函数中的同构问题-2024高考数学压轴大题（解析版）

函数中的同构问题

I考情分析

近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将

不同的式子通过变形,转化为形式结构相同或者相近的式子,通过整体思想或换元等将问题转化的方

法,这体现了转化思想.此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利

用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.

解题秘籍

(一)同构函数揭秘

同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比

如e°+,与2+Inc属于“跨阶函数"，而e'+ln,属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解,

一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函

数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：/(，)=跣',/(e)=

xlnx,f{x}=%+=x-\-Inx,=ex—x+a,/(a;)=In力一力+Q等，在一些求参数的取值范围、

零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性,复合函数零点个数等问题中常通过构造同

构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；2=2=lne',,e'=/.=更=

题1(2024居陕西南西安市部分学校高三上学期考试)已知函数/⑺=Inx-姐-；

(1)当a=2,求/(宏)的极值;

(2)若/Q)e-如恒成立，求a的取值范围.

【解析】⑴当a=2时f(x)=\nx—2x—―,xE(0,+oo),

x

—2/+/+1_一（力一1）（2力+1）

则f'3）=-----2+—

所以在(0,1)上/3)>0,/3)单调递增，在(l,+oo)±f(x)<0,f(x)单调递减，

当力=1时/(力)取得极大值，/⑴=0—2—1=—3,故/(力)的极大值为一3,无极小值.

⑵由/(①)<—e-g，可得Inc—arc—工<-e-Iia:，则Inc—工《arc—，即Inc—里&Ine。，---.

xxxearr

令g(x)=Inx—1■,则g(力)《9(6与，

因为g(c)在(0,+oo)上单调递增，所以,《eH则乎

令九(为=皿，则〃(,)=上"，

XX21

在(0,e)上〃(力)>0,h(x)单调递增，在(e,+8)上//(力)<0,无⑺单调递减，即h(x)max=h(e)=十,

•1・

所以Q＞工，则Q的取值范围为f—,+00

eLe

直12（2024届宣庆市南开中学商三上学期第一次质式检测）已知函数/Q）=T2+lnrr+a/在/=1处的切线

I和直线x-\-y=Q垂直.

（1）求实数a的值；

（2）若对任意的Xl,x2E（0,2］,的力g,都有＞机成立（其中e为自然对数的底数），

求实数小的取值范围.

【解析】（1）由函数/（力）=/+］11力+0/，可得/3）=2/+9+0,可得/'（1）=a+3

因为函数在力=1处的切线I和直线x-\-y=0垂直,所以/'（1）=1,

即a+3=1,解得a=—2.

（2）解:不妨设0VgV◎W2,则2V0,

因为对任意的X1,X2E（0,2］,①声电，都有用」二嬖匚王遐＞m成立，

eJe2

可得/Qi）—/（62）—曷+冠Vm（ea：l—e^2）,即/（g）—就一m/V/（力2）—xl—meX2,

设g（rc）=/（2）—zne。,则gQJVg（力2）,故g（①）在（0,2］单调递增，

从而有。'㈤=?-2—温＞0,即m&ef（十一2）在（0,2］上恒成立，

设h（x）—"（!—2）,则m,&无（/）min，

因为〃㈤=—e-（工一2）+—・（一』=。一1・2/—：T（0V力42）,

'力'vx27x2

令h!（x）＞0,即2X2—X—1=（2x+1）（n—1）＞0,解得1V力＜2,

令h!（x）V0,即2x^—x—1=（2x+l）（rr-1）＜0,解得0＜/＜1,

所以阳＞）在（0,1）单调递减，在（1,2］单调递增，

又因为/z（l）—-,故h（x）在（0,2］上最小值九（力）min=，所以馆4-,

eee

实数?72的取值范围是（一8,―

（二）跣/型同构

吼&（2023届吉林瘠长春外国语学校南三上学期才试）已知函数/（力）=1—Q/（e是自然对数的底数）.

⑴当a=1时，求/（%）的极值点；

（2）讨论函数/（力）的单调性；

（3）若g（力）=ex（x—l）—alnx+/（a?）有两个零点,求实数a的取值范围.

【解析】（1）当a=l时,/（力）=ex—x,则/'（力）=ex—l.

