函数 综合提升卷-2025年中考数学一轮复习（全国版）

函数综合提升卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（2024•河北•中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某折

扇张开的角度为120。时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为浒时，扇面面积为S.,若m=今,则相与几关系

的图象大致是（）

【答案】C

【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为R,根据扇形的面积公式表示

出兀R2=3S,进一步得出Sn=^=稳，再代入爪=当即可得出结论.掌握扇形的面积公式是解题的关键.

【详解】解：设该扇面所在圆的半径为凡

S—12O7T/?2_7lR2

3603

・,•汗R2=3S,

•.•该折扇张开的角度为心时，扇面面积为％,

._nnR2_________________QC—NS

金c一市广旃X兀R-3V60X3S-120,

・•.?n是ri的正比例函数,

vn>0,

它的图像是过原点的一条射线.

故选：C.

2.（2024•江苏镇江・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点4（犯0）且垂直于x轴的直线/与反比例函

数y=-5的图像交于点B，将直线/绕点B逆时针旋转45。，所得的直线经过第一、二、四象限，则根的取值

范围是（）

A.zuV-2或m>2B.-2<?nV2且mWO

C.-2<mV0或租>2D.m<-2或0<m<2

【答案】C

【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论.

当4在原点右侧时，B点坐标为（科三），设旋转后的直线的解析式为：y=-x+b,得到力=小一\=吟1

>0,求出加>2；当4在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：y=-x+b',〃=近a>0,求出

m

-2<m<0,即可得到血的取值范围.

_4

【详解】解：当a在原点右侧时，B点坐标为（犯募）,

直线，绕点8逆时针旋转45。，

•••所得的直线与直线y=-x平行，

设这条直线的解析式为：y=-x+b,

・••这条直线经过第一、二、四象限，

b>0,

B在直线y--x+6上，

4

・•・—m+b=——,

vm>0,

2

・•.m-4>0,

m>2；

当a在原点左侧时，

设这条直线的解析式为：y=-x+b',

同理："=竺匕>0,

m

m<0,

•••m2-4<0,

—2<m<2,

•・,m<0,

—2<m<0.

血的取值范围是—2<m<0或TH>2.

故选：C.

3.(2024•山东青岛•中考真题)二次函数丫=曲2+族+©的图象如图所示，对称轴是直线x=-l,则过点

M(c,2a—b)和点N(b2_4ac,a—6+c)的直线一定不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于)，轴的正半轴得到c>0,根

据对称轴计算公式得到b=2a,即2a—b=0,则M(c,2a-b)在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限,

得到当％=-1时，y=a-b+c>0,再由二次函数与x轴无交点，得到△=d-4ac<0,则点N

(b2—4ac,a-6+c)在第二象限,据此可得答案.

【详解】解：••,二次函数与y轴交于y轴的正半轴，

.,.C>0,

・•・对称轴是直线X=-1,

；.b=2a,

.■.2a—b=0,

••・M（c,2a—b）在x轴正半轴上；

•••二次函数顶点在第二象限，

二当x=-1时，y=a—b+c>0,

・•・二次函数与x轴无交点，

=fo2—4ac<0,

:・点'（/—4的。—b+c）在第二象限，

二经过点M（c,2a-b）和点可（庐_4叫（1-6+c）的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，

故选：C.

4.（2023•江苏南通・中考真题）如图①，△ABC中，Z.C=90°,AC=15,BC=20.点。从点4出发沿折线

A-C-B运动到点B停止，过点。作DE14B,垂足为E.设点。运动的路径长为久，△BDE的面积为y,若y与

工的对应关系如图②所示，贝必-6的值为（）

【答案】B

【分析】根据点。运动的路径长为x,在图中表示出来，设4E=z,BE=25-z,在直角三角形中，找到等量

关系，求出未知数的值，得到△8DE的值.

