集合、逻辑、复数（11题型+限时提升练）-2025年高考数学二轮复习专项提升

热点01集合、逻辑、复数

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

集合相等、元素与集合关系的判断、集合的交集、补集，元素与集合关系的判断、集合综合

充要条件与函数综合，集合与直线和圆综合。复数的运算，题、共甄复习

共辗复数，复数的三角形式以及三角恒等变换

热点题型解读

逊1集合的概窿与表示方法

[避7复数的卜、(

\壁2集合间的基本关系

[避8蛤新效卜、\/

pA_________//-｛壁3集邮谈

题型9复数与其它知识综合集合、逻辑、复数

4^7------------------醒4峻a数

题型10命题与其它知识综合卜//\\

/\'一[敏5复数的模

题型11集合与其它知识\

题型6复数的虚部

题型1集合的概念与表示方法

775o24-±BB^£i)"¥I由寐丽看丽薇丽霰另二1：'

【答案】｛红,黄｝;

【知识点】列举法表示集合

【分析】根据集合的定义即可求解.

【详解】中国国旗上所有颜色组成的集合为｛红,黄｝.

故答案为：｛红，黄｝.

2.(2024•上海宝山•二模)己知集合4=｛2,|0+1],。+3｝,且le/,则实数〃的值为.

【答案】0

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得.

【详解】由集合/={2,|0+1],。+3},且1",得=1或.+3=1,解得a=0或a=-2,

当°=0时，/={2,1,3},符合题意，

当。=-2时，=1且。+3=1,与集合元素的互异性矛盾，

所以实数”的值为0.

故答案为：0

题型2集合间的基本关系

3.（2024.上海杨浦•一模）已知集合力={。,6},则A的子集个数为.

【答案】4

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】利用子集概念列举出即可得到答案.

【详解】集合/={“回,则集合A的子集有：0,{a},{b},{a,b\

所以集合A的子集个数有4个.

故答案为：4.

4.（2024・上海嘉定•二模）若规定集合£={0,1,2,……，小的子集{%,0，%，…，*}为£的第后个子集，其中

%=2"|+2传+2%+……+2"”,则E的第2n个子集是.

【答案】{0,1,4,6,7}

【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集）

【分析】正确理解左的含义，左=211时，即要先求出满足2"<211,2.>211的"=7,即E的第211个子集

应含有的元素，计算出211-27=83,再要求满足2'<83,2向>83的"=6,即£的第211个子集应含有的元

素，如此类推即得.

【详解】H27=128<211,28=256>211,则E的第211个子集必包含7,止匕时211-128=83；

又因26=64<83,27=128>83,则E的第211个子集必包含6,此时83-64=19；

又24=16<19,25=32>19,则E的第2n个子集必包含4,此时19-16=3；

又21=2<3,22>3,则E的第211个子集必包含1；而2。=1.

综上所述，E的第2"个子集是{0,1,4,6,7}.

故答案为:{0,1,4,6,7}.

5.（2024•上海•模拟预测）考虑{无|0<%<12,xeN}的非空子集B,满足3中的元素个数等于3中的最小元素,

例如，8={4,6,8,11}就满足此条件.则这样的子集3共有个.

【答案】144

【知识点】集合新定义、组合数的计算

【分析】由题意，且集合8中的最小元素不能大于6,再根据集合8中的最小元素进行讨论，即可

得解.

【详解】由题意，0e8,且集合8中的最小元素不能大于6,

当集合8中的最小元素1时，这个的集合B只有{1}这1个，

当集合3中的最小元素2时，这个的集合B有C：。=10个，

当集合3中的最小元素3时，这个的集合8有C；=36个，

当集合3中的最小元素4时,这个的集合8有C；=56个，

当集合8中的最小元素5时，这个的集合8有C；=35个，

当集合3中的最小元素6时，这个的集合B有C：=6个，

所以满足题意的子集B共有1+10+36+56+35+6=144个.

故答案为：144.

