几何求解分类训练（单选题4种类型40道）解析版-2025年重庆中考数学复习专项训练

专题02几何求解分类训练

（单选题4种类型40道）

目录

【题型1求选段的长度】.........................................................................1

【题型2求选段的比值】........................................................................15

【题型3用字母表示角】........................................................................30

【题型4综合题（考查可能不大，作为基础训练）】...............................................43

【题型1求选段的长度】

1.如图，在正方形2BCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC',连接CC'QC',若NCC'D=90。，CD=3,则

C.3V3D.3V5

【答案】D

【分析】过点B作BEICC'于E,由旋转性质得到8C=BC',从而得到△BCC是等腰三角形，结合等腰三角

形性质确定BE是线段CC'的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到△CC'D=△BEC

（AAS），进而由全等性质得到CE=C'。=3,在RtaCC'D中，由勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解：过点B作BE1CC于E,

•••将边BC绕点B逆时针旋转至点BC',

BC=BC',

-,-BEICC',

；/BC'E=90°,rF=CE=^CC,

・・•在正方形力BCD中,BC=CD,乙BCD=90。,

/.CD=BC,乙BCE+乙DCE=^BCD=90。

•・•Z.CCD=90°,

二.乙BCD=LCC'D,^CDC+ZDCE=90°,

•••乙BCE=Z-CDC,

在△CCO和△BEC中，

(乙BCE=tCDC'

］乙BEC="CD

(BC=CD

・•・△CCD=△BEC(AAS)，

・•.CE=CD=3,

—2CE—6,

•••在Rt^CC'O中，^CCD=90°fC'D=3fCC=6,

■■CD=7CD2+CC'2=V32+62=3近,

BC'—CD-3V5.

故选：D

【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性

质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运

用相关几何性质求解是解决问题的关键.

2.如图，在正方形力BCD中，点E为4。中点，连接BE,在BE上取点F，作RtZXFGH,使得FH=FG,

AGFH=90°,且点G、"分别在边BC、CD上，连接FC,若CG=4,CH=6,则EF的长为()

A.学B.苧C.2VsD.|N/5

【答案】B

【分析】本题综合考查了正方形的性质和判定、全等三角形、相似三角形的判定和旋转、勾股定理等知识,

解题关键是证明点F在正方形对角线ac上.

过点尸作FM_LCD、FN1BC垂足分别为M、N,连接AF,证明△FNG三△FMH(AAS),得FN=FM,

NG=MH,矩形CMFN是正方形，结合已知求出CM=CN=5,CF=qFN+CN2=S五,再证△AEFsaCBF

得靠=捍=黑求出力C=我，利用勾股定理求出4B=BC=4D=?,BE;京,进而根据线段比

DCrLt>rNNN4

求出==I但.

【详解】解：过点尸作F"_LCD、FN1BC垂足分别为〃、N,连接AF,

;/FMH=4FNC=90°,

•・•在正方形/BCD中，

乙。,

：./.ACB=^ACD=45°,BCD=90AB=BC=ADf

・•・四边形CMFN是矩形，

・•/NFM=90°,

又•.•乙GFH=90。,

"NFG+乙GFM=Z.GFM+乙MFH=90°,

"NFG=Z.MFH,

又・：FH=FG,

△FNG=△FMH(AAS),

：,FN=FM,NG=MH,

，矩形CMFN是正方形，

；.CN=CM=FN=FM,FC平分乙BCD,即NFCB==45。,

•••点/在正方形对角线ac上，

vCG=4,CH=6,

：.CG+CH=CN-NG+CM+MH=4+6,即CG+CH=2CM=4+6

；.CM=CN=5,

-CP=JFN+CN2=752+52=5vL

・・•在正方形486中，AD||BC,

:.△AEFFCBF,

AE_AF_EF

,京~~证一市，

■：AE=^AD,

EF_AF__1

''BF=^=29

••・河=迈EF=*F,

••AC=

•••在等腰直角RtZk/BC中，AB2+BC2=AC2,

：.AB=BC=AD=-y-,

■■-AE=^BC=^,

•.•在RtZ\4BE中，AB2+AE2=BE2,

,BE=J(y)2+(Y)2=，

.•价=挺="我=距

故选：B.

3.如图，B、C、E三点共线，分别以BC、CE为边，在BE的同侧构造正方形4BCD和正方形CEFG,点。在CG

上，BC=1,CE=3.连接2F.若H是4F的中点，连接CH,那么CH的长是（）

【答案】B

【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的化简，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半，熟练掌握以上知识点并能作出辅助线是解题的关键.连接4C和CF,先证明△ACF是直角三角形，利用

勾股定理分别求出力C,CF和的长度，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出=：

AF,求得答案.