【详解】解：当x=10时，由题意可知，

AD=10,CD=5,

在Rt2\CDB中，由勾股定理得BO?=C£）2+BC2=52+202=425,

设4E=z,BE=25-z,

22

BE—（z—25）2=Z—50Z+625,

在RtzXADE中，由勾股定理得DE?=力。2一力石2=100-z2,

在Rt^DEB中，由勾股定理得B〃2=DE2+BE2,

即425=100-z2+z2-50z+625,

解得z=6,

••.DE=6,BE=19,

•1•a=SABDE=1x19X8=76,

当x=25时，由题意可知，CD=BD=10,

设BE=q/E=25—q,

AE2=(25-q)2=625—50q+q2,

在Rt△CZM中，由勾股定理得力。2=4c2+CD2=152+102=325,

在Rt△BOE中由勾股定理得OB?=BD2-BE2=100-q2,

力中，由勾股定理得4。2=。/+力石2,

即325=100-q2+625-50(?+q2,

解得q=8,

・•.DE=6,

b=S^BDE=5X6x8=24,

.・.a-b=76-24=52.

故选：B.

【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题.

5.（2023•湖北十堰•中考真题）已知点在直线y=3%+19上，点8（%2，y2>C（%3,y3）在抛物线丫=%?

+4%-1上，若yi=丫2=丫3且％1<%2<%3，则%1+%2+%3的取值范围是（）

A.-12V/+冷+巧<-9B.-8V工1+亚+^V-6

C.-9<%]+犯+%3VoD.-6<巧+型+%3Vl

【答案】A

【分析】设直线y=3x+19与抛物线旷=公+4%-1对称轴左边的交点为「，设抛物线顶点坐标为Q,求得其

坐标的横坐标，结合图象分析出句的范围，根据二次函数的性质得出血+与=2X(-2)=-4,进而即可求

解.

【详解】解：如图所示，设直线y=3x+19与抛物线丫=/+轨-1对称轴左边的交点为「，设抛物线顶点坐

标为Q

解得:{[力或启喜

•••P(—5,4)，

由y=/+4%—1=(%+2猿一5,则jQ(-2,-5)，对称轴为直线％=—2,

设m=yi=丫2=丫3，则点4SC在y=TH上,

"1=72=%且，V冷〈酒，

.•〃点在P点的左侧，即久1<一5,X2<-2<%3,

当m=-5时，x2=%3

对于y=3%+19,当y=-5,x=-8,此时％]=-8,

一•％]>—8,

•••—8V<—5

•・・对称轴为直线％=-2,则％2+与=2X(-2)=-4,

+%2+%3的取值范围是一12<%1+%2+%3V-9,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键.

6.(2023•浙江衢州•中考真题)已知二次函数y=ax2-4ax(Q是常数，Q<0)的图象上有人⑺心)和8(2瓶)2)

两点.若点4B都在直线y=-3a的上方，且外>及，则根的取值范围是（）

3443

A.1<m<-B.-<m<2C.-<m<-D.m>2

【答案】C

【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与久轴的交点和二次函数的性质，即可解答.

【详解】解：a<0,

・•・y=-3a>0,

,・•点48都在直线y=-3。的上方，且丫1>丫2，

可列不等式：4am2-8am>-3a,

va<0,

可得47712—87?!+3<0,

设抛物线yi=4m2—8m+3,直线%1=0,

・•・4m2-8m+3<0可看作抛物线y】=4m2-8m+3在直线y1=0下方的取值范围，

当月=。时，可得0=47n2—8m+3,

解得叫==I，

v4>0,

2

・•・yr=4m-8m+3的开口向上，

•••4m2-8m+3<0的解为g<m<|,

根据题意还可列不等式：am2—4am>4am2—8am,

a<0,

2

:，可得仅2—47n<4m—8m,

整理得一3血2+4m<0,

设抛物线丫2=-3m2+4m,直线久2=。，

-3m2+4m<0可看作抛物线y2=-3m2+4zn在直线y2=。下方的取值范围，

当丫2=。时，可得。=-3m2+4m,

解得mi=0,m2=3

,*,—3V0,

:，抛物线=-37n2+4?n开口向下,

-3m2+4m<0的解为m<。或m>

综上所述，可得（V7nv|,

故选：c.

【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是

解题的关键.

7.（2023•江苏宿迁•中考真题）如图，直线y=£+l、y=与双曲线y=>0）分别相交于点人B、C

、D.若四边形4BCD的面积为4,贝牍的值是（）

VA

【答案】A

【分析】连接四边形力BCD的对角线力C、BD,过。作DElx轴，过C作CF，X轴，直线y=x-1与x轴交于点

M,如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形2BCD是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角

坐标系中三角形面积求法，确定S^COD=；S四边形4BC。=1-（DE+CF），再求出直线y=X-1与X轴交

{V=x—1

yj求出C、。纵坐标，代入方程求解即可得到答案.

