湖南省株洲市炎陵县某中学2024-2025学年高二年级下册开学考试数学试题

炎陵县2025年上期高二数学入学检测卷

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1.直线Gt-F+1=°的倾斜角为()

兀兀5127r

A.-B.-C.—D.—

63^3

【答案】B

【解析】

【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的

大小.

【详解】解：直线Jjx-j+l=0即故直线的斜率等于设直线的倾斜角等于a,

则3a<s>且tana--^3，故cz=《，

故选：B-

2.设兄是等差数列也；前“项和，若可+出+4=3,则*=()

A.5B.7C.9D.11

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】由q+4+4=3可得脑=3,故为=1,

5(4+%1<<

c=-----------=Jdy=J，

故选：A

3.抛物线।=的焦点坐标为()

A.(-,0)B.(0,-)C.(-.0)D.(0,-)

2248

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的标准方程即可求解.

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【详解】由-3可得卡="1',故焦点坐标为（01），

故选：D

4.若点P（41i为圆「•J。="的弦VA'的中点，则弦A/.V所在直线的方程为（）

A.2r--I0=(I

D.-(~

【答案】C

【解析】

【分析】弦的中点和圆心的连线必和弦所在直线垂直，所以直线斜率"=-1二6二一》，通过点斜式即可

得解.

【详解】•.•》：!+炉!-6*=0的圆心坐标为（3,。）,

k=__1_=_1

，所求直线的斜率-2^0~2,

二直线方程为v-2=-1（x-4）,即K+-8=0,

故选:C

5.与椭圆+9厂=36有相同焦点且过点（32）的椭圆的标准方程为（）

1510

2520

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆定义，结合两点距离求解。=M,即可求解.

22

【详解】》二=1的焦点为（土石,0）,

^(75+3)：+4+J(-V5+3)：+4=>/3(V5+1)+V3(V5-1)=2715=2o,

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故U二y/\T，h=yJ\T

22

因此所求的椭圆方程为:+—H-

1510

故选：B

6.已知直线/FA.=。与直线//x+（a+l）F+4=0,则“4=1”是“//〃」（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】当4=1时，可得出//〃2,当〃〃2时，得到4=1或-2,再利用充分条件与必要条件的判断方

法，即可求解.

【详解】当"=1时，/,T4：II,/;：X+2v+4=0,此时〃〃2,所以4=1可以推出〃〃2，

若“//」，由=解得4=1或a=-2,

当a=-2，ll:x-y=O,l2:x-y+4=0,显然有///&所以///4推不出o=1，

所以“a=1”是“充分不必要条件，

故选：A.

7.设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知（丽+丽一祝）•（而-衣）=0,则A』BC的形状是

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：：：（而+戏一访）.（而—次）=0，

ABticjpB-JC|=O..JB;-.4C:=0,gp|AB|=|AC|.AABC的形状是等腰三角形

考点：向量运算

8.已知曲线।=al+Mnr在点处的切线方程为「二2i+h,贝U

A.：.1r/二-IB...11IC.a=e',/>=1D.a=e./>=—!

【答案】D

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【解析】

【分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得。，将点的坐标代入直线方程，求得力.

【详解】详解：」'=ae*+lnx+l,

上=T'ki=ae+l=2，,a=e

将(I/)代入「=2x+b得2+b=l,b=-1,故选D.

【点睛】本题关键得到含有a,6的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.

二、多项选择题（每小题6分，3个小题共18分，全部选对得6分，有选错的得0分，部分

选对的得部分分.)

9关于双曲线：y_

1,下列说法正确的有（）

16

A.实轴长为4B.焦点为（二2、/T,0）

C.右焦点到一条渐近线的距离为4D.离心率为5

【答案】AC

【解析】

【分析】求得0），，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.

【详解】依题意a=2,b=4,c=j4+16=24,

所以实轴长2a=4,A选项正确.

焦点为上2括\0）,B选项错误.

右焦点（2不.。|到渐近线［-，-。的距离为率=4,c选项正确.

