高一数学重难点专项复习讲义：妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题（三大题型）解析版

重难点专题03妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题

【题型归纳目录】

题型一：定值问题

题型二：范围与最值问题

题型三：求参问题以及其它问题

【知识点梳理】

（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:

证明：不妨设==b,则AC=a+6,DB=a-b

2

|AC|=AC2=（67+b）2=|a|2+2a2+W①

|f）B|2=£>j52=[a-b^=\a^-2a-b+\^\②

①②两式相加得：

+|阿=2（仲+附=2（网2+网]

（2）极化恒等式：

上面两式相减，得:[4+6）2一,一--------极化恒等式

①平行四边形模式：a-b=^\AC^-\DB^

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与“差对角线”平方差

②三角形模式：a-b=\AM^~^\DB^为8。的中点）

【典型例题】

题型一：定值问题

【例1】（2024.全国•高三专题练习）在ASC中，。是8C的中点，E,尸是上的两个三等分点（其中点

£靠近点A）,且BA.CA=4,BFCF=~1,则2ECE的值是.

7

【答案】-/0.875

O

【解析】由题意，

在，ABC中，。是BC的中点，

BACA=4,BFCF=-1

BA-CA=AB-AC=\AD^-\DB^=4,

BF-CF=FB-FC=|FD|2-|DB|2=-i,

,:E,尸是AO上的两个三等分点(其中点E靠近点A),

/.|AD|=3|FZ)|,|££>|=2|FD|,

9m_阿『=4,[|f4=i

〕“H例=TMl=y.

BECE=EBEC=(ED+DB^ED+DC)=(ED+DB)(ED-DB)=回?一|阿=4同2T网?=Z.

7

故答案为：—.

o

【变式1・1】（2024.贵州毕节.统考一模）如图，在中，。是3C边的中点，E,尸是线段AD的两个三

等分点，若84・C4=7，BECE=2,则56CF=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】依题意，。是BC边的中点，E,E是线段AD的两个三等分点,

22

36FD—BC

则R4.CA=g3C-A。]g8C-AD^=44"：''二7，

4

22

(12W121421216FD—BC

BECE=\-BC——AD•——BC——AD\=-AD——BC二2，

(23八23J944

4x1-8i

因止匕FD=1,BC2=8，BFCF=[^BC-FD^-^-^BC-FD^=4五Dj'C--------=—1.

4

故选：B.

【变式1-21（2024•湖南长沙•长郡中学校考一模）如图，在平行四边形ABCD+,AB=1,AD=2,^E,F,G,H

分别是AB,BC,CD,AD边上的中点，则.9G+GH出石=

AEB

【答案】A

【解析】取HF中点O,则,

■2-2133

GHHE=GHGF=GO-OH=l-(^)2=-,因止匕EPR?+G/f."£=/,选A.

题型二：范围与最值问题

【例2】（2024・浙江湖州•高三期末）已知正方形ABCD的边长为2,放V是它的外接圆的一条弦，点尸为正方

形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM-PN的取值范围是（）

A.[-1,0]B.[。,勾C.[1,2]D.[-1,1]

【答案】A

【解析】当弦的长度最大时，弦过正方形ABCD的外接圆的圆心0,

因为正方形ABCD的边长为2,所以圆0的半径为夜，

如下图所示：

所以，PM-PN=^PO+OM^PO-OM^=PO2~OM2.

因为点P为正方形四条边上的动点，所以

又|OM|=0,所以PM.PNe[-LO],

故选：A.

