函数值域的常见求法8大题型（解析版）

函数值域的求法8大题型

函数的值域是函数概念中三要素之一,是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学

的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求,考生在

复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值

域类型的内容。

一、求函数值域的常见方法

L直接法:对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；

2.逐层法:求力（力…九（⑼）型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的

值域；

3.配方法:配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如"y=axx+bx+c（a^0）”或"y=a[f（x）]2+bf

Q）+c（a¥0）”的函数均可用配方法求值域；

4.换元法:利用换元法将函数转化为易求值域的函数,常用的换元有

⑴片—或呼格r的结构,可用换元;

⑵y=ax+b±Vcx~+d（a,b,c,d均为常数，aW0,cW0）,可用uVcx-\-d=力”换元；

⑶"=bx±Ja2—1型的函数,可用,=acosW。e[0,兀]）"或,=asind（。e[―专昼]）”换元；

5.分离常数法：形如片篝普（加¥。）的函数，应用分离常数法求值域，即,=岩普=£+

瓶一吗，然后求值域;

9+9

6.基本不等式法:形如“=姐+。（而>0）的函数，可用基本不等式法求值域,利用基本不等式法求函

数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等"，即利用a+b>2Vab求函数的值域（或最值）时，应满

足三个条件:①a>0,b>0；②a+b（或而）为定值;③取等号的条件为a=b,三个条件缺一不可；

7.函数单调性法:确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）

（1）形如片姐+b—V^+d^ac<0）的函数可用函数单调性求值域；

（2）形如夕=a宓+。的函数，当而>0时,若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数

求解；

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当而<0时，u=+：在（—8,0）和（o,+8）上为单调函数，可直接利用单调性求解。

8.函数的有界性法:形如“=（或、=刀）（其中不为的函数求值域或最值,

cIosm«Z/cIocoSiZzabc0）

可用g表示出sinM或cosrr），再根据一1WsinxW1且sin力W—~1~（或一cosN41且cosxW

―年）,列出关于y的取值范围.

类似地，有:①/=/（以则/⑻>0;②就=%（4）,则九（a）>0；③sin*=g3）,则一14g（y）W1

9.判别式法：形如期=022,+于+。2（aQ#0）或夕=Ac+Bjas^+bx+c（4Ba丰0）的函数求值域,

arx+brX+Ci

可将函数转化为关于x的方程F3y）=0，利用二次项系数不为0,判别式△>0或二次项系数为0,

一次方程有解得出函数的值域。

10.导数法:对可导函数/（c）求导，令/'3）=0,求出极值点，判断函数单调性；

如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；

如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。

二、根据最值条件求解参数范围解题思路

已知函数的最值求参数范围时,要视参数为已知数,结合函数值域（或最值）的求法,得到函数的最值

（含有参数），再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。

题型1单调性法求函数值域或最值

题型5逐层法求函数值域或最值

题型2配方法求函数值域或最值

题型6导数法求函数值域或最值

题型3分离常数法求函数值域或最值

题型7已知函数的最值求参数

题型4判别式法求函数值域或最值

【题型1单调性法求函数值域或最值】

【例1】（2022秋•陕西西安•高三校考期中）函数/㈤=!—2。在区间［1,2］上的最小值是（）

A.——B.C.1D.-1

【答案】A

【解析】:在区间［1,2］单调递减，一2。在区间［1,2］也单调递减，

所以/Q）在区间［1,2］单调递减，因此/din=胆）=春-22=一1■，故选:A

【变式1一1】（2022秋•北京•南三北京市第一六一中学校考期中）已知函数/（⑼=3引+团，则/（⑼的值域

是.

【答案】［1,+8）

【解析】由已知，可得/（―/）=/3）,即函数为偶函数.

又名＞0时，g=e”为增函数，9=/为增函数，

所以，/（2）=ex+x为［0,+8）上的增函数，则/（c）＞/（1）=1

所以，/（N）的值域是［1,+8）.