【详解】解：连接四边形4BCD的对角线AC、BD,过D作轴，过C作CFlx轴，直线y=x-l与x轴交

于点M,如图所示：

根据直线y=%+1、y=%-1与双曲线y=抽＞0)交点的对称性可得四边形/BCD是平行四边形，

SMOD=4S四边形/BCD=1=,(DE+CF)，

直线y=%-1与支轴交于点M,

・••当y=0时，%=1,即M(i,o)，

k

丫=》-1与双曲线丫=式左＞0)分别相交于点。、D,

,即y=S-l，则/+y_k=O,由k＞0,解得y=

....x1x［淤叵_(-1-严力=1,即两1=2,解得k=9，

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系

中三角形面积求法是解决问题的关键.

8.(2023•辽宁鞍山•中考真题)如图，在矩形2BCD中，对角线4C,BD交于点。，AB=4,BC=4百，垂直

于8c的直线MN从48出发，沿BC方向以每秒百个单位长度的速度平移，当直线MN与C。重合时停止运动，

运动过程中MN分别交矩形的对角线于点£,F,以EF为边在MN左侧作正方形EFGH,设正方形EFGH

与△AOB重叠部分的面积为S,直线MN的运动时间为ts,则下列图象能大致反映S与/之间函数关系的是

N

【答案】B

【分析】求出MN在。点左侧时的两段图象，即可得出结论.

【详解】解：当MN在。点左侧，即：t<2时：

①当正方形EFGH的边GH在△AOB的外部时，重叠部分为矩形，如图:

设分别交于点/,K,

•••垂直于BC的直线MN从4B出发，沿BC方向以每秒百个单位长度的速度平移,

:.IE—FK=V3t>

•.•在矩形4BCD中，AB=4,BC=4百,

■■AC=JAB2+BC2=8,

：.0A=OB=4=AB,

・・.△ZB。为等边三角形，

：.Z-OAB=匕OBA=60°,

.,.AI—BK=IE+tan60°=t,

.・./K=4-23

...S=IK-IE=V3t(4-2t)=-2V3t2+4百t,图象为开口向下的一段抛物线;

②当正方形EFGH的边GH在△20B的内部时，与△40B重叠部分即为正方形EFGH,如图:

由①可知：EF=IK=4—2t,

；.S=（4—2t）2,图象是一段开口向上的抛物线；

当MN过点。时，即t=2时，E,F重合，此时，5=0；

综上：满足题意的只有B选项，

故选B.

【点睛】本题考查动点的函数图象问题.解题的关键是确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想

进行求解.

9.（2023•山东日照•中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为"数学王子"，据传，他在

计算1+2+3+4+…+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到

1+2+3+4+-+100=100x^+100）.人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+…+n=当也（〃是

正整数）.有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点其中i=1,2,3，…园…，且4%是

整数.记an=xn+%，如41（0，。）,即%=0,42（1，°），即=1，4（1尸1），即&3=0,…，以此类推.则下列

结论正确的是（）

c22n6D

A.a2023=40B.a2024=43-«（2n-i）=--%2„一1）2=2n—4

【答案】B

【分析】利用图形寻找规律4（2-1）2（＞-1刀-1）,再利用规律解题即可.

【详解】解：第1圈有1个点，即41（0,0）,这时的=0;

第2圈有8个点，即4到&（L1）;

第3圈有16个点，即力io到力25（2,2），;

依次类推，第〃圈，X（2n_1）2（n-l,n-l）；

由规律可知：&2023是在第23圈上，且42025122,22）,则须^磔印）即£^023=2。+22=42,故A选项不

正确；

4024是在第23圈上，且42024（21，22）,即（12024=21+22=43,故B选项正确；

第〃圈，A（2n2（n—l,n—1）,所以a⑵I、2=2?I—2,故C、D选项不正确；

故选B.

【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键.