【变式2-1]（2024•江苏南通・高一统考期末）正三角形ABC的边长为3,点。在边A3上，且BO=2D4，

三角形ABC的外接圆的一条弦MN过点。，点P为边8c上的动点，当弦MN的长度最短时，PM-PN的取

值范围是（）

A.[-1,5]B.[-1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【答案】D

【解析】设。为ABC外接圆的圆心，

因为BD=2m，所以OD=；AC=1,

当弦MN的长度最短时，MN1OD,

1AB_13_Q

在，ABC中，由正弦定理知，外接圆半径2sinC273，即OM=石，

所以政V=2MD=2>JOM2-OD2=2-I2=272,

因为（PM+PN『=（PM—PN）2+4PM.PN,即（2PO『=2W?+4PM.PN,

一-21-2-21//—\2-2

所以PM-PN=PD--NM=PD一]（2应）=PD-2,

因为点尸为线段BC上的动点，

所以当点尸与点。重合（DQL3C）时，|丽1mhi=|。。|=忸冰也60。=2'5=有；

当点尸与点C重合时，1尸0皿=|。|,

在△3CD中，由余弦定理知,

|CD|2=|BCI2+|BD|2-2|BC|-|B£>|cosZABC=9+4-2x3x2x^=7,

所以IP01mx=|CD|=S,

综上，|尸4"君,夕],

所以PM-PNuPD2-2w[1,5]

故选：D.

【变式2-2］（2024•陕西榆林・统考一模）四边形ABCD为菱形，/A4c=30。，AB=6,P是菱形ABCD所

在平面的任意一点，则P4PC的最小值为（）

A.-30B.-27C.-15D.-9

【答案】B

【解析】由题意，四边形ABCD为菱形，44C=30。，可得NZMC=60。,

在，ABC中，由余弦定理得到AC=6g,

连接AC和交于点0,则点。为AC的中点，

连接。4,OC,OP,则尸A=PO+Q4,PC=PO+OC=PO-OA,

所以尸A.PC=（PO+OA＞（PO—OA）=PO2-OA2=尸02—272-27.

故选：B.

题型三：求参问题以及其它问题

【例3】（2024•浙江杭州高一校联考期末）设二ABC,4是边A3上一定点，满足”；AB,且对于边A3

上任一点尸，恒有尸3.尸（？2弓8.卷？.则（）

c

C.AB=ACD.AC=BC

【答案】D

【解析】如图，取BC的中点，

由极化恒等式可得：PB-PC=PD。-BD，，

1

同理，P0BP0C=P0D--BD,由于

则|尸味电所以

因为片B=。是BC的中点，于是AC=8C.

故选：D.

【变式3-1］（2024.江苏南京.南京师大附中校考模拟预测）在ABC中，AC=2BC=4,/ACB为钝角，M,N

3

是边AB上的两个动点，且MN=1,若函CN的最小值为“贝hosNAO=

【答案】T

【解析】取跖v的中点尸，取PN=-PM,|PA^|=|PM|=1,

CM-CN=[cP+PMy[cP+PN^=[cP+PMy[cP-PM^=CP

3

因为CMCN的最小值“

所以CRin=l.

则C"=l,又BC=2,所以NB=30。，

因为AC=4,

所以由正弦定理得：sinA=icosA=^,

44

所以cosZACB=cos(150°-A)=-岑cosA+gsinA

A/3V15111-375

=----------X------------1-----X—=

24248

故答案为：匕迈

8

【变式3-2］（2024.辽宁・高一东港市第二中学校联考期末）在_ABC中，AC=2BC=6,—ACB为钝角，M,

N是边A3上的两个动点，且MV=2,若CMCN的最小值为3,贝hos/AC3=

2-2M

【答案】

~9

【解析】取线段MN的中点P,连接CP,过C作COLAS于。，如图，PM=LMN=1,

2

依题意，CM.CN=（CP+PM）（CP-PM）=CP。-PM。=CP。-1,

因CATCN的最小值为3,则|CP|的最小值为2,因此CO=2,

COi7F)CO2R

在RtAOC中，cosZ.OCA=——=—,sinAOCA=------,在RtBOC中，cosZ.OCB=——=—,sin/OCB=—,

GA33CB33

所以cosZACB=cos(ZOC4+ZOCB)=cosNOG4cosZOCB-sinZOCAsinZOCB=212M

9

2-2>/10

故答案为:

9

【变式3-3](2024•江苏常州•常州高级中学校考模拟预测)设直角ABC,凡是斜边A3上一定点.满足

用B=!AB=1,则对于边AB上任一点P,恒有尸aPCWKB.4C,则斜边A8上的高是______.

