海南某校2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试题（解析版）

2024-2025学年度第一学期期末考试

高二数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时

间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

第I卷（共58分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设数列｛%｝的前〃项和S”="+1,则"6的值为（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【解析】

【分析】利用4=二。C求解即可.

[Sn-Sn^,n>2

【详解】4=62+1=37,$5=52+1=26,

故4=毛-$5=37-26=11.

故选：D

2已知函数/（%）及其导函数/'（力满足/（x）=lnx—则广⑴=（）

111

A.-B.0C.；D.-

423

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，对原式进行求导，然后令x=l,代入计算，即可得到结果.

【详解】因为=则/（力=工—3/'（1）

X-

令x=l,则/''（I）=1—3/'。），解得广⑴二；

故选:A

3.已知｛4｝为等差数列，前〃项和为S“，且q=2,品=%+18,则4=（）

A.54B.45C.23D.18

【答案】C

【解析】

【分析】设等差数列｛4｝的公差为2,依题意由等差数列求和公式及通项公式求出2,从而得解.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

因为q=2,S3=%+18,

所以3x2+3d=2+d+18,解得d=7,

所以%=q+3d=2+3x7=23.

故选：C

4.已知S“是正项等比数列｛4｝的前〃项和，且q+%=82,4a4=81，则工=（）

A.212B.121C.168D.186

【答案】B

【解析】

【分析】由条件结合等比数列性质求出％,生，再列方程求出数列的公比4,利用等比数列求和公式可求项.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,因为数列｛4｝为正项等比数列，所以q>0,

因为％〃4=4。5,又。2。4=81，所以％%=81,

=816Zi—1

因为〃1+〃5=82,所以｛或｛,

〃5=1=81

a.=81｛a=811

若<―贝叫]4/解得。i=81,q=-,

。5=1a、q—13

60-081x0一

所以§5=△-4=—<广4"=121,

”qi-l

3

%a,==811'则|—1

若4O1，解得。I=1,9=3,

axq=81

%(1—4。1x(1—243)]?]

所以原=

i—q1-3

综上工=121.

故选：B.

5.若％=1是函数〃力=(%2+依—1)L1的极值点，则/(%)的极大值为()

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

【答案】C

【解析】

【分析】先根据极值点，求出参数。，再据此求导，讨论单调性，求得最大值.

【详解】因为/。)=(/+以—1把1,

故可得了'(无)=(2x+a)e*T+(%2+ax-l)e*T=e*T[无？+(a+2)尤+a—i],

因为x=l是函数/(月=(/+奴—De-的极值点，故可得了'(1)=0,

即2a+2=0,解得a=—1.

此时((x)=e*T(J+x_2)=e*T(x+2)(x-l)

令/'(x)=0,解得石=—。彳2=1，

由/'(尤)>0可得无<一2或1>1；由/'(x)<0可得一2<X<1,

所以/(力在区间(-*-2)单调递增，在(-2,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，

故/(%)的极大值点为x=—2.

则/(%)的极大值为/(-2)=(4+2-l)e-3=5e-3.

故选：C.

6.已知函数/(%)=。d—111%在区间(2,3)上单调递增，则实数。的最小值为()

.011

A.e~B.2e02C.D.—

【答案】C

【解析】

【分析】根据单调性将问题转化为了'(x)=ae-工20在(2,3)上恒成立，分离参数，构造函数

g(x)=胧”,]«2,3),利用导数求解单调性得最值求解.

【详解】由于/(%)=g,—111%在区间(2,3)上单调递增，故/'(力=”1—工20在(2,3)上恒成立，显然

X

〃>0,所以xe'N—，

a

设g(x)=AeX,x«2,3),所以g'(x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(2,3)上单调递增，

g(x)〉g(2)=2e?,故2e2z：,即。之力，即。的最小值为，.

故选：C.

7.已知直线/:近―y—2左+2=0恒过定点A,点8为圆。：(%—1)2+(丁—3)2=18上的动点，。为坐标原

点，则VAOB面积的最大值为()

A.10B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出直线过定点A的坐标，再求出圆心坐标与半径，求出|。4|及直线Q4的方程，再求出圆

心到直线Q4的距离，从而求出点B到直线距离的最大值，从而得解.