当力e（—co,0）时，/㈤〈0,此时函数/（%）递减，当/e（o,+oo）时，/'（力）＞0,此时函数/（力）递增，

所以/（力）极小值点为x=0,无极大值点.

•2•

⑵求导/(劣)=ex—a

①当a<0时，/'0)>0,/(力)在R上递增

②当a>0时，

当力G(—00,Ina)时，/'(力)<0,f(x)在(―oo,lna)上递减,

当力e(Ina,+00)时，/'(力)>0,此时函数/(力)在(lna,+oo)上递增.

⑶等价于g(x)=xex—a(lnx+力)=xex—aln(xex)(x>0)有两个零点，

x

令力=xef(T>0),则£=(N+1)1>0在力>0时恒成立，所以力=力/在力>0时单调递增，故力>0,

所以g⑸=xex—aln(xex)有两个零点，等价于h(t)—t—alnt有两个零点.

因为〃⑴=1-半=/生，

①当a40时，〃⑶>0,拉⑴在力>0上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去，

②当a>0时，令”⑴>0,得力>a,h(t)单调递增，令h!(t)V0,得0VtVQ,h(t)单调递减,

所以九⑴min=h(a)—a—alna.

若拉(a)>0,得0VaVe,此时h(t)>0恒成立，没有零点;

若无(Q)=0,得。=6,此时h(t)有一个零点.

若h(a)VO,得a>e,因为九⑴=1>0,h⑹=e—aV0,/z(e100a)=e100a—100a2>0,

所以九⑴在(l,e),(e,/。。)上各存在一个零点，符合题意，

综上，a的取值范围为(e,+8).

(三)(/+a)Ina:型同构

皿£(2023届福篁唐宁健市博雅培文学校高三高考前最后一卷)已知函数/(工)=等(机eR).

(1)讨论函数/(①)的零点的个数；

(2)当m=0时，若对任意，>0,恒有弋+1)^^)(^+1),求实数a的取值范围.

【解析】(1)令/(,)=3虫+m=0,则期色=—m,

XX

记。(工)=等，则g'(/)=号匕

当力>e时，g(x)V0,此时g(力)在(e,+oo)单调递减,

当0V力Ve时，g'(x)>0,此时g{x)在(0,e)单调递增，

故当/=e时，g(/)取极大值也是最大值g(e)=2，

又g(l)=0,而当1<%时，g(力)>0,故当0V力VI时，g(x)V0,当1V6时，g{x}>0，作出g(rc)的图

象如下：

•3・

因此当一山〉T"时，即mV—―,g(力)=—恒无交点，此时/(/)无零点，

当—m=1或一mW0时，即7n=—―或0,g(力)=-m有一^个交点，此时f(x)有一^个零点，

当0V—MV」时，即一|-<m<0,g(x)=-m有两个交点，此时/(力)有2个零点，

综上可知：当m,V—^时，/(劣)无零点，

e

当m=—―或m^0f(x)有一^零点，

e

当一•|■V7nV0,/O)有2个零点，

(2)当加=0时，若对任意c>0,恒有°(工+1)9/(为(/+1)等价于：

对任意X>0,恒有Q力(6。宓+1)>InR2(/2+1),

令FQ)=0+l)lna;,则不等式等价于F(eax)>F(/),

由于Fr(x)=Ina;+“+1,

x

令仇⑸=Inx+二+1,加(力)=-----1=力丁1,

xxxx

当0V力Vl.rn(x)<0,m(x)单调递减，当力>1,加(力)>0,771(力)单调递增，所以F\x)—m(x)>nz(l)

=2>0,故尸(%)在(0,+oo)单调递增，

由F(eax)>F(T2)得eax>/对任意力>。恒成立，

两边取对数得ax>21nx=>3对任意/>0恒成立,

2x

故_|L>g(c)max，所以

故a的范围为a>2

e

(四)e，+ac+6型同构

阿15(2024届福童盾漳州市高三上学期第一次收学质式检测)已知函数/(工)=aex+x+1.

(1)讨论/(。)的单调性；

(2)当,>1时，于⑸>In2二1+，,求实数a的取值范围.

a

【解析】(1)依题意，得/(力)=aex+l.

当a>0时，/(N)>0,所以/(力)在(一8,+co)单调递增.

•4•

当aVO时，令/'(/)>0,可得力<—111(—O);

令/'(/)V0,可得力>—ln(—a),

所以/(力)在(一8,—ln(—a))单调递增，在(一ln(—a),+8)单调递减.

