解三角形 提高练-2025年高考数学一轮复习

解三角形提高练

2025年高考数学一轮复习备考

一、单选题

TT

1.命题P：“若VABC与ADEF满足：AB=DE=x,BC=EF=2,A=D=~,则△ABC三ADEF”.已

6

知。是真命题，则x的值不可以是()

A.百B.2C.3D.4

nhc

2.在VA3C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,贝是

cosAcosBcosC

“cos(A_B>cos(8_C)cos(C_A)=l”的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.在AABC中，角内AB,C的对边分别为a,b,c,若一^:，—,一;依次成等差数列，则

tanAtanBtanC

()

A.a,b,。依次成等差数列B.扬，人依次成等差数列

C.C?依次成等差数列D.依次成等比数列

4.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c(sinA-sinC)=(a-Z?)(sinA+sinB),若VABC

的面积为且，周长为36,则AC边上的高为()

4

A.也B.必C.6D.2A/3

32

5.早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕

太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.地球在4位置时，测出

2兀3兀

ZS£0M=y；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了4位置，测出/珥M=丁，

7T

HSE苫.若地球的轨道半径为R,则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据：

6=1.7)()

A.2.17?B.2.2RC.2.37?D.2.4R

6.在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=y/2,2％=?，沿3D将△ABD折起，则三棱锥A-3co的

4

体积最大时，三棱锥A-5co外接球的表面积为（）

3

A.—71B.2兀C.3兀D.4兀

2

7.如图，某景区为方便游客，计划在两个山头V,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离，施

工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度MC=100后/NB=500%，在BC同一水平面上选一点

A,测得M点的仰角为60。，N点的人仰角为30。，以及/M4N=45。，则M,N间的距离为（）

A.100V2mB.120mC.100A/3HID.200m

8.某园区有一块三角形空地VA3C（如图），其中AB=10鬲，BC=40m,ZABC=^,现计划

2兀

在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求=则CP的最小值为（）

A.B.（lO^-lojmC.25mD.130m

二、多选题

9.某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次

活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有

A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角a,夕，再测量A,8两点间距

离

B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为力，在该建筑物底部和顶部分别

测得旗杆顶端的仰角a和6

C.在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角再测量A到旗杆底部的距离

D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角a,正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端

的仰角6

10.如图，VABC的角A3,C所对的边分别为（acosC+ccosA）=2bsinB,S.ZCAB=^,

若点。在VABC外，DC=1,DA=3,则下列说法中正确的有（

C

D

3

兀

B.ZABC=-

3

C.四边形ABCD面积的最大值为述+3

2

D.四边形ABCD面积的最大值为M+26

2

11.已知AABC的内角AB,C的对边分别为a,6,c,且鬓”.sin24J="sinA,下列结论正确的是

B.若o=4,6=5,则^ABC有两解

C.当。-0=且6时，AABC为直角三角形

3

D.若AABC为锐角三角形，则cosA+cosC的取值范围是（9,1]

12.在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动•他位于河东岸，

在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点8位于点A的南偏西45。的方向上，由于受到

地势的限制，他又选了点C,D,E,使点8,C,。共线，点B位于点D的正西方向上，点C位于

点。的正东方向上，测得CD=CE=100m,ZBAD=75°,ZAEC=120°,A£=200m,并经过计算

得到如下数据，则其中正确的是（）

A.AD=200mB.AWC的面积为1000鬲

C.A8=ioo"mD.点A在点C的北偏西30。方向上

三、填空题

13.已知VABC三内角A、B、C的对边分别是。、b、c,若a=bcosC+csin3,且

sin2A=sin2B+sin2C-0sin8sinC，则VABC的形状为

14.已知面积为冥1的锐角VABC其内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且二二+―^=士,

3tanAtanBsinA

则边C的最小值为.

15.已知AABC的三个内角A,B,c满足粤+色吆=2(tan3+tanC),则A的最大值是.

16.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C,测得塔顶的仰角为6,由C向塔前进30米

后到点。，测得塔顶的仰角为26,再由。向塔前进106米后到点E后，测得塔顶的仰角为46,则

塔高为米.

17.如图，在平面凸四边形A3CD中，ZAD5=90°,CD=1,BC=2,AD=BD,/BCD为钝角,

则对角线AC的最大值为.