【详解】由乙一y—2k+2=0,整理为左(x—2)+(—y+2)=0,

x—2=0x=2/、

令<解得彳_2,所以直线/恒过定点4(2,2),

-y+2=o

圆C:(x—1)2+(y—3)2=18的圆心3),半径r=3夜,

如图，|。叫=2拒，直线。4的方程为丁=不

|1-3|I-

则圆心C到直线0A的距离d="+(1)2=72,

则点B到直线OA距离的最大值为圆心C到直线的距离d+厂=夜+3近=40，

111

所以NAOB面积的最大值为一x2J2义4J2=8.

2

故选：D

8.已知实数。/满足e〃+a=lnb+b+2,则下列选项中一定正确的是()

A.b>eaB.b<eaC.b<a+lD.b>a+l

【答案】B

【解析】

【分析】AB选项，令/(x)=x+Inx+2,在(0,+8)内单调递增，由于⑸=/(efl)-2</(ea)得到b<ea;

CD选项，举出反例得到CD错误

【详解】对于AB,令/(x)=x+lnx+2,则/(x)在(0,+8)上单调递增，

由e"+a=lnb+b+2可得lnb+Z?+2=lne"+e"，即FS)=F(e")-2</(e"),

b<ea>故A错误，B正确；

对于C,取a=—3,则/。)=/(e")—2=e"+a=e-3—3<0,且/(l)=3>0,

又在(0,+8)上单调递增，故0<)<1,止匕时>>。+1,故C错误；

对于D,取a=O,则/0)=3+。=1,且/(1)=3>1,

又/(%)在(0,+8)上单调递增，故0<6<1,止匕时〃<。+1,故D错误.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：构造/(x)=x+lnx+2,得到/S)=/(e°)—2</(e"),结合函数单调性得到

b<ea，通过对。赋值举反例即可推得CD错误.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列求导数的运算正确的是()

A.(ln2)f=1B.02—」=2X+4

/\V/

C.(xe,=(x+l)e*D.[sin5J=cosg

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本初等函数的导数和求导法则，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【详解】选项A,因为ln2是常数，所以(In2)'=。，选项A错误；

选项B,根据基本初等函数及导数的求导法则知，=2x+±，选项B正确；

选项C,根据基本初等函数及导数的求导法则知，=ex+xex=(x+l)ex＞选项C正确；

选项D,根据复合函数的求导法则知，fsin^=-cos^,选项D错误.

I22

故选：BC.

22

10.己知椭圆C：土+匕=1的左、右焦点为耳，歹2,点尸在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则

63

下列关于片鸟的说法正确的有()

A.耳心的周长为2(#+6)

B.归耳卜|。耳|的最大值为4

C.当/百尸居=60。时，APHK的面积为出

D.椭圆上存在6个不同的点P,使得APKK为直角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知求出a,b,c的值，结合椭圆的定义，即可判断A选项；由基本不等式结合椭圆的定义，

即可判断B选项；根据焦点三角形面积公式得出面积，即可判断C选项；设|P耳|=相，求出满足

/耳尸8=90。的尸点的个数，即可判断D项.

22

【详解】对于A,由上+二=1得。=6力=6,。=百，

63

AP耳耳的周长为2(痛+6)，故A正确；

对于B,忙耳卜怛耳归㈤叫=a2=6,故B错误；

I2J

ZTQO

对于C,APK6的面积为〃tan与-=3tan3O°=JL故C正确;

对于D,设存在点。使得/耳产工=90。，

设归耳|=根，根据椭圆的定义有加，

因为/耳产工=90。，所以归片「+归与「=闺闾2,

即加2+（2#一加）=（2班），

整理可得rn2—2y/6m+6=0，解得m=屈■

如上图，当点?位于短轴顶点时有忸娟=，2+°2=R,

所以，当/耳尸8=90。时，点尸为椭圆的上下两顶点，则P点有2个；

分别过点耳，玛，作X轴的垂线，此时与椭圆有4个交点，

即满足NPF[F2=90°以及NPFzR=90°的p点有4个.

综上所述，椭圆上有且仅有6个点。使得与耳为直角三角形，故D正确.

故选：ACD.