综上所述，当a>0时，/(力)在(一8,+8)单调递增；当aV0时，/(劣)在(―co,—ln(-a))单调递增，在(

—ln(—a),+co)单调递减.

(2)因为当力>1时，/(力)>In——-+力，所以0/+®+1>In———-+x,

aa

即e^^+rc+1>InQ—1)—Ina+x,

即ex+lna+lna+为>ln(£c—1)+力一1,

ln(-1)

即1+1球+力+Ina>e"+ln(x-1).

令九(/)=e'+力,则有h(x+Ina)>h(ln(x—1))对V力e(1,+co)恒成立.

因为h!⑸=ex-\-l>0,所以九(力)在(—00,+oo)单调递增，

故只需力+Ina>ln(T—1),

即Ina>In(/—1)一力对VIG(1,+8)恒成立.

令F(力)=ln(x—1)一力,则F\x)=—―1=——f■，令F'(力)=0,得力=2.

x—1x—1

当ce(1,2)时，F\x)>0,当cC(2,+00)时，F'{x)<0,

所以FQ)在(1,2)单调递增，在(2,+oo)单调递减，

所以9Q)WF⑵=-2.

因此Ina>—2，所以a>

e

(五)ln/+QN+b型同构

题6已知f(x)=e'+一?，g(x)=。+*j足生)aE^

(1)当/E(l,+oo)时,求函数g(c)的极值；

(2)当a=0时,求证：f(x)>g(x).

【解析】(1)/(必)=(1-a)Tn「,当&时，或为<o,即g⑸在(i,+oo)上单调递减，

X

故函数g(rc)不存在极值；

当aV1时，令g'(力)=0,得力=e1-a,

X(1"e1-a(ei,+s)

g'O)+0—

g(2)增函数极大值减函数

故g(c)极大值=g(e-")=巴匕^—¥—―=1+:=e"T+l,无极小值.

ee

综上，当Q>1时，函数g(力)不存在极值；

•5・

当a<l时，函数g(z)有极大值，g⑺极大值=6。—+1,不存在极小值.

(2)显然2>0,要证：f⑸^g(x),

即证：e—>立+2+In，，即证：//+>lnx+x+2,

X

即证：eln'+a:+1>(In/+力+1)+1.

令力=ln%+/+1,故只须证：e%>力+1.

设h(x)—ex—x—1,则h'(x)=ex—l,

当力>0时，”(力)>0,当力V0时，//(x)<0,

故以力)在(0,+8)上单调递增，在(—oo,0)上单调递减，

即九(6)min=无(0)=0,所以//(力)>0,从而有eX^X+1.

故e”>1+1,即fQ)>g(宓).

典例展示

22

吼工(2024届江苏盾徐州市邳州市新世纪学校高三上学期月才)已知函数/(2)^(x+l)lnx-x-ax.

(1)若Q=l,求/(力)的最小值；

(2)若方程/(力)=。溺2加—小有解,求实数Q的取值范围.

【解析】(1)当a=1时,/(%)=(x2+l)lna;—x2—x,

f(x)=2xlnx—x+——1,

设gQ)=f⑸，则9(%)=1+21n力-,

x

g'(x)在(0,+8)上单调递增，且g'(l)=0,

所以力e(0,1)时，g[x)<0,f\x)单调递减,

xE(l,+oo)时，或力)>0,/(力)单调递增，

所以/(N)min=/'(1)=-1；

(2)/(力)=axe^^—x2即2(x2+l)lna;=20N(皆”+1),

即(rc2+l)W=(e2ax+l)lne2a\

设h{x}=(6+l)ln2(力>0)，则九(劣之)=ft,(e2ax),

K{x)=Inx+1+工，设7n(6)=Ina?+1+—(a?>0),贝4m(x)=x,

xxx

所以1G(0,1)时，m'3)<0,m(x)单调递减，

xE(l,+oo)时，m'⑺>0,m(x)单调递增，

所以m(x)^m(l)=2>0,即K{x)>0,h{x}在(0,+8)上单调递增，

所以方程/(力)二0既2如一62有解即/=已2如在(o,+oo)上有解，

2QN=21IIT有解，即Q=上些有解，

X

,6,

设？1(力)=比匹■Q>0),则n'Q)=-一空'，

xxz

xE(0,e)时，n(x)>0,n(x)单调递增，

xE(e,+oo)时，n(x)<0,n{x}单调递减，所以n⑸<n(e)=十,

当力—0时，n(T)t—oo,

所以°&工，即实数Q的取值范围是(一00,工].

e\6」

初2(2024居安徽看六校载方研究会高三上学期素质测试)已知函数/⑺=温—雄是自然对数的底数).