【详解】解：连接4C和CF,如图所示:

•••四边形2BCD和CEFG是正方形，BC=1,CE=3

N力CD=N4CB=NGCF=NFCE=45°,AB=BC=1,CE=EF=3,AABC=AFEC=90°

AAACF=^ACD+乙GCF=45°+45°=90°,AC=>JAB2+CB2=Vl2+l2=V2

CF=y/CE2+EF2=J32+32=3V2

AF=JAC2+CF2=J(V2)2+(3近)2=2V5

•••△4CF=90。，”是力F的中点，

11

•••CH=-AF=-x2V5=V5

故选：B.

4.如图，M为正方形4BCD的对角线BD上的一点，连接CM,将线段CM绕点M顺时针旋转90。，点C的对应

点N恰好落到边4B上，线段MN交对角线4C于点G,且G为MN的中点.若正方形的边长为4,贝的长为

()

A.芋B.&C.要D.2五

【答案】C

【分析】如图，过点N作NHLOB于点H,先证明△NHB是等腰直角三角形，得到NH=BH=OB—OH,再

证明△“6。52\网N”得到。6=^7"，MO=OH=IMH,求出4c=4五，得到。B=OC=2vL明

△MNHMCMO,得到雪烂=隼，求出。口=迎（负值舍去），贝。NH=五,即可得到

OH2V2

AG=OA-OG=^-.

2

【详解】解：如图，过点N作NHLOB于点H,

・・・四边形48C0是正方形，

••ZABD=45。/。1BD

是等腰直角三角形，

；.NH=BH=OB-OH

-AC1BD,NH1OB

：.OG\\NHf

AMGO〜AMNH,

・・•点G为MN的中点，

；.MN=2GM,

OG_MO_MG_1

••丽一~MH~~MN-2

11

.-.OG=-NH,MO=OH=-MH

・.•正方形的边长为4

•-AC=gAB=4VL

：.0A=OB=OC=2五，

-MN1CM,

"NMC=90°=乙MHN,

・・/MNH=90。一乙NMH=乙CMO,

••.△MNHS/XCM。,

NH_MH即2近—0月20H

••南一/，即F?2®

■■OH-V2（负值舍去），

■.NH=BH=OB-OH=&,

：.OG=』NH=也,

22

MG=04-。G=辿.

2

故选：c.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股

定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

5.如图，已知四边形力BCD为正方形，E为对角线4C上一点，连接BE,过点E作EF1BE,交的延长线于

点F,XE=4V2，AF=2,则BE的长为（）

A.2V10B.2V3C.6D.2V13

【答案】D

【分析】过点E分别作力B,AD的垂线，垂足分别为G、H,由正方形的性质得到4艮4。=90。，

ZBXC=Z£）XC=45°,则由角平分线的性质得到EG=EH,据此证明四边形4HEG是正方形，再利用勾股定

理求出4"=EH=GE=4,则HF=4F+AH=6,可得EF=2而，再证明△FEH三△BEG（ASA），即可得

到BE=FG=2V13.

【详解】解：如图所示，过点E分别作AB,4D的垂线，垂足分别为G、H,

:./.EGB=乙EHF=90°,

•.•四边形2BCD是正方形,

：.L.BAD=90°,Z.BAC=^DAC=45°f

-EGLAB,EHLAD,

:,EG=EH,四边形Z”EG是矩形，

・•・四边形4HEG是正方形，

.-.Z.HEG=90°,AH=EH=GE,

・・•在RtZk/HE中，AE=4瓜AE2=AH2+HE2,

：.AH=EH=GE=4,

.-.HF=AF+AH=6f

•••EF=4EH2+HF2=2氏,

•：EFLBE,

"FEB=乙HEG=90°,

"FEH=乙BEG,

△FEHm△BEG(ASA)，

■■.BE=FE=2V13,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，

熟练掌握正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定是解题的关键.

6.如图，在边长为3的正方形力BCD中，点E是BC上一点，点尸是CD延长线上一点，连接4E,AF,4M平

分NE4F交CD于点若BE=D尸=1,贝恒M的长度为()

【答案】B

【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，勾股定理等知识，根据正方形的性质及三

角形全等的判定及性质，证明=利用角平分线的性质及三角形全等的判定及性质，证明EM=FM,

设EM=x,贝产M=x,MC=4-x,CE=2,在Rt△MCE中根据勾股定理求解即可，掌握正方形的性质、

三角形全等的判定及性质和角平分线的性质、勾股定理是解题的关键.