11.若首项为1的数列｛4｝的前〃项和为S“，且S,+i=2S.+2,则下列结论正确的是（）

A.数列｛邑+2｝为等比数列B.数列｛4｝不是等比数列

C.Sn=2an-2D.｛4｝中存在三项构成等差数列

【答案】AB

【解析】

【分析】由己知得出｛邑+2｝是以2为公比的等比数列，得出S“和a,,再分别判断各选项即可.

【详解】对于A,由S〃+i=2S.+2得,S„+1+2=2(S„+2),

所以｛S,+2｝是以2为公比的等比数列，首项为1+2=3,故A正确；

对于B,由A知S“+2=3-2"T,即S,=3-2'T—2,

n2n2

当〃22时，an=Sn-=3-2-'-2-(3-2"--2)=3-2-,

1,H=1

所以a.=〈cc"2c，故B正确；

3-2n-2,n>2

对于C,当〃=1时，51=1,2q—2=0,显然2,故C错误；

对于D,取加、“、pGN*,且1(根<“<p,

假设存在am,an,ap能构成等差数列，则2an=am+ap,

则有2・3・2"-2=3-2m-2+3•2。-2，即2"-1=2m-?+2P-2>

所以2"f+i—2人"=1，

〃一"2+1=0

因为21一2°=1，所以<八，与1<机<〃<"矛盾；

p—m=0

m2

假设存在1,4,an能构成等差数列，则2am=l+an,即2.3•29=3.2"-+1，

则3(2"i—2"-2)=1,即2戊一1—2"一2=；,显然当加,〃eN*时无解，

所以｛4｝中任意三项都不能构成等差数列，故D错误；

故选：AB.

第II卷(共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.已知等差数列｛4｝前〃项和为S“，若名>。，«6+«u<0,则S“取得最小值时〃的值为

【答案】8

【解析】

【分析】由等差数列的性质得到。8<0,公差d>0，｛4｝为递增数列，从而得到当〃=8时，S,取得最

小值

【详解】由已知数列｛%｝为等差数列，则&+41=/+。9<0，又。9〉°，所以。8<0,

所以d=%-小〉0，数列｛4｝为递增数列，

则当〃<8时，氏,当〃N9时，>0，

所以当〃=8时，5〃取得最小值.

故答案：8.

22

13.若双曲线与—2T=1（。＞0,/?>0)与直线〉=3工无交点，则离心率e的取值范围是

a2b2

【答案】(i,Vio]

【解析】

【分析】

根据直线与双曲线的位置关系求得。*的关系，结合离心率公式，即可容易求得离心率范围.

【详解】••・若双曲线]—斗=l(a〉01〉0)与直线y=3x无公共点,

ab

bb

等价为双曲线的渐近线y=一%的斜率一,,3,即人<3〃，

aa

即/<9片，即02一口2<9〃2,即段,10〃2,则G,丽4，则6M,

Qe>1,「•离心率满足1<g,JTU，

故答案为：(1,^0].

【点睛】本题考查双曲线离心率的范围，涉及直线与双曲线的位置关系求参数范围，属综合基础题.

兀兀

14.若函数/(x)=cos2x+Qsmx在上存在单调减区间，则实数。的取值范围是________

_36

【答案】(f),2)

【解析】

TTTT

【分析】求出尸(%)=C0sM—4sinx+a),由已知可得/'(%)<。在xe有解，即a<4sinx在

36

7171

xe有解，即可求得实数〃的取值范围.

36

［详解】因为ff(x)=-2sin2x+acosx=Tsinxcosx+acosx=cosx(Tsinx+a),

7171

而工£时，函数/(x)存在单调减区间，

_3o

jrjr

所以/'(%)<。在］£—有解，

36

即(一4sinX+Q)cosxvO有解，

r7i7i

因为cosx>0,所以Tsinx+avO,即〃<4sinx在X£有解，

36

W］

又因为----<sinx<—，所以一2百44sin%(2，所以〃<2.

22

故答案为：(30,2).

四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知函数/(X)=/-3x+a(aeR).

(1)求函数/(尤)的单调递增区间；

(2)若函数/(九)有两个零点，求实数。的值.

【答案】(1)1)和(1,+。)

⑵±2

【解析】

【分析】(1)令/'(%)>。并求出x的范围，即可求函数/(%)的单调递增区间；

(2)根据函数/(力有两个零点，利用函数极大值等于零或极小值等于零列方程即可求实数。的值.