(1)讨论函数/(力)的单调性；

(2)若g(力)=aex(x—1)—Ina;+f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.

【解析】⑴因为/(re)=ae”—/，所以/'(力)=aex—l,

当a&O时，13)V0,所以/(力)在R上单调递减；

当a>0时，令/'(/)>0得力>—Ina;令/(优)<0得/<—1110,

所以/(1)在(—00,—Ina)上单调递减，在(一Ina,+8)上单调递增.

综上，当a&0时，/(力)在R上单调递减,无增区间；当Q>0时，/(力)在(-00,-Ina)上单调递减,在

(―lna,H-oo)上单调递增.

(2)由题意g(力)=aex(x—1)—Inrc+/(x)=axex—lnx—x=axex—ln(xex)(x>0)有两个零点，

令力=跣、(N>0),则£=(l+a;)e*>0在(0,+8)上恒成立，所以力=/8"在(0,+8)上单调递增，

故力>0,所以g⑸=axex—ln(xex)有两个零点等价于T(t)=at—Int有两个零点，

等价于a=有两个不同的实数解，等价于g=a与h(t)—有两个交点，

则h'(t)=——,ti(t)>0得0V力Ve,h\t)V0得力>e,

t

所以h(t)=在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，又九(e)=九⑴=0,

当力趋向于0且为正时，九⑴趋向于负无穷大，当力趋向于正无穷大时，无⑴趋向于0,如图：

由图可知，要使y=a与h(t)—有两个交点,K'J0<a<—,

te

所以实数Q的取值范围为OVQ〈L.

吼3(2024居宣庆市渝北中学高三上学期月考)已知函数/(劣)=J/+aln(⑦—1),g(力)=/(%)+[—=/

4e4

•7・

+力.

⑴当Q=-l时，求函数/（力）的极值；

（2）若任意的、电€（l,+oo）且0力g，都有93-2）＞1成立,求实数a的取值范围.

力1一力2

【解析】（1）当a=—l时，/（力）=|宓2—］口（2—1）,其中xe（l,+oo）,

则/'（力）=-^-x---^―-=XX~~|■，令/'（/）=0,解得/=—1或力=2,

2x-12（^-1）

又因为力＞1,所以力=2,

列表如下：

X（1.2）2(2,+co)

f'3)—0+

f3单调递减极小值单调递增

因此/（力）有极小值/（2）=1,无极大值.

（2）解：因为g（c）=/（re）+士一^x2+x，/（2）=；/+aln（，-1）,

e44

所以g（x）—a\n（x—1）+—十力，其中xG（l,+oo）,

e工

对VT1＞（l,d-GO）且力1W/2,不妨设了1＞电，则力1—力2＞0,

得到g（©）—g（＞2）＞/1一力2,化为gQi）—g＞g（g）—的，

设无（力）=gQ）—力且函数八（劣）的定义域为（1,+8）,

所以九（力）=aln（x—1）+工在（1,+8）为增函数，

ex

即有〃（力）——上＞0对力＞1恒成立，即0＞之二!对任意的力＞1恒成立,

x-1exex

设0（劣）="二1，其中xE（L+°o）,贝"0,（力）=2丁,

ee

令0’（力）＞0,解得1VrcV2,令夕'（%）＜0,解得x＞2,

所以0（劣）在（1,2）上单调递增，在（2,+8）上单调递减，

所以0（力）最大值0⑵=±,因此实数Q的取值范围是Q＞」7.

4已知于⑸=x2ex—a(x+21nx)

⑴当a=e时，求/(宏)的单调性；

(2)讨论/Q)的零点个数.

