解三角形（原卷版）

专题20解三角形

【考点预测】

知识点一：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a1=b2+c2-2bccosA；

abc

公式.—2Rb2=(^+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=622+Z?2—2abeosC

.b2+c2-a2

cosA=---------------；

(l)a=2RsinA,Z?=2HsinB,c=2HsinC；2bc

常见c2+O2-b2

(2)sinA=，sinB=，sinC=；cosB=---------------；

变形2R2R2R2ac

a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

(2)面积公式：

S.ABC=—absinC=—bcsinA=—acsmB

A222

S,ABC=^=^a+b+c)-r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,r.)

知识点二：相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边oa::c=sinA:sin6:sinC

②大边对大角大角对大边

a>boA>5osinA>sin5ocosA<cosB

③4分比a+b+c_a+b_b+c_a+c__b_c

sinA+sin3+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC内角和定理：A+B+C=7i

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=QCOSB+/?cosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(A+5)=tan"+tan'=tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC

1-tanA-tanB

小./A+B、CA+B.C

④sin(-------)=cos—；cosz(-------)=sin——

2222

⑤在AABC中，内角AB,。成等差数列oB=二,A+C=二.

33

知识点三：实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.

视线西卡A北了1A-|UH标上1］

绢、视线।南'良―东I

图①图②图③图④

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.

（1）北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角6为坡角）.

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，，・为坡度）.坡度又称为坡比.

【方法技巧与总结】

1.方法技巧：解三角形多解情况

在△ABC中，已知a,6和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

C

AccX

图形

AB\•…/BAJ........BA'B

AB

bsinA<a<ba>b

关系式a=bsinAa>ba<b

解的个

一解两解一解一解无解

数

2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要

选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有”,4c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到4+3+。=万.

【题型归纳目录】

题型一：正弦定理的应用

题型二：余弦定理的应用

题型三：判断三角形的形状

题型四：正、余弦定理与的综合

题型五：解三角形的实际应用

题型六：倍角关系

题型七：三角形解的个数

题型八：三角形中的面积与周长问题

【典例例题】

题型一：正弦定理的应用

例1.(2022•浙江•镇海中学高三开学考试)在AABC中，A=30。，BC=1,则AABC外接圆的半径为()

A.1B.gC.2D.3

例2.(2022•青海玉树•高三阶段练习(文))在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,且AABC

的面积5=中(4+02—62).

(1)求角8的大小；

(2)若a+0Z?=2c，求sinC.

例3.(2022•全国•高考真题)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长

的三个正三角形的面积依次为岳应㈤，已知5-邑+$3=#，sinB=g.

(1)求AABC的面积；

(2)若sinAsinC=正，求b.

3

例4.(2022.安徽•合肥一六八中学模拟预测(文))在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c

3

若sinA=1,A=23,角。为钝角，b=5.

⑴求sin（A-B）的值；

（2）求边c的长.

例5.（2022・湖北•黄石市有色第一中学模拟预测）在AABC中，内角A民C的对边分别为。，b,c,

已知2cosc（acosB+AosA）=c.

⑴若cosA=半，求sin（2A+C）的值；

（2）若,=夜，AABC的面积为转，求边。，6的值.

2

例6.（2022•青海西宁•二模（理））在①a=6；②a=8；③a=12这三个条件中任选一个，补充在下

面问题中，若问题中的三角形存在，求cosA的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AABC，它的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,面积为S,且6+62-02=4S,

c=50，?

【方法技巧与总结】

（1）己知两角及一边求解三角形；

（2）已知两边一对角；.

'大角求小角一解（锐）

［两解一sinA<1（一锐角、一钝角）

小角求大角一〈一解一sinA=l（直角）

无解一sinA>1

（3）两边一对角，求第三边.

题型二：余弦定理的应用

例7.（2022•全国•高三专题练习）设AABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若AABC的面

积为S,且4AQS=（a+，y—c?,则sin］。—（）

A.1B.1C.—D.避

222

例8.（2022.青海玉树.高三阶段练习（理））在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6,c,且°=2而，

cosA=--,sin8=2sinC,贝!|6=（）

4

A.1B.2C.3D.4

例9.（2022・青海・大通回族土族自治县教学研究室三模（理））在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C

的对边.若a,b,c成等比数列，且a?-c?=（a-＞为，则A的大小是（）

A.3B.七C.2D.名

6336

例10.（2022•河南安阳•模拟预测（理））在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足

2b2-3c2-ac=0,sin（A+B）=2sinA,则tanC=.

【方法技巧与总结】

（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.