【变式1一2】（2022春•浙江舟山•赤三校考开学考试）已知①e（0,寺），则函数沙=cost+^（）

A.有最小值4B.有最大值4C.无最小值D.有最大值+8

【答案】C

【解析】旌（0,号）时,COSXE（0,1）,

因为力=cosx在％e（°£）上递减，g=1+*在力£（。,1）上单调递减，

函数g=cos/+1是定义域上的单调增函数，

且g＞1+4=5,其值域是（5,+8）；

所以函数无最大、最小值.故选:C

【变式1一3］（2022•全国•玄三专题练习）函数/㈤=In/+ln（2-x）的最大值为.

【答案】。

【解析】由/（%）=Ina?+ln（2—x）=ln［—（/一1y+1］,且0V力V2,

令t［x）=一（6一I）z+1,/⑶=Int,

即力（2）在0V2V1为单调递增，1VcV2为单调递减，而f（t）为增函数，

・•・/（］）在0V2V1上单调递增，1V力V2上单调递减，/（6）max=/（I）=0.

［变式1一4］（2022秋•江苏苏州通三校琮考阶段练习）已知函数/㈤=等±《是R上的偶函数

（1）求实数小的值，判断函数/3）在［o,+8）上的单调性；

（2）求函数/3）在［-3,2］上的最大值和最小值.

【答案】（1）巾=0,单调递增；（2）最小值击，最大值1

【解析】（1）若函数73）=陪邛是H上的偶函数，则/（—工）=/Q）,

1+力

口。7n（一工）+1_mx+l殿省_八

即（^2~一，解仔馆一°,

1+।（一切1+x2-

所以/（*）=］,12，函数/（0在［°，+8）上单调递减.

1+2；

（2）由（1）知函数/（⑼在［0,+8）上单调递减，

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又函数f3）是R上的偶函数，

所以函数/（为）在（—00,0］上为增函数，

所以函数/Q）在［-3,0］上为增函数，在［0,2］上为减函数.

又/（—3）=击,/（0）=1,八2）=1

所以/（久）.=/（一3）=jg,f（x）max=f（O）=1

【变式1一5］（2022秋•黑龙江牡丹江•高三校考阶段练习）已知函数/Q）=b•罐（a>0,且a¥l）的图象经

过点41,4）,8（3,16）.

（1）求函数/3）的解析式；

（2）设函数gQ）=/（2）（力）2）,求函数gQ）的值域

【答案】（1）/（0=2.；（2）［号,+8）.

【解析】（1）依题意，，而a>°，解得a=2力=2,即有/（工）=2・2"=,

所以函数/3）的解析式是/Q）=2工+］.

（2）由⑴知，g（x）=f（x）-f（-x）=2x+J-2-"+i=2（2-/）,

因函数夕=2。和"=一/在［2,+8）上都单调递增，

因此函数式⑼在［2,+8）上单调递增，g（±）111ax=9（2）=竽，

所以函数g（rr）的值域为［粤，+8）.

【题型2配方法求函数值域或最值】

【例2】（2022秋•江西鹰潭•高三贵溪市实跄中学阶段练习）函数y=J—款+4医—4的值域是.

【答案】{0}

【解析】函数g=J—/+42-4的定义域为一炉+4%一4>0,

化简得：x2—4x+4=（2-2）240,解得：x=2,

所以函数g=J—V+4力一4的值域为{0}.

【变式2—1］（2023•全国•高三专题练习）若函数/（生二^）=』—2+1,则函数g（x）=f（x）~4x的最小

值为（）

A.—1B.—2C.—3D.—4

【答案】D

【解析】因为X，1）=一弓+1="―2”1=所以*①）="①丰1）.

从而g(x)=x2—4x=(x—2)2—4,

当c=2时，g（x）取得最小值，且最小值为一4.故选:D

【变式2—2］（2022•全国•高三专题练习）函数/（0=2+271^的最大值为

【答案】2

【解析】设力=三0），则立=1-t2,

所以原函数可化为：y=-12+2t+l（t^0）,

由二次函数性质，当力=1时，函数取最大值2.