6

【答案】20

uuruunzuuoiuunxzuunumixuun，uunzuuuUUDXUUUuumllinn1nlm

【解析】取BC中点O,贝qP8PC=(P£>+£>B)(PD+DC)=PD+PD(DC+DB)+DC-DB=PD-_DB,同理

2

PaBP0C=RQZ-DB。，又PBPCZP0B.EC,故甥飞舫,即2W4恒成立，所以“，AB.作CE1,

则凡为EB中点，故EB=2RB=2,所以AE=4.又因为直角，ABC,故CE?=4£班=8,所以CE=2&,

即斜边AB上的高是2点

【过关测试】

一、单选题

1.(2024・四川凉山•统考一模)已知下图中正六边形ABCD所的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心,

直径为2,若点尸在正六边形的边上运动，MN为圆。的直径，则尸M./W的取值范围是()

C.[12,15]D.[11,14]

【答案】B

【解析】由正六边形ABCDE尸的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为1,

所以正六边形ABCDfiF的内切圆的半径为厂=OAsin60=4sin60=2乖>,

外接圆的半径为R=4,

又由PMPN=(PO+OM)-(PO+ON)=(PO+OM)-(PO-OM)

.22-2

=PO-OM=PO—1，

因为即|P0|e[2g,4],可得尸O?-1，

所以尸M•尸N的取值范围是[11,15].

故选：B.

2.（2024・山东.高三校联考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之

一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄

托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六

边形ABCD班的边长为4,圆0的圆心为正六边形的中心，半径为2,若点尸在正六边形的边上运动，MN

为圆。的直径，则尸的取值范围是（）

CD

图一图二

A.[6,12]B.[6,16]C.[8,12]D.[8,16]

【答案】C

【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，Q4B、△O3C、OCD,ODE、OEF、OE4均

为边长为4的等边三角形，

当点尸位于正六边形ABCD跖的顶点时，|PO|取最大值4,

当点尸为正六边形各边的中点时，忸。|取最小值，即卜41mli=4sin2g,

所以，|叫e[264].

A“__£_AF

cD

所以，PMPN==Pd-4G[8jI2].

故答案为：[8,12].

3.（2024•山西•高一统考阶段练习）如图，在ABC中,NABC=90,A3=2,2C=2g,M点是线段AC上

一动点.若以M为圆心、半径为1的圆与线段AC交于P,。两点，则的最小值为（）

【答案】B

【解析】由题意，MQ=-MP,且|依卜1,\AC\=yl\AB^+\BC^=4,

所以8P=BM+MP，BQ=BM+MQ=BM-MP,

^VXBPBQ=(BM+MP}-(BM-MP)=\BM^-1,

易知，当LAC时，及W最小，

所以忸A|•忸C|=|AC|.忸闾曲,即2x20=4X|BM*,解得忸叫丽=6,

故BPBQ的最小值为(省『-1=2.

故选：B.

4.(2024・全国•高三校联考开学考试)如图，直角三角形ABC中，ZABC=90。,A5=3,8C=4,M点是线

段AC一动点，若以M为圆心半径为逐的圆与直线AC交于P,Q两点，则的最小值为()

19

D.

15

【答案】B

【解析】因为MP=-MQ,

^\^BP-BQ=(BM+MP)-(BM-MP)=\BMi2-\MP^,

即BPBQ=\BM|2-5,

只需要求忸的最小值即可，

12

当时，懊图最小，此时忸叫=日，

14419

所以（3尸田。）*=石一5=方，

故选：B

5.（2024・广东清远•高三统考期末）已知P是边长为4的正三角形A5c所在平面内一点，且

AP=AAB+（2-22）AC（AeR）,则PA.PC的最小值为（）

A.16B.12C.5D.4

【答案】C

【解析】如图，延长AC到D,使得AO=2AC.

因为AP=/lAB+(2-2/l)AC=/lAB+(l-/l)Ar>,所以点P在直线5D上.

取线段AC的中点。，连接OP,

贝ijPAPC=(PO+OA)■(PO-OA)=|PO|2-1OA|2=|PO|2-4.

显然当龙）时，|PO|取得最小值,

2A/3X6e

因为2。=26,。。=6,则23=46，所以1Poiin

mwr=3

所以PA•PC的最小值为32-4=5.

