河南省许昌市禹州市第三高级中学润泽校区2024-2025学年高二下学期3月阶段性考试数学试卷（原卷版+解析版）

禹州市第三高级中学润泽校区2024—2025下学期高二（3月）阶段性考试数学试卷命题人：刘倩倩审题人：陈水彩一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）1.已知直线与垂直，则实数（）A.3 B.-3 C.2 D.12.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.53.如图，四面体中，，，，，，且（）A. B.C. D.4.在的展开式中，的系数为（）A. B.15 C. D.305.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（）A.10种 B.12种 C.15种 D.18种6.“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（）A.2124种 B.2148种 C.2352种 D.2420种7.提供四种不同颜色颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（）A.288种 B.296种 C.362种 D.384种8.设分别是双曲线左右焦点，过双曲线上一点作切线交轴于点，若，，则该双曲线的离心率是（）A. B.C. D.二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．）9.已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（）A. B.C.被8整除的余数为1 D.10.现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）A.没有空盒子的方法共有种B.有空盒子的方法共有种C.恰有个盒子不放球的方法共有种D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种11.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（）A.B.第8行所有数字之和为256C.D.记第20，21行数字的最大值分别为，则三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在处的切线的倾斜角为__________.13.已知，那么________．14.数学的浪漫难以言表，今年是2025年，，，我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份成为“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信，则标题可起为______年之约.四、解答题（共5小题，共77分．解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数．（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两端位置；（2）全体排成一行，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（3）全体排成一行，其中男生必须排在一起；（4）全体排成一行，男、女各不相邻；（5）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；（6）全体排成前后两排，前排3人，后排4人．16.如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.17.已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，数列满足，求数列的前n项和.18已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求实数取值范围.19.已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点.（1）求的方程；（2）若，求的方程；（3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值.

禹州市第三高级中学润泽校区2024—2025下学期高二（3月）阶段性考试数学试卷命题人：刘倩倩审题人：陈水彩一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）1.已知直线与垂直，则实数（）A.3 B.-3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】利用两条直线垂直的充要条件计算即可得解。【详解】因，所以，所以。故答案为：B2.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可.【详解】由向量，，且，得，则，则.故选：C3.如图，在四面体中，，，，，，且（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解．【详解】，，，即.故选：D.4.在的展开式中，的系数为（）A. B.15 C. D.30【答案】B【解析】【分析】结合二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为，令，故，故的系数为，故选：B.5.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（）A.10种 B.12种 C.15种 D.18种【答案】A【解析】【分析】在四盏熄灭的灯中，使用插空法即可求解；【详解】四盏熄灭的灯产生的5个空中放入3盛亮灯，即不同的开灯方案有（种）故选：A6.“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（）A.2124种 B.2148种 C.2352种 D.2420种【答案】C【解析】【分析】由间接法，求得恰有3对和4对的情况，即可求解；【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有：,有4对相同的字母相邻的排法有：,8个字母的全排列为：,所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有：，故选：C7.提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（）A.288种 B.296种 C.362种 D.384种【答案】D【解析】【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案.【详解】首先三个区域有种涂法，当2号区域和6号区域同色时，有种涂法；当2号区域与4号区域同色时，有种涂法；当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法，综上，共有384种涂法.故选：D.8.设分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作切线交轴于点，若，，则该双曲线的离心率是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线的光学性质可知切线为的角平分线，求得各个内角，再结合正弦定理即可求解；【详解】连接，由双曲线的光学性质可知切线为的角平分线；则，又，所以，所以在中，由正弦定理可得：，所以，也即，所以，故选：D二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．）9.已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（）A. B.C.被8整除的余数为1 D.【答案】BCD【解析】【分析】先利用二项式系数和结论得到，然后取特殊值即可验证A，取得，与联立求解即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，求出每一项系数的符号并取特殊值即可验证D．