10.（2023・湖北黄冈•中考真题）已知二次函数y=a/+6%+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为

（-1,0）,对称轴为直线x=L下列论中：①a-b+c=0；②若点（一3/1）,（2必），（4,乃）均在该二次函数图

象上，则＞1＜、2＜乃；③若加为任意实数，则a/+cW-4a；④方程a/+b久+c+1=。的两实数

根为久1，*2，且巧＜利，则正确结论的序号为（）

A,①②③B.①③④C.②③④D.①④

【答案】B

【分析】将（-1,0）代入y=a/+bx+c,可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线

的顶点坐标可判断③；根据y=a/+族+。+1的图象与x轴的交点的位置可判断④.

【详解】解：将（一1,0）代入y=a/+6%+心可得a-b+c=0,

故①正确；

二次函数图象的对称轴为直线x=1,

・'•点（-3,%）,（2,〉2），（4,乃）到对称轴的距离分别为：%工，3,

a＜0,

•••图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，

、1＜%＜丫2，

故②错误；

••・二次函数图象的对称轴为直线x=-4=1,

2a

•'»b——2Q,

又•・,a—b+c=0,

••・a+2a+c=0,

c——3a,

：•当第=1时，y取最大值，最大值为y=a+b+c=a—2a—3a=-4a,

即二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象的顶点坐标为(1,-4a)，

;若加为任意实数，贝!JajM+6血+c<-4a

故③正确；

二次函数图象的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),

•••与%轴的另一个交点坐标为(3,0),

"y=a-+必+c(a<0)的图象向上平移一个单位长度，即为y=a/+bx+c+1的图象，

、=以2+法+。+1的图象与；(；轴的两个交点一个在(一1,0)的左侧，另一个在(3,0)的右侧，

二若方程a-+》％+c+1=0的两实数根为巧,％2，且尤1<%2，则1,刀2>3，

故④正确；

综上可知，正确的有①③④，

故选B.

【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数

与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.(2024•四川绵阳•中考真题)如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点,

【详解】试题分析：・••四边形ABCO是平行四边形，。为坐标原点，点A的坐标是(6,0)，点C的坐标是

(1,4),.-.BC=OA=6,6+1=7,••.点B的坐标是(7,4)；故答案为(7,4).

考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质.

12.（2023・山东•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点48在反比例函数y=々久>0）的图象上.点4

的坐标为（犯2>连接。4OB/B.若。力=4B/O4B=90。，贝妹的值为

【答案】2V5-2/-2+2V5

【分析】过点2作CD，y轴于点D,过点B作BCJ.CD于点C,证明△02。三△C84进而根据全等三角形的

性质得出ZM=CB/C=。。，根据点4（血,2），进而得出8（2+巾,2-巾），根据点48在反比例函数）/=50>0）

的图象上.列出方程，求得小的值，进而即可求解.

【详解】解：如图所示，过点4作轴于点。，过点B作BC1CD于点C,

.-.ZC=乙CDO=90°,

■：OA=AB./.OAB=90°,

.-./.DAO=90°-/.CAB=Z.CBA

△DAO^△CBA

：.DA=CB,AC=OD

,•,点4的坐标为(m,2>

：.AC=OD=2,AD=BC=m

••・8(2+m,2—m)

••,43在反比例函数y=-（%>0）的图象上,

•■-2m=（2+m）（2—m）

解得：771=返一1或巾=一近一1（舍去）

.-.k-2m=2V5—2

故答案为：2代-2.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点B的坐标是解题的关键.

13.（2023•四川南充・中考真题）如图，直线y=fcv—2k+3（k为常数，k<0）与x,y轴分别交于点4

【分析】根据一次函数解析式得出。力=牛，OB=—2k+3,然后代入化简即可.

【详解】解：y=kx-2k+3,

.•.当y=0时，%=--+2,当x=o时，y=-2k+3,

.•・。4=一。+2=竽，OB=-2k+3,

kk

.23_23_2k3_2k-3_

句证=个门=罚—药=咫='

故答案为：1.

【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.

14.（2023•江苏泰州•中考真题）二次函数y=/+3%+n的图像与x轴有一个交点在〉轴右侧，则〃的值

可以是（填一个值即可）

【答案】-3（答案不唯一）

【分析】根据根与系数的关系即可求解.