题型3集合的运算

6.（2024•上海・三模）己知集合「={1,2},0={1,3},M={x|xe尸或xe。},则河=（）

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3}

【答案】D

【知识点】并集的概念及运算

【分析】根据给定条件，利用并集的意义求出M即得.

【详解】集合尸={1,2},2={1,3},M={x|xe尸或xe。},

所以M={1,2,3}.

故选：D

7.（2024・上海•三模）已知集合>={1,3,4},B={a,a+\],^A[}B=B,则。=.

【答案】3

【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数

【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.

【详解】集合/={1,3,4},B={a,a+\},由“口3=3,得又a+l-a=l,

[{2+1=4

因此I,所以4=3.

[a=3

故答案为：3

8.（2024・上海虹口•二模）已知集合4={邓@4:<0},5=卜上『wo1,则/口5=.

【答案】X^<x<2

【知识点】分式不等式、解正切不等式、交集的概念及运算

【分析】先求出集合48,再根据交集的定义即可得解.

【详解】={x|tanx<0}=+k7i<x<hi,kEZ

所以/c3=[x]<xW2

故答案为：|xlf'<x-2l

9.（2024・上海•三模）若集合/={0,2,4},8={1,2,3},则/U8=.

【答案】{0,1,2,3,4};

【知识点】并集的概念及运算

【分析】根据集合并集的定义即可求解.

【详解】由集合的并集定义可得，因为/={0,2,4},3={1,2,3},

所以/U8={01,2,3,4},

故答案为：{0,1,2,3,4）.

10.（2024•上海•模拟预测）设全集。={1,2,3,4,5},集合/={2,4},贝。=.

【答案】{1,3,5}

【知识点】补集的概念及运算

【分析】根据补集的定义可求7

【详解】由题设有）={1,3,5},

故答案为：{1,3,5}

11.（2024•上海金山・二模）已知集合河={1,3,5,7,9},N={x|2，=8},则=

【答案】⑶

【知识点】简单的指数方程、交集的概念及运算

【分析】计算出集合N后，利用交集定义即可得.

【详解】由/={尤［2，=8}={3},故McN={3}.

故答案为：{3}.

12.(2024•上海浦东新•三模)已知全集。=11,集合/={#2一3%+2叫，则]=.

【答案】(1,2)

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、补集的概念及运算

【分析】先求出集合A,然后结合集合的补集运算即可求解.

【详解】•.•[;=]</={无卜2-3x+2N0}={x|x22或xWl},

则1=(1,2).

故答案为：(1,2),

13.(2024・上海•模拟预测)设集合/=卜.=/*+4苫],8=3强3卜_1)<1}，则/口2=.

【答案】(1,2]

【知识点】由对数函数的单调性解不等式、交集的概念及运算

【分析】求了=---+4》的值域得到集合A,解不等式log3(x-l)<l得到集合8,再求交集即可.

【详解】当x=2时，--+以有最大值4,所以-x2+4xe[0,4],

y=^-x2+4xe[0,2],所以/=[0,2],

logs等价于logs(x-l)<logs3,则0<x-l<3,

xe(l,4),所以3=(1,4),故/口3=(1,2].

故答案为：(1,2].

14.(2024・上海•三模)已知集合/=卜|上一1|<1},8=则202=.

【答案】(1,2)

【知识点】几何意义解绝对值不等式、分式不等式、交集的概念及运算

【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合A、B,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由上一1|<1,即解得0<x<2,

所以/={V卜_"<1}={乂0<%<2},

11—Y

由一<1,即——<0,等价于(l-x)x<0,解得无>1或无<0,

XX

所以8={x}<l[=(-oo,0)u(l,+<»),

所以NcB=(l,2).

故答案为:(1,2)

题型4共辆复数

15.-2024-±W^^.Hi7巨如数；布Y，飞j示的祢i定福阳"-"'

A.z+7一定是实数B.z-T一定是虚数

C.若z+7=0,则z是纯虚数D.若z-7=0,贝”是纯虚数

【答案】A

【知识点】共轨复数的概念及计算、根据复数加减运算结果求复数特征

【分析】根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解.