四、解答题

18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2cosA-3cos2A=3.

⑴求cosA的值；

⑵若△ABC为锐角三角形，6=3,c=2,

(i)求a的值；

(ii)求sin(2A-C)的值.

19.在VA3C中,NA=g,A8=3,AC=2

(1)求点A到边BC的距离：

⑵设尸为边A5上一点，当尸笈十尸取得最小值时，求5c外接圆的面积.

参考答案:

1.C

因为P是真命题，所以VABC有唯一解,

.71

ABBCxsin—

由正弦定理可知____6x

sinCsinA

24

当0<元42时，0<sinC<l,C<A,角。有唯一解，即VABC有唯一解;

当2v%v4时，0<sinC<l,C>A,角。有两解，即VABC有两解;

TT

当x=4时，sinC=l,C=~,角。有唯一解，即VA5C有唯一解;

当x>4时，sinC>l,角。无解，即VABC无解；

所以x的值可以是若,2,4,x的值不可以是3.

2.B

bc

充分性：已知正弦定理=2R,

smAsin5sinC

“abc.27?sinA27?sinB27?sinC口口-

当----=-----=-----时，-------=-------=-------,BPtanA4=tanB=tanC,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

显然tanA=tan5=tanCw0,

若tanA=tanB=tanC<0,又A,民C£(0,兀)，则A,氏。均为钝角，显然不合题意;

故tanA=tan5=tanC>0,又4民。£（0,兀），则人,氏。均为锐角,

又丁=12口］在10弓）上单调递增，所以A=B=C,

则A—5=5—C=C—A=0,所以cos(A—_B),cos(_B—C)cos(C—A)=1成立;

必要性：当cos(A-B)・cos(_B-C)cos(C-A)=U^

因为尸cosx的值域为［—1』，所以cos（A_3）=cos（3—C）=cos（C—A）=l,

XO<A<7l,O<B<7l,O<C<7T,所以一7l〈A-i5<7C,—兀<5—CVTI,—TC<C—A<TC,

所以A—5=_B—C=C—A=0,即A=B=C,

所以VABC为等边三角形，则」a7二三h二三c成立；

cosAcosBcosC

综上，"」-=上=^—”是“cos(A-B>cos(8-C)cos(C-A)=l”的充要条件.

cosAcosBcosC

3.C

E、r111』、二4收廿皿-1LLI、I112COSAcosC2cos3

因为---r,------,----二依次成等差数歹U,所以----+----=---，，即QrI1―.十.万

tanAtanBtanCtanAtanCtanBsmAsinCsin5

i_ncosAcosC2cos5口一，，_

由正弦定理得-----F-------=----------,即bccosA+abcosC=2accosB,

acb

又由余弦定理得—（b2+°?—/）+5（/+_。2）="+_/，即2〃="十/,

所以/,从，°?依次成等差数列，

4.B

在VABC中，由正弦定理及c(sinA-sinC)=(a-b)(sinA+sinB),

〃2q2_*1

得c(〃—c)=(〃—»(〃+)),^a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cos5=〃+。＞=)

2ac2

则sin5=，^,由VABC的面积为^—acsinB=^-ac=^-»解得QC=1,

24244

由4+/_/=々°,得(Q+C)2—/=3〃C,又〃+。=2&,因此Z?=l,

令AC边上的高为〃，则4〃=迫，所以〃=迫.

242

5.A

TT

连接&£；,在AS综月中，SE0=SEl=R,又/石石绘:本则是正三角形，EaE,=R,

2冗37rjr5it

由NSEoM=w，ZS^M=—,得NE]EoM=§,ZE0EtM=—,

E1M=E°Ei—7?/?

在中，AE0ME}=-,由正弦定理得T,则E1M=/L=、R,

4sinjsin-gJ2

~T

一2R鼻.（一

22

在ASNE］中，由余弦定理得SM=R2+-R+y/3R^y/4~2R^2.1R.

2

6.C

在中，BD2=AD2+AB2-2ADABcosA=l,贝

所以AB2+BE)2=AD?,则ABLBD

由题可知，当平面ABD,平面BCD时，三棱锥A-BCD的体积最大.

B

如图，可将三棱锥A-3CD补全为正方体，则三棱锥A-BCD外接球的半径为且,

2

故其外接球的表面积为3兀.

