3-13-2数学期望省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第三章随机变量数字特征（约8课时）基本要求：1了解数学期望、方差定义2会求随机变量及函数数学期望方差3掌握一些惯用分布数学期望与方差4了解原点矩与中心矩概念5会求协方差与相关系数6了解切比雪夫不等式通常求出随机变量分布并不是一件轻易事,而人们更关心是用一些数字来表示随机变量特点,这些与随机变量相关数字,就是随机变量数字特征.最惯用数字特征为数学期望,方差和相关系数.第1页一袋中有5张卡片，其中有3张标有1元，2张标有4元，现从中随机抽取2张，金额这和即为参加者所得，但参加一次需要支付4.5元，你愿意参加这个赌博吗？为何？你愿意参加这项赌博吗？第2页100×5％+50×15％+(－20)×80％＝－3.5元有一项赌博，你有5％机会赢得100元，15％机会赢50元，而有80％可能输掉20元。你会参加这项赌博吗？第3页

例检验两批灯泡质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命(单位：小时)以下:A:150010005001000;B:15001500100010001000;试比较这两批灯泡质量好坏.观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,所以,B产品质量很好.计算得:平均寿命分别为:A:1200,B:1200,数学期望第4页数学期望是任何一个随机变量最主要也被最广泛使用数学特征,英文是expectation,另一个叫法为均值(meanoreveragevalue)它实际意义就是平均值.但属于一个更为严格意义下平均值.§3.1数学期望第5页1、一维离散随机变量数学期望

定义：离散随机变量X一切可能值xi与对应概率P（X=xi）乘积和叫做随机变量X数学期望，记作E（X）.假如随机变量X只能取得有限个值x1,x2……,xn,而取得这些值概率分别是P(x1),p(x2),……,p(xn)则X数学期望E(X)=x1p(x1)+x2p(x2)+…+xnp(xn)注意

数学期望反应了随机变量取值平均值,它是一个加权平均.第6页例1设随机变量X服从“0-1”分布求数学期望E(x).例2求§2.2例中取球次数数学期望.X数学期望E(X)=1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2(2)Y概率分布Y数学期望Y12…m…P（yi）0.40.4×0.6…0.4×0.6m-1…解:(1)取球次数X概率分布为20.10.20.30.4P（xi）431X解:

E(x)=0×q+1×p=p第7页利用已知幂级数展开式第8页练习:甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用x,h表示)分布律以下表所表示,试比较甲,乙两射手技术.解

Ex=10.4+20.1+30.5=2.1

Eh=10.1+20.6+30.3=2.2x123P0.40.10.5h123P0.10.60.3这表明,假如进行屡次射击,他们得分平均值分别是2.1和2.2,故乙射手较甲射手技术好.第9页例(补)两封信随机投向1,2,3,4四个信箱,x1,x2代表头两个信箱里信数目,求在第2个邮箱里有一封信条件下第一个邮箱内信数平均数(条件期望).解由已知可计算出第10页一个很迷惑游客赌博游戏在一个游客很多旅游胜地，发觉这么一类赌博游戏：赌主拿着一个装有20个大小一样玻璃球小袋，玻璃球共有红、黄、蓝、白、黑5种颜色。每种颜色均为4个球，让游客从袋中任意摸出10个球，如摸到红球4个黄球4个白球2个，则数字排列为442（按从大到小次序排列），以摸到各种球组成数字定输赢。要求以下表(其中“+”号表示赢，“-”号表示输)：第11页不一样颜色数字排列442433441142224311133312222243214221133223321132221输赢金额(元)＋10＋5＋5＋2＋2＋2＋1＋1＋0.5＋0.5－2－2.5取法总数摸到球色数字排列x1(442)取法数第12页数字排列种类组合种数概率P(xi)输赢金额X1(442)1800.001+10X2(433)4800.0026+5X3(4411)4800.0026+5X4(4222)43200.0234+2X5(43111)51200.0277+2X6(3331)51200.0277+2X7(22222)77760.0421+1X8(4321)115200.0642+1X9(42211)172800.0935+0.5X10(3322)172800.0935+0.5X11(33211)460800.2494-2X12(32221)619200.3741-2.5第13页设X表示旅客每赌一次输钱金额，则其数学期望为：假如天天有100人次参赌，则赌主天天大约可得104元。第14页在实际应用中,严格地讲是不存在连续型随机变量,尤其是在经济学领域,现在广泛采取计算机来存放数据,而计算机是无法存放一无限不循环小数,所以实际上值只能是有限多个.而之所以还使用连续型随机变量,是因为它组成了很好对非常密集离散型随机变量近似.我们也能够反过来用离散型随机变量来近似连续型随机变量.2.一维连续随机变量数学期望第15页定义设X是连续型随机变量,X~f(x),若绝对收敛,则称该积分为X数学期望,记为:EX=不然称X数学期望不存在.例若X服从[a,b]区间上均匀分布,求EX.所以解