【详解】解：设二次函数丫=/+3%+几的图象与%轴交点的横坐标为勺、x2,

即二元一次方程/+3久+n=0的根为修、物，

由根与系数的关系得：％1+%2=—3,-%2=n>

"一次函数y=x2+3%+ri的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，

，X],必为异弓,

•••n<0,

故答案为：-3(答案不唯一).

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用.

15.(2023・江苏无锡・中考真题)二次函数y=a(久-l)(x-5)(a>m的图像与x轴交于点4、B,与y轴交于

点C,过点M(3,1)的直线将△4BC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，贝心的值

为.

【答案】卷或喈或空

【分析】先求得4(1,0),B(5,0)，C(0,5a)，直线BM解析式为y=+1,直线AM的解析式为y=|•久一，

1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1,直线4M过BC

中点，②如图2,直线过4c中点，直线BM解析式为丫=一9+|,AC中点坐标为G，|a),待入直线求得

a=/；③如图3,直线CM过48中点，4B中点坐标为(3,0),直线MB与y轴平行，必不成立；2)当分成三

角形和梯形时，过点M的直线必与aaBC一边平行，所以必有2"型相似，因为平分面积，所以相似比为1:

V2.④如图4,直线EMII4B,根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5,直线ME||AC,⑥如图

6,直线ME||BC,同理可得嗡=7,进而根据tanNMEN=tan480,即可求解.

AbV2

【详解】解：由y=。(%—1)(%—5),令久=0,解得：y=5a,令y=0,解得：xr=l,x2=5,

•••/(L0)，%,0)，。(0,5办

设直线解析式为y=kx+b,

j5fc+b=0

-I3fc+&=1

(k=--

解得：52

I2

・,・直线解析式为y=-9+1，当久=0时，y=|,则直线与y轴交于(o,3，

1

,•,a>

•,•5cz>

・•・点M必在△45C内部.

1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线

设直线的解析式为y=TH%+荏

C/c+/?=0

•',13/c+b=1

c1

解得：21

则直线AM的解析式为y=

①如图1,直线AM过BC中点，，

BC中点坐标为（l，|.，代入直线求得a=2。，不成立;

②如图2,直线BM过4C中点，直线BM解析式为y=-%+5,AC中点坐标为（工/，待入直线求得a=《；

③如图3,直线CM过48中点，48中点坐标为（3,0）,

•・•直线MB与y轴平行，必不成立；

2）、当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△4BC一边平行，所以必有"4"型相似，因为平分面积，所

以相似比为1：后

④如图4,直线EM||AB,

：.△CENCOA

CE_CN___

'''CO~~CA~

5a-l1

:F~二G

解得a=嗒；

图6

.嗡=专，又4B=4,

■■-BE=2V2,

■：BN=5-3=2<2vL

二不成立;

Ap1

⑥如图6,直线MEIIBC,同理可得标后

■■.AE=2V2>NE=2五一2,tan/MEN=tan/CB。,

•/J，解得a今

综上所述，。=2或喈或与1.

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识,

并分类讨论是解题的关键.

16.(2023•四川内江•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对

称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F,点、D的对应点B恰好落在反比例函数y=

(x<0)的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A.若点N为0E的中点，且S.4F=；，则k的值为

【分析】连接B0,设ZG=EG=a,由对称的性质知EC=4。=4E=2a,AC=EO=4a,利用相似三角形

的判定和性质求得S^EOD=5X16=2,则S&4cB=2,根据SMCB=SAACB+S2”以及反比例函数的几何

意义求解即可.

【详解】解：连接B。,

设对称轴MN与x轴交于点G,

■:△ODE与△CB2关于对称轴MN,

.-.AG=EG,AC=EO,EC=AO,

,・•点/为。E的中点，

设4G=EG=a,则EC=AO=AE=2a,

.,.AC=EO=4a,

,:S&EAF~4f

._1_1

:，S4EGF=5s△£•//?=8»

-GF||0D9

：.AEFG~AEDO,

,•・舞=(第'即以w=(5'

1

,♦,SAEOD=gx16=2,

=2，

'：AC=4a,AO=2a,

4OCB=^AACB+S&AOB=2+1=3

,,敬|=3,

vfc<0,

/.fc=—6,

故答案为：-6.