6.（2024•江西•校联考一模）已知△ABC是面积为4君的等边三角形，且AQ=xA8+yAC,其中实数x,y

满足x+§=l,则D4.OC的最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】依题意34笈=4行，解得48=4,延长AC至M,使得AM=2AC,如图,

—T——\

M

因为AD=xA5+yAC=xA5+(2-2x)AC=xAB+(l-x)AM,

所以点。在直线上，取线段AC的中点。，连接0D,

则ZM.OC=(DO+OA).(DO-OA)=DCf-OK=DCf-4,

显然当时，|。。|有最小值3,所以ZM.£)C=DO2-425，

故D4.OC的最小值为5,

故选：B.

7.(2024•江苏苏州・高一苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习)半径为2的圆。上有三点A,8,C满足

OA+AB+AC=0,点尸是圆内一点，则P4PO+PB-尸C的取值范围为()

A.[T14)B.(-4,14)C.H，4)D.(T,4]

【答案】A

【解析】如图，设OA交BC于点D,由。4+A2+AC=0，可得AB+AC=A。，

所以四边形054C为平行四边形，

因为。B=OC=2,所以四边形054C为菱形，且。8=。4=2,

所以AD=OD=1,8£>=OC=6，

由图可知，PB=PD+DB.PC=PD+DC,DB=-DC,

所以尸8.PC=(PD+DB)■(PD-DB)=|PD|2-|BD|2=|PD|2-3,

因为尸A=PD+ZM,尸O=PD+DO,ZM=-DO,

所以尸A.尸0=(PD-DO"PD+£)O)=|PD|2-|D(?|2=|PD|2-1,

所以P4P0+PB.PC=2„-4,

因为点尸为圆内一点，所以04|尸4<3,

所以-4421呵-4<14,

所以PAPO+PRPC的取值范围为[-4,14）,

故选：A

8.（2024・湖北武汉•高三武钢三中校联考阶段练习）半径为4的圆。上有三点A、B、C,满足

OA+A8+AC=0，点P是圆。内一点，则尸4PO+PB/C的取值范围为（）

A.[-16,56）B.[0,16）C.[-8,56]D.[16,64]

【答案】A

【解析】

如图所示，

设。4与8c交于点D,

由OA+AB+AC=0>

得四边形OB4C是菱形，MOA=OB=4,贝！］AD=OD=2,BD=CD=2^3»

由图知尸3=尸£>+。8，PC=PD+DC，而。B=-DC，

所以尸PC=PD2-DB2=|P0p-|DB|2=|PD|2-12,

同理PA=PD+ZM，PO=PD+DO-DA=-DO，

所以尸4Po=PD2-DO2=|P£)|2-|D0|2=|PD|2-4,

所以尸A•尸。+PaPC=2pO1-16,因为点P是圆内一点，贝1」04|尸曰<6,

所以一16WP4PO+尸RPC<56,

即P4PO+P8•尸C的取值范围为［T6,56）,

故选：A.

9.（2024・云南・高三云南师大附中校考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族

传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱.如图甲是一个正八边形窗花隔断，

图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形ABCDEFG8的边长为20,M是正八边形

ABC-DEFGH边上任意一点,则跖的最大值为（）

【答案】D

【解析】如图，取A3的中点。，连接M。，连接分别过点C,点。作BE的垂线，垂足分别为

所以-MB=（MO+OA）（MO+OB）=（MO+OA）■（MO-OA）--OA=MO-2，

当点M与点产或点E重合时，取得最大值，

易得四边形CD〃为矩形，BCI,DE7为等腰直角三角形，则〃=20，

BI=EJ=2,贝l18E=4+2&，80=夜，

MO2取得最大值为BO2+BE?=（忘了+（4+20）2=26+16忘，

所以MA-A必的最大值为24+16近，

故选：D.

10.（2024・广东•高三校联考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，

图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH

的边长为2,尸是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则PAPB的最大值为（）

【答案】D

【解析】由题意可知，取的中点。，如图所示

所以PA.PB=(PO+OA)・(PO+O8)=(PO+OA)・(PO-OA)=PO2_OA2.

-2

=PO-1，

当点尸与点E或点尸重合时，,。|取的最大值，PO?取得最大值，且最大值为F+（2+2&）2=13+8&,故

PABB的最大值为12+8后.

故选：D.