（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，

〉0,则AABC为锐角三角形

若余弦值＜=0,则AABC为直角三角形.

＜0,则AABC为钝角三角形

题型三：判断三角形的形状

例11.（2022・吉林•三模（理））在AABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a?-及=d一立be且

bcosC=asinB,贝（IAABC是（）

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

例12.（2022•陕西・西北工业大学附属中学模拟预测（理））设AABC的内角A、B、C的对边分别是°、

b、c,^-+7--=—J—,则AABC的形状是（）

abca+b-c

A.等边三角形

B.C为直角的直角三角形

C.C为顶角的等腰三角形

D.A为顶角的等腰三角形或8为顶角的等腰三角形

例13.（2022.青海•海东市教育研究室一模（理））AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

c2+b1cos2A-2ZJCCOSA,则AABC为（）

A.等腰非等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

例14.（2022・全国・高三专题练习）已知“6（7中，三内角4,民。满足23=4+（7,三边〃力,。满足62=℃,

则△ABC是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

例15.（2022・全国•高三专题练习）设AABC的三个内角A氏C满足23=A+C,又sir?3=sinAsinC,

则这个三角形的形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

A卜_i_z-»

例16.（2022.全国-局二专题练习）在AABC中，ZA）王汨，NC的对边分别为。，b,c,cos--=——,

22c

则AABC的形状一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【方法技巧与总结】

（1）求最大角的余弦，判断AA3C是锐角、直角还是钝角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.

题型四：正、余弦定理与的综合

例17.（2022•全国•高三专题练习（理））如图，在AABC中，。是AC边上一点，NA5C为钝角，NDBC=90°.

（1）证明：cosZADB+sinC-0；

（2）若AB=2A/7,BC=2,再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积.

①sin/ABC=电红；®AC=3AD.

14

注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

例18.（2022•全国•高三专题练习）在①AB=2AT>,②sinNACB=2sinNACD,③1.c=25.。这三

个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知在四边形ABCD中，ZABC+ZADC=n,BC=CD=2,且______.

（1）证明：tanZABC=3tan/K4C；

（2）若AC=3,求四边形ABC。的面积.

例19.（2022•全国•高三专题练习）在①sin2c=8cosC,②c（2+cos5）=gbsinC,③

AsinA+gacos5=0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形

的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A,民。所对的边分别为"c,且b=7,c=5,?

例20.（2022・全国•高三专题练习）TXABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知△ABC的面

积为卜nC.

⑴证明：sinA=2sinB；

3

(2)若〃cosC=]/?,求cosA.

例21.（2022.江苏泰州.模拟预测）在锐角△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知边

上的高等于

(1)求证：sinA=sinBsinC；

ch

⑵若NB4c=45。，求丁+—的值.

bc

例22.（2022•山东潍坊•模拟预测）在AASC中，内角4氏。的对边分别为“也。，btanA+btanB=^^.

cosA

⑴求角8；

（2）。是AC边上的点，若CD=1,AD=BD=3,求sinA的值.

【方法技巧与总结】

先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化

求解.

题型五：解三角形的实际应用

例23.（2022•陕西・西安中学一模（理））为了测量隧道口A、B间的距离，开车从A点出发，沿正西方

向行驶4000米到达。点，然后从。点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达C点，再从C点出发，沿东

南方向行驶400米到达隧道口8点处，测得80间的距离为1000米.

⑴若隧道口3在点。的北偏东6度的方向上，求cos。的值;

(2)求隧道口A3间的距离.

例24.(2022•上海市建平中学高三期中)如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、2两地，A处位

于东西方向的直线上的陆地处，8处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得tanZBAN=±,在A

4

处正西方向1km的点C处，用测角器测得tanN3CN=l.现有两种铺设方案:①沿线段在水下铺设；②在

岸上选一点P,设NBPN=9,先沿线段AP在地下铺设，再沿线段改在水下铺设，预算

地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.

(1)求A、2两点间的距离；

(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.

例25.(2022•广东湛江•二模)如图，一架飞机从A地飞往8地，两地相距200km.飞行员为了避开某一

区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成6角的方向飞行，飞行到C地，再沿与原来的

飞行方向成45。角的方向继续飞行60&km到达终点.

C

,45°

A

(1)求A、C两地之间的距离;

⑵求tan。.

例26.(2022•山东泰安•高三期末)在某海域A处的巡逻船发现南偏东60。方向，相距。海里的B处有一

可疑船只，此可疑船只正沿射线y=^x(xN0)(以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，)轴正

方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系)方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡

逻船出发，小时后，可疑船只所在位置的横坐标为从.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰

好1小时与可疑船只相遇.