【详解】设z=a+bi/,aeR,贝!|"=a-历，故z+7=2。为实数，故A正确，

对于B,z-z=2bi,当6=0时，此时z-彳为实数，故B错误，

对于C,z+7=2a=0,贝！|。=0,当6=0时，此时z为实数，C错误，

对于D,z-了=2历,=（）,贝|b=0,则z是实数，故D错误，

故选：A

16.（2024•上海长宁•二模）设zeC,则"z=7是"zeR"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】共朝复数的概念及计算、充要条件的证明

【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.

【详解】设z=a+6i,则胃="历，

由z=z可得6=0，所以z=aeR,充分性成立，

当zeR时，即z=a,则z=a，满足z=z，

故"z=”是"zeR”的充要条件.

故选：C.

17.（2024・上海青浦•一模）在复平面内，复数z=l+；i（其中i是虚数单位）的共辗复数对应的点位于

第一象限.

【答案】四

【知识点】共朝复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】求出复数的共软复数即可得解.

【详解】因为z=l+；i,

所以彳=1一1,

所以复数彳对应的点在第四象限.

故答案为：四

题型5复数的模

18.（2024•上海•三模）设复数z=2i（2+i）,则|z|=.

【答案】2口

【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模

【分析】根据复数的乘法运算可得z=-2+4i,结合复数的几何意义计算即可求解.

【详解】由题意知，z=2i（2+i）=4i-2=-2+4i,

所以|z|=J（-2y+42=26.

故答案为：26

19.（2024・上海•三模）已知复数z=-3+4i（i是虚数单位），则忖=

【答案】5

【知识点】求复数的模

【分析】直接利用复数的模的公式求解

【详解】因为复数z=-3+4i,所以目=存弄=5,

故答案为：5

题型6复数的实部与虚部

20.（2024•上海•三模）而于食薮z=1+2/（i是虚双单彳立），Imz=.

【答案】2

【知识点】求复数的实部与虚部

【分析】根据给定条件，直接求出复数的虚部即得.

【详解】复数z=l+2i的虚部为2,所以Imz=2.

故答案为：2

21.（2024・上海奉贤•三模）复数3+2i的虚部是.

【答案】2

【知识点】求复数的实部与虚部

【分析】根据复数虚部的定义即可得解

【详解】复数3+2i的虚部是2.

故答案为：2.

22.（2024•上海虹口一模）已知非零复数z满足匕-1|=1，BT=1,则z的虚部为.

【答案】-1

【知识点】由复数模求参数、共轨复数的概念及计算

【分析】设z=a+6i（M#0）,根据复数的模得到方程组，解得即可.

【详解】设z=a+6i（a6w0）,则

因为|z-l|=l,=

所以z=l-i,则Z的虚部为—1.

故答案为：-1

题型7复数的运算

23.（2024・上海静安•一模）己知i是虚数单位，（入+i）（「2i）是纯虚数，则实数加的值为一一二一

【答案】-2

【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算

【分析】根据复数的乘法运算和复数分类即可得到答案.

【详解】（w+i）（l-2i）=m+2+（l-2m）i,

因为其为纯虚数，则〃7+2=0且1-2加/0,解得机=-2.

故答案为：-2.

24.（2024・上海,模拟预测）已知方程x2-2x+0=O（peR）的一个根是1+后一（i是虚数单位），贝l]P=.

【答案】4

【知识点】复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算

【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轨复数，再利用韦达定理结合复数的chengfa运算即可得解.

【详解】因为方程--2x+°=0（peR）的一个根是1+6,

则方程一一21+。=0（0€11）的另一个根是1一后,

所以（1+四）（1_/）=〃，所以0=4.

故答案为：4.

25.（2024・上海•模拟预测）复数z=F~,则zi=____.