【详解】解：•・•四边形48CD是正方形，

.-.AB=ADfAABE=/.ADF=90°,

・••在Rt△ABE^Rt△/OF中，

(AB=AD

]/-ABE=乙ADF,

IBE=DF

/.Rt△ABE=Rt△ZDF(SAS)，

：AE=AF；

•MM平分4及4F,

;ZEAM=Z.FAM,

・••在a/EM和△ZFM中，

(AE=AF

\z-EAM=FAM,

IAM=AM

△AEM=△/FM(SAS)，

.-.EM=FM,

,•,四边形4BCD是正方形，

：，BC=CD=3fNBCO=90。，

设EM=%,贝!JFM=%,MC=CD-DM=3-(%-l)=4-x,

CE=BC-BE=3-1=2,

在RSMCE中，根据勾股定理，得而2=%72+。石2,

即/=(4-x)2+22,

解得：x=|,

：.EM=\,

故选：B.

7.如图，正方形力BCD中，AB=3,点E在BC的延长线上，且CE=2,连接4E,ADCE的平分线与4E相交

于点F,连接DF,则DF的长为（）

「

r*X.V10D.-2-V--1-0C.3V1OcU.-3-V-1-O-

4345

【答案】c

【分析】如图，过尸作FM1BE于M,FN1CD于N,由CF平分ADCE,可得FN=FM,推出四边形CMFN是

正方形，FMWAB,设FM=CM=NF=CN=a,则ME=2—a,证明则噂=黑，可解得

/it)DC,

Qa

a=-f得DN=CD—CN=],最后根据勾股定理可得解.

【详解】解：如图，过F作于M,FNLCD于N,

1,CDNF=cCNF=9U。,Z.CMF=/L.FME=90°,

•・•四边形ZBCO是正方形，AB=3fCE=2,

：.BC=CD=AB=3,^ABC=^DCB=90°,

.ZDCE=180°-^DCB=180°-90°=90°,Z.ABC=乙FME=90°,

・•・四边形CMFN是矩形，FM\\ABf

•••C1尸平分NOCE,FM1BE,FN1CD,

.-.FN=FM,

・•・四边形CMFN是正方形，

设FM=CM=NF=CN=a,则ME=CE-CM=2-a,

-FMWAB,

:.乙FME=Z.ABE,Z.EFM=Z-EAB,

△EFMEAB,

FMMEa2-a

.,下=宿即n号n=而，

解得：a=l

3Q

・•.DN=CD-CN=3y,

:-DF=y/DN2+NF2=J02+©2=噌

.•.£）尸的长为亚.

4

故选：c.

【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与

性质.解题的关键通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形.

8.如图，在正方形48CD中，AB=3,延长8C至£,使CE=2,连接4E,CF平分NDCE交2E于点尸，连接

DF,则DF的长为（）

A.V5B.^V2C.^VlO^D.-

【答案】c

【分析】本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理的应用

等，解题的关键是构造正方形CMFM

作FMJ.CE,曰7_16构造正方形。时门7,设CM=a,易证△EFMsaEAB,由此列出比例式可求解°的值,

然后在Rt^DFN中，利用勾股定理即可求得OF的长度.

【详解】过点/作FM1CE于点作FNJ.CD于点N,如图所示.

：ZB=90°,BC=AB=CD=3.

■：FM1CE,FN1CD,Z.DCE=zS=90°,

・•・四边形CMFN为矩形.

•••C尸平分NOCE,FM1CEfFN1CD,

.-.FM=FN.

・•・四边形CMFN为正方形.

.-.FM=FN=CM=CN,

设CM=a,贝IJFM=FN=CM=CN=a,

•.£E=2,

・•,BE=BC+CE=5,EM=CE-CM=2一见

vZ-B=90。,尸M1CE,

・•・FM||AB.

EFMEAB.

・•・FM\AB=EM-.BE,

即a:3=(2-a)：5,

解得：a=*

3

・•.FN=CN=-

4f

39

・•.DN=CD-CN=3--=-.

44

在Rt△£>/=1%中，DN=*FN=:,

由勾股定理，得。?=瓜=肃=亨.

故选：C.

9.如图，在正方形力BCD中，点P在对角线BD上，PE1BC,PFLCD,E,F分别为垂足，连结力P,EF,

C.2.5D.亭

【答案】A

【分析】根据正方形的性质即可得到四边形PECF是矩形，四边形QPFD是正方形，再利用矩形和正方形的

性质得到4Q="和PQ=EC,进而得至IMAQP三从而得到EF的长度.