离心率£=m=",D选项错误.

a2

故选：AC

10.己知数列；"」的前”项和为兄，下列说法正确的有（）

A.若'一一，则数列：是等差数列

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B.若数列是等差数列且口>0,\=5IK,则当n=13时，S,取得最大值

C.若数列也；是等比数列，则S“，S2n-Sn,Sv,一邑，成等比数列

D.若数列.，；是等差数列，则邑““=（2〃+1）4.1

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,利用明与S,间的关系，求出“…即可求解；对于B,根据条件得d<0,

a13>0,a14<0,即可求解；对于c,取当”为偶数时，\=S2n-Sn=Sin-S2n=O,即可

求解；对于D,利用等差数列的前“项和公式及等差数列的性质，即可求解.

【详解】对于选项A,因为5,二（*♦II：①，当"22时，L二丁②，

由①②得到%=S“-S=।—J=2"M,又〃=1时，口…，不满足。“=2〃+1,

4.〃=1

所以凡=<、，、一则4=4,%=5,%=7,…，数列不等差数列，故选项A错误，

对于选项B,因为%>。，且则公差d<0,由Sx=$K,得到

%+00+•••+a”=5|吗|+0141=0,

所以q,>0,q,<0,故当”=13时，S,取得最大值，所以选项B正确，

对于选项C,取；”；为等比数列，且首项为q=7,公比为9=7,

当”为偶数时，\=S2n-S„=Sin-S2n=O,此时S,,S2n-5„,S5n一y“不成等比数列，所以选项C

错误，

对于选项D,因数列0」是等差数列，则邑-产5-----号—如■=」一卢丝1=（2〃+1）%,1,所以

选项D正确，

故选：BD.

12

11.若方程=♦]=I所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是（）

A.若（'为椭圆，则1</<3B.若（'为双曲线，则/>3或/<1

C.曲线c可能是圆D.若c为椭圆，且长轴在r轴上，贝M</<2

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【答案】BC

【解析】

【分析】分别根据选项曲线类型列出对应的不等式，解不等式判断即可

3T>0

【详解】若c为椭圆，贝『”1>0,且/工2,故A错误

若C为双曲线，则1）<°,」>3和<1，故B正确

若C为圆，贝心-/=一1,.」=2，故C正确

3T>0

若c为椭圆，且长轴在「轴上，则］，T>0,=2</<3,故D错误

/-I>3-/

故选：BC

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.函数/l,vl=—的单调递增区间是.

X

【答案】（0,e）

【解析】

【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间.

Inx

【详解】因为,则其定义域为（。，+8）,

x

fi.v）=k±£,令ru）>o,

X

即可得1ln.r>0,解得x<e,

结合函数定义域可知，函数/（V的单调增区间为（0，e|.

故答案为：（00.

【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域.

13.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行一次募捐活动，共获得捐款1200元.他们第1

天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每1天获得的捐款比前1天多10元，这次募捐活动

一共进行了天.

【答案】15

【解析】

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【分析】由题意知每天得到的捐款成等差数列，写出首项与公差，代入前”项和公式，即可解出答案.

【详解】由题意可知每日的募捐款构成首项为10,公差为10,前〃项和为1200,

则1200=10”+史—'—x10,解得力=15或"=-16（舍去），

2

所以这次募捐活动一共进行了15天.

故答案为：15.

，2

14.设双曲线C：1-；=1（0>0）>0）的左右焦点分别为F、F,过生作平行于r轴的直线交C于A,

B两点,若F"=13.IB=10,则C的离心率为.

【答案】|

【解析】

【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出|.华|,结合双曲线第一定义求出|.初心即可得到八万”的值,

从而求出离心率.

22

【详解】由题可知L8三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入=--厂=1

1azb2

.2（h2}（h2\）小.2

得n=土一，即/c,1,Bc,-，故»川=---=10,=—二5,

a\a/\a）0a

2

又以用-卜国二24,得|/"|=|4。+2。=2。+5=13,解得Q二4,代入h幺=5得/二20，

a

,,、c63

故t=；।*1'='b.,即「=6,所以e=

a42

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

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15.分别求符合下列条件的直线的方程

(1)过点由Lli且倾斜角120°

(2)过点利1.4)且与直线-y+I=。平行

(3)过点P门山且在两坐标轴上的截距相等

【答案】⑴Gr+.r-l-26=0

(2)2r-।^2-0

(3)X-2j=0或Jr+]-3=0

【解析】

【分析】(1)求出斜率，利用直线的点斜式方程求解.