11.（2024.湖南长沙.高三宁乡一中校考期末）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”,

是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾.如图，是圆。的一条直径，且IA例=4.C,。是圆。上的任

意两点，I。1=2,点尸在线段8上，则P4PB的取值范围是（）

D

A

A.[-1,2]B.声2]C.[3,4]D.[-1,0]

【答案】D

【解析】如图，。为圆心，连接。P,

则PA•=(FO+Q4)•(FO+03)=P(f+POOB+POOA+OAOB^PCX+PO{OB+OA)-Q?=|PO『T，

因为点P在线段CO上且|CD|=2,则圆心到直线CD的距离d=在=F=6，

所以像1|PO|2,

所以3领||P。『4,则-1剥PO『-40,

即尸APB的取值范围是［T,。］.

故选：D.

二、填空题

12.（2024.黑龙江大庆・高一大庆一中校考期末）如图，在,ABC中，。是BC的中点，E,尸是AD上的两

个三等分点54・C4=5,BF-CF=-2,则BECE的值是.

【答案】|

O

-2-2-2-2

【解析】因为班.G4=(l8C_AD)(_，5C_A£))=4AD=36FD3C=§,

2244

11114FD-BC

BFCF=(-BC--AD)<--BC--Aiy)=----------------=—2，

23234

crc”-2-2-22

因止匕即=.,BC-二彳，BE-CE=dBC-EEi).(-LBC-EEi)=4ED一如=16尸D—BC=9.

8222448

故答案为：（

O

13.（2024•江苏徐州•高三徐州市第三中学阶段练习）如图，在AABC中，。是的中点，E,尸是上两

个三等分点，BECE=2，BFCF=-1，则BACA=.

【答案】7

【解析】，3ECE=ED'-BD2=4FD2-BD2=2^BFCF=FI)~BIX=-1：.FI)=1,=2,因此BACA=

2222

AD-BD=9FD-BD=7

14.(2024•江苏南通•校联考一模)如图，在ABC中，。为BC中点，E,尸为AD上的两个三等分点，若

BECE=ZBC=旭,则.

82

■>*"/7

BDC

【答案】-1

【解析】解答：

D为BC的中点，E,F为AD上的两个三等分点，

BE=BD+DE,CE=-BD+DE,

227

BECE=DE-BD=-,

8

.•.南上+13=5,

884

BF=BD+DF=BD+-DE,CF=-BD+-DE,

22

1-2-2

:.BFCF=—DE-BD=-l.

4

15.（2024•山东・山东师范大学附中校考模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦,

点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是.

【答案】0。

【解析】如下图所示:

设正方形A3CD的内切圆为圆0,当弦的长度最大时，MN为圆0的一条直径,

PM-PAf=(P0+0M)-(P0-0M)=|P0|2-1|2=|PC»|2-,

当尸为正方形ABCQ的某边的中点时，|。尸|=|,

IImin2

当P与正方形A3CD的顶点重合时，|。尸|=也，即L|0P|w@,

IImax22।।2

1

因此，PM-PN^PO'f-上0。.

444

故答案为：0。.

16.(2024•全国•高三专题练习)如图直角梯形ABCD中，斯是8边上长为6的可移动的线段，A£>=4,

AB=8A/3,3c=12,则8E-5F的最小值为,最大值为

【解析】在BC上取一点G,使得3G=4,取EF的中点P,连接。G,BP,如图所示:

贝I」DG=86，GC=8,C£>=涡+(8厨=16,tanZBCD=-^=73,即ZBCD=60,

BE-BF=^BE+BF^-^BE-BF^=^2BP^-FE2=BP-9,

当3P_LCD时，阳取得最小值，此时网=12xsin60=6有，所以（BE.班j=（6@19=99.

当尸与。重合时，CP=13,BC=12,则网2=122+132-2x12x13x3=157,

当E与C重合时，CP=3,BC=12,则B尸1=i22+32_2xl2x3x；=117,

所以=157-9=148,

\/max

故答案为：99；148.

17.（2024广东•校联考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M,N分别为边2C,C。上的动点,

以为边作等边PMN,使得点A,尸位于直线MN的两侧，则PN.RB的最小值为.