7.A

由题意，可得/MAC=6O°,NM4B=3O°,MC=1OO—,NB=5O0,NMAN=45°,

且ZMCA=NNBA=90。，

MC

在直角△AOW中，可得AM=--------=200,

sin60°

在直角AABN中，可得AM=*-=1000,

sin30"

在AAW中，由余弦定理得W=41/2+和一274M-4VCOS/A£47V=20000,

所以即V=100石〃.

8.B

2兀

如图，因为乙4尸2=石，所以P在如图所示的圆。上,

110A/3

_X____—

圆。的半径为2V3一

由圆周角的性质可得=n-2=三，^AOB=-x2=—,ZOBA=ZOAB=-,

''............................33336

连接OC,可得OP+CPNOC,

所以当尸为OC与圆的交点时，CP取最小值，即CP=OC-OP,

27r

又03=0尸=10,在△O3C中，05=10,5c=40,ZOBC=—,

根据余弦定理可知OC=/1。2+4。2一2X10X40X=10同，

所以CP的最小值为（1。万

9.BCD

对于A：如果A,8两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确.

对于B：如下图，中由正弦定理求A。，则旗杆的高CD=/i+AOsin4,故B正确;

对于C：在直角三角形△ADC直接利用锐角三角函数求出旗杆的高OC=ACtana,故C正确;

对于D：如下图，中由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=ADsin。，故D正确;

10.ABC

因为百(tzcosC+ccosA)=2bsinB,由正弦定理得g(sinAcosC+sinCcosA)=2sin2B,

即6sin(A+C)=A/3sinB=2sin2B,

因为B£(0,兀)，可得sin5>0,所以sin5=且，

2

TT27rTT

又因为=可得8e(0,可)，所以2=§,所以VABC为等边三角形，

TTJI

可得ZABC=g,ZACB=~,所以A、B正确；

设NADC=e,6»e(O,7r),

在44CD中，由余弦定理得|AC「=|DC「+|D4「-2|£)C|D41cos6»=10-6cos。，

1]3

且SAACD=—|/)C||Z)A|sin^=—xlx3sin^=—sin^,

可得JABC=¥1AC『=孚一亭cos6，

所以四边形的面积为S=SABC+SACD=^-^-COs3+-sin0=^-+3sm(3--),

△ADCAACU2222'3/

当崂与时，四边形MS的面积最大，最大值为W+3,所以C正确，D错误.

对于A,因为差■々•sii?41"C=Z?.sinA,

所以由A+B+C=7i及正弦定理得，sinA-sin2=sinB-sinA,

2B

由诱导公式得，sinA-cos9—=sinB-sinA,

2os^=2sin^os^,

因为AE(O,兀)，故sinAwO,所以看'CC

222

化解得即

cosO(6sinO-cosO)=0,cos—sin(---)=0,

222226

DZ?JT-JT

所以cosg=0或sink：)=O,即8="(舍)或3=9故A正确;

2263

22

对于B由余弦定理得〃,BP25=16+c-8xcx^-,^fc-4c-9=0,

2

由A=(—4>—4x(—9)=52>0,所以c=2+JR(负值舍)，即VABC有一解，故B错误;

对于C,因为。―。=且人，两边平方得〃2一2。。+。2=少，

33

由余弦定理得/=/_2〃ccosB=a2-^-c2-acf

由两式消得，2/—5〃c+2c之=0,解得〃=2c或c=2a,

由B=乌，a—2c,b=A/3C解得/A=—,

32

由3=5，c=2a,〃=若〃解得/C=];

故VABC为直角三角形，故C正确；

TT

对于D,因为VABC为锐角三角形，且5=§,

0<A<-0<A<-

271,71

所以2n=>—<A<—

八2714Tl62

0<C<-0<------A<—

232

即cosA+cosC=cosA+cos(--A)=—cosAH-----sinA=sin(A+—)，

所以4+三仁弓,弓)，所以sin(A+》e(手,1],故D正确.

o3362

12.AC

对于A,因为/HAD=75。，点B位于点A的南偏西45。的方向上,

所以NB=45。，ZADB=60°,ZADC=nO0,

又ZAEC=ZADC=120°,CD=CE=100m,AC=AC,AE=200m,

在△AEC,AADC中，AC2=AE2+CE2-2AE-CEcosl20°,AC2=CD2+AD2-2AD-C£)cosl20°,

所以AD=AE=200m,故A正确;