第16页

例3在§2.5例1中,求击中点M与靶心O距离X数学期望.

解在§2.6例1中已经求得X概率密度X数学期望第17页例4设随机变量X服从柯西分布：求数学期望E(X)解：所以数学期望E(X)不存在。不过，因为反常积分不绝对收敛，第18页练习

设随机变量X服从参数为λ指数分布,求EX.解X概率密度函数为所以,第19页（1）设二维离散随机变量（X，Y）联合概率函数为P(xi,yi)，则随机变量X及Y数学期望分别定义以下：3.二维随机变量数学期望(了解)第20页（2）设二维连续随机变量(X,Y)联合概率密度为f(x,y),反常积分是绝对收敛则随机变量X及Y数学期望分别为：第21页§3.2随机变量函数数学期望(1)设离散随机变量X含有以下概率分布：XX1X2……Xn……P(xi)P(x1)P(x2)……P(xn)……则随机变量函数Y=g(X)可能值及取得这些值概率能够列表以下：Yg(x1)g(x2)……g(xn)……P[Y=g(xi)]P(x1)P(x2)……P(xn)……定理设X是离散随机变量,随机变量函数Y=g(X)数学期望E(g(X))存在,则E(Y)=E[g(X)]=1.X为离散随机变量情形第22页例1设随机变量X概率分布为X-2-10123P(xi)0.100.200.250.200.150.10求随机变量函数Y=g(X)=X2数学期望=(-2)2×0.10+(-1)2×0.20+02×0.25+12×0.20+22×0.15+32×0.10=2.30解第23页定理

设连续随机变量X概率密度为f(x)，随机变量函数Y=g(X)数学期望存在，则2.X为连续随机变量情形第24页例2设随机变量X服从[0,π]均匀分布,求解由题意得第25页(2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则定理

设g(X,Y)为随机变量X,Y函数,E[g(X,Y)]存在,(1)若(X,Y)为离散型随机向量,P(X=xi,Y=yj)=pij,则3.二维随机变量(X,Y)函数g(X,Y)数学期望(了解)第26页解X,Y边缘分布为X13P3/41/4Y0123P1/83/83/81/8所以E(X)=3/2,E(Y)=3/2,例

设(X,Y)联合概率分布为求E(X),E(Y),E(XY).X103/83/8031/8001/8Y0123第27页例3设二维随机变量(X,Y)联合概率密度为求随机变量函数Z=X2+Y2数学期望。解第28页解法2：随机变量函数Z=X2+Y2概率密度(P80例5)为.第29页小结E(X)=x1p(x1)+x2p(x2)+…+xnp(xn)2.一维连续随机变量数学期望EX=1.一维离散随机变量数学期望第30页定理一维随机变量X函数g(X)数学期望(2)若X为连续型随机变量,X~f(x),则(2)若(X,Y)为连续型随机向量,则3.随机变量函数数学期望