【答案】4

【解析】如图，连接BN,设BN,MN中点分别为E,F,连接PE,PF,EF.

^CM=a,CN=b(O<a<2,O<b<2),

C、2f、2

PN+PBPN—PB22

PNPB==PE-BE,

在Rt3CN中，由勾股定理得BN?=8C2+CN2=，2+4,则郎2=［与，=9+1,

BN,中点分别为E,F,则所为"MN的中位线,

AEF//BM^.EF^-BM=l--a,：.ZEFM=ZCMN,

22

在RtCMV中，由勾股定理得MN=《CM。+CN?=V?行，

CNh

.・・sinZCMN=——二,=sinNEFM,

MN

PF=^MN=—^a2+b2,

在等边.PMN中，尸为MV中点，则P/JL跖V,

22

b

cosZ.PFE=cos—+NEFM=-sinZEFM=-

(2yJa2+Z?2'

在！PEF中，由余弦定理得

PE2=EF2+PF2-2EF-PFcosZPFE=a2+-b2-—ab-a+j3b+l

42

当N与C重合时，ABCW,CMN,!PEF不存在，但可验证上述等式依然成立,

PNPB=a2+-b2-—ab-a+43b

2、2

；为+空迪zU

ci-——b+—

U216441644

7

当且仅当a=@b+，时等号成立.

42

••・关于b的函数y晨八乎在［0,2］上单调递增,

.-.A^+^/3当且仅当6=0时等号成立.

16444

11

"PB）当且仅当。=。时等号成立.

故答案为：廿

18.（2024•浙江杭州•高二校联考期末）在ABC中，AB=4,3C=5,AC=6,点M为，ABC三边上的动点,

PQ是ABC外接圆的直径，则的取值范围是

【答案】［一9,0］

【解析】根据向量关系可得MPMQ=MO2-R2,即判断〃4―o改的取值范围即可，由图可知因。的最大

值为R,最小值为VFW.设外接圆的圆心为。，半径为我，

BP

可得MPMQ=（MO+OP）（MO+OQ）

=MO+MO\OP+OQ^+OPOQ

一2c

=M0-R2>

IUULTI

M为ABC三边上的动点，可知悭。|的最大值为。到三角形顶点的距离，即为半径R,

IUUITI

且四。|的最小值为。到AC边的距离，过0作OM°，4C,垂足为

贝I］10此卜正一32=正-9,

MP-MQ的最大值为R2_R2=0,最小值为|0"o「一代=4一9一代=一9,

故MP•的取值范围是［-9,0］.

故答案为：［-9,0］.

19.（2024・全国•高三校联考阶段练习）在ABC中，A5=5,AC=4,BC=3,已知MN为ABC内切圆

的一条直径，点尸在，ABC的外接圆上，则的最大值为.

［答案］13+5&

2

【解析】因为为直角三角形，所以内切圆Q的半径4=七3+上4-5=1,

外接圆ca的半径4=*=|,

PM-PN=(PO[+O.M)•(PQ+O|N)

2

=PO1+POi-(OXM+0]N)+OXM-GN=|POJ-1.

20.（2024•全国•高一假期作业）设三角形ABC,Po是边A3上的一定点，满足尸必且对于边AB上

4

任一点尸，恒有PE.PCZ4B/C,则三角形ABC形状为.

【答案】C为顶角的等腰三角形

【解析】取BC的中点。，连接P。，PoD,如图所示：

=+=同理［-［。=恸。］—；,。，PBPC>P0BP0C,

■■-14414"IM->cl2

.•.|PD|>|^D|.-.POD±AB,设O为AB的中点，

P0B=^OB^P0D//OC^OClAB,AC=BC即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.

故答案为：C为顶角的等腰三角形.

21.（2024•江苏•高三专题练习）如图,在平面四边形ABCD中，。为3D的中点，且04=3,OC=5.若ABAD^

-7,则2。DC的值是

B

【答案】9

【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，禾I用AB.AD=（AO+03）•（AO+OD），求出1031=|OD\=4,

再禾I」用BC3C=（BO+OC）-（r>O+OC）,运算可求出结果.在平面四边形ABCD中，。为的中点，且

OA=3,OC=5,OB+OD=。若•AD=-7,则（A。+O