【变式2一3］（2022秋•广东深圳•高三深圳中学校考阶段练习）已知函数/（/）=sina;+cosx+2sincccosrc

+2,则/（c）的最大值为（）.

A.3+V2B.3-V2C.2+V2D.2-V2

【答案】A

【解析】/(劣)=sinic+COST+2sincccos2：+2=since+cosrr+(sinrr+COST)2—1+2,

令士=sinrr+COST=V^(^^sinrr+-^-cosrc^=V2sin^rr+E[—V2,V2],

即/GO=g(t)=严+)+1=(士+打+等,

由力eA/2,A/2],则g(t)max—9(^^2)=2+V2+1=3+V2.故选：A.

【变式2一4］（2022秋•北京•高三校考阶段练习）函数/Q）=sinx—COS2N是（）

A.奇函数，且最小值为-2B.偶函数，且最小值为-2

C.非奇非偶函数，且最小值为-言D.非奇非偶函数，且最大值为4

OO

【答案】C

【解析】/（2）=sine—cos2/=sinx—（1—2sin2rr）=2sin2a:+sinx—1,其定义域为R,

于（-x）=2sin2（—x）+sin（一力）-1=Zsir?2—sin/一1,故函数/（力）为非奇非偶函数，

令t：=sin附则te［-1,1］,则/㈤=g（t）=2t2+t-l=2（t+十了一2,

易知/㈤min=g（T）=一|■，故选：C.

【变式2一5］（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（⑼=上一1）（2>+2（­+姐+6）,对任意非零实数

①，均满足/㈤=/（—：）.贝酎（-0的值为；函数/⑵的最小值为

【答案】0-菅

O

【解析】函数/⑻=QT）（2'+1十姐+",因对任意非零实数巩均满足/⑻=/（—1）,

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1+b

(1—1)(2a;+1)(/+ax+b)xX

则V凡化W0,有i

x2-T

一

即3—1)(2x+1)(/+ax+b)=(—x—1)(/—2)(bx2—ax+1),

由等式两边展开式最高次项系数得：一b=2,即b=-2,

当劣=1时，b—a+1=0,解得Q=-1,经检验得，Q=—1,b=-2,

对任意非零实数2成立,

{x-1)(22+1)(x2—x—2)(炉—1)(2/—3x—2)

因此,/(化)

x2x2

=29_：)-3(%9

8，

f(~l)=0,当①一!=■即2=^^^时，/(/)

所以/(—i)的值为o,函数/㈤的最小值为一卷

O

【题型3分离常数法求函数值域或最值】

【例3】(2022秋•河南郑州•南三校考阶段练习)函数夕=的值域是()

/CO'/_L

A.(―8,O]U[4,+8)B.(―8,O]U[2,+8)c.[0,4]D.[0,2]

【答案】B

t+1三⑵-1)+9131

s==+;

[M^]4cosa?=t,te[-l,y)UU=2t-i2t-lTT'2t-l

1

可得2t-le[-3,0)U(O,l],7Te(—8,—J]U[l,+~),

e

-y-9.1(-°0,—ylU[得,+8),故ye(-8,0]U[2,+oo),故选:B.

【变式3—1](2022秋•上渗徐汇•离三上海市南洋模尬中学校考阶段练习)函数/(力)=2*1.的值域

x+ox+2

为.