3+41

【答案】|/0.2

【知识点】共轨复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算

【分析】先利用复数的除法运算化简z,再利用复数的乘法计算即可.

l+2i（l+2i）（3-4i）ll+2i112.

【详解】----------------------------=---------=-----1----]

3+4i（3+4i）（3-4i）252525

-f112.V11212141251

z'z—\-1--1-----------i=-------1---=--=-

（2525人2525）6256256255

故答案为：—

题型8集合新定义

26.（2024・上海静安•二模）如果一个非电集合G上定义了一个运算*,满足如下性质，则称G关于运算*构

成一个群.

（1）封闭性，即对于任意的a,beG,有a*beG；

（2）结合律，即对于任意的a,6,ceG,有（a*6）*c=a*（6*c）；

（3）对于任意的a,6eG,方程x*a=6与a*»=6在G中都有解.

例如，整数集Z关于整数的加法（+）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对

于任意的a,6ez,方程x+“=6与a+y=b都有整数解；而实数集R关于实数的乘法（x）不构成群，因为

方程Oxy=1没有实数解.

以下关于"群"的真命题有（）

①自然数集N关于自然数的加法（+）构成群；

②有理数集Q关于有理数的乘法（x）构成群；

③平面向量集关于向量的数量积L）构成群；

④复数集C关于复数的加法（+）构成群.

A.0个；B.1个；C.2个；D.3个.

【答案】B

【知识点】集合新定义

【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.

【详解】对于①，x+3=2,在自然数集中无解，错误；

对于②，0x^=1,在有理数集中无解，错误；

对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误；

对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律，

且对任意的方程x+a=6与a+y=Z）有复数解，正确.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3

个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论.

27.（2023•上海徐汇•三模）对任意数集/={%,电，%}，满足表达式为了=尤3+/-》-1且值域为A的函数个

数为P.记所有可能的夕的值组成集合B，则集合B中元素之和为.

【答案】643

【分析】根据给定条件，探讨函数了=x3+x2-x-1的性质并作出图象，求出集合3,进而求得答案作答.

【详解】yr=3x2+2x-l=(x+l)(3x-1),当x<T或时，V>0,当一l<x<1•时，V<0,

即函数夕=/+/一%—i在(_*—i),g,+8)上单调递增，在(—11)上单调递减，

132

当x=-l时，函数无一1取得极大值0,当x=§时，该函数取得极小值-力，图象如图:

观察图象知，当y==1,2,3)与图像有一个公共点时，相应的X有1种取法;

当y=a,(，=1,2,3)与图像有两个公共点时,相应的x有22-1=3种取法；

当y=%(i=1,2,3)与图像有三个公共点时，相应的x有23-1=7种取法，

直线V=ax,y=a2,y=电与函数图象的交点个数可能的取值如下：

(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,3),(2,2,3),(2,3,3)(3,3,3),

对应的函数个数为1,3,7,3x3,3x7,7x7,3x3x7,3x7x7,7x7x7,

1+3+7+3x3+3x7+7x7+3x3x7+3x7x74-7x7x7=643.

所以集合3中元素之和为643.

故答案为：643

【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的

其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.

28.(24-25高三上•上海•期中)设/={0,1},集合。={(占/2，...,项84)区1户2，一/384€/},对于。中的任意两

个元素£=(尤1户2广.，龙384)、/=(%，84)，定义

a*-Xj）+（x2+y2-x2y2）+-•■+（x384+-x384y384）,设〃、veQ,若"*z，+v*v=384,贝

的最小值为.

【答案】192

【分析】由苍（苍-1）=0,可得X]+%+…+退84+M+%+…+%84=384,分析得X],3,…%84，m,%，…%84中有

384个1,384个0,进而由〃*V=384-（X]必+苫2%+…+%84%84）可得最小值.