【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、相似三角形的判定和性质、反比例函数的定义等内容，

解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等,

本题蕴含了数形结合的思想方法等.

三.解答题(共9小题，满分72分)

17.(6分)(2024•山东青岛•中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点4(0,8),点B(6,8).

Fr-----1

⑴尺规作图：在第一象限内求作一个点p,使点p同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹，不必写出作

法)；

①点P到/,B两点的距离相等；

②点P到两坐标轴的距离相等.

⑵在(1)作出点P后，则点P的坐标为.

【答案】(1)见解析

(2)P(3,3)

【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的作法和角平分线的作法；

(1)点「至(|/,B两点的距离相等，即点P在力B的垂直平分线上；点P到两坐标轴的距离相等，即点尸在4"

的角平分线上；

(2)先求出线段4B中点坐标，再根据点P到两坐标轴的距离相等即可求解.

【详解】(1)解：如图,

点P到/,B两点的距离相等，即点尸在4B的垂直平分线上；点P到两坐标轴的距离相等，即点尸在Nxoy的

角平分线上；

(2)解：点力(0,8),点8(6,8),

二线段4B中点坐标为(3,8)，

二点P横坐标为3,

•・•点P到两坐标轴的距离相等，

”(3,3)

18.(6分)(2024・天津•中考真题)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6

km,文化广场离家1.5km.张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min,之后匀速骑

行了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家.下面图中x表示时间，y表示

离家的距离.图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.

请根据相关信息，回答下列问题:

(1)①填表：

张华离开家的时间/min141330

张华离家的距离/km0.6

②填空：张华从文化广场返回家的速度为km/min；

③当0W久W25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；

(2)当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化

广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是多少？(直接写出结果即可)

【答案】(1)①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当0WxW4时，y=0.15x；当4cxW19时，y=0.6；当19<xW25

时，y=0.15x-2.25

(2)1.05km

【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题

意，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)①根据图象作答即可；

②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；

③分段求解，0WXS4,可得出y=0.15x,当4<xW19时，y=0.6；当19<xW25时，设一次函数解析

式为：y=kx+b,把(19,0.6)，(25,1.5)代入丫=左％+6,用待定系数法求解即可.

(2)先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家j/km,则;/=0.075久-0.6,当两人相遇时有

0.15X-2.25=0.075X-0.6,列一元一次方程求解即可进一步得出答案.

【详解】([)解：①画社离家0.6km,张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，

•••张华的骑行速度为66+4=0.15(km/min)-

.•.张华离家lmin时，张华离家0.15x1=0.15km,

张华离家13min时，还在画社，故此时张华离家还是0.6km,

张华离家30min时，在文化广场，故此时张华离家还是1.5km.

故答案为：0.15,0.6,1.5.

②1.5+(5.1-3.1)=0.075km/min,

故答案为：0.075.

③当0WxW4时，张华的匀速骑行速度为0.6+4=0.15(km/min)，

.,.y=0.15%；

当4V%W19时，y=0.6；

当19<%<25时，设一次函数解析式为：y=kx+b,

把(19,0.6)，(25,1.5)代入<=依+儿可得出：

C19fc+b=0.6

I25fc+Z?=1.5'

解得：［b=-2.fs，

.*.y=0.15x—2.25,

综上：当0<久44时，y=0.15x,当4<久<19时，y=0.6,当19V%工25时，y=0.15第一2.25.

(2)张华爸爸的速度为：1.5+20=0.075(km/min)，

设张华爸爸距家ykm,则歹=0.075(X-8)=0.075%-0.6,

当两人从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时，有0.15%-2.25=0.075%-0.6,

解得：x=22,

：-y—0.075(%—8)=0.075%—0.6=0.075x22—0.6=1.05km,

故从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是1.05km.

19.(6分)(2024•山东德州•中考真题)某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋.五子棋比象棋的单价

少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等.

⑴两种棋的单价分别是多少？

(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3

倍.问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？

【答案】⑴五子棋的单价是40元，象棋的单价是48元

(2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元

【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用.理解题意,

找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键.

