几何证明之圆中的切线证明问题

专题一几何证明之圆中的切线证明问题

1、如图，△ABC为。。的内接三角形，为。。的直径，将△ABC沿直线A3折叠得到AAB。，交。。于点。.连

接交A2于点E,延长3。和CA相交于点P,过点A作AG〃口)交2P于点G.

(1)求证：直线GA是。。的切线；

(2)求证：AC=GD・BD；

(3)若tan/AGB=&,PG=6,求cos/P的值.

(1)证明：•••将AABC沿直线AB折叠得到△480,

:.BC=BD.

...点2在CD的垂直平分线上.

同理得：点4在C。的垂直平分线上.

：.AB±CD即OA_LCD,

,JAG//CD.

：.OA±GA.

:。4是。。的半径，

直线GA是。。的切线；

(2)证明：为。。的直径,

・・・ZACB=ZADB=90°.

：.ZABD+ZBAD=90°.

VZGAB=90°,

・・・NG4O+NRW=90。.

ZABD=ZGAD.

・・・ZADB=ZADG=90°,

：.ABAD^AAGD.

.AD_BD

*'GD"AD'

：.AD2=GD^BD.

*：AC=AD,

：.AC2=GD^BD；

(3)解：VtanZAGB=V2»ZAZ)G=90°,

,AD厂

-GD^-

AD=V2GD.

\'AD2=GD-BD,

：.BD=2GD.

..^-

•AD—AD，

・•・ZGAD=ZGBA=/PCD.

■:AG//CD,

：.ZPAG=ZPCD.

：.ZPAG=ZPBA.

VZP=ZP,

:.丛PAGsAPBA.

.\PA2=PG«PB

;尸G=6,BD=2GD,

.,.PA2=6(6+3GO).

•?ZADP=90°,

：.PA2=AD^+PD2.

：.6(6+3G£»=(&GD)2+(6+GD)2.

解得：GD=2或G£>=0(舍去).

：.PD=8,AP=6近,

2、如图，在。。中，AB为。。的直径，C为。。上一点，尸是前的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于

点、D.

(1)求证：0P是。。的切线；

(2)若AC=5,sinNA尸C=三，求AP的长.

J.O

D

c

(1)证明：丁尸是萩的中点，

・・PC=PB，

:.ZPAD=ZPAB9

u

：OA=OPf

：.ZAPO=ZPAO,

：.ZDAP=ZAPO,

：.AD//OP,

VPDXAD,

：.PDLOP,

・・・。尸是。。的切线；

(2)解：连接交0尸于E,

TAB为。。的直径，

・•・NACB=90。,

TP是黄的中点，

AOPLBC,CE=BE,

・•・四边形尸石是矩形，

:,CD=PE,PD=CE,

,/ZAPC=ZB,

:.sinZ.APC—sinZAPC=--=---，

AB13

'：AC=5,

：.AB=13,

：.BC=12,

：・PD=CE=BE=6,

1513

VOE=—AC=—,0P=—,

222

135

：.CD=PE=--—=4,

22

：.AD=9f

AAP=VAD2+PD2=V92+62=3V13-

D

不

3、如图，A3为圆。的直径，C为圆。上一点，。为BC延长线一点,且BC=C£),CE_LA。于点E.

(1)求证：直线EC为圆。的切线；

(2)设8E与圆。交于点FAP的延长线与CE交于点P,

①求证：PO=PF・PA

②若尸C=5,PF=4,求sin/PEF的值.

证明：（1）于点E,

・・・NDEC=90。,

■:BC=CD,

・・・C是瓦)的中点，

又・・・。是AB的中点，

・・・。。是的中位线,

・•・OC//AD,

：.ZOCE=ZCED=90°,

：.OCLCE,

又・・,点。在圆上，

・・・CE是圆。的切线；

(2)①连接AC,

VOC±CE,

：.ZECO=90°,

9：AB是直径，

・・・ZACB=90°=ZECO,

：.ZECA=ZOCB,

•：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=NACE,

•.*ZABF=ZACFf

ZOBC-ZABF=ZACE-Z.ACF,

：.ZEBC=ZECF,且NE8C=/C4P,

ZECF=ZCAP,且NCPF=NCPA,

：./\PCF^/\PAC,

.PCPF

■'PA'PC

：.PC2=PF-PA

②是直径，点厂在圆上，

ZAFB=ZPFE=900=ZCEA,

■:/EPF=NEPA,

：./\PEF^/\PAE,

.PEPF

"PA'PE

:.PE2=PF,PA

：.PE=PC

在直角APEF中，sinZPEF=PE5.