【详解】设〃=（再户2,…,X384），V=（%,%，…，%84），

因为尤,e{0,l},所以为(X,-1)=0,

所以"*"=

"*"=（乃+必一疗）+（%+%—y；）+~+（为84+%84一墟4）=必+%+2+%84，

由〃*〃+V*V=384,得玉+工2~1---1~工384+必+%"*I-%84=384,

所以国,％2,…％384,%，％，…%84中有384个1,384个0,

〃*V=（X]+%一再必）+（Z+%-）+…+（尤384+%84-尤384%84）

=384—（玉必+/了2+.•,+^84^384）.

注意到只有匕=%=1时，xiyi=1,否则x,%=0,

而再,无2,…w84,84中有384个1,384个0,所以满足七%=1的最多有192个，

所以〃*32384-192=192,

故答案为：192.

【点睛】关键点睛，本题解题的关键是对新定义的理解，得到%（匕-1）=0,再进行运算.

题型9复数与其它知识综合

29.（2024.上看豪彦二葡三赢面内,0为坐布最占援薪：[『4-町,22=12+A'z',

其中i为虚数单位，则西，酝的大小为.

【答案】arccos1|.

65

【知识点】复数的向量表示、数量积的坐标表示、向量夹角的计算

【分析】由复数乘法运算求得向，进而得到两，两，利用向量数量积运算和模长公式求得

cos（西,西），进而得到（西，区）.

【详解】因为Z|=i（-4-3i）=3-4i,z2=12+5i,

所以西=（3,-4）,氏=（12,5）,

西•西3x12-2016

所以"4。4”飞H小后三飞'

所以（OZ],OZ2）=arccos^|.

30.（2024•上海杨浦•一模）已知实数。>0,i是虚数单位，设集合/=—z=w+：,|M>LweC,zec1,集

合2=同2-1+其=a/€（：｝,如果Bq/,则。的取值范围为.

【答案】（0,1）。（厢,+可

【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、求复数的模

【分析】解法一：明确集合48的几何意义，数形结合，根据几何意义即可求得参数范围.

解法二：先证明不属于A的复数z,恰好是那些区间卜2,2]上的实数，再利用该结论得到取值范围.

【详解】解法一：由于同〉1，设叩二人0$。+15由。）/>1,

]

贝|w+—=r(cos^+isin^)+

、w厂(cosO+isine)

cos^-isin^r+Jcosa+i1―[sina,

二尸(cos6+isine)+

r

1]

设z对应点（X,y）,则》=r+—\cosa,y=sina,

,其中">2/-!>0,

所以1

r+-rr

r

当/*>1时，该方程的几何意义为表示所有椭圆的并集，

即平面上除去线段44的点的集合，其中4（-2,0）,4（2,0）,

集合8={z||z-l+i|=a,zeC}表示复平面上的圆，圆心为（1,-1）,半径为a,

如果8g/,则该圆与线段44无公共点,

1、42》

弧1'7

结合图形可知〃的取值范围为（0,1）。（质,+可；

解法二：

先证明：不属于A的复数z,恰好是那些区间［-2,2］上的实数.

下设z是复数.

①情况一：z不是实数，也不是纯虚数.

i.2i.2

设z=reia（r、0,aeR）,z2-4=7?-ei/?（7?>0,^eR）,并令..i+Me'、,r-elg-V^-e'?

1-22-2

=

贝I]对a=1,2,有(唳一]j=]唯一手=瓜;2即w；_z-w+l=0.

\7

假设W左=0,则0=比一Z,叫+1=()2-2,0+1=1,矛盾，所以纵w0,从而叫+'=z.

444

所以i=m=i叼引=网1词.

.邑

止匕时，假设I吸|二|叱|=1：由于“二，e+j^e_=—00867+^-008—>1+—sincr+^-sin—i

12(222)(222J

2

...12IRfr4R(r.4R.夕丫rRr4R(⑶

故1=1=w.=—coscrd-----cos—+—smcrH-------sm—=1-----1-------cosa-----.

I"(222)(222J4422J

同理，根据|甸=1可以得到1=[+：-乎cos(a-£|.