【答案】(—8,-2)U(-2,1)U(1,+8)

【解析】由小+3±+2¥0,可得rc¥—1且力¥—2,函数/(①)的定义域为{句①W—1且2¥—2},

2

f(Xx-l_(x-l)(x+l)_x-13

八叼一，+3z+2--+1)3+2)—^+2--~T+2'

所以f(x)¥-2且/®¥1,

所以函数/Q)=2"「，c的值域为(—8,—2)U(-2,l)U(1,+8).

x+3/+2

【变式3—2](2022秋•天津滨海新•高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习)已知①e(0,3),则y

=2X+；的最小值，此时T=

7

【答案】y##3.51

■初”・—2①—8,1_2（x-3）-2,1_c2,1_,2,1

【解析】"=+£=^3+豆=2—+石=2o+^^+豆，

由2（3—%）+26=6,

则2+（熹+蚩）[2（3-M+2z]x卷=2+/（4+丁+卷+1）

>2+*+2/^15）=2+枭（5+4）=]

当且仅当止工即±=1时，等号成立.

XoX

【变式3—3]（2022出湖北•高三校联考阶段练习）已知1W①W4,则函数/⑻=§[+:—7的值域

X+X+4x+4

为.

【答案】七,1]

【解析】因为1&力&4,所以n+1W0,

“x2+x_劣（劣+1）_X_1

/⑶-—+,+42+4-3+1）（炉+4）―^+T—二X，

X

令g（x）=a;+*,2；e[l,4],

由双勾函数知，g（⑼在[1,2）上单调递减，在（2,4]上单调递增，

所以9⑵=4,g⑴=5,g⑷=5,

所以g®e[4,5],所以/（a;）e

【变式3—4](2023•全国通三专题练习)已知函数/㈤=2x+k-2f.

(1)若/(⑼在(1,+8)是增函数,求实数R的取值范围；

(2)若/(/)+1VR•2“在[2,+8)上恒成立,求实数小的取值范围.

【答案】⑴RW4;(2)fc>4

O

【解析】⑴/㈤=2'+卜・2-』2，+备,令力=2，，则/3)=力+牛，由/6(1,+8)可得力>2,

2X

L.

由条件可知沙=力+7■在(2,+8)是增函数.

当k&0时，结论显然成立；当k>0时，则4k<2,/.0<fc<4.

综上，k的取值范围为k&4.

(2)由/(x)+l<k-2x可得2x+k-2-x+l<k-2x,

因为ce[2,+8),所以2工一2』>0,所以，

ZJ—T2L

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令t=2",则t>4,卜>^^=-^=|i|=告=1+占，

t

因为力>4,所以OVJi4,「・1V1+J1W2,

所以力的范围是“〉之

【题型4判别式法求函数值域或最值】

【例4】(2022秋•浙江宁波•南一株海中学校考期中)函数/(⑼=f：缶-1的值域是.

【答案】［—•"

【解析】由题知函数的定义域为R,

所以，将沙=二号『整理得(1+y)x2-x+y+l=Q,

X+1

所以，当g=—l时，力=0;

当沙工T时,广：1；4(4+1>>0,解得e［―U(-1,

lyW—1L2/X2」

所以，夕4一一,即函数/(⑼=一—-的值域是［—■|",一"

【变式4一1］(2022•全国•商三专题练习)若函数/(*)=3［不:3的最大值为a,最小值为6,则a+b=

()

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

222

【解析】设夕=3cyx+y=3x+x+3,(y-3)x-x+y-3=0,

X+1

;r=。时，y=3,

r:7K7

yW3时，因为a?eR,所以A=l-4(v-3)2>0,解得了即qlgW豆且

综上最大值是］，最小值是蔡，和为6.故选：B.

【变式4一2］(2023•全国通三专题练习)函数/㈤=的最大值与最小值的和是()

X+x+1

A.UB.春C.1D.—

【答案】B

【解析】设4="2；"：；，则有(9-1)①2+(y+l)x+y+l=Q,

当g=l时，代入原式，解得C=-1.