4、如图，AB为。。的直径，CDLAB于点E,尸是CD上一点，且BF=DF,延长FB至点P,连接CP,使PC=

PF,延长与。。交于点G,连结瓦)，GD.

(1)连结BC,求证：CD=GB；

(2)求证：PC是。。的切线；

(3)若tanG=工，且AE-8E=^巨，求FD的值.

33

c

9

解：(1)\BF=DFf

：.ZBDF=ZDBF,

在^BCD与ADGB中,

'/BCD=NG

/DBF=NBDF，

BD=DB

・••△BCD"dDGB(AAS),

：.CD=GB；

(2)如图1,连接OC,

图1

'：ZCOB=2ZCDB,ZCFB=ZCDB+ZDBF=2ZCDB,

：.ZCOB=ZCFB,

'：PC=PF,

：.ZCOB=/CFB=ZPCF,

9

：ABLCDf

・・・NCO8+NOCE=90。，

・•・ZPCF+ZOCE=ZPCO=90°,

・•・OCLCP,

・・・。。是半径，

・••尸。是。。的切线；

(3)如图2,连接A。,

〈AB是。。的直径，

・•・ZADB=90°9

9：ABLCD,

・——

・・BD=B。

：・/BDE=NA=NG,

,:tanG=—,

3

nFi

/.tanA=—=^-,即AE=3DE,

AE3

同理可得：DE=3BE,

：.AE-BE=3DE-工

33

解得：DE=0

:.CD=2DE=2R

•••8E=£DE=卓，

So

-,-BD=VDE2+BE2=,

•；/BCD=/FDB,ZBDC=ZFBDf

:.△BCDs^FDB,

.CDBC

,而词

,:BC=BD,

，吁㈣=(等)2=第.

CD2V39

5、如图，已知AB是。。的弦，点C是弧AB的中点，。是弦48上一动点,且不与A、8重合，C。的延长线交于

。。点E,连接AE、BE,过点A作AFLBC,垂足为RZABC=30°.

(1)求证：AF是。。的切线；

(2)若BC=6,CD=3,则-E的长为9；

(3)当点。在弦A2上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出

AE+BE

其值.

(1)证明：如图1中，连接AC,OC,OA.

图1

VZAOC=2ZABC=60°fOA=OC,

•••△AOC是等边三角形，

・・・NCAO=60。，

•BC=AC，

：.ABLOC,

：.ZOAD=—ZOAC=30°,

2

•・•ZABC=30°,

JZABC=ZOADf

：.OA//BF,

*：AFLBF,

：.OA.LAF,

・・・A尸是。。的切线.

（2）解：,•喉=正

：・/CBD=/BEC,

•：/BCD=/BCE,

•••△BCDSAECB,

,BCCD

，，EC-CB，

._6_=3_

•・瓦—1，

:.Ec=n,

：.DE=EC-CD=n-3=9.

故答案为9.

CE_V3CE

（3）解:结论:的值不变.

AE+BE-a"AE+BE

理由：如图2中，连接AC,OC,0c交AB于H,作EC交BE的延长线于N.

图2

7BC=AC，

C.OCLAB,CB=CA,

：.BH=AH=—AB,

2

:ZABC=30°,

：.BH

:.AC=®AB,

3

VCE//AN,

NN=NCEB=30°,/EAN=NAEC=ZABC^30°,

：.ZCEA=ZABC=30°,ZEAN=ZN,

：.ZN=ZAEC,AE=EN,

:ZACE=/ABN,

：.△ACEs—BN,

.CEACV3

BNAB3

CE_V3

AE+BE__3"

CE

的值不变.

AE+BE

6、如图，在RtAABC中，NC=90。，4。平分4BAC交BC于点。，。为AB上一点，经过点A,。的。。分别交

AB,AC于点E,F,连接。尸交于点G.

(1)求证：8C是。。的切线；

(2)求证：AD2=AB9AF；

(3)若BE=8,sinB=-^-,求的长,

J.O

解：(1)如图1,连接0D,则OA=O。,

：.ZODA=ZOAD,

是/BAC的平分线,

：.ZOAD=ZCAD,

：.ZODA=ZCAD,

J.OD//AC,

：.ZODB=ZC=90°,

:点。在。。上，

...8C是。。的切线；

(2)如图2,

连接。。，DF,EF,

是OO的直径,

ZAFE=90°=ZC,

C.EF//BC,

:./B=/AEF,

:ZAEF=ZADF,

：./B=ZADF,

由（1）知，ZBAD=ZDAF,

AABD^AADF,

.AB_AD

,,AD"AF'