【解析】⑴解：因为a=e,x>0,于(x)=x2ex—e(x+21nx)

x

所以/'(力)=(/+2/)e—e(l+?)=力(/+2)e*--°(力+2)一二(^x_p2)(^xe—^^,/(l)=0

令g(力)=xex—­—,g(x)=(力+1)6/+得>0,所以g(力)在(0,+oo)单增，且g⑴=0,

xx2

•8・

当％e(0,1)时g(x)=xex——V0,当力e(l,+oo)时g(x)=xex—~—>0,

XX

所以当(0,1)时/O)vo,当/e(i,+oo)时/'0)>o,

所以/O)在(o,i)单调递减，在(1,+8)单调递增

(2)解：因为/(rr)=eW・ex-a(x+21nM=ex+21nx-a(x+21n⑼=0

令力=c+21nx,易知力=力+21n6在(0,+GO)上单调递增，且力ER,

故/(力)的零点转化为f(x)=ex+2inx—a(x+21nx)=^—at=0即e"=at,t£R,

设g(力)=e”一Q力，则g{t)—e*一a,

当a=0时，g(t)=e"无零点；

当aVO时，g(t)=e"—Q>0,故g("为_R上的增函数，

而5(0)=1>0,)=e"-l<0,故g(t)在R上有且只有一个零点;

当a>0时，若力€(—co,Ina)，则g'⑴<0;/；E(lna,+oo)，则。'⑴>0;

故g(0min=g(lna)=Q(1—Ina),

若Q=6,则g«)min=0,故g⑴在R上有且只有一个零点；

若OVaVe,则。⑴min>。,故g⑴在五上无零点;

若a>e,则g(力)min<0,此时Ina>1,

而g(。)=1>0,g(21na)=a2—2alna=a(a—21na),

设无(a)=a—21na,a>e,则H(a)=————>0,

故/Z(Q)在(e,+co)上为增函数，故九(Q)>h(e)=e—2>0即g⑵HQ)>0,

故此时g⑴在R上有且只有两个不同的零点；

综上：当04aVe时，0个零点；当a=e或aVO时，1个零点；Q>e时，2个零点;

015已知函数/(力)=ex—alnx,aER.

(1)当a=0时，若曲线沙=/(力)与直线g=相切于点P,求点P的坐标；

(2)当a=e时，证明：/(/)>e；

(3)若对任意力6(0,+8),不等式/(力)>alna恒成立,请直接写出a的取值范围.

【解析】⑴当a=0时,/(6)=ex,f\x)=e\

设P(g,6°),则切线斜率k=e°.

由切点性质，得，解得g=L

(e=KXQ

所以点P的坐标(Le).

(2)当a=e时，/(力)ne。一elnrc,其中力>0,则/'(/)=ex——,

令g(力)=e'—£■，其中①>0,则g'Q)=已。+多>0,

xx

故函数/(劣)在(0,+oo)上单调递增，且/(I)=0,

•9・

当力变化时，力,/'（劣）,/（N）变化情况如下表:

X（o，i）1(L+8)

f'3)—0+

f⑺单调递减极小值单调递增

由上表可知，/Q)min=/(l)=e.所以/(%)>6.

(3)显然Q>0,在(0,+8)上/(%)=6,—alni>alna恒成立，即e31-1110—Inx>Ina恒成立即

e--lna_lna>lna，恒成立，

所以ex~Xna+x—Ina>T+Inx=elnx+lna;恒成立，

x

构造函数g(x)—e+x9xE(0,+oo),易知g(z)在(0,H-oo)上是增函数，

所以％—Ina>Inx恒成立,即Ina<(re—lmj)min,

令八(力)—x—lnx,hf(x)=———(rc>0),

x

当力e(o,i)时，"(力)vo,所以无(力)在(o,i)上单调递减，

当力e(l,+oo)时，"(2)>o,所以九(为)在(l,+oo)上单调递增,

所以九3)min=无⑴=1,所以Ina<1,解得0<a<e,

所以实数a的取值范围(0,e).