(2)由平行关系设出方程，利用待定系数法求出方程.

(3)按直线是否过原点分类，结合直线的截距式方程求解.

【小问1详解】

由直线的倾斜角为120"得其斜率A=ianl2O°=-G，

所以直线的方程为『―l=->Q(x-2),即岳+了一1-26=0.

【小问2详解】

设与直线2-：，+1二。平行的直线的方程为二Oim，I),而直线过点P(l.4),

则2xI4•加=0,解得m=2,

所以直线的方程为h--r-2=0.

【小问3详解】

当直线过原点时，直线的方程为r=1.v,即「1=。，

当直线不过原点时，设直线的方程为上+工=1,则二+上=1,解得。=3,方程为JT+;二J,

aaaa

所以直线的方程为-21=0或I+「3=0.

16.已知等差数列：的前”项和为，，等比数列；的前〃项和为L,卜=I,…鼠；

(1)若q+4=3,求：〃；的通项公式；

(2)若。=21,求

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【答案】⑴"=2"'

(2)5=-6或21

【解析】

【分析】(1)由等差、等比数列通项公式基本量列方程组求解即可.

(2)首先由1=21得公比，结合%+4=2=l+d+g得公差，由此即可求解.

【小问1详解】

设等差数列：q：的公差为，/,等比数列；的公比为k

I</+(/=!(4=°4=2

由。2+4=2,%+4=3得：：一,，解得.(舍去)，|)[,于是"=2".

[q+2(/=2|//=l[a=­I

【小问2详解】

由4=21得一y20二口，解得q=-5或厂4.

当q=4时，由。2+4=2=l+d+g得d=3,,S,=]_2-5=-6；

当q=-5时，由%+4=2=l+d+g得d=6,力；二

综上所述，故,二-6或21.

17.如图，在四棱锥P-48(1)中，底面.48CO是菱形，ZBAD=^,△尸」。是边长为2的等边三角形,

(1)求证：PB.AD

(2)若？3=6,求直线8。与平面P/C所成角的正弦值

【答案】(1)证明见解析

⑵噜

【解析】

【分析】(1)根据线线垂直可得X。1平面尸8£,即可根据线面垂直的性质求解,

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(2)建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解.

【小问1详解】

证明：取4。的中点E,连接PE.8E.

•.•四边形.48CO为菱形，且/8.4。=60°,则

XVAPAD为等边三角形，P£工4。，

而P£cBE=E，尸E,8Eu平面28E,1平面P8E.

又•:PBc平面PBE,/.PB1AD.

【小问2详解】

若然二—,由13=LP=6可知，PE1EB,

而故PE1平面.4BCO,而8E14D.以点£为原点，包，£5,『户分别为》轴、」轴、

二轴的正方向建系.

则,4(1。。)，p(0,0,73),5(0,73,0),DM.O.OI,C(-2,V3,O).

故丽=(i,G,o),I?=(-i,o.V3),比=(-3,4,o)

设平面P4c的法向量i=(x,|-.：)

nLAPn-AP=0-X+yfiz=0

____\一即

nlACnAC=0-3x+-Jiy-0

令x=JL贝心=3,l=i,所以，平面P.“的法向量亓=

设直线BD与平面PAC所成角为。，

c,.亦〜I丽句11x73+71x3+0x112739

・sin0=cos<BD,n>=-=：-----=，—,=--------

BD\\n\并+函fxyl(y/i)2+3:+I113

所以直线8。与平面P」C所成角的正弦值为冬叵.

13

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Zj

18.设数列“二满足。|+3%+…+=".

(1)求；4,；的通项公式；

(2)求数列；,J,的前”项和.

2〃+1J

1

【答案】(1)%=:;~~;

2n-\

【解析】

【分析】(1)根据〃”时，q+3生，…”2"3)。一=〃-1,作差即可求解,

(2)利用裂项相消法即可求解.

【小问1详解】

因为q+3%+…M2"\\an=n,①

故当"22时，qJ3生+…“2〃31a“।=〃I.②

①②得(2〃」4=1,所以%■二.