【详解】解：延长EP于2。交于点Q,

・••在正方形2BCD中，

.-.AB=BC=CD=AD,AD\\BC,N4DC=/C=90°,

.-.^ADB=AABD=45°,

：.DF=PF,

■：PE1BC,E为垂足，

.-.PQA.AD,

.•・四边形PECF是矩形，

:.Z.AQP=90°,EC=PF=DF,

.-.^AQP=ZC,AQ=FC,四边形QPFD是正方形，

:.QD—DF-PF-QP,

：.CE=QP,

.•.在和aFCE中，

(AQ=FC,

｛々QP=NFCE=90°,

IPQ=EC

AFCE^S),

：.AP=EF,

•••4P=5,

：.EF=S.

故选A.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角

形的判定与性质是解题的关键.

10.如图，点E是正方形对角线ZC上一点，过E作EFII4D交CD于尸，连接BE,若BE=5,DF=4,则力C

B.5V2C.6V2D.7V2

【答案】D

【分析】过点E作EH18C于点X,证明四边形EFCH是正方形，可得=DF,在中，由勾股定

理可得E"=3,进而可求得正方形4BCD的边长，再根据勾股定理可求解.

【详解】解：过点E作EH1BC于点H,

••・四边形/BCD是正方形,

.-.z£>=ABCD=90°,Z.ACB=/.ACD=45°,AB=BC=CD=AD,

■.■EFWAD,

.-.AEFC=ND=90°,

四边形EFCH是矩形，

•.•ZEWC=9O°,AECH=45°,

.-.EH=CH,

••・四边形EFCH是正方形，

:.EH=CH=CF,

：.BC-CH=DC-CF,

.-.BH=DF=4,

•••BE=5,

.-.£//=V52-42=3,

.••CF=3,

,-.CD=AD=4+3=7,

■■AC=AD2+CD2=V72+72=7VL

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的判定及性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的判定及性质，正确作出辅

助线利用勾股定理是解题的关键.

【题型2求选段的比值】

11.如图，在正方形4BCD中，点E为正方形内部一点，连接4E、BE,将线段AE绕点4逆时针旋转90。得到

线段47,点F落在BE的延长线上，BE的延长线交2。于点连接CF交于点N,若4M:AB=1:3,则径的

值为（）

F

【答案】A

【分析】连接。尸，过点尸作FHII4D,交BD的延长线于点H,先证明△三△4EB,得到

^ABM=^FDM,^AEB=^AFD,进而推出△为直角三角形，利用tan/MDF=tan/ABM,得至|空=

黑，设2M=x/8=3x,MF=a,OF=3a,进而得到OM=2x=屈心求出证明

Lfr5

FNPJ-J

△BMDMBFH,求出的长，再证明△FNH“△CNB,得到.=乔，即可.

【详解】解：连接DF,过点F作FHII4D,交BD的延长线于点H,

•.,正方形ZBC。，

：.AB=BC=AD^BAM=90。/。||BC,

：.FH||BC,

,・漩转，

：,AF=AEf^EAF=90°f

：.Z-AEF=/LAFE=45°zBi4E=^DAF=90°-^DAEf

：^BEA=180°-^AEF=135°,△AFD=△AEB,

.・ZABM=^FDM^AEB=乙4FO=135°,

：.Z-DFM=135°—45°=90°,tanzMDF=tan乙4BM

AM_MF_1

''~AB~~DF

设=x,AB—3x,MF=a,DF=3a,贝!J：AD=BC=AB=3x,BM=JAB2+BM2=V10x,DM—MF24-DF2

=A/10a,

：.DM=AD-AM=2x=VlO^,

._Vio

•n•(X—5人,

,-.BF=BM+MF=^-xf

-FH||ADf

△BMDFBFH,

BM_DM

**~BF~~FH

.・.FH=£DM=£X,

•・,FH||BC,

・•.△FNHCNB,

./N_尸”_争_4

••而一而一石—厂

故选A.

【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解

直角三角形等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等和相似三角形.

12.如图，正方形4BCD边BC上有一点E,CB延长线上有一点R连力E、AF,若NE4F=45。，tan

N4FB=2则D言r的值为（）

DC

A

IF

【答案】B

【分析】作G414F交CD于G,连接GE,贝iUG4F=90°,设BE=x,BF=y,贝U4B=2y,由正方形的性质

可得ND=NBAD=/C=90°,AD=AB=BC=CD=2y,证明△ADG三△ABF(AAS)得出DG=BF=y,

AG=AF,再证明aGAE三△凡4E(SAS)得出GE=EF=BE+BF=x+y,再由勾股定理得出(2y-x)2+y?=

(x+y)2,求出y=|x,即可得解.