【详解】由已知有，故，．所以．对于A，取得，取得，所以，A错误；对于B，取得，又，所以，B正确；对于C，，则后一项即为余数1，C正确；对于D，由有．在中取得，所以，D正确.故选：BCD．10.现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）A.没有空盒子的方法共有种B.有空盒子的方法共有种C.恰有个盒子不放球的方法共有种D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种【答案】AC【解析】【分析】对于A，没有空盒即4个球4个盒子全排列即得；对于B，可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解；对于C，恰有一个空盒，即另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，求解即得；对于D，只需从四盒四球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即得．【详解】对于选项A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，故共有种方法，所以选项A正确，对于选项B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，所以选项B错误；对于选项C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球，先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，再对三个盒子全排共有种方法，故C正确；对于选项D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种，另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误.故选：AC.11.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（）A.B.第8行所有数字之和256C.D.记第20，21行数字的最大值分别为，则【答案】BC【解析】【分析】根据“杨辉三角”，利用组合数的计算可判断A和C；利用二项式系数的性质可判断B和D.【详解】对于A，，所以，故A错误；对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，故D错误.故选：BC.三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在处的切线的倾斜角为__________.【答案】（或）【解析】【分析】根据导数的几何意义求导即可求得斜率，可得倾斜角.【详解】由题意得，当时，切线的斜率为1，故切线的倾斜角为.故答案为：13.已知，那么________．【答案】【解析】【分析】根据组合数公式的性质计算可得；【详解】解：因为所以所以，解得故答案为：14.数学浪漫难以言表，今年是2025年，，，我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份成为“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信，则标题可起为______年之约.【答案】千或1000【解析】【分析】利用数学归纳法证明，根据得到下一个完美平方年为，即可得答案.【详解】由题设，猜想，显然时，若时，成立，当时，，所以时，也成立，由，故下一个完美平方年为年，所以，故标题可为千年之约.故答案为：千或1000四、解答题（共5小题，共77分．解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数．（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两端位置；（2）全体排成一行，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（3）全体排成一行，其中男生必须排在一起；（4）全体排成一行，男、女各不相邻；（5）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；（6）全体排成前后两排，前排3人，后排4人．【答案】（1）2160种（2）3720种（3）720种（4）144种（5）840种（6）5040种【解析】【分析】（1）先安排甲，剩下元素全排列即可求解；（2）直接法：甲是否在最右端分两类求解；间接法：先排最左端位置（除去甲外），减去甲不在最左端且乙在最右端的情况即可；（3）由捆绑法即可求解；（4）先排好男生，再由插空法求解；（5）由定序法即可求解；（6）分排问题转换成直排即可求解；【小问1详解】甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共3个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排法．由分步乘法计数原理得共有种排法．【小问2详解】直接法（位置分析）：按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端有种排法；第二类：甲不在最右端时，甲有5个位置可选，而乙也有5个位置可选，而其余全排列，有种排法，由分步乘法计数原理得有种排法．故共有种排法．间接法：先排最左端位置，除去甲外，有种排法，余下的6个位置全排列有种，但应剔除甲不在最左端且乙在最右端的排法种．则符合条件的排法共有（种）．【小问3详解】将男生看成一个整体，进行全排列有种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有种排法，共有种排法．【小问4详解】先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的4个空位中，共有种排法．【小问5详解】第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列，因此有，故（种）．【小问6详解】由已知，7个人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有种排法．16.如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，可得答案；（2）由（1）的空间直角坐标系，求得平面的法向量与直线的方向向量，可得答案.【小问1详解】，，所以，又，，又，，，.在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，.，，，设为平面的一个法向量，令，得，.设平面的一个法向量，则，取，又平面与平面不重合，平面平面.【小问2详解】当时，为平面的一个法向量，，则，设，，，设直线与平面所成角为，，当且仅当时，等号成立，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.17.已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，数列满足，求数列的前n项和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质得到，即可求出，从而求出通项公式；（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得.【小问1详解】因，，成等比数列，又，所以，即，解得或，当时数列的通项公式；当时数列的通项公式；所以或.【小问2详解】因为，所以，所以，所以，则，所以，所以.18.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是（2）【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调性；（2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得.【小问1详解