广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二年级下册期中考试数学试卷（含答案）

广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、选择题

1.设集合a={-2,1},B={1,3},则AUB=()

A.{-2,1,3)B.{1}C.{-2,3}D.0

2.设zee,在复平面内z对应的点为Z,若则点Z所在区域的面积为（）

A.157tB.6兀C.3兀D.2兀

3.已知P(4B)=・，P⑷=|，则P(B|4)=()

13B.Ar15D.瞿

A。2211。2211

-三£-£-(\

4.^EAABC^,已知A,B,。的对边分别为a,b,c,若4=-3——v与尸)

A.1B.2C.2D.叵

223

5.若直线/:y=kx+b与单位圆。:K2+丫2=1交于A,3两个不同的点，贝明=是。A。3的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6.大学生甲，乙两名同学计划今年五•一假期期间分别从岳阳楼，承德避暑山庄，都江堰，长沙橘子洲头，苏

州园林五个不同的景区随机选三个景点前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（）

A.36种B.48种C.60种D.72种

7.若双曲线£=1缶＞0,匕＞0）的离心率为疗右焦点为0）,点E的坐标为名力则直线

OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.不确定

8.在数列｛时｝中，已知=3,且%l+l二二4a九+6n—5(nGN*),贝(］。15=()

A.4n-15B.2n-29C.2n-15D.4n-29

二'多项选择题

9.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们

在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下

图，贝!1（）

95%

90%

扬85%♦..........•・・・•♦......*...♦...

..................................”....讲座前

零80%♦

由75%....................*....................•讲座后

70%....*..................................

65%*........................................

♦•......................................

u1234567~8~~9~~10

居民编号

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5%

B.讲座后问卷答题的正确率的众数为85%

C.讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

10.函数/'(久)=sin(3K+0)(3>0,0<⑺<兀)的部分图象如图，若/(久)的相邻两个零点间的距离为方则

()

A.3=2

71

BD.0=不

c.fCO的零点形成的集合为｛x|x=k兀一金｝(kCZ)

D.的单调递减区间为上兀+看,而+争(keZ)

H.定义域为R的函数f(%)的导函数为f'(x),若/(久)是奇函数，/(5=1，f'g)=o,且V%，yeR,/(%+

y)=/W'(y)+/'Q)/(y)，则()

A.HO)=1B.f'(0)=1

C./(2x)=2fO)/'(x)D.f(x+2兀)=f(x)

三'填空题

12.已知N=(%—2,2%—1),另=(1,一1)，若2〃另，则％=.

13.小明喜爱踢足球和打羽毛球.在周末的某天，他下午去踢足球的概率为|.若他下午去踢足球，则晚上一定

去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为之已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午

踢足球的概率为.

14.已知侧棱长为/的正四棱锥的顶点都在直径为6的同一球面上，则该正四棱锥的体积的最大值

是.

四、解答题

15.已知函数/(%)—久.

(1)求〃尤)的单调区间；

(2)若a-a?</(x)在［—3,2］上恒成立，求实数。的取值范围.

16.如图，在正三棱柱ABC中，4B=2A4i=4,。为的中点，。为&。的中点.

(1)证明：AD1平面40C；

(2)求平面A/C与平面&0C夹角的余弦值.

17.A,8两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜，打成平局和失败分别记m+3

分，加分和0分.比赛两局，已知在每局比赛中A获胜，打成平局和战败的概率分别为0.5,0.3,02各局的比

赛结果相互独立.

(1)若小=2,求4两局得分之和为5的概率；

(2)若m=3,用X表示8两局比赛的得分之和，求X的分布列.

18.已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),直线久斗与C交于A,B两点，且|AB|=4.

(1)求p；

(2)设C的焦点为F,直线I:久=my+n与C交于Af,N两点，且以为直径的圆经过尸，当1<n<

9时，求点F到/距离的取值范围.

19.设等比数列：a,Pi，p2,ps,b,</i，q2,qt,c的公比为q,其中s,f都为正奇数，a,b,c

构成单调递增的正项等差数列.

(1)求证：|q|>1；

(2)求证：s>t；

(3)把P1P2…Ps%q2…%用mC,s,t表示.

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】解：因为集合4={—2,1},B={1,3},所以4UB={—2,1,3}.

故答案为：A.

【分析】根据集合的交集运算求解即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：因为lW|z|W4,所以复数z再复平面对应的点所在区域面积为巾42-丘.12=15死

故答案为：A.

【分析】根据复数的几何意义求解即可.

3.【答案】C

3

【解析】【解答】解：由题意可得P(B|A)=错^¥=黑

卜(力_/乙

故答案为：C.

【分析】由题意，利用条件概率公式求解即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：因为4=晋，=V3,所以a=gb,由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosX>

可得=反+c?—Zbccos/解得c=2b,则=竿=2.

故答案为：B.

