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6.1.3用余弦定理正弦定理解三角形第二章

平面向量及其应用1.运用余弦定理、正弦定理解三角形；2.运用余弦定理、正弦定理解决与三角形有关的实际问题.1.余弦定理：2.正弦定理：

在三角形的三条边和三个角这6个元素中，如果已知3个（至少含一边长），那么由余弦定理和正弦定理，就可以求得其他3个元素，具体情形如下：

情形1：已知两个角的大小和一条边的边长.

先由三角形内角和定理求出第三个角的大小，然后根据正弦定理求得另外两条边的边长.情形2：已知两条边的边长及其夹角的大小.

先由余弦定理求出第三条边的边长，然后再由余弦定理求出第二、第三个角的大小.

情形3：已知三条边的边长.

先由余弦定理求出两个角，再利用三角形内角和定理求出第三个角.

情形4：已知两条边的边长和其中一边对角的大小.

由正弦定理求出第二条边所对角的正弦；

（1）判断是两解、一解还是无解；

（2）再根据三角形内角和定理得到第三个角的大小.

（3）由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长.例1：如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=30°，求∠BAD的正弦值和

BD的长.解：在三角形ABC中，AB=5，AC=9，∠BCA=30°由正弦定理，得

，则因为AD//BC，所以，于是在△ABD中，由正弦定理，得

，则例2：如图，一次机器人足球比赛中，甲队机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，已知dm，AD=17dm，，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？解：机器人最快截住足球的地方是机器人与足球同时到达的地方；如图，设该机器人最快可在

C处截住足球，BC=xdm，由题意，CD=2xdm，AC=AD-CD=17-2x.在△ABC中，由余弦定理，得因此，该机器人最快可在线段

AD上离点

A处7dm的点C处截住足球.解得

或

；例3：如图，AB是底部

B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.解：选择一条水平基线

HG，使

H，G，B三点在同一条直线上，在

G，H两点用测角仪器测得

A的仰角分别是

α，β；且CD=a，测角仪器的高是

h.

在中，由正弦定理，得.所以，这座建筑物的高度为总结实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明解：在

△ABC中，由正弦定理，得练习1：如图所示，在山顶铁塔上

B处测得地面上一点

A的俯角

α=60°，在塔底

C处测得

A处的俯角

β=45°，已知铁塔

BC部分的高为

h=30m，求出山高

CD.练习2：一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行，在

A处看灯塔

S

在船的北偏东

20°的方向，30min后航行到

B

处，在

B

处看灯塔在船的北偏东

65°的方向，已知距离此灯塔6.5nmile/h以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？

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