABCD是边长

为2的正三角形，AC为球。的直径，若该三棱锥的体积为殍，则该球O的表面积（）

A.64万B.48万C.32nD.16万

【变式7-1］（2024•抚顺校级月考）已知三棱锥尸-ABC的所有顶点都在球。的球面上，尸C为球。的直径，

且尸C_L（M,PCYOB,AAOB为等边三角形，三棱锥尸-ABC的体积为器，则球。的表面积为（）

A.4兀B.8万C.127rD.16%

题型八：共斜边拼接模型

【典例8-1】在矩形43co中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形A3CD折成一个直二面角3—AC—。,

则四面体ABCD的外接球的体积为（）

.125125「125125

A•TCDR.TCCz.7CDn•----------71

12963

【典例8-2】三棱锥P—ABC中，平面PAC_L平面ABC,AC=2,PA±PC,AB±BC,则三棱锥

P-ABC的外接球的半径为

【变式8-1］在平行四边形ABCD中，满足通.亚=彳7，2AB=4-BD,若将其沿3D折成直二面角

A-BD-C,则三棱锥A-3CD的外接球的表面积为（）

A.16万B.8万C.4万D.2万

题型九：垂面模型

【典例9-1】（2024•安徽省定远县第三中学高三阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中,

AD±CD,AC±BC,Z.DAC=ABAC=30°,现将△ACD沿AC折起，并连接8。，使得平面ACD_L平面

ABC,若所得三棱锥D-ABC的外接球的表面积为4万，则三棱锥D-ABC的体积为（）

A.-B.@C.3D.正

4486

【典例9-2】（2024•江西南昌•模拟预测（理））若体积为8的四棱锥尸-ABCD的五个顶点都在表面积为20兀

的球面上，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2近的正方形，平面PACL平面A3CD,则棱上4的长为

（）

A.3万或2君B.2上或2非C.M或D.M或3五

【变式9-1］（2024.安徽马鞍山.一模（文））在三棱锥A—BCD中，BCLBD,AB=AD=BD=46,

BC=6,平面ABD,平面BCD,则三棱锥A-BCD的外接球体积为（）

题型十：最值模型

【典例10-1］（2024.贵州遵义.高三开学考试）已知三棱锥S-ABC的四个顶点均在体积为方32兀的球面上,

AB=BC=1,AC=g,则三棱锥S-ABC的体积的最大值为（）

A2g+30省+102A/3+3CA/3+1

A.-----D.-----C.------U.--------

124412

【典例10-21（2024•全国.三模）已知三棱锥S-ABC的体积为竺叵，其外接球的体积为挈万，若

33

AB=AC=4,NB4c=120。，则线段SA的长度的最小值为（）

A.8B.572C.6D.40

【变式10-1］（2024•辽宁抚顺.一模）己知三棱柱ABC-Aqq的顶点都在球。的表面上，且

AC=BC,AACB=—,若三棱柱ABC-AB。的侧面积为12+6A,则球。的表面积的最小值是（）

A.8兀B.12兀C.24兀D.32兀

题型十一：二面角模型

【典例11-1】（2024.安徽•芜湖一中模拟预测）已知在菱形ABCD中，A8=2,ZA=60。，把△AB。沿四折

起到AAZ。位置，若二面角A-3。-C大小为120。，则四面体A3CD的外接球体积是（）

728287217721

A.—71B.—71C.---------兀D.--------兀

3327

【典例11-2】（2024•全国•高三专题练习）在三棱锥A-BC。中，AB=BC=CD=DA=币，BD=2^>,二

面角是钝角.若三棱锥428的体积为2,则A-2CD的外接球的表面积是（）

C.当-53

A.12%B.13万D.——71

34

【变式11-1】（2024•全国•高三专题练习）在三棱锥P-ABC中，AABC是边长为4石的等边三角形,

PA=PC=4,二面角P-AC-3是150。，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（）

A.16(11-4⑹兀B.401-4⑹兀

C.401+4⑹兀D.2(11+4A/3)7C

题型十二：圆锥圆柱圆台模型

【典例12-1】（2024•全国•高三专题练习）已知球。的体积为学，高为1的圆锥内接于球O,经过圆锥

6

25兀

顶点的平面。截球。和圆锥所得的截面面积分别为5,邑，若S］=亍，则邑=（）

O

A.2B.亚C.展D.2及

【典例12-2］（2024•辽宁大连•高一期末）已知圆台上下底面半径分别为3、4,圆台的母线与底面所成的角

为45。.且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为（

D5004-700万

A.1004C.200万D.-------

33

【变式12・1］（2024•全国•高三专题练习）如图,半径为4的球。中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大

时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（）

A.647rB.48%C.327rD.16万

题型十三：锥体内切球

【典例13-1】（2024・四川・树德中学高三开学考试）已知正四棱锥的侧棱长为石，底面边长为2,则该四棱

锥的内切球的体积为（）

A.递B.生国C.—D.4乖1

3273

【典例13-2］（2024.全国•高三专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球

和内切球的表面积的比值为（）

A.2:1B.3:2C.7:3D.7:4

【变式13-1】（2024•全国•高三专题练习）连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该

正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为.

【典例14-11（2024•江西南昌.高三阶段练习）已知正三棱柱ABC-ABC的体积为18,若存在球。与三棱

柱ABC-A^G的各棱均相切，则球。的表面积为（）

A.8万B.12万C.16万D.18%

【典例14-2】（2024.全国•高三专题练习）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，

则该球的体积为（）

A2R4A/藐4£限B兀

62733

【变式14-1］（2024•全国•高三专题练习）正四面体尸-ABC的棱长为4,若球。与正四面体的每一条棱都相

切，则球。的表面积为（）

A.2TTB.87rC.迪乃D.12z

3

【过关测试】

1.（2024・高二.江苏盐城•期末）四棱锥尸-ABCD的外接球。的半径为2,平面ABC。，底面

为矩形，24=筋=2,则平面外。截球。所得的截面面积为（）

A.4兀B.37rC.2TID.兀

2.（2024.山东济宁.三模）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表

面积的比值为（）

A.2:1B.3:2C.7:3D.7:4

3.（2024・高三•内蒙古赤峰•开学考试）己知正四面体A3C。的棱长为4,则该四面体的外接球与以A点为

球心，2为半径的球面的交线的周长为（）

A85n4回「2而n病

A.---------兀D.----------71C•----------71L）•---------71

3333

4.（2024•全国•模拟预测）在正方体ABC。-AAGR中，E,b分别为棱的中点，过直线跖的

q

平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为s,最大值为S,则士=（）

S

A.且B.-C.叵D.-

2255

5.（2024.高三.内蒙古锡林郭勒盟•阶段练习）已知四面体ABCD的体积为3,从顶点3出发的三条棱

两两垂直，若明=4,则该四面体外接球表面积的最小值为（）

125125

A.25兀B.50兀C.7iD.71