【详解】解：如图：作G4J.2F交CD于G,连接GE,则NG2F=90。,

■:Z.EAF=45°,

：.Z.GAE=Z.GAF-/.EAF=45°=Z.EAF,

设BE=x,BF=y,

vtanZ.i4FF=—BF=2,

：.AB=2y,

•・•四边形48C0是正方形，

=LBAD=Z.C=90°,AD=AB=BC=CD=2y,

.'.^DAG+^BAE=45°,

•.•ZBXF+ZBXE=45°,

：.Z.DAG=Z.BAF,

•••LD=Z-ABF=90°,

△ADG=△ZBF(AAS)，

：.DG=BF=y,AG=AF,

••.CG=CD—DG=y,

'.'Z-GAE=Z.FAE,AE=AE,

△GAE=△FAE(SAS)，

：,GE=EF=BE+BF=%+y,

■：CE=BC-BE=2y-x,CE2+CG2=GE2,

■■■(2y-x)2+y2=(x+y)2,

解得：、=|%或、=0(不符合题意，舍去)，

BE_x_2L_2

"BF=y=lx=3'

故选：B.

【点睛】本题考查了解直角三角形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上

知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

13.如图，正方形4BCD中，对角线力C,BD交于点。，点E为CD上一点，点尸为BC上一点，连接4E,DF交

于点M,AC与DF交于点N,若4E=D尸，DC=3DE,则黑的值为()

AD

BFC

A.—B.—C.1D.1

4238

【答案】A

【分析】证明Rt2XADEwRtzXDCF(HL)，得出CF=DE,设DE=a,贝i|CF=DE=a,AD=CD=3a,作NG1CD

于G,贝比CGN=90。，证明ACGN为等腰直角三角形，得出CG=NG,设CG=NG=b,则DG=3a-6,解

直角三角形得出b=]a,求出。N=^a,即可得解.

44

【详解】解一•四边形/BCD是正方形，

・・.AD=CD,乙ADC=4BCD=90。,Z.ACD=45°f

*：AE—DF,

.-.Rt△ADE=Rt△DCF(HL)，

・・.CF=DE,

-DC=3DEf

・•・设DE=a,贝!jCF=OE=a,AD=CD=3a,

如图，作NGLCD于G,贝1UCGN=90。，

・•.△CGN为等腰直角三角形,

・・.CG=NG,

设CG=NG=b,

：.DG—3a—h,

CFNG

vtanzCZ)F=—~DGf

ba

=五，

1・b=ytt,

4

；,CN=V2CG=y/2b=V2x|a=

♦：OC=^AC=[xyp^CD=-|xV2x3a=-^-a^

.-.ON=OC-CN=^a,

4

ND一寸一丁，

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三

角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

14.如图，在正方形A8CD中，M是边CD上一点，满足8c=3CM,连接BM交AC于点N,延长BN到点P使得

【答案】A

【分析】本题了考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识,

连接BD交4c于点E,由四边形ABCD是正方形,得AB=BC=DC,AE=CE=|4C,BE=DE=且AC=BD,

ACLBD,再由48=BC=3CM,得穿=:，由证明△CMNABN,得警=噂=＜，推出从而可

/iD3AIN/ib3

证aCPN三△EBN(SAS)，根据性质得PC=BE=DE,Z.PCN=Z.BEN,可证四边形PCED是正方形，所以

DP=DE=BE,APDB=90°,再由勾股定理即可求解，熟练掌握以上知识点的应用及正确作出辅助线是解

题的关键.

【详解】如图，连接8。交"于点E,

•.•四边形4BCD是正方形,

:,AB=BC=DC,AE=CE=\AC,BE=DE=^BD^AC=BD,ACLBD,

：.BE=CE=DE,AC=2CE,@7)=90。，

-AB=BC=3CM,

CM1

，——,

AB3

-CM\\ABf

：・ACMNMABN,

CN_CM_1

•••丽~~AB~39

^CN=-L-AC=^ACf

.-.AC=4CNf

：.2CE=4CN,

.・.CE=2CN,

：,CN=EN,

在和AEBN中，

(CN=EN

](PNC=乙BNE,

IPN=BN

・•.△CPN=△EBN(SAS)

.-.PC=BE=DE,乙PCN=KBEN,

：.PCWE,

二四边形PCE。是平行四边形，

vzCED=90°,CE=DE,

・•・四边形PCED是正方形，

；.DP=DE=BE,"DB=90。，

・・.BD=2DP,

••BP=dBD?+DP2=J(2DP)2+Dp2=回p,

•竺=渔

••丽―T'

：.BP=2BN,

.DP=V5

t92BN~~5f

,OP_2V5

••,

BN5

故选：A.