当y/1时，△=(9+l)2-4(y-l)(y+1)=(y+1)(-3?/+5),

45

由△>0,解得一1《沙4可，于是g的最大值为三，最小值为一1,

OO

9

所以函数/（⑼的最大值与最小值的和为母.故选：R

O

【变式4一3］（2022•全国•高三专题练习）函数沙=si,：+s42c的值域为__________

1+sm6

【答案】［—/」］

sin2^+2sin%cosQtalj；+2tan/t2+2t

【解析】由题可得，夕=，令tanc=%，则g=

cos2rr+2sin2c1+2tan2j;-2t2+l?

即（2，-1）廿-2t+y=0,当初-1=0,即沙=、■时，t=土;

当21一1/0,即时，要使方程有解,

综上，Ue［—

【变式4—4］（2021•全国♦商三专遇练习）求函数y=da?—2a?+5+Vx2—4T+13的最小值.

【答案】体.

【解析】解法一：二函数g=Vx2—2rc+5+Va;2—4x+13=JQ—1尸+4+J（%—2尸+9的定义域

为一切实数.二.y—Jd—2=+5=Vx2—4a7+13.①

又g—y/x2—2x+5>0,即g>A/——22+5=y/（x—l）2+4>2,

对①式两边平方，得才一2y^JX2—2x+5+x2—2x+5=x2—4：x+13.

整理，得寸—8+2x—27/Vx2—2x+5.②

对②式两边平方，得（才一81+42（靖一8）+4/2=4靖Q2—2c+5）,

再整理，得（4才一少/一（12才一32）/一姬+36靖—64=0.③

•・•4才一4>0,n为实数，.・.△=（12/—32）2—4（4靖-4）（一才+36靖-64）^0,

化简并整理，得始一28靖+52靖>0,

即y2（y4-28才+52）>0Q靖（才一2）（才一26）>0,

又一〉2,・\才>26,V26,

当g=V26时，方程③为100/—2802+196=0,即25i-70T+49=0,

解得立=1，故函数的最小值为例.

O

解法二：y=A/X2—2a;+5+x1—4x+13=y/（x—l）2+22+y/（x—2）2+32

令PQ,0）,A（l,2）,B（2,3），则y=\AP\+\BP\

点4关于2轴的对称点为A（1,—2）.

则ymin=\AP\+\BP\=\AP\+\BP\>\AB\=V26

（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当A、尸、B三点共线时取“等号”）.

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【题型5逐层法求函数值域或最值】

【例5】(2022秋•江西宜春•高三江西省丰城中学校考阶段练习)已知幕函数/(/)=/。的图象过点(9,3),则

函数夕=上42在区间口⑼上的值域为()

/w+1

A.[—1,0]B.[―C.[0,2]D.[―|-,1]

【答案】B

【解析】解法一：因为赛函数/(1)=/。的图象过点(9,3)，所以9。=3,可得Q=1~,

所以/(0=介十=L二』也)=1一介=2一(介土D=2]

，/(X)+1Vx+1Vx+1Vx+1

因为142&9,所以2+144,故g^2.

y/X+1L/」

因此，函数y=在区间[1,9]上的值域为[—]■,()].故选：B.

解法二：因为霹函数/(⑼=立。的图象过点(9,3),所以9。=3,可得a=彳,

所以/3)=右.因为a;e[l,9],所以因为y=.、，1，

f\x)+1

所以/3)=所以解得得

l—f⑸

即函数g=在区间[1,9]上的值域为[一看。].故选：B.

/(⑼+1

[变式5—11(2022春•江苏南京♦商三统考开学考试)已知函数/(1)=sin(/+~^)+sin(方——，。(久)=

/(/(⑼)，则g(M的最大值为()

A.V2B.V3C.-|-D.2

【答案】B

【解析】记t=i+字则f(x)=h(t)=sint+sin(t+=~|"sint+^-cost,

所以h(t)=，^sin(i+~1je[―■，所以，(/(⑼)最大为V3.故选：B.

【变式5-2](2021秋•安徽六安•金春县青山中学高三开学考)函数/㈤=4=2x2工—[0,2]的最小

值是.

【答案】-4

【解析】令力=2/,/e[0,2],则力£口，4].