(1)设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是(x+8)元，根据用1000元购买的五子棋数量和用

1200元购买的象棋数量相等.列出分式方程求解并检验即可；

(2)设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋心副，则购买象棋(30-巾)副，根据购买五子棋数量不超过

象棋数量的3倍，列出不等式，求出加的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的

性质求解即可.

【详解】(1)解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是(％+8)元，根据题意得：

1000_1200

xx+8

解得：％=40,

经检验x=40是所列分式方程的解，且符合题意，

.•-X+8=48.

答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是48元；

（2）解：设购买两种棋的费用为川元，购买五子棋力副，则购买象棋（30-巾）副，根据题意得：

m<3（30-m）»

解得：m<22|,

w=40m+48（30—m）=-8m+1440,

,・,-8<0,

•••W随山的增大而减小，

•••在m<222中，

•••山为正整数，

.•.当爪=22时，w有最小值，最小值为一8x22+1440=1264（元），

则30-22=8（副）

答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元.

20.（8分）（2023•陕西•中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的

拱门的跨度与拱高之积为48m2,还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设

计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PEION,OE=EN.

方案二，抛物线型拱门的跨度。N'=8m,拱高PF=6m其中，点M在式轴上，P'E'1O'N',O'E'=E'N：

要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架48CD

的面积记为Si，点4、D在抛物线上，边BC在。N上；方案二中，矩形框架4B'C'D'的面积记为52，点4,D,

2

在抛物线上，边B'C'在。N'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A8'=3m时，S2=12V2m,请你根据

以上提供的相关信息，解答下列问题：

⑴求方案一中抛物线的函数表达式;

(2)在方案一中，当月B=3m时，求矩形框架4BCD的面积Si并比较Si，S2的大小.

【答案】⑴y=—京2+白

2

(2)Si=18m,S1>S2

【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式.

(1)由题意知抛物线的顶点P(6,4)，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；

2

(2)令y=3可得x=3或x=9,故BC=6m,Sr=AB-BC=18m；再比较Si，S2的大小即可.

【详解】(1)解：由题意知，PE=4m,0E=20N=：x12=6m,

方案一中抛物线的顶点P(6,4)，

设抛物线的函数表达式为y=a(x-6)2+4,

把。(0,0)代入得，0=a(0-6)2+4,

解得：a=

1o1174

y=—(x-6)2+4=—Xz+-x,

•••方案一中抛物线的函数表达式为y=-5/+，；

(2)解：在丫=一，2+?万中，

令y=3得：3=-X2+%;

解得％=3或%=9,

BC=9—3=6m,

・•.Si=AB-BC=3x6=18m2，

18>12V2.

S]>S2-

21.(8分)(2023•四川成者B•中考真题)如图，在平面直角坐标系尤。y中，直线y=一久+5与y轴交于点

A,与反比例函数y的图象的一个交点为B(a,4),过点2作的垂线/.

(1)求点/的坐标及反比例函数的表达式；

⑵若点C在直线/上，且△力BC的面积为5,求点C的坐标；

(3)尸是直线/上一点，连接尸/,以P为位似中心画△PDE,使它与aPAB位似，相似比为加.若点。，E

恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.

【答案】(1)点/的坐标为(0,5),反比例函数的表达式为y=g

⑵点C的坐标为(6,9)或(一4,一1)

(3)点P的坐标为(—1?)；加的值为3

【分析】(1)利用直线y=—x+5解析式可的点C的坐标，将点B(a,4)代入、=一％+5可得。的值，再将

点B代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；

(2)设直线/于y轴交于点由点8的坐标和直线/是4B的垂线先求出点加的坐标，再用待定系数法求

B

直线I的解析式y=x+3,C点坐标为(t,t+3)＞根据SMBC=：AM'\xB-xc\=分别代表点与点。

的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；

(3)位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点3的对应点也在直线/上，不妨设为点则点/的对

应点是点。，直线/与双曲线的解析式联立方程组得到E(-4,-1),由△P4BPDE得到力BIIDE,继而得

到直线2B与直线DE的解析式中的一次项系数相等，设直线DE的解析式是：y=—x+B，将E(-4,_l)代入

y=—x+电求得的解析式是：y=-%-5,再将直线DE与双曲线的解析式联立求得D(—l,—4),再用待定

系数法求出4。的解析式是y=9x+5,利用直线40的解析式与直线I的解析式联立求得点P的坐标为

再用两点间的距离公式得到BP=}5勿=也从而求得爪=葛=3.