15.如图，在矩形ABC。中，E为对角线8。上一点，连接CE,过点E作EF1CE交力。延长线于F,若tan

C.V5D.2V2

【答案】C

【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添

加辅助线构造相似三角形是解题的关键.过点E作EN1.BC于点N,延长NE交4。于证明四边形4BMN

是矩形，四边形CDMN是矩形，设BN=x,DM=y,贝I|BN=AM==CN=y,由tan4WB=tan/NBE=2

得到NE=2x,EM=2y,证明△CENMEFM,则兽=罂，得到*=总，则FM=4x,得到

EMr1V1rM

AF=AM+FM=5%,勾股定理得到=即可得到答案.

【详解】解：过点£作EN1BC于点N,延长NE交力D于/,

•.•四边形4BCD是矩形,

­，AD||BC,乙A==LBCD=LADC=90。,

.-.MN1AD,乙NBE=^ADB

"BNM=乙CNE=乙EMD=乙4MN=90°,

・•・四边形ZBMN是矩形，四边形CDMN是矩形,

设BN=x,DM=y,贝"BN=4M==CN=y

vtanZ.ADB=tanZJVBE=2,

.NE_EM

'丽~~DM~'

.'-NE=2x,EM=2y,

•:EF1CE,

・•.“"=90。，

"CEN+乙ECN=90°,

MCEN+Z-MEF=90°,

"ECN=乙MEF,

MCNE=乙EMF=90°,

△CENEFM,

CN_EN

••丽―丽'

y__2x

A2y=FM9

：.FM=4%,

：.AF=AM+FM=5%,

,-BE=7BN2+NE2=y/x2+(2x)2=近x,

AF5x「

BEV5xVI'

故选：C

16.如图，在正方形4BCD中，M,N是边4D上的两点，连接BN,CM,过点/作BN的垂线，交CM于点

AD

P.若MN=2AM=2DN,则罚=()

【答案】C

【分析】过点P作PE1AD,分别证明△EAPsZXABN,AMDC-AMEP,再分别求出PM,PA与PE的关

系表达式，进而可求出/尸与PM的比值.

【详解】解：过点尸作PE1/D于点区

设/M=%,则MN=2%,DN=x,

：.AD=AM+MN+DN=4%,MDMN+DN=3%,

AN=AM+MN=3x,AB=AD=D=4%,

-AP1BN,

"ABN+乙PAB=90°,

-Z-DAB=/.PAE+Z-PAB=90°,

.-./.PAE=乙ABN,

-AAEP=乙BAN=90°

・•.△EAPFABN,

PE_AN_3x_3

：'~AE一乐一菽一不

'：AP2=PE2+4产，

'.AP=|PE；

vPE1MD,

••2。=90。，

=乙PEM=90°

,：Z-PME=(CMD,

・・.AMDC〜AMEP,

ME_MD_3x_3

"PE-7F-4x-4?

■.■PM2=ME2+PE2,

.-.PM=^PE,

.AP__4

，•丽=孤=F

故选：c.

【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的性质，

适当的作出辅助线，灵活运用勾股定理求出对应边的关系式是解本题的关键，综合性较强，难度适中.

17.如图，在正方形力BCD的边CD上有一点E,连接4E,把力E绕点E逆时针旋转90。，得到FE,连接CF并延

长与4B的延长线交于点G.则矢的值为（）

A.近B.百C.要D.学

【答案】A

【分析】过点尸作DC延长线的垂线，垂足为点〃贝吐”=90。，证明△4DE三△EHF,则TW=EH=1,

设OE=HF=K,得到==贝！UHCF=45。，故CF=&无，同理可求CG==五，贝”

FG=CG-CF=^（i—a因此第=退三=五.

v7。七1—X

【详解】解：过点尸作DC延长线的垂线，垂足为点〃，贝叱H=90。，

ABG

由旋转得比4=EF/AEF=90°,

•.•四边形48CD是正方形，

.•2。=90。，DC||AB,DA=DC=BC,T^DA=DC=BC=1,

■,-Z-D=Z.H,

■:/-AEH=Z1+/.AEF=Z.2+Z.D,

•••Zl=z2,

AADE=AEHF,

:.DE=HF,AD=EH=1,设DE=HF=x,

则CE=DC-DE=1-x,

:,CH=EH—EC=1—(1—%)=x,

；.HF=CH=x,而N”=90。，

.-.ZHCF=45°,

-DC||AB,

・••乙HCF=^G=45。,

同理可求CG=VlBC=五，

••FG=CG-CF=®-近x=V2(l-x)>

.££_V2(l-x)_/y

"CEi-xV2,

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅

助线，构造"一线三等角全等"是解题的关键.

18.如图，在正方形4BCD中，对角线4C与BD交于点0,在RtZkPFE中，NEPF=90。，点、E、F分别在边

AB,BC上，点P在线段4C上.若登=2，则靠的值为()

/ICJ.UrC

【答案】c

【分析】过点尸作PM14C交BC于点根据正方形的性质，三角形相似的判定和性质解答即可.