原函数化为g(t)=t2—2t—3=(t—I)2—4,

当力=1时,g(t)有最小值，即/㈤有最小值为—4.

【变式5—3］(2020秋•吉林白城•高三校考阶段练习)已知函数/(0=［-1,1］,则函数

4।/I-L

/(x)的值域为.

【答案】号用

XXx

【解析】由题得了(⑼=4+2+12x2=2

-xx+4^+2^+1-1+

4+2+1牙2。+1

设力=2%,大g@)=~^~+t,

所以函数gU)在［y,l］单调递减，在［1,2］单调递增,

5

所以9(t)min=9⑴=2,9⑴max=9⑵=’

所以函数g(±)的值域为［2,，］,

所以/Q)min=1+9J3)max=1+5

y+1(，十，3

所以/(6)£

【题型6导数法求函数值域或最值】

【例6】(2022•陕西宝呜•统考一模)函数g=ln(x—/e[2,4]的值域是.

【答案】[O,ln[]

【解析】由题意，在g=ln(N—~|~)中，xe[2A]

1A,2\x/2+24+2

"f==.(1+募)=R.丁=而匚3>°,

X

函数在[2,4]单调递增

/(2)=ln(2-y)=lnl=O,/⑷=ln(4-^-)=Iny

函数g=ln(c—j)，se[2,4]的值域是

［变式6—1］(2022秋•江苏•高三校联考阶段练习)函数/㈤=|3T-1|-311^的最小值为

【答案】2

【解析】令g(c)=c—1—Inrc,则g'{x}=1-=①J,令/(a;)=0,解得c=1,

当0〈力V1时，g'Q)<0,则g(x)单调递减；

当IV」时,g'(x)>0,则g(x)单调递增；

故g(%)>9(X)=0,则/一1>Ino?.

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因为%—1,所以/(2)=\3x—1|—Slnx>(3%—1)—3(%—1)=2

当且仅当力=1时等号成立，因此/(⑼的最小值为2.

【变式6—2](2022秋•安徽安庆•南三安庆一中统考阶段练习)已知函数“0=竟1-，则/(4)在

[―2,0)U(0,1]上的值域为()

A.|-]U[3,+°°)B.(0,-j-]

C.[-1,O)U(O,3]D.[卷,+8)

【答案】D

2X+1

【解析】由题知/(2)定义域为(一8,0)U(0,+8),

力（2-1）

2-x+l21+1

・•・/（一/）==/（6）,

—力（2——1）力⑵一1）

.,./(2)在定义域上为偶函数,

=2，+1=2'—1+2=工2

则当力>0时J(%)1+

—x（2x-l）—力（2%—1）一了以2，-1）1（

•#，/、__,2\,1/—2•2叮n2、__J_Q_12,2•2q112\

—x2\1+（2^-1）/+sI（2X-1）2J~式a；**（2“—1）+（2。—13

,.-a;>0,.-.2^-1>0,

.1।2221n2

一必力（2,_1）（2工_1尸u，

J㈤VO,"3）在（0,+8）单调递减，

：f（x）在定义域上为偶函数，

-''f（x）在（-8,0）单调递增，

.-.f（x）在[-2,0）单调递增,在（0,1]单调递减，

"/（-2）=■，/⑴=3,lim=+00,

Ox->ox（2—1）

故/㈤在[-2,0）U（0,1]上的值域为玲，+8）.故选:D

【变式6—3](2016•辽宁沈根•东北育才学校校考三模)已知函数/(⑼=esm0+8SH—5五迨以•6A)，则函数

f(x)的最大值与最小值的差是.

