江苏省南通市2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

江苏省南通市2024-2025学年高二（上）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直驾T=-l在x轴，y轴上的截距分别为（）

A.2,3B.-2,3C.-2,-3D.2,-3

2.椭圆16%2+25y2=400的离心率为（）

A」B-C-D-

505J5U-5

3.直线I:3x+4y-1=0被圆C:（久-l）2+（y-2）2=5截得的弦长为（）

A.1B.2C.3D.4

4.在等比数列中，“的<a2<。3”是是递增数列”的（）条件

A,充分必要B,充分不必要C.必要不充分D.不充分不必要

5.已知平行六面体4BCD—ABiGDi的所有棱长均为1,乙41aB=^AD=/.BAD=60°,则对角线4C的

长为（）

A./6B.2C./3D.<2

6.已知点”（2,成）（6>0）在抛物线C:y2=2Px上，F为C的焦点，|MF|=4,则mp=（）

A.-16B.-8遍C.8AA2D.16

7.已知4B,C三点不共线，点。在平面4BC外，点P满足而=万瓦5+|加+|历，则当点P,4B,C共面时,

实数%=（）

A.-1B.-jC.1D.|

8.在等比数列｛%J中，ara2■•■an=；ara2<11）,则a6K）

A.-1B.1C.±1D.无法确定

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设匕，平面a,1，平面£,沅，元分别为A，1的一个方向向量，则下列结论正确的是（）

A.若记1n,则a10

B.若cos〈记，元）=—》则所成角为60°

C.若cos的，/=-i则。与£所成角为60°

D.若cos你加=—点贝必,0的夹角为60°

10.下列结论正确的是（）

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A.若｛即｝是等差数列，则aid2,a2a3,a3a4是等差数列

B.若｛即｝是等比数列，则2al+<23,2a2+ct4/2a3+<15是等比数列

C.若的,a2，a3是等差数列，则2乜2a2,2。3是等比数列

D.若Inai，lna2，lna3是等差数列，则底，道，道是等比数列

11.在平面直角坐标系xOy中，直线y=k(x—1)过抛物线「:川=2px(p>0)的焦点，且与T交于点4B,则

下列结论正确的是()

A.厂的通径长为4

B.线段4B的中点在定直线上

C.直线。4OB的斜率之积为定值

D.若4(4,4),直线04与「的准线交于点C,则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.圆C］：/+y2=9与圆C2：久2+y2-8%-6y+16=0的位置关系.

2

13.设直线Z:ax+by+l=0与双曲线Cv:^—y2=1恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对(a,b)可以

是.

14.已知数列｛厮｝的前几项和为%,a1=l,an+1=弋加“为奇'数,则又1=.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知等差数列的前几项和为目,公差d不为。的,a2，a5成等比数列，S5=25.

(1)求数列｛%J的通项公式；

(2)记%nWN*,数列｛g｝的前ri项和为乃，证明：Tn<\.

anan+l乙

16.(本小题12分)

设椭圆r：3+1=l的右焦点为F，过原点。的直线与r交于点4B,且4F1X轴.

(1)求△ABF的周长；

(2)设点C在「上，求△ABC的面积的最大值.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—ABC。中，241底面48。。,40〃8。24=48=4。=。。=1,8。=2.

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p

/夕——\AD

⑴求点a到平面PCD的距离；

(2)求平面24B与平面PCD的夹角的余弦值.

18.(本小题12分)

记正整数九的所有正因数的和为S(X),如S(4)=1+2+4.若S(n)=2n,则称n为“好数”.

(1)判断28是否为“好数”,并说明理由，

(2)证明：WneN,2m不是“好数”；

(3)设meN*,求所有形如6m的“好数”.

19.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，已知点P及曲线C,过点尸向右上、左上方作斜率分别为s,-s的两条射线，与曲线C的

交点分别为4B.当s变化时，如果直线的斜率为定值或直线4B经过定点，那么称P是曲线C的“优点”.

已知曲线c：^—5=i(y>o).

4o

(1)判断Pl(0,-2)是否为曲线C的“优点”；

(2)在P2(8,—6)/3(2,0)中任选一个判断是否为曲线C的“优点”，并说明理由；

(3)给出满足的条件，使得P(m,n)是曲线C的“优点”，且__________,并求出对应的定值或定点.

①直线4B的斜率为定值；②直线4B经过定点.

请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明.