【小问1详解】

因为/(x)=x3-3x+a(aeR),

所以/'(X)=3X2_3=3(X+1)(X_1),

令尸(x)>0,则X<—1或x>l,

所以/(%)的单调递增区间为-1)和(1,+。).

【小问2详解】

由(l)得“力的单调递增区间为(—8,T)和(1,+8).

令/'(x)<0可得—1<X<1,/(光)的单调递减区间为(—1,1),

当天=—1时，“X)取得极大值/(—l)=a+2；

当％=1时，/(%)取得极小值/⑴=a—2.

所以若“力有两个零点，则。+2=0或a—2=0,

解得a=±2.

所以a=±2.

16.在①S“=〃2+2〃；②％=70+综=18；③q=3,S5=35这三个条件中任选一个，补充在下面问题

中，然后解答补充完整的题目.

问题：已知等差数列｛a'｝,S”为其前”项和，若.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设"=二一(〃eN*),求证：数列也｝的前“项和4<L

anan+l3

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)an=2n+l

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)选①由%与S”的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；(2)由

(1)可得2==二-丁二，利用裂项相消法证明即可.

2〃+12〃+3

【小问1详解】

若选①：在等差数列｛4｝中，q=S]=3,

22

当"之2时，an-Sn—Sn_x~n+2n-(n-l)-2(n-l)=2n+l,

%也符合，

a”=2〃+1；

若选②：在等差数列｛%｝中,

“3=7

V,

Cl?+。6=18

+2d=7fa=3

C-1。，解得《c

2q+6d=18[d=2

an=+(n—1)J=3+2(〃-1)=2〃+1；

若选③：等差数列｛%｝中,

q=3

4=3

解得'

d—2

an=ax+(n—1)<7=3+2(〃—1)=2〃+1；

【小问2详解】

211

证明：由⑴得'7"=(2〃+1)(2〃+3)

2n+lIn+3

11111

所以]二-----H——L------------------------------<_

"35572n+12n+332〃+33

17.已知抛物线C：y2=4x的焦点为「直线/过点尸(2,1),交抛物线于A、B两点.

(1)若P为AB中点，求/的方程;

⑵求|A同+忸同的最小值.

23

【答案】(1)y=2x—3(2)—

4

【解析】

【分析】(1)方法一：利用点差法求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意验证所求直线与抛物

线有两个交点；

方法二：设中点弦所在直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求中点弦所在直线

斜率，再根据点斜式得结果；注意考虑中点弦直线斜率不存在的情况是否满足题意；

(2)由抛物线的定义转化|A4+忸同=%+/+0,方法一：设直线/：y-l=k(x-2),与抛物线方

程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，注意比较直线斜率不存在的情况|人司+忸目的值；方法

二：设直线/：x-2=t(y-l),与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，此种设法

已包含直线斜率不存在的情况.

【详解】解：⑴方法一：设A（XQJ,B（x2,y2）,Xj*%2,则城=4菁,

,,y,-y4

—%,化简得9

因为AB的中点为P（2,l）,%+%=2,

，左AB=K=2,..•/的方程为y—l=2（x—2）,即y=2x—3.

经检验，符合题意.

方法二：设A&,%）,53%），

当斜率不存在时，显然不成立.

当斜率存在时，设直线/：y-l=k（x-2）,显然左wO,

由<,「1=左（》—2）得上2彳2_（4左2_2左+4）x+（2左一Ip=0

、yx

曰/rrtAC\4k2—2左+4

易知A>0,xx+x2-------------,

K

因为AB的中点为P（2,l）,.•.%+々=4,即丝一手上=4,

解得左=2,；./的方程为y=2x—3

（2）方法一：由抛物线的定义可知|人尸|+忸同=%+%+。

当斜率不存在时，直线/：x=2,.•.|AF|+忸同=6

当斜率存在时，设直线/：y-l=k(x-2),显然左wO,

由,y~1=k^X~2\^k2x2-(4k2-2k+4)x+(2k-l)2=0,

、yx

易知A>0,

,%+%2+〃=

.j=4时，|4司+忸司的最小值为

23

综上，|AF|+忸周的最小值为才

方法二：由抛物线的定义可知|Ab|+忸同=%+/+0

显然直线/不平行于x轴，设直线/：x-2=t(y-\),

x—2=%(y—1)9/\

由,241/得y_4疗+4«_2)=0,

易知△>(),二%+为=4/,%%=々-8,

,Y+Y+〃_弁+第+2_5+%)2—2乂%+2

..X十X。十〃——---1----rZ----------------rZ

]-444

=4产—2/+6=4(.—11

123

.」=1时，|A同+忸司的最小值为j

【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系；考查数形结合、分类讨论以及函数方程等数

学思想；考查逻辑推理、直观想象以及数学运算等核心素养.