【答案】e^—e-〃

【解析】令力=sina:+cosx=V2sin^x+，则[£[―V2,V2],且sin2x=t2—l,

则沙=/（M=e'-/（廿一1）,

,*'yr——力>0在力—A/2^,5/2]时恒成立，

=y（t2—1）在[-V2,V2]上为增函数，

故函数/（c）的最大值与最小值的差九一引仁_应==e*—e-应

【题型7已知函数的最值求参数】

【例7】（2022•浙江杭州•模拟预测）/3）=（（"1对'’《I的最小值是—1,则实数a的取值范围是

[ax—x+1—a,x>l

（）

A.[年迎+8）B.（-8,2丁]C.[—哈却D.房,+8）

【答案】A

【解析】当力《1时,/'（力）=跣*,令/'（力）=0,得力=0,

则73）在（—8,0）上单调递减，（o,i）上单调递增，

即函数/（力）在/=0处取得最小值一1,

所以问题转化为ax2—x+1—a>—1在（1,+8）上恒成立，

令g（力）=0炉一N+2—a,则g（x）>0在（l,+oo）上恒成立

当aW0时，不符合.

1f」-vifJ->l

当a>0时,对称轴x=-^―，则｛2Q或〈2a

。、g（l）=a—1+2-a>0、△—1—4a（2—a）40

解得a>[■或22速■，所以Q>?.巡,故选：A.

【变式7—1]（2023秋•广东茂名•高三统考阶段练习）设函数/（力）=[；二%；若/Q）存在最小

值，则a的取值范围为（）

A.[/2,A/2]B.[0,V2]

C.[—/2^,V2]U（2,+8）D.[0,V2]U（2,+oo）

【答案】B

【解析】若a=0时，/（c）=[1'2安°；Q，，/3）min=*2）=-1；

若aVO时，当;rVa时，/3）=1—单调递增，

当出一—8时，/Q）一—8,故/Q）没有最小值；

若Q>0时，x<a时，/（2）=—ax+1单调递减，/（2）>/（a）=1—a2,

-1,（0<a<2）

当N>a时,/Q）min=

Q?—4a+3,（Q>2）

fi—。2>_1或4°+3,解得。故选:B

若函数/（⑼有最小值，需二？

高考加油

【变式7—2］（2022秋•新瞪鸟＜•木齐•高三鸟市八中校考阶段练习）若函数/㈤=矢乎在区间［0,1］上

的最大值为3,则实数巾=.

【答案】3

【解析】：函数/（/）=2某,=2+北系,

由复合函数的单调性知，

当m＞2时，〃/）=若存在［0,1］上单调递减，最大值为了（0）=爪=3;

当成＜2时，/（力=等乎在［0,1］上单调递增，最大值为/（1）=2护=3,

即nz=4,显然7n=4不合题意，

故实数M=3.

【变式7—3］（2022秋•江西•高三九江一中校联考阶段练习）已知函数/（N）=|Q/+=+1］,力£口,2］,且

/（名）的最大值为Q+2,则Q的取值范围是（）

A.[-1,-y]B.[-1-y)C.[-2,-y]D,[-l.-y)

【答案】A

【解析】由题意可知，a+2>0,即Q>—2,且g(l)=a+2,/.V[1,2],\ax2+x+1|<a+2,

即一CL—2Wax2+N+1WQ+2.

.♦.Vee[1,2],-彳+?---鲁(当①=1时也成立)，

x2+1c+l'

令％(c)=-2可，xe[1,2],i(x)=-ce[1,2],则hmaxWaWGn,

X+1二十工

,•*h{x)——7----、2——=------------------77；--------，且c+3e[4,5]

(①+3)2—6(/+3)+103+3)+小—6

X十o

由《(4+3)H---当万一6&1,可得一2<九(2)<-1,即hmax=-1,

/X-।o

又力（乃=一金丁在［1，2］上单调递增，

11

「・%min=—~2~,**•—14a&l~2~.故选：A.

【变式7—4］（2022•内蒙古赤蜂•高三赤峰二中校考阶段练习）已知函数g=/Q）是定义域为R的奇函数,

且当/V0时，/（x）—x+^+1.若函数g=/（2）在［1,+8）上的最小值为3,则实数a的值为（

）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因为y=f（G是定义域为R的奇函数，且当cVO时，/（劣）=2+q+1.