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1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】B

9【答案】AB

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】相交

13.【答案】（1,2）（答案不唯一）

14.【答案】31

15.【答案】解：（1）依题意得卜的十竽八25,且弓十°,化简得偿

、（ai+d）2=%@+405一处“

解得｛，匚21JQ九=2九一1;

(2).=(2n-l)x(2n+l)=2Qn-1-2九+1)

1111111/1\1

=2(1-3+3-5+,"+2?r^T_2?r+l)=2(,1-2^+lJ<2

16.【答案】解：（1）

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已知椭圆八。+4=1的右焦点为F，因为=4/2=3^c=Va2-h2=l,

4o

所以尸(1,0),因为AhX轴，把x=1代入椭圆方程「:1+¥=1中，得到y=±±,

43Z

不妨设因为4B关于原点对称，则B(—1,—|),

所以［2用=J(1+1/+(|+I,=V4T9=VZ3,

由椭圆的对称性可知：\AF\=IBFJ,所以|4F|+|BF|=|BF|+|B0|=2a=4,

所以a4B尸的周长为|2B|+\AF\+\BF\=4+V^3;

(2)

由(1)得|4B|=J(1+1产+(|+|)2=7TT9=AH3,

由B(—1,—I)可得直线AB的方程为：y=|x=>3x—2y=0,

当△ABC的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线AB的距离最大时,

即与直线4B平行且与椭圆相切时，如上图，设匕:3%-2丫+m=0,

3%—2y+m=0

联立/y2_，整理得：12/+6mX+7712—12=0,

(T+T=1

因为直线与椭圆相切，所以判别式/=(6m)2-4x12x(m2-12)=0,解得:m=±4/3,不妨取爪=4/3,

所以直线人:3%-2y+4V-3=0,

则两平行线的距离d=।…=携，

J32+7)2旧

故AABC的面积的最大值S=^\AB\d=^xA<13x撵=273.

17.【答案】解：(1)过4作于H,因为4D〃BC,

所以四边形4DCH为平行四边形，

所以4H=CD=1,CH=AD1,所以8H=8C-CH=1,

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又因为AB=1,所以△4BH为等边三角形，

取BH的中点E,连接4E,贝即4E，BC,

因为2D〃BC,所以AE14D,

因为241底面48C。，所以AE,AD,AP两两互相垂直，

则以4为坐标原点，AE,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则4E=VAB2—BE2=11—7=孕,

742

*3亭1

C以

所以4(0,0,0),尸(0,0,1),。(0,1,0),2--2-

所以丽=(0,—1,1),DC=DA=

设平面PCD的法向量为沅=(x,y,z),

而HO

-宣--

P-+Z

贝.+

HM1-

J-令y=g则％=—1,Z=C,所以记=(一1,门,门),

-Xy-O

DC22-

•沅|

所以点4到平面PCD的距离为d|ZM_/3_<21

(2)由⑴知，AP=(0,0,1),荏=(苧10)，

设平面PAB的法向量为元=(a,瓦c),

n-AP=c=0,_,_

则——><31解得c=0，令a=1,则b=所以元=(l,C,0),

n-AB=—a--b=0

LL

所以cos〈记，元〉=瑞=岛=?,

所以平面P4B与平面PCD的夹角的余弦值为

18.【答案】解:(1)对于n=28,它的正因数有1,2,4,7,14,28.

计算这些正因数的和S(28)=1+2+4+7+14+28,通过加法运算得到S(28)=56.

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而2X28=56,即S(28)=2x28,满足“好数”的定义,所以28是“好数”.

(2)求2m的正因数之和5(2机)，27n的正因数为1,2,22,…，2叱这是一个首项的=1,公比q=2,项数几=m+l

的等比数列.

根据等比数列求和公式耳=可得SQg)=lx,}})=2m+1-l.

而2'2机=2机+1,因为2n—1<2机+】，即S(2M)不2x2机，所以2nl不是“好数”.

(3)先求5(6力，因为6m=2mx3m,根据正因数的性质，5(6加)等于2m的正因数和与37n的正因数和的乘积.

27n的正因数和为1+2+…+:=2m+1-1,

2—1

3M的正因数和为1+3+…+3加=三丁=二片.

所以5(6刃=(2m+1-1)-三二.

令5(6恒)=2-6m,即(2M+1-1)•2=2-6m,化简得(2.+1-l)(3m+1-1)=2m+2-3m.

当m=1时，左边(21+i-1)(31+1-1)=(4-1)(9-1)=3x8=24,

右边21+2•31=8X3=24,等式成立.