,r2Rr4R(〃、工皿,Rry[R(夕)工口4工i口、t

对1=----1-----1-------cosa和1=——+------------cosa相力1r口ln和相减，

442V2J4422J

就能得至心=。+生W^cos(a-2]=0.

442I2J

若假设7?=0,贝lj(z—2)(z+2)=z2—4=%皿=0,从而2=2或z=—2,

这和情况一的定义矛盾，所以R>0.

若假设厂=0,则z=r/a=0,从而z=0,这和情况一的定义矛盾，所以外>0.

这就得到半>0,所以cos]a-g=0,所以f=1+(2加-1日(加eZ),

即P=2cr+(2m-l)7c(meZ).

2a2ia(22i(2M1)71

这就得到z?-4=Rd=R-e'(2"+(2"T*)=Re'-^"-^=^(reY-e'"-^=^z-e-.

y\Jy

DD

所以Z2-4==Z2或Z2-4=-2Z2,无论哪种情况都能得到z?是实数，故可设z2=ceR.

rr

若ezo,则0=z2-c=(z-G)(z+G),得2=土正是实数，这和情况一的定义矛盾.

若c<0,则0=z2-c=(z-i五)(z+iG),得Z=±i人是纯虚数，这和情况一的定义矛盾.

故前面的假设1叫1=1甸=1不成立,所以结合1=1印网可知,

一定存在k=l,2使得|町|>1,结合%+(=z可知ze/.

②情况二：z是纯虚数.

此时设z=mg/0),则卬=q+62+4j满足IT=q+忖+40+V0+4,

->-------------=1，

21122

且

1q+Jq2+4.1q+dq2+4.2.q+《q2+4.Jq2+4—q.

WH——=--------------1H-------；---------=--------1---------/=--------------1--2-------------1=qi=

W2q+y]q2+4.2q+y/q2+4,22

2

故Z£/.

③情况三：Z是实数，且z>2.

此时w=满足同=

z+yjz2-4z-y/z2-4

------------1-------=--z---故2£/.

22

④情况四：z是实数，且z<-2.

此时川=-z+^7满足M=-z+^7

二1，

2

且校+工=z-y/z—42

-------1------/7=Z,故Z£4.

W2z-y/z2-422

⑤情况五：z是实数，且z«-2,2].

0

假设zeN,则存在复数川使得H>1，且w+』=z,^W^ro-e'(ro>l,0eRY

w

1010

则z=w+工=rQed——二=roe+—e-3=f^+—cos8+i(q--sin0.

w小4IIr.)

111c

从而“+—cos6=z,rQ----sin6=0,而由4〉1可知为——>l—;=0,

II41

所以sin6=0,故|cos4=1.

矛盾.

这就得到22,=cos0=rQ+—=伍一2。>%=2,

IroJ4roro

所以假设不成立，从而

综合上面五种情况，就得到了结论：不属于A的复数2,恰好是那些区间卜2,2]上的实数.

现在回到原题，结合上面的结论，条件等价于3中包含的每个实数都不属于-2,2].

一方面，若8中包含一个实数z,满足一2WzV2.

2

贝[a=|z-l+i|=J（z-1『+121,a=|z-1+i|=^（z-l）+l=^（z+2）（z-4）+10<V10,Ml<a<V10.

另一方面，若而，则实数2=1—，/一1满足z=l-J/-i一，（可『一1=一也=_2,

z=l-Va2-l<1<2.

故3中包含一个实数z,满足_24z42.

这就说明，8中包含一个实数z满足一2VzW2的充要条件是IV.W厢.

所以0的取值范围是（0,1）。（质,+可.

故答案为：（0,1）。（丽,+。）.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对复数知识和三角恒等变换的使用.

题型10命题与其它知识综合

31."(2024-±j$^E-^"三两1万二焉5客而诵而茬聚湎亚而£6SSL"

AB=AC=2V2,ABAC=90",二面角P-2C-4的大小为45。，则对以下两个命题，判断正确的是()

Q

①三棱锥。-48C的体积为1;②点P形成的轨迹长度为2血兀.