：.AD2=AB-AF；

（3）如图3,

连接。£）,由（1）知，ODLBC,

AZBDO=90°,

设。。的半径为R,则OA=OD=OE=R,

VB£=8,

：.0B=BE+0E=8+R,

5

在RtABDO中,sinB

13,

R二5

.\sinB=—

OB8^R"13

：.R=5,

：.AE=2OE=IQ,AB=BE+2OE=18,

连接ER由（2）知，ZAEF=ZB,ZAFE=ZC=90°,

5

I.sinZAEF=sinB=—

13

在RSAFE中，sinZAEF=

AE1013

：.AF=—

13

5。QOfi

由（2）知，AD2=18x22.=222

1313

图2

图1

7、如图，A3为。。的直径，CCAB于点G,E是C。上一点，且BE=DE,延长防至点P,连接CP,使PC=

PE,延长BE与。。交于点R连结8。，FD.

(1)连结8C,求证：△BCD咨△DFB；

(2)求证：PC是。。的切线；

(3)若tanF="|,AG-BG=/M，求即的值・

c

解：(1)证明：因为

所以

在△BCD和△。尸8中：

NBCD=/DFB

ZCDB=ZFBD

BD=DB

所以△BCD<4DFB(AAS).

(2)证明：连接OC.

因为NPEC=ZEDB+ZEBD=2ZEDB,

NCOB=2/EDB,

所以/COB=/PEC,

因为PE=PC,

所以/PEC=NPCE,

所以NPCE=NCOB,

因为4B_LC。于G,

所以NCO8+NOCG=90。,

所以NOCG+NPEC=90。,

即NOCP=90°,

所以ocuc,

所以PC是圆。的切线.

(3)因为直径A3,弦CD于G,

所以2C=B£),CG=DG,

所以NBCD=NBDC,

9

因为tan—多

O

所以/tan/BCD=^=庠

设BG=2x,则CG=3x.

连接AC,贝iJ/ACB=90。,

由射影定理可知：CG2=AG・BG,

所以46=巡=二_="

BG2x2

因为46-86=殳巨

3

所以需-2x=毕，

解得x=2§

所以BG=2尤CG=3x=2«,

3

所以BC=VCG2+BG2=~^

O

所以2£>=2。=空亘，

3

因为NEBD=/EDB=/BCD,

所以△DEB~2DBC,

所以器关，

DCDB

因为CD=2CG=4g,

所以。E=@_=生应.

CD9

8、已知在平面直角坐标系中，点A(3,0),2(-3,0),C(-3,8),以线段2C为直径作圆，圆心为E,直

线AC交。E于点。，连接OD

(1)求证：直线。。是OE的切线;

(2)点/为x轴上任意一动点，连接CP交。E于点G,连接BG；

①当tanNAC尸=4时，求所有尸点的坐标(直接写出)；

②求黑的最大值.

Cr

图2

解：(1)证明:如图1,连接DE,；2c为圆的直径,

：.ZBDC=90°,

：.ZBDA=90°

U：OA=OB

：.OD=OB=OA

：.ZOBD=ZODB

•：EB=ED

：.ZEBD=ZEDB

：.EBD+ZOBD=/EDB+/ODB

即：ZEBO=ZEDO

•・・。3」_冗轴

：.ZEBO=90°

：.ZEDO=90°

•・,点。在。E上

・•・直线0。为。E的切线.

(2)①如图2,当尸位于上时，过尸作FiNLAC于N,

VF17VXAC

・•・ZANFi=ZABC=90°

：.XANFsXABC

・ANJFI二AF1

**AB=^"■"AC"

VAB=6,BC=8,

：：：：：：

AAC=^AB2+BC2=^62+82=IO,gpABBCAC=6810=345

・,•设AN=3Z,贝ijNB=4左，AFi=5k

：.CN=CA-AN=10-3k

〜/“尸F1N4k1^z,10

..tanZACF=——=———=—,解得s：k=—

CN10-3k731

AF]=5k="|^

o1

°F13嗡嗤

BPFi(等，0)

oX

如图3,当尸位于BA的延长线上时，过6作/WLC4于

•?AAMF2^AABC

.•.设AM=3Z,则MB=4A,AF2=5k

：.CM=CA+AM=10+34

AtanZACF==_一一=1

CM10+3k7

解得：

5

•\AF2=5k=2

O&=3+2=5

即Fi(5,0)

4.Q

故答案为：Fi(黄，0),F2(5,0).

ox

②方法1：如图4,过G作GHLBC于”,

：CB为直径

：.ZCGB=ZCBF=90°

:.△CBGs^CFB

.BG二BC二CG

,,BF'CF'BC

：.BC2=CG-CF

.BG_BG>CGGH^£GH<1

'*CF-CF-CG-BC2~BC~2

.•.当H为BC中点，即时，黑的最大值=[.