【分析】由题意，利用余弦定理求解即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：因为。41。3,所以=解得b=±j百，所以b=^^是，0B的充分

不必要条件.

故答案为：A.

【分析】由题意，可得圆心到直线的距离为苧，列式求得b,再结合充分、必要条件的定义判断即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】两人恰好有两个景区相同的选法共有之第=60种不同的选法.

故答案为：C.

【分析】由题意，根据排列、组合求解即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意，可得c=底遮，即a=l,b=Vc2-a2=2,则点E的坐标为(2,亭)，双

曲线C的渐近线方程为、=±2%,因为直线。E的斜率k0E=^e(-2,2)，所以直线与双曲线的交点个数为2.

故答案为：C.

【分析】由题意，根据双曲线的性质求得点E坐标，以及双曲线的渐近线方程，比较直线0E的斜率与渐近线

的斜率即可判断.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：因为即+i=4即+6n—5(nCN*),

所以与+i+2n+1=<2n+i+2(n+1)—1=4(tzn+271—1),又因为a1=3,所以的+2x1-1=4,

所以即+2n-1=4-4n-1=4n,所以斯=4n—(2九-1),所以a”=415-29.

故答案为：D.

【分析】根据数列的递推式求得数列的通项公式，再求值即可.

9.【答案】A,B,C

【解析】【解答】解：A、由图可知：讲座前问卷答题的正确率的中位数为螫/理=72.5%,故A正确；

B、讲座后问卷答题的正确率的众数85%,故B正确；

C、讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确得方差大于讲座后正确率的方差，

故C正确；

D、讲座后问卷答题的正确率得极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,故D错误.

故答案为：ABC.

【分析】由题意，根据中位数、众数以及方差、极差的概念判断即可.

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、易知，函数"X)的最小正周期为7=m则3=竽=2,故A正确；

B、因为/'(())=simp=点所以sin@='|,又因为。<9<兀，且在单调递增区间内，所以⑴=v，故B正确；

C、令/■(久)=sin(3K+R)=0,可得2久+髀kn(kCZ),解得久=一强+竽(keZ),故C错误；

D、当2MT+需W2x+]W2kir+李(keZ)时，解得kir+言WxWkn+罢,keZ,故D正确.

Z0Zo3

故答案为：ABD.

【分析】根据已知条件结合函数图象先求函数的解析式，再根据正弦型函数的性质逐项分析判断即可.

n.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A、因为函数“久)为定义在R上的奇函数，所以〃0)=0,故A错误；

B、由/(久+y)=f(x)fr(y)+尸(x)/(y),令y=0,可得/(*)=/(尤)尸(0)+尸⑺f(0)，

解得r(o)=i,故B正确;

C、令、=K，则/(2%)=f(x)尸(%)+尸(%)f(x)=2/(x)/Q),故C正确；

D、令y弓,则f(久+♦=/(%)/吗)+广(初既)，因为脸=1，/(5)=0,

所以/(%+》=广(X),所以/(—久+》=/'(一%),因为函数〃吗为奇函数，所以,(久)为偶函数，

所以=/'(%)，所以/(X+卞=—/(久—分所以/(%+2兀)=/(尤),故D正确.

故答案为：BCD.

【分析】根据函数为奇函数即可判断A；令y=0求得尸(0)=1即可判断B；令y=x化简即可判断C；令、=

会弋入化简，结合函数为奇函数可得/(%)为偶函数即可判断D.

12.【答案】1

【解析】【解答】解：因为五=(久—2,2久—1),b=(1,—1)＞且方〃b，

所以(久-2)X(-1)—(2久一1)X1=0,解得久=1.

故答案为：1.

【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可.

13.【答案】±

【解析】【解答】解：设小明在某个周末晚上去打羽毛球的概率为P(A),下午去踢足球的概率为P(B),

3

32133-9

25

-+X-3=-X--=--

5)p(552

-10

3

--

56

故答案为：Jg

【分析】由题意，根据条件概率公式求解即可.

14.【答案】等

【解析】【解答】解：设正四棱锥的高为八,底面边长为a,由题意可知(0,6),

I21后+（学J=I2

,21

解得h=V=-^a2h=x2（Z2-/i2）h=

6§

=32（3-八）2+（学）=32

97

可（joh—h2）h=4h2—可心,

V=8h-2h2=2八（4一八）,

当，＞0时，解得he(0,4),V单调递增;

当7＜0时，解得h6(4,+8),V单调递减，所以UWV(4)=等.

故答案为：票

【分析】设正四棱锥的高为心底面边长为a,用h表示正四棱锥的体积，求导利用导数判断其单调性求最值

即可.

15.【答案】⑴解：函数=我一久的定义域为R,/'(%)=——1,

令ro)=o,解得％=i或一1,

当:(久)>0时，久e(—8,—1］或％e口+8),当「(久)<0时，XG(-1,1),

故函数/(久)的单调增区间为(-8,—1］和［L+8),减区间为(—1,1).