当n>0时，—xV0,则/（—x）=—x—+1=—f（x）,

所以当力>0时，/（力）=——此时/'（力）=1—%

力X

当Q&1时，/'（力）=1—盘>0在［1,+8）上恒成立，函数/（力）在［1,+8）上单调递增，

当力=1时，函数取得最小值/（1）=1+。-1=3,解得。=3（舍），

当a>1时，/E［l,Va］,13）V0,函数单调递减；

xe［Va,+oo）,/'（力）>0,函数单调递增，

x=Va时，函数取得最小值/（右）=2Va—1=3,解得a=4,

综上，a=4.故选：D.

【变式7—5］（2022秋•上海杨浦•高三复旦附中校考阶段练习）已知Q>0,函数/（力）=疝=手+

缶—1的最大值为四,则实数的值为.

【答案】1

222

［解析】*.*y=ax—x+N2x一心、y—y/2x—x=ax—xy

两边平方得：y2~2鼠2N—炉-^-2x—x2=ax—x2,

即y2+2x—ax=2yy/2x—x2,

再平方得：yA+4x2+a2x2+4xy2—2axy2—4ad=8xy2—4：x2y2,

化简得:（4才+4+Q2—4Q）22_（旬2+2ay2）x+，=0,

当4靖+4+/_4。=0,即4g2十（°一2）2=o时，Q=2,J=O,

此时/Q）=2J26-3=2J—（力-1）2+1最大值为2,不符题意.

所以4y2+4+Q?—4QW0.

因为方程有解，所以A>0,

即A=（4y2+2ag2）2—4y4（4y2+4+a2—4a）>0,

化简得：g2&2Q,因为g>0,所以0Wg石，

又因为g的最大值为四,所以，^=四,所以a=l.

故答案为:1.

高考加油

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1.（2023•全国•方三专题练习）函数/（⑼=普）的值域是（）

A.(-00,-1)U(l,+oo)B.(―8⑵

C.(―8,2)U(2,+8)D.[―1,+8)

【答案】C

【解析】/（2）=备2Q+1)—2—2

T+1X+1;

从而可知函数/（⑼=等^的值域为（-8,2）U（2,+8）.故选:C

2.（2019秋•黑龙江鸣西•高三呜西实酷中学校考阶段练习）函数0=尬―3|—4（1W2W4）的值域为（

）

A.[—4,—2]B.[—4,—3]C.[—3,4]D.[—3,—2]

【答案】A

【解析】依题意1&c&4,—-3《1,0W\x-3|<2,—4<\x-3|—4&—2,

所以函数夕=|x-3|-4（l<x<4）的值域为[-4,一2].故选:A

sin,-l-0,2灯)的最小值是()

3.（2022•全国•高三专题练习）函数/（⑼

V3—2cos力—2sina:

A.-4B.-1

C.—A/2^D.—V3

【答案】B

【解析】当sina?=1,f(x)=0

sinx—11—sinx

当sinxW1时，因为于（x）=

J3—2cos力一2sinc^/(l-sina;)2+(1—cosrc)2

1—CCS7

令g（力）=----；----,g（c）的含义是点（1,1）与单位圆上的点（sine,cosc）的连线的斜率,

1—since

所以gQ)0,所以Jl+g(2)21

1

所以-1,,即-l,/(x)V0,综合得，/(劣)e[-l,0],

Jl+gQ)2

故最小值为：一1.故选：B.

4.（2021秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨三中阶段练习）已知函数加）=备的定义域为[。,+8）’则

函数/3）的值域为（）

A.［-2,+oo）B.C.D.［*,+8）

【答案】C

【解析】/（%）=2：1=一二［一，定义域为［。,+8），且/3）=o

X+1J/U义I工

X

令t（工）=2+1,（0,+<»）,