6已知函数/(力)=x—alnx,(aGR)

(1)请讨论函数/(劣)的单调性

⑵当cC[5+8)时，若《(InQnc+2+1)+1)恒成立，求实数A的取值范围

【解析】(1)/(2)=1-且=^^(2>0)

XX

当aW0时，fQ)>0,/(x)在(O,+c»)上递增

当a>0时，在(0,a)上『㈤<0,y(z)单调递减

在(a,+oo)上『Q)>0,/(z)单调递增

,nx+x

(2)原式等价于我'=e>4(ln(lnc+,+1)+1)

设力=Inc+x,xE[L,+oo)

由(1)当a=-L时，/3)=ln/+N为增函数，・,•力6]!-1,+8),

等式等价于/i(ln(t+1)+1),力E[1—1,+8)恒成立，

1=时，「一>0成立，力6(--l,+oo)时，————,

evefIn。+1)+1

设g(f)=]—(工一1,+8),

ln(t+1)+1ve)

•10•

=，(ln(t+l)+l)-e*(母)=、In(%+1)+1一击

9~(ln(t+l)+l)2-e，(ln(t+l)+l)2’

设h(t)=ln(t+1)+1--,

0I-J.

h\t)=']+(J])2>0所以h(t)在(十-1,+8)上为增函数，

又因为/z(0)—0,所以在—1,0)上，h(t)V0,・，.g'(土)<0,g(力)为减函数,

在(0,H-oo)上,h(t)>0,g(t)>0,g(t)为增函数，

g(0min=g(0)=1,・.・441.

2x-t

蜃1兀（2023届广东篇深圳市光明区南三二模）已知函数/（工）=矢二1的图象在（1,/（1））处的切线经过

点（2,2e2）.

（1）求a的值及函数/（2）的单调区间；

21

（2）设9（工）=詈”，若关于力的不等式加g（04e2^-l在区间（1,+<»）上恒成立，求正实数4的取值范

围.

2a;_-I

【解析】（1）函数/（/）=---的定义域是｛力I力W0｝,

2xx

2axe-（ae-l）2

f⑺=---------------'于⑴=ae+1，•

所以/（力）在点（Lae,—1）处的切线方程为y—（ae2-1）=（ae2+l）（x—1）,

切线经过点（2,2e?）,则Q=1.

f（x）—+1,设力）=（2力-1）已2I+1,0'（力）=4跣2）

x

力=0是9（力）的极小值点，且0（0）=0,

因此/'（力）>0在｛/IN#0｝恒成立，

2x_-1

所以函数/（2）=且口的单调增区间为（一8,0）,（0,+00）,无单调减区间.

X

2-12-I2Ax-1

⑵1>0,a=l,/lzQf-We?加一1在区间（l,+oo）上恒成立，即胃二!■<e,

InxmxAx

2t_-i2^a;_-i

令t=lnrc（t>0）,则且三<且/1,即/⑴&/（&）.

tAx

由（1）,只需要土4/ke,也就是4>①■在区间（1,+8）上恒成立.

x

设八（力）力）=1-？力,〃（e）=0,.

xxz

l<x<e,//（N）>0;力>e,"（/）<0,

故/z（e）=工是h｛x）—的最大值，

ex

•11•

所求A的取值范围是［十,+8

〔题目〔2〕(2023居海南省海口市龙华区海南华侨中学高三一模)己知函数/(C)=普^+1.

(1)讨论函数/(，)的单调性；

(2)已知4>0,若存在土e(l.+oo),不等式—>(④J>Inc成立，求实数4的最大值.

(遍产+1x-1

【解析】(1)函数/(①)的定义域为(0,1)U(l,+oo),

1--------In力1-1_„

所以f(x)=',・•・令g(c)=1--------In力，则。(力)=——,

z

(劣一1)xx

：.函数g(c)在(0,1)上单调递增，在(L+oo)上单调递减.

又,.,g(l)=0,・,・当cG(0,1)U(1,+8)时，g(x)V0,."(%)<0,

函数/(力)在(0,1),(l,+oo)上单调递减.

(2)V——>(为I>Inc,且4>0,c>1,(Ve)^-l>0,

(g产+1x-1

二笔"与，，好+1>匕+1，"(/)河⑺•

eAxE(L+oo),由⑴知，函数/(%)在(1,+8)上单调递减,

只需e&《力在(1,+8)上能成立，

两边同时取自然对数，得MWlmc,即4W至”在(1,+8)上能成立.

X

令瞰X)=—{X>1),则<p\x)=1—乎,

Xx

1•当re(l,e)时，p'O)>0,/.函数少⑸在(l,e)上单调递增，

当力E(e,+oo)时，/(力)<0,函数口(力)在(e,+oo)上单调递减，

・“(力)max=?(e)=十,・•・/!W!，

1

又X>0,・・・0V442，

e

/.实数1的最大值为—.

e

画1H(2024届山东省部分学校南三上学期裂者)已知函数/(c)=aln(c+l)—az.