A.①②都是真命题

B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题

D.①②都是假命题

【答案】A

【知识点】立体几何中的轨迹问题、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、判断命题的真假

【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断△/2C外心q和APBC外心Q的

位置，利用垂直关系证明Q是力。中点，利用体积公式判断①，根据为定长判断P点轨迹是圆，判断

②.

【详解】由题意知NB=/C=2板,NA4c=9(T,故8C=4,

设△NBC外心为Q,则Q为5c的中点，设△尸3c外心为口，如图，

则OOX±平面ABC,OO21平面PBC,

;2Cu平面/8C,8Cu平面尸8C,

OOX1BC,OO2±BC,

■：OO2nOOX=O,,.・。。2，。。1u平面OO]Q,8C_L平面0002,

又因为则/Qu平面0002，即A,O\,o,Q四点共面，

则BC,平面。/。，

连接。02,则为二面角尸-2。-/的平面角，

,二面角P-2C-/的大小为45。，,N/O02=45°,

而/Od=；BC=2,因为。。2,平面P8C，。。2<=平面P8C,

故。。2_1。1。2，而OQ=yJO加=2,则aO=VI，

在△4002中，(/。2)2=(/，)2+(。。2)2-2/01•002cos45°=2,

则4。2=后，^OA^142=AO2+OO2,即4。?,。三点共线，

且Q是。/的中点；

则匕TBC=gX0。XSaJ2jC=1x2x|x2V2x2V2=|,故①是真命题；

又；02P=］。尸2-(。。2)2=7^2=V6,

点尸形成的轨迹是以。2为圆心，半径为痛的圆，

.•・轨迹长度为2灰兀，故②真命题.

故选：A.

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据空间的位置关系，推出4Q。三点共线，及说明&是。4得

中点，从而确定点P形成的轨迹.

32.(2024・上海•模拟预测)定义一个集合。，集合中的元素是空间内的点集，任取用心乙e。，存在不全

为o的实数4,4,4,使得+4西+4就=0.已知(i,o,o)ec,贝I(o,o,i)e。的充分条件是()

A.(0,0,0)eQB.(-1,0,0)eQ

C.(O,l,O)eQD.(0,0,-l)eQ

【答案】C

【知识点】判断命题的充分不必要条件、空间向量的坐标运算

【分析】首先分析出三个向量共面，显然当(1,0,0),(0,0,1),(o,l,0)eC时，三个向量构成空间的一个基底，

则即可分析出正确答案.

【详解】由题意知这三个向量赤、配，西共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，

对A,由空间直角坐标系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(0,0,0),(1,0,0)e。无法推出

(0,0,1)任。，故A错误;

对B,由空间直角坐标系易知(-1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(-1,0,0),(l,0,0)eQ无法推出

(0,0,1)血故B错误；

对C,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，

则由(1,0,0),(0,1,0)eQ能推出(0,0,1)eQ,

对D,由空间直角坐标系易知(1。0),(0,0,1),(0,0,-1)三个向量共面，

则当(0,0,-1)(1,0,0)eQ无法推出(0,0,1)eQ,故D错误.

故选：C.

33.(2024•上海•三模)在平面直角坐标系xQy中，双曲线口、人的中心在原点，焦点都在x轴上，且口与

「2不重合.记和、12的离心率分别为6、4,则“9=02"是“却与:T?没有公共点”的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、判断命题的充分不必要条件

【分析】由双曲线的离心率计算公式及方程组解的情况，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】设双曲线一、「2的长半轴长分别为为，出，短半轴长分别为配8，

2222

=

双曲线「1：~2~T2~»双曲线「2：T-与=1，

axbxa2b2

若即e：=e；,则1+竺=1+与,即驾=巧，此时6尸打，否则A、乌重合，

axa2axa2

2-y2b

2x=l

显然方程组无解，即双曲线口与「2没有公共点;

氏22b

alx-y=l

[=1,方程组，3

令双曲线口：尤2双曲线jf[无解，

I33

即双曲线「与「2没有公共点，而目=6，有G*e?，

所以=02〃是与匕没有公共点”的充分不必要条件.