对于B,AADC的面积为LxAZ)xCr)xsin/AOC=Lx200xl00x=500073(m2),故B错误;

22

对于C,在中，由正弦定理，得.On/我,解得

smZADBsmB

200x—

…ADsinZADB

AB=------------------—2=100A/6(m),故C正确;

sinB

对于D,过点A作AGL5C于点G,易知ND4G=30。，所以NC4G>30。，故D错误,

13.等腰直角三角形

由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinBsinC

即sin(3+C)=sinBcosC+sinBsinC

所以cosBsinC=sinBsinC,因为sinCwO,所以tanB=l

因为3e(0/),所以8=:.

又a1=及**-2反®,由余弦定理得cosA="

22

因为Ae(O/),所以A=5，C=7r-A-B=|,所以VABC为等腰直角三角形.

故答案为：等腰直角三角形

14.2

212

-------1-------=------

tanAtanBsinA

2cosAcosB2

--------1-------=------,

sinAsinBsinA

2(62+02-/)q22-fe2_2

由正余弦定理可得:+c

2abc2abca

化简得3c2+"2—〃2=4A,

由余弦定理可得2,+2Z?CCOSA=4Z?C,即c2=bc(2—cosA),

T7c1I.2_LL4V3

XS=—bcsmA=-----，故be=---------,

233sinA

4V§(2-cosA),其中。苦，

所以。2<A

3sinA

A、2-cos龙，八71.、1—2cosx

令/(无)=—:——(0<x<-),•••fM=———

smx2sinx

当xe(O,g)时,1—2cosx<0,贝f（x）单调递减,

jrjr

当xe（*今时，l-2cosx>0,则尸⑴>0,当x）单调递增，、

4石(2-cosA)〉4g<

所以/（x）N吗）=瓜所以，=^3=4，

3sinA3

即cN2,当4=三时，等号成立.

故答案为：2

15.-

3

e、rtanBtanCz「「、

因为-----1-----------------=2(tanB+tanC),

cosCcosB

匚已2sinBsinC2(sinBcosC+sinCcosB)

所以--------+---------—,

cosCcosBcosCcosBcosBcosC

”…sinBsinC2sinA

所以一~-+，所以sin5+sinC=2sinA,

cosCcosBcosCcosBcosBcosC

由正弦定理得:bc=2a.

,又由—=得：””

由余弦定理得:c°sA=X2"

,72/人+C、23/,22、113_.1.

匚G、I,2,22Z?+c-()—(b+c)——be--2bc——be

所以cosA=b+c-a=2=4>401，

2bc2bc2bc2bc2

（当且仅当b=c,即△ABC为正三角形时，取“=”），

TT

因为0<4<兀，所以A的最大值为

故答案为：—

16.15

由题意，因为NCPD=NEDP-/DCP=20-0=9,：.PD=CD=30,

ZDPE=ZAEP-ZEDP=4。一2。=2。，PE=DE=lOy/3,

在三角形—理得…号寨手飞gp等

PA/?

，sin4(9=—,PA=PE-sin46*=10A/3x^-=15.

故答案为15米.

17.2+&/0+2

方法一：设NBCO=aee[5,7i

BD2=1+4-2-1-2COS6»=5-4COS6>,

BD=y/5-4cos0,J5-4c°s"=——2——，

sin。sinZBDC

sinZBDC=:2sm,

j5-4cos。

△ACD中，AC2=1+5-4cos0-2-1A/5-4COS^-COS^ZBDC+^

=6-4cos61+2.y/5-4cos(9?ZBH6：=-66>4c(W-256>4coi^£

v5-4cos^

=6+4而in]。一:卜6+4忘=(2+应)2,3兀

当且仅当。=一时等号成立,AC<2+A/2.

4

BD2

方法二：设ZBCD=aZBDC=0,由

sinasinj

则BD,sin/7=2sinc,

BD2=1+4—2义2cos2=5-4cos。，

AC?=A£p+0)2-2Ao-CD-cos/

=5—4cosa+1+2BD-CD•sin/?=5—4cosa+1+4sina

=6+40sin(a-j46+40=