本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键.

【详解】解：过点尸作PM_L4C交BC于点

•.・正方形4BCD中，对角线2C与BD交于点0,

.-.^PAE=ZPCM=45°,

■.■PM1AC,

.•2CMP=NPCM=45°,

・・.PC=PM,^PMF=Z.PCM=APAE=45°,

'：Z-APE+Z.EPM=90°=乙MPF+Z-EPM,

・•/APE=乙MPF,

.'.AAPE-AMPF,

PE__AP

''PF~'PMf

PE_AP

PF-PC，

PF_PC

,~PE~~AP"

PC_3

前一奇

PC_3

''AP~7f

PF_3

'"PE~7f

故选：C.

19.已知四边形4BCD为正方形，点E是边4D上一点，连接BE,过点C作CF1BE于点尸，连接2F.若2尸=经

BF,则整的值为()

【答案】B

【分析】在CF上截取CH=BF,利用正方形的性质和直角三角形的性质证明△BCH三△ABF(SAS)，由全等

三角形的性质得出M=结合已知条件设“=1,则8"=五，利用勾股定理分别求出FH和BC,再证

明△瓦48〜△BFC,由相似三角形的性质求出比4,进而求出ED,最后和CF相比即可得出答案.

【详解】解：在CF上截取=如下图：

•・•四边形ZBC。为正方形，

'.AB=BC,548=乙48c=90。,

.-.Z.ABF+AFBC=90°f

•：CF1BE,

."FC=90。，

工乙FBC+乙BCF=9U。,

：.Z.ABF=乙BCF,

又•:AB=BC,CH=BF,

・•.△BCH=△ZBF(SAS)，

"尸=BH,

,：AF=五BF,

；,BH=®BF,

设BF=1,则BH=五,

在RtZXBFH中，

FH=y/BH2-BF2=1>

又CH=BF=1,

.-.CF=CH+FH=2,

在RtZiBFC中，

BC=4BF2+CF2=近,

>\AB—BC=V5»

•:乙ABF=^BCF,4EAB=4BFC=9。。,

・•.△EAB-△BFC,

EA_AB

即竽=当

.-.EA=匹，

2

又AD=BC=心

■.DE=AD-AE=V5-^=逅,

322

.阻=与=5

"CF万一才，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，勾股

定理，正确画出辅助线是解题的关键.

20.如图，在矩形ABCD中，沿4尸对折，点2与点E重合，再沿BE对折，点/与点尸重合，两条折痕交于

点O,连接。C.若BC=3CF,则行的值为（）

D.f

【答案】B

【分析】如图，作。G1BC交于点G,首先根据折叠的性质证明出四边形4BFE是正方形，然后根据正方

形的性质得到BG=GF=FC,设BG=GF=FC=OG=x,根据勾股定理求出OC=JOG?+CG2=碍,然

后根据矩形和正方形的性质得到CD=AB=BF=2x,最后代入求解即可.

【详解】解：如图，作。G_LBC交BC于点G,

AED

•・•四边形ABC。是矩形，

・・・〃/BC=90。,

•・・沿/F对折，点3与点E重合，再沿BE对折，点Z与点方重合，

：.AB=AE=EF=BF,

・•・四边形4BFE是正方形，

.-.OB=OF,

：.BG=GF=OG=^BF,

♦；BC=3CF,

：.BF=2FC,

.'.BG=GF=FC,

・••设BG=GF=FC=OG=x,

'-OC=7OG24-CG2=近x,

又・・£0=AB=BF=2x,

,°C_0_V5

"co2'

故选：B.

【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质等知识，解题的关键是熟

练掌握以上知识点.

【题型3用字母表示角】

21.如图：正方形4BCD中，点£、尸分别是CD、C8边上的点，连接力E,DF交于点N,乙力。尸的角平分线DM

交力B于过点M作MQII4E分别交OF于点〃，交BC于点Q,连接DQ,若DE=CF,AAMG=a,则用含

a的代数式表示NDQC为（）

AD

1I2

A.135°-CLB.90°——CLC.45。+2aD.—CL

【答案】A

【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、平行线的性质等知识，

利用全等三角形的性质探究角的关系是解答的关键.先证明△ADE=△£>(7尸(SAS)得至1=进

而证得=乙DNA=90°,再证明△ADM^△HDM(AAS)得到=Z4MG=a,AD=DH=DC,

进而证明Rt△DHQ=RtADCQ(HL)得至lUDQC=乙DQH,禾!J用三角形的外角性质求得乙MQC=27。。—2a,进

而可求解.