(1)当aWO时，讨论/(,)的单调性;

(2)当①>-1时,/(c)>空——：+a恒成立,求实数a的取值范围.

【解析】(1)/(力)=aln(力+1)—ax定义域为(―l,+oo),f'⑸=——a=—等~,

•27IJ.27Ii-

①当a>0时，令/(力)>0,得TV力V0,此时/⑺单调递增，

令/(力)<0,得力>0,此时于(x)单调递减；

②当aVO时，令/'(力)>0,得力>0,此时/(力)单调递增，

•12•

令/'(/)<0,得一1〈力〈0,此时/(劣)单调递减；

综上所述，当Q>0时，/(①)在(—1,0)单调递增，在(0,+8)单调递减；

当a<0时，/(力)在(0,+oo)单调递增，在(—1,0)单调递减.

(2)记力=(/+1)—ln(T+1),

由(1)知，当Q=1时，/(/)=ln(N+1)一/</(0)=0,

则比一In(力+1)>0,则力=(力+1)—In(6+1)>1,

当x>—1时，/(⑦)=aln(x+1)—QN>―—:=ae恒成立，

eZ7_I_L<Z/I-L

①+1

即aln^x+1)—a(x+1)>—]对x>—1恒成立，

即a[(x+1)—ln(T+1)]ve^+D-inQ+D对力>—1恒成立，

t

则出;Ve",即aV%对方>1恒成立，

tee

令无⑴〃(力)--2―――对力>1恒成立，

xtt

则h(t)在(1,+00)单调递增，所以九«)>九(1)=e,

所以QVe,即实数Q的取值范围为(―oo,e).

题目可已知函数/(%)=「*,g(宏)=simr.

(1)求gQ)=sin/在力=0处的切线方程；

(2)求证：g[x},g'(宏)+l<.x,/(比)—Inx.

(3)当力€[0,7u]时，g(劣)—2[/(T)—1]<mln(T+1)，求实数nz的取值范围.

【解析】⑴因为g(宏)=sinrc,则(力)=cos/,g'(0)—cosO=1,g(0)=0,

所以，g(力)—sinrr在力=0处的切线方程为y—x.

(2)要证明g(x)•g(x)+l<x-f(x)—Inx,

即证：sinrr•cosa:+1—力•e*+ln/<0,

证：si：2%+i—力•y+lnTv0,(*)

设F⑸=sin2①—2/，则F\x)=2cos2/—2=2(COS2T-1)&0,

所以，F(T)在(0,+8)内单调递减，故尸O)<F(0)=0,

所以，当力>0时，sin2/V2x,

所以要证(*)成立，只需证力+1—力•e"+ln/&0,

设H(x)=ex—x—1,则H'(B)=ex—l,

当力>0时，攵(力)=ex-l>0,故函数H⑸在(0,+oo)上单调递增，

当力V0时，H'Q)=ex-l<0,故函数HQ)在(-oo,0)上单调递减，

故H(x)>H(0)=0,则1+1,

x+lnx

则e^x+m6+1,即x+Inx+1,故力+1—1・e*+ln140成立，

所以原命题得证.

•13•

(3)由题得sin/—2(1—1)WmlnQ+l)在力E［0,7t］上恒成立，

即h(x)—2e°+mln(力+1)—sinx—2>0,⑦G［0,兀］恒成立,

因为九'(力)=2ex-\—-COST,

①若?n>0,h!(x)>2e“一cos/>0,h(x)在［0,7u］上单调递增，h(x)>%(。)=0,符合题意;

②若7n<0,令p(力)=hf(x)=2ex-\——COST,力E［0,兀］,

x+1

则(p(x)—2e”....-—r+sin6>0,所以K(x)在［0,兀］单调递增，且//(0)=1+m,

(力+1)

(i)若—14馆V0,H(x)■//(€))>0,h(x)在［O,TT］上单调递增,h(x)>九(0)=0,符合题意;

(n)若?nV—1,“(0)<0,

当力>0时，0V―^―-V1,则K(x)=2ex-\—%—COST>2ex+m—1,

x+1x+1

取力=In1>0,则//(inij771)>2已“2+m—1=0,

f

则存在gg(0,lnl「馆)，使得当RG(O,xo)时，h(x)<0,h(x)单调递减，

此时h(x)<h(0)=0,不合题意;

综上，771>—1.