(2)解：由(1)得，〃K)在［—3,—1］,［1,2］上单调递增，在［一1,1］上单调递减，

2

由题意得，a-a<f(x)min,/(-3)=-6,/⑴=_|,

故。一。2=一6,解得a4一2或aN3,故实数a的取值范围为(一8,-2］U［3,+8).

【解析】【分析】(1)求函数的定义域以及导函数，利用导数求函数的单调区间即可；

(2)由(1)的结论，求得/(久)的最小值，问题转化为解不等式a-a?〈—6,求解即可.

16.【答案】(1)证明：因为4B=2A4i=4,O为AB中点，所以441=4。=2,

因为D为4。的中点，所以ADJ.A1O,

因为在正三棱柱ZBC—中，&41平面ABC,所以占410C,

因为。为正三角形ABC的边AB的中点，所以AB1OC,

因为所以。Cl平面414B,所以。C1ZD,

因为&OCOC=。，&。u平面&0C,。。u平面&0C,

所以AD_L平面&0C.

(2)解：取&Bi的中点为。1连接。0「则。。"/44「

所以。Oil平面ABC,因为ZB1OC,所以OB,OC,001两两垂直，

以直线OB,OC,。。1分别为x,y,z轴建立空间坐标系，

所以4(—2,0,0),41(一2,0,2),D(—1,0,1).所以由(1)得，同=(1,0,1)为平面40C的法向量.

B(2,0,0),C(0,2V3,0),

所以西=(-4,0,2),=(-2,273,0),

设平面ABC的法向量为元=(x,y,z),

所以｛W；盛;2,不妨令%=i,则元=7,2).

\AD-n\33V6

所以平面4BC与平面&0C夹角的余弦值为两而=0厝=-g-.

【解析】【分析】(1)由题意，根据线面垂直的判定定理证明即可；

(2)以。点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.

17.【答案】(1)解：若m=2,由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负,

所以A两局得分之和为5的概率为以x0.2X0.5=0.2.

(2)因为在一局比赛中A获胜，打成平局和战败的概率分别为0.5,0.3,0.2,

所以在一局比赛中B获胜，打成平局和失败的概率分别为0.2,0.3,0.5,

若巾=3,则X的可能取值为0,3,6,9,12,

P(X=0)=0.5x0.5=0.25,

P(X=3)=屐x0.3x0,5=0.3,

P(X=6)=0.32+废x0.2X0,5=0.29,

P(X=9)=屐*0.2X0,3=0.12,

P(X=12)=0.22=0.04,

所以X的分布列为

X036912

p0.250.30.290.120.04

【解析】【分析】(1)血=2,由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负，由此求A两局得分之和

为5的概率即可；

(2)在一局比赛中B获胜，打成平局和失败的概率分别为0.2,0.3,0.5,血=3时，X的可能取值为0,3,

6,9,12,分别求出相应的概率，再求分布列即可.

18.【答案】⑴解：因为直线久=刍与C交于A,B两点，且|AB|=4,所以2P=4,所以p=2.

(2)解：由已知得，F(l,0),设“(久1，%),N(%2，y2)，

由ly可得，y2_4my-4n=0,

(.%=my+n：：

22

所以+y2=4m,yxy2=-4n,/=16m+16n>0=>m+n>0,

因为以MN为直径的圆经过F,所以由•前=0,所以Qi-1)(久2-1)+y，2=。，

即(myi+n—l)(my2+n—1)+y1y2=0，

2

所以(而+l)y1y2+m(n—l)(yt+y2)+(n—l)=0,

=4m222

将+y2>%丫2=一4几代入得4m2=n-6n+1,4(m+n)=(n-l)>0.

所以n丰1,且n2-6n+1>0,解得九>3+2/或n<3-2a,

因为14n＜9,所以3+2&WnW9,

设点F到直线MN的距离为d,

ST』=?0-1)2=n2-2n+l_I4(71-1)

所以d

2222

1+m4+4mAn—6n+5\n—6n+5

令n—1=te[2(心+1),8],

所以八？卜工=2

G[2V2,2(V2+1)].

【解析】【分析】(1)由题意，可知|AB|=2p,结合题意即可求p；

4n

(2)设时(久1，无)，N(x2,y2),联立直线与抛物线的方程，由韦达定理可得以+为=4M，=~＞将问

题转化为两•前=0,即(%i-1)(尤2-1)+%%=。，结合1W几W9求出n的取值范围，再根据点到直线的

距离公式求得d=21+，利用换元法求解即可.

\nVz—6n+5

19.【答案】(1)解：由题意知qs+i=，又匕＞。＞0,可得|q「+i=，＞1，

所以忖产1＞1，又s+1是正偶数，所以|q|＞l.

(2)证明：设等差数列a,b,c的公差为d,由题意得好+1=2=生虫，qt+i=ca±2dt