2Cr2

方法2：设N3CG=a,贝!Jsina=2^,cosa=-^-,

BCCr

..BG

..sinacosa=----

CF

*.*(sina-cosa)2>0,BP：sin2a+cos2a>2sinacosa

Vsin2a+cos2a=L

日

・,・,smacosa<w—1，艮rJiBG<—1

2CF2

・'■的最大值=《■•

Cr2

9、如图，AB是。。的直径，弦COLAB于点X,连接AC,过弧8D上一点E作EG〃AC交C£＞的延长线于点G,

连接AE交CD于点尸，且EG=FG,连接CE.

(1)求证：AECFsAGCE；

(2)求证：EG是。。的切线；

(3)延长交GE的延长线于点M,若tanG="|，AH=3加，求EM的值.

(1)证明：如图1中,

M

图1

'：AC//EGf

：.ZG=ZACGf

9：ABLCD,

・•・AD=AC，

AZCEF=ZACDf

:・/G=/CEF,

•；/ECF=/ECG,

:•△ECFsdGCE；

(2)证明：如图2中，连接OE,

•:GF=GE,

：.ZGFE=ZGEF=NAFH,

u

：OA=OEf

：.ZOAE=ZOEA,

,/NAH/+NE4”=90。，

：.ZGEF+ZAEO=90Q,

・・・NGEO=90。，

：.GELOE,

；.EG是。。的切线.

(3)解：如图3中，连接0C设。。的半径为r.

A

图3

在RtAAHC中，tanAACH=tanZG=—,

4

：AH=3近，

.*.HC=4«,

在RtAHOC中，VOC=r,OH=r-3«,肌=4M,

；•(「3T)2+(4«)』八,

•r_25V3

6

9：GM//AC,

：.ZCAH=ZMf

ZOEM=NAHC,

：.AAHC^/\MEO,

,AH=HC

"EMOE'

.3V3=M

'EM

10、如图，0。是△ABC的外接圆，为。。的直径，过点A作平分/BAC交。。于点。，过点。作BC的平

行线分别交AC、A8的延长线于点E、F,OGLAB于点G,连接

（1）求证：AAEDsADGB；

（2）求证：£尸是。。的切线；

（3）若黑（，0A=4,求劣弧面的长度（结果保留兀）•

(1)证明：为。。的直径,

・•・ZACB=ZADB=90°,

■:BC〃EF,

：.ZAED=ZACB=90°,

,「AO平分N84C,

/./EAD=NDAB,

：.ZADE=NABD,

9

：DG±ABf

：.ZBGD=ZAED=90°,

：.AAEDs^DGB；

(2)证明：连接00,

,

：OA=OD1

：.ZOAD=ZADOf

：.ZD0F=Z0AD+ZADO=2ZDAF,

'：ZEAF=2ZDAF,

：.ZEAF=/DOF,

：.AE//OD,

'：AE±EF,

：.OD.LEF,

是。。的切线；

(3)解：VZEAD+ZADE=9Q°,

：.ZDAF+ZADE^90°,

'：ZBDF+ZADE^90°,

：.ZDAF=ZBDF,

：.△ADFs/\DBF,

.AD_AF_DF_r-

,•应一而一而—vs，

\'AD2+BD2=AB2=64,

：.AD2+(返AD)』64,

3

**•

：.BD=4,

tanNDAB==A/Q,

ADV0

・•・ZDAB=30°f

：.ZDOB=60°,

.人60•兀X44兀

・・=一

BD=------1-8-0------3

11、如图，已知A8为。。的直径，AC为。。的切线，连结C。，过8作8O〃OC交。O于。，连结交OC于G,

延长AB、CD交于点、E.

(1)求证：C。是。。的切线；

(2)若BE=2,DE=4,求CD的长；

(3)在(2)的条件下，连结BC交AO于R求器的值.

1)如图，连接。。

：AC为。。的切线，A8为。。的直径,

：.ZCAB=90°=ZADB,

'：OD=OB,

：.ZDBO^ZBDO,

VCO//BD,

ZAOC=ZOBD,ZCOD=ZODB,

：.ZAOC=ZCOD,S.AO=OD,CO=CO,

.♦.△AOC法△DOC(SAS)

：.ZCAO=ZCDO=9Q°,

：.OD±CD,且OO是半径，

；.CO是。。的切线；

(2)设。。半径为r,则。£)=02=r,

在RtAODE中，,/OD^DE2=OE1,

/.^+42=0+2)2,解得r=3,

08=3,

'：DB//OC,

.DE_BE

"CD'OB

即至上

CD3

:.CD=6；

(3)由