故选：A

34.(2024•上海闵行•二模)已知/(x)=sin无，集合。千券与，「=|2/(x)+〃y)=0,x,ye£>},

Q={(x,.y)|2/(x)+/(y)>0,x,yeD].关于下列两个命题的判断，说法正确的是()

命题①：集合r表示的平面图形是中心对称图形；

命题②：集合。表示的平面图形的面积不大于得.

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

【答案】A

【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求含sinx的函数的奇偶性、判断命题的真假

【分析】根据〃x)=sinx是奇函数，可以分析出当(x,y)e「时(-x,-y)er,所以集合「表示的平面图形是

中心对称图形；结合集合「代表的曲线及不等式的范围可以确定集合。表示的平面图形，从而求得面积,

5万2

与工进行比较.

12

【详解】对于「={(》,好2/卜)+〃力=0,x/e。},集合。=唱,学关于原点中心对称，且函数/(x)=sinx

是奇函数，

若贝IJ2/(x)+/(y)=0贝IJ2/(-x)+/(—了)=一2/(可一/(y)=-[2/(x)+/(y)]=0,

即若(xj)e「则(-x,-力e「，即集合「表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题；

对于C={(x,y)|2〃x)+/(y)Z0,x,ye£)},

由2/(%)+/(歹)=0即2sinx+siny=0知siny=—2sinX,

设，=siny,y£-%,?,贝！与歹---对应且/随歹的增大而增大，闫T,",

又由,=—2sinx知一2sinx£[—l,l],sinx£一;，

结合工£知在xw范围内,/与X对应且f随X的增大而减小,

2zoo

77"TTTTTT

所以在xe/e范围内，了与一一对应且y是关于x的减函数,

oo22

7171

由①可知2sinx+siny=0图象关于原点中心对称，所以可得到2sinx+siny=0在xe,ye

oo5'万

的图象，如图

代入点(胃，!^可得2sin]+sin]=3>0,所以2sinx+sinyN0的区域是右半部分,

面积为正方形面积的一半，即集合。表示的平面图形的面积S=；x兀'兀=：兀2>(兀2,故②是假命题.

故选：A.

【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围

第一步：得到等式对应的曲线；

第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式;

第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式

所表示的区域.

35.（2024•上海浦东新,三模）"-2<x<2"是"卜+2|+k-2归4”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、分类讨论解绝对值不等式

【分析】求出忖+2|+,-2区4的解集，根据充要条件的定义即可得到结论.

—2x,xW—2

【详解】令〃x）=|x+2|+|x-2|=，4,-2<x<2,所以/（x）44的解集为：[-2,2],

2x,x>2

所以"-2<x<2"能推出牛+2|+k-2区4,

而“|x+2|+|x_2归4不能推出“_2<x<2”即"一2<x<2",是“卜+2|+,一2|44”的充分不必要条件；

故选：A

36.（2024・上海青浦•二模）若无穷数列｛4｝满足：存在正整数T,使得a.+r=%对一切正整数"成立，则称｛%｝

是周期为T的周期数列.

⑴若&=$也一+丁（其中正整数机为常数，"€N,〃N1）,判断数列｛%｝是否为周期数列，并说明理由；

Vm3J

（2）若。"+i=g+sina,（〃eN,"Nl）,判断数列｛%｝是否为周期数列，并说明理由；

⑶设也｝是无穷数列，已知%="+sina“（〃eN,〃洲.求证："存在％,使得也,｝是周期数列”的充要条件

是"也｝是周期数列

【答案】（1）｛%｝是周期为2刃的周期数列，理由见解析

⑵答案见解析

⑶证明见解析

【知识点】