、伉,+1,“为奇数

18.已知数列｛(4｝满足％=l,a.+i=｛小便将■

[2%,“为偶数

(1)记2=4”,写出片也也也，并猜想数列也｝的通项公式；

(2)证明(1)中你的猜想；

(3)若数列｛4｝的前"项和为S“，求邑，.

【答案】(1)4=2也=5也=11也=23,猜想〃=3X2"T—1

(2)证明见解析⑶$2'=3x2"+i-3〃-6

【解析】

【分析】⑴根据｛«„｝的递推关系式及首项，写出4，%，%，L,小，进而求得久,瓦力3力4，根据推导过程及各项

即可猜想其通项公式；

⑵因为2=。2“，所以找到。2.+2和。2”的关系，即%与口的关系，对式子进行配凑，可发现也+1｝是以3为

首项,2为公比的等比数列,即可得｛勿｝的通项公式；

⑶根据=2aa*，可得a2n_x=2b,i，将S2”写为(6+%---。24-1)+(4+%----)，再将

=包代入，可得S2“=3(4+4+…+*)+4+4,将a=3X2"T_I代入,再利用等比数

列的求和公式即可得昆,「

【小问1详解】

由您知4“+]=，c斗＞便料，

、2a〃,“为偶数

因为4=1,所以4=g=%+1=2,

%=2a2=4,4=%=%+1=5,

=a

a5—2%=10也6=4+1=11，

%—2a6=22,d=cig=%+1=23,

综上:伪=2也=5也=11也=23,

猜想a=3X2"T-1

【小问2详解】

由题意，知。2.+1=，。2"+2=。2"+1+1，代入得。2"+2=242”+1,

于是。2”+2+1=2a2"+2,即bn+1+1=2（b"+1）,

因为2+1=3,所以也+1｝是以3为首项,2为公比的等比数列,

故么=3x2"T—1.

【小问3详解】

a

因为%,1=2（»-i）+i=2a2（”-i）=2bti_i,

+Ct

S2n=(4+g+・一+。2"-1)+(。24H^一+fl2„)

=(4+绞+2打+…+2优-i)+(4+b2H—+优)

=3伯+b2+---+bn_l)+bn+q

=3(3X2°+3X21+---+3X2,J-2-(H-1))+3X2,!-1-1+1

=3(3X2°+3X21+-..+、3X2"-2-(H-1))+3X2,!-1-1+1

(n-1)+3X2"T

7

=3x2,!+1-3/7-6.

19.设函数/(尤)=ln(x+l)—ta,aeR,曲线y=/(x)在原点处的切线为x轴,

(1)求。的值；

V2

(2)求方程/(X)=—二―的解;

x+2

(2024V023-5

(3)证明:<6<[2023J

2022

【答案】(1)a=l

(2)x=Q

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意可知/(%)在％=0处的导数值为0,解方程即可；

2x

(2)构造函数g(x)=ln(x+l)———,利用导数证明其单调性，再通过观察法得尤=0是g(x)的零点,

x+2

从而得解；

202411(11

(3)利用(2)中结论证明In——>---------,再构造函数〃(x)=lnx——x——,利用导数证得

20232023.52(x

20231

，从而赋值证得In<---------由此得证.

20222022.4

【小问1详解】

因为/(x)=ln(x+1)-or(%>-1),

所以/‘(x)=」——a,

x+1

因为曲线y=/(x)在原点处的切线为x轴，所以尸(0)=1-。=0,即。=1.

【小问2详解】

1*22无

方程/(%)=—可化为ln(x+1)---------=0,

x+2x+2

2T

令g(%)=ln(x+l)--------(x>-1),

x+2

则g，(x)=J______J=22)2-…)=

>0,

x+1(