当HI>1时，对(2租+1-l)(3m+1-1)展开得2恒+】x3m+1-2m+1-3m+1+1,27n+2.3m=2x2m+1-3叫通

过分析指数函数的增长速度可知，此时左边大于右边，方程无解.

所以租=1,那么形如6M的“好数”为61=6,即形如6加的“好数”集合为{6}.

19.【答案】解：(1)由B(0,—2),直线P4PB斜率分别为s,—s,可知两直线关于y轴对称,

结合双曲线对称性可知，4B关于y轴对称，

故直线4B的斜率心B=0,即斜率为定值，

所以&(0,-2)是曲线C的“优点”；

(2)①22(8,—6)是曲线C的“优点”，原因如下：

设直线「2人的方程为y+6=s(x—8)(s丰0),令t]=—8s—6,

则直线尸2B的方程为y+6=-s(x—8)(s力0),令功=8s-6,且匕7t

则12—t]=16s,±2+t]=—12,曲+片=128s2+72,抬——192s.

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由与JL可知「2（8,—6）在双曲线4―1的下支上,

o4t5

设4(%1，%)8(久2，、2)，

X2

联立产'8—。，得(2s?—I)%+4sti%+2tf—8=0,

(y—sx+'

由题意s>苧或S<—苧.

由右和8是方程的两不等根，则由韦达定理知8/=黯,

解得“1=4（2S2-1）；

2

同理，将S换成一S,力1换成t2，可得％2=以基，

又％=s%i+tlfy2=-sx2+今，

4(2S2-1)4(2S2-1)Z1

则直线的斜率m=—S(%2+?+l2Tl=

名一4t|-4

4(2S2-1)-4(2S2-1)

-s(g+ti—8)+4(2s2—1)9-「1)

_-64s(2s2+1)+64s(2s2-1)_2

--192s-3,

故P2(8,-6)是曲线C的“优点

②P3（2,0）是曲线C的“优点”，原因如下:

设直线的方程为久=ty+2（tW0）,直线P3B的方程为1=—ty+2（t工0）,

1

其中t=1（sH0）,4（尤1，月）,3（久2以），

作点B关于左轴的对称点殳，则/（久2,-、2）・

由对称性可知，点名在直线23人上，且在双曲线下支上.

直线P3&与双曲线4-4=1相交，AB1即分别在上、下支的两个交点.

4o

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联立｛算~+78=（），得（#-2W+也+12=0,

由题意s＞苧或s＜—苧，即—苧＜t＜苧且tW0.

由上分析可知力,-丫2是方程的两根，

_

则由韦达定理知yi+（-y2）=忌!，71,（72）=3刍，

即丫1一丫2=^1，7172=且%i=tyi+2,%2=一b2+2,

由直线的方程为y—%=空。-与），

%2%1

令y=0,得％=无】+皿口1=3±也

yi-y2yi-y2

=-&为+2）%+（一b2+2）-=—2/;当当+2

一为一巧一乃一乃

_2G瓷）

=—W^+2=-4,

故直线48过定点（—4,0）,

所以P3（2,0）是曲线C的“优点”.

（3）若m,71满足条件m=。或?一景=1,

则「（犯团是曲线C的“优点”，且①直线4B的斜率为定值.

当rn=0,即点P在y轴上时，直线4B的斜率为定值0；

当苧一唾=1,即点P在双曲线上时，直线4B的斜率为定值-千；

482n

若TH,71满足条件TH。0,71=0,即点P在％轴上（且不为原点）时，

则P（m,n）是曲线C的“优点”，且②直线4B经过定点，定点为（-[o

理由如下：

若加=0,即点P在y轴上，由对称性可知，直线4B的斜率为定值0；

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若胃―唾=1,即点P在双曲线C：4—q=1上时，

4o4o

设直线P4y—71=s(x—m)(sH0),

联立『JX,8—，得，(2s2—l)x2+4s(n—sm)x+2(n—sm)2—8=0,

(y—n=s(x—m)

题意s>苧或s<—苧.

,4sos—几)m.|4sos一n),、.

巾+/=2s2_]'则/=2s2—]yA=s(xA-m)+nf

以一s代s得,XB=-二,VB-s(xB-m)+n,

[4s(ms—n)4s(ms+n)

JB—y/l—s(%4+益-2m)=-S[万s2—1+2s2—1-

xB—xA~xB-xA~4s(ms