5j已知函数后(劣)=xex—mx,g(x)-InN+力+1.

(1)当772=1时，求函数无(力)的单调区间：

(2)若无(力)>g(x)在16(0,+oo)恒成立，求实数m的取值范围.

x

【解析】⑴当7n=1时h(x)=xe—xfh\x)=(劣+l)e°—1

设〃(力)=/(6)=(%+l)e,一1,则〃'(力)=(6+2)e*>0=>力>—2

〃'(6)=(6+2)e①V0=>x<-2

:.〃(%)即h!(x)在(—oo,—2)递减，在［—2,+oo)递增，

当力e(―8,—2),//(力)=(c+1)•ex—ivo,当力e［—2,0)13)v-(0)=o

而当/e［o,+00)/(6)>//(o)=0所以当%e(—8,o),//(/)<o,/i(x)递减;

xE［0,+00)/(%)>0,无(%)递增.

故函数增区间为［0,+8),减区间为(—00,0)

x

⑵m+1We---—=温—lna;—1，2e(0,+8)

XXX

令f(x)=温-In/-1，/⑸=些1e(0,+oo)

xX

令p(c)=x2ex+lnx,p(x)=ex(x2+2x)+—>0,xE(0,4-oo)

:.p(宏)在(0,+oo)递增,而0(工)=ee2—1<0,p⑴>0,

：.B6住(jl),使pQi)=0,即-e的+lna；i=0(*)

•14•

当比e(O,a;i)时，/'(力)<0,/(力)在(0,3；i)递减，当⑦G(如+8)时，/'(力)>O,/(rc)在(力i,+oo)递增

••J(2)min=/(g)=--

a?iXi

因为，亮为+皿2尸0(*)可变形为,追5=—上Inc产—In—=eIn^ln—(**)

XiXiX\Xi

又・・・g=/e：J=(力+1)1>0,・・・。=力/在(0,+oo)递增，

由(**)可得力i=lnL=—ln/i,e'"=L

XiXi

：./(/)min=/(61)=㊀刈———=-+1——=1m+K1m<0

故m取值范围为(—oo,0]

题目回已知函数了(0=x^—ax—alnx.

(1)若。=6,求/(力)的单调区间；

(2)是否存在实数Q,使对力e(0,+8)恒成立，若存在，求出a的值或取值范围;若不存在,请说明

理由.

【解析】(1)因为/(比)=%e”一ar—alnrr,

所以/(力)=(6+l)ex—a——(x>0),

即/(re)=8+1(d—a).

x

当a=e时，/(%)=n+1Qe^-e),

令gQ)=二'—e,则g'Q)=(比+l)e*>0,

所以g(力)在(0,+oo)单调递增，因为g⑴=0,

所以，当0V%V1时,gQ)<0,f\x)V0;当/>1时，g(x)>0,/'(力)>0,

所以/(力)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+8).

(2)设h[x)=x+Inrc,xG(0,+co),易知九(名)在(0,+co)单调递增.又当力G(0,1)时，力+Inx<1+In%

所以U=1+lnx(xG(0,1))的值域为(—oo,l)；

当力G[1,+co)时，y—x-\-In力(力G[l,+oo))的值域为[1,+8).

所以h(x)=x-\-Inx的值域为R.

故对于R上任意一个值班,都有唯一的一个正数g,使得g0=g+lng.

因为xex—ax-alnx—1>0,即e^^—a^x+In/)—1>0.

x+Xnx

设F(t)=^-at-1,tGR,所以要使e-a(x+In/)—1>0,只需F(^)min>0.

当aWO时，因为F(—1)二工+a—lVO,即/(一1)<1,所以a&O不符合题意.

e

当a>0时，当力G(—8,Ina)时，F'(t)=e"—a<0,F(t)在(—co,Ina)单调递减；

当力G(Ina,+oo)时，尸⑴=e%—a>0,F(t)在(lna,+oo)单调递增.

所以F«)min=F(lna)—a—alna—1.

•15•

设m(a)=a—a\na—1,aE(0,+oo),

则m'(a)=—Ina