【详解】(1)解：令％=0,则y=-x+5=5

点/的坐标为(0,5),

将点B(a,4)代入y=-x+5得：4=-a+5

解得：a=l

••・8(1,4)

将点B(l,4)代入丫芸得：4=号

解得：fc=4

二反比例函数的表达式为y=，

(2)解：设直线/于y轴交于点直线y=—x+5与x轴得交点为N,

令y=—%+5=0解得：x=5

・・・N(5,0),

...O4=ON=5,

又・・N40N=90。，

"OAN=45°

”(0,5),8(1,4)

■■AB=V(l-O)2+(4-5)2=V2

又•••直线l是4B的垂线即N4BM=90°,LOAN=45°,

...AB=BM=瓜AM=y/AB2+BM2=2

设直线/的解析式是：y=k^x+br,

将点”(0,3)，点B(l,4)代入y=/qx+bi得：｛的:巴1,

解得:《口

・•・直线/的解析式是：y=x+3,

设点。的坐标是(3t+3)

"△4BC=%”'\XB-XC\=|x2x|i-t|=5,%,女分别代表点3与点c的横坐标)

解得：t=—4或6,

当t=-4时，t+3——1；

当t=6时，1+3=9,

.•.点C的坐标为(6,9)或(一4,一1)

(3)••・位似图形的对应点与位似中心三点共线，

.••点8的对应点也在直线/上，不妨设为点E,则点/的对应点是点。，

.・•点£是直线/与双曲线y=：的另一个交点，

将直线/与双曲线的解析式联立得：［y=?.

(y=%+3

解得化］或｛二二;

4,—1)

画出图形如下：

又・・•△PABPDE

.\Z-PAB=乙PDE

：.ABWE

・•・直线与直线DE的解析式中的一次项系数相等，

设直线DE的解析式是：y=-x+b2

—

将点E(_4,—1)代入y=-x+久得：-1二(―4)+b2

=

解得：b2-5

・・.直线。E的解析式是：y=—%—5

4

,・,点D也在双曲线y=嚏上，

4

二点D是直线DE与双曲线y=1的另一个交点，

将直线DE与双曲线的解析式联立得：［

(y=­x—5

解得:限二:或限二f

.,.£)(—1,—4)

设直线4D的解析式是：丫=七%+匕3

将点4(0,5),。(一1,一4)代入丫=的％+63得：｛k3bJ=54

解得:出力

・・.直线4。的解析式是：y=9x+5,

又将直线4D的解析式与直线/的解析式联立得：

fx=—7

解得：］if

vy=-

二点尸的坐标为(_1?)

••・BP=J(->11+(卜J=/

EP

•m=而=3Q

【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综

合-几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性

质是解题的关键.

22.(9分)(2024,江苏南通・中考真题)已知函数y=(x-a)2+(x-b)2Q,6为常数).设自变量x取与

时，》取得最小值.

(1)若。=-1,b=3,求%0的值;

21

⑵在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)在双曲线y=-嚏上，且与’.求点P到7轴的距离；

(3)当a2-2a-2b+3=0,且1<久()<3时，分析并确定整数。的个数.

【答案】⑴殉=1

(2)2或1

(3)整数。有4个

【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程.

(1)根据题意代入化简得y=2(x-1)2+8,结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；

(2)结合题意得到b=?，代入二次函数中化简得y=2/+&—2。卜+口2+仁)，利用二次函数的性质求得

a的值，进一步求得点尸，即可知点尸到y轴的距离；

22

(3)结合已知得等式化简得y=2——色2+3)%+a+b,结合&的范围求得a的可能值，即可得到整数a的

个数.

【详解】(1)解：有题意知、=(久+1)2+(%-3)2=X2+2刀+1+%2-6刀+9=2/一4刀+10

=2(%2—2x+1)+8=2(久-1)2+8,

当出=1时，y取得最小值8；

(2)解：•・•点尸(口力)在双曲线丫=一］上，

：・b=?,

•••y=(%—a)2+(%-b)2=(%—a)2+(%+1)

=x2—2ax+a2+%2+—%+(-)

a

=2公+(^-