【详解】解：••・四边形ABCD是正方形，

.-.^BAD=AADC=/.BCD=AABC=90°,AD=CD,又DE=CF,

AADE=ADCF(SASy

.,.Z-DAE=乙CDF,

vZ-DAE+Z-ADF=乙CDF+Z.ADF=Z-ADE=90°,

••/DNA=乙DNE=90°,

•・・MQ||AE,

・・/MHN=乙DNA=90°,

・••DM是乙4。9的角平分线，

：.£.ADM=又MD=MD

△ADM=△HDM(AAS)，

.-./.HMD=Z.AMG=a,AD=DH=DC,

又・：DQ=DQ,乙DHQ=4C=90。,

.,.Rt△DHQ=Rt△DCQ(HL)，

...(DQC=々DQH,

•.ZBMQ=180°-4AMG-4HMD=180。-2a,

.•ZMQC=4BMQ+AABC=180°-2cr+90°=270°-2cr,

.-.Z.DQC=jzMQC=135。-。，

故选：A.

22.如图，正方形ABCD中，点£、F、G、//分别为边4B、BC、AB,CD上的点，连接DF、DG、EH,若

HE=DF,BE>CH,乙ADG=4FDG.当NBEH=a时，则N4GD的度数为（）

A.aB.90。一aC.90。一为D.135。一a

【答案】C

【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，如图，过C

作CMIIEH,证明RtZkMBCmRt可得4=49。。=90。一仇，再进一步可得答案.

【详解】解：•.・正方形/BCD,

：.AB=BC=CD=AD,AB||CD,/.ABC=^BCD=^ADC==90°,

如图，过C作CMIIEH,

・•・四边形EMC”为平行四边形，乙CMB=^BEH=a,

；.HE=CM,

•••HE=DF,

：.DF=CM,

,：BC=CD,Z.ABC=£.BCD=^\

.-.RtAMBC=RtAFCP,

"MCB=乙FDC=90°-a,

：.Z-ADF=90°—zFDC=a,

vZ-ADG=乙FDG,

"FDG=Z-ADG=

.-.^AGD=90°-1a；

故选：C.

23.如图，在正方形48CD中，£为BC边上靠近点8的三等分点，将线段4B绕点/逆时针旋转得到线段

AF,使得NB2E=NF4E,连接EF和CF,令乙BAE=a,贝为()

3

A.120°—3aB.90°——otC.2a+30°D.a+45°

【答案】D

【分析】延长EF交CD于点区连接力”，设正方形4BCD的边长为“，证明△4BE三△AFE(SAS)，贝U

BE=EF=1a,N4FE=NB=90°,再证明Rt△AHFmRt△力HD(HL)，贝l|DH=F”,设FH=DH=m,在

RtaCEH中，由CE2+CH2=EH2得爪=*i,证明点。是CD的中点，则CH=DH=FH=%,求出

ACEF=180°-^BEF=2a,再根据三角形内角和定理与等腰三角形的性质即可求出答案.

【详解】解：延长EF交CD于点X,连接4”,设正方形2BCD的边长为a,

A_D

BEEC

在正方形力BCD中，AB=BC=CD=AD=a/B=4。=4BCD=90°,

由旋转可知，=AF-AD=a

,：Z.BAE=Z.FAE=a,AF=AF,

△ABE=△AFE(SAS)，

.•.BE=EF=^BC=1a,^AFE==90°

：.Z.AFH=1800-ZJ1FE=90°=ZD,

-AF=ADfAH=AH,

/.Rt△AHF=Rt△4Ho(HL)

：,DH=FH,

设FH=0H=/n,

在RtaCEH中，

CE2+CH2=EH2,

即Ga)+(<CL—TTI)2=G+

1

解得小=/，

即==I=

二点，是CD的中点，

.-.CH=DH=FH=^a,

“BEF=360°-zB-zXFF-zBXF=180°—2a,

：.Z.CEF=180°-Z.BEF=2a,

；/CHE=90°-2a,

:ZFCD=乙HFC=1(180°-zCHF)=a+45°

故选:D

【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的判

定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键.

24.如图，在正方形力BCD中，。是对角线BD的中点，E为正方形内的一点，连接BE,CE,使得CB=CE,

延长BE与NECD的角平分线交于点F.若NBEC=a,连接。尸，贝此尸0。的度数为()

11

A.2a-90。B.45°+-aC.90°--aD.2a-45°

【答案】A

【分析】连接。尸，先证明.••△CEF三△CDF(SAS)，得至UNCE尸=乙。。/，从而得NCDF=4CEF=180。一a,

继而乙8尸。=90。，然后利用