(1)求“,b的值；

(2)若巡逻船以5&T海里/小时的速度进行追击拦截，能否据截成功？若能，求出据截时间，若不能，请

说明理由.

例27.(2022•辽宁・大连市一0三中学模拟预测)如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B

位于小岛A北偏东75。距离60海里处，小岛8北偏东15。距离306-30海里处有一个小岛C.

⑴求小岛A到小岛C的距离；

(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.

例28.(2022•黑龙江大庆•高三阶段练习(理))如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在

同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得ZBCD=a=35°,NBDC=£=100°,CD=400m.在点C测得

塔顶A的仰角为50.5。.

■7B

c

D

(1)求3与。两点间的距离(结果精确到Im)；

(2)求塔高AB(结果精确至!Jim).

参考数据：取点sin35°=0.811，0sin80°=1.393，tan50.5°=1.2.

【方法技巧与总结】

根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.

题型六：倍角关系

例29.(2022•北京丰台•二模)在AABC中，a=2,b=«,A=2B,贝iJcosB=.

例30.(2022.全国•高考真题(文))记入4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

(1)若A=23,求C；

(2)证明：2/=62+02

例31.(2022•江苏・华罗庚中学高三阶段练习)在AASC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

且，=4.

(1)若sinC=2sin8,acosC=4,求AABC的面积；

(2)若4=23,且AABC的边长均为正整数，求

例32.(2022•上海市奉贤中学高三阶段练习)已知AABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c.

⑴若A<3<C,B=j,AABC的外接圆半径为R,ac=2R?(l-2cosAcosC),求A的大小；

(2)若a=3,b=2,A-2B,求。边的长.

例33.(2022・山东•高三开学考试)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,边长均为正

整数，且》=4.

(1)若角B为钝角，求△ABC的面积；

(2)若A=23,求a.

例34.（2022•天津市新华中学高三阶段练习）已知AABC的内角A8,C的对边分别为a,dc,且

匕=3,c=l,A=2B.

(1)求。的值；

(2)求cos(2A+的值.

题型七：三角形解的个数

例35.（2022・江西•二模（文））设在AABC中，角4、3、C所对的边分别为a,b,c,若满足a=6,b=m,B=j

的AABC不唯一，则机的取值范围为（）

B.(0,A/3)

7T

例36.（2022•全国•模拟预测（理））在△ABC中，ZA=-,b=6,下面使得三角形有两组解的a的值

可以为（）

B.3下C.2A/7D.3#)

例37.（2022.河南.许昌高中高三开学考试（文））在三角形ABC中G4点在BC上方），若A=q,18c=2

边上的高为〃，三角形ABC的解的个数为“，则以下错误的是（）

A.当h>3时，71=0B.当/?=3时，77=1

C.当0<〃41时，n=0D.当1</?<3时，n=2

例38.（2022・全国•高三专题练习（文））已知在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，则

根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（）

,1A、TC

A.a=3,Z?=4,A=一

一71

C.<7=1,b=2,A=一a=2,b=3,A=—

3

例39.（2022•河南・南阳中学高三阶段练习（文））△ABC中，已知下列条件：①人=3,c=4,5=30。；②

。=51=8,4=30。；③c=6/=3疝8=60。；④c=9/=12,C=60。，其中满足上述条件的三角形有两解的

是（）

A.①④B.①②C.①②③D.③④

题型八：三角形中的面积与周长问题

例40.(2022・湖南.模拟预测)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知C=2A.

(1)求证：c=2acosA；

(2)若c=2acosA,A<B<C,b=10,且a+c=2Z?,求AABC的面积.

jr

例41.(2022•全国•模拟预测)从①A=§,②a=30sin3这两个条件中选一个，补充到下面问题中,

并完成解答.

已知锐角AABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，且sin?3=5狂A+sin?C-esinAsinC.

⑴求角B；

(2)已知8，且______,求sinC的值及AABC的面积.

例42.(2022•全国•高考真题(理))记"WC的内角A,8,C的对边分别为a,6,c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

(1)证明：24=〃+/；

25

(2)若a=5,cosA=三，求△ABC的周长.

例43.(2022.四川省泸县第二中学模拟预测(文))在△回(?中，角A,B,。的对边分别为〃，b,

c.Ae^0,,A/3sinA+cosA=y/3.

(1)求tan2A的值；

(2)若b=2百，a=2,b2>a2+c2,求c和面积S的值.

例44.(2022.四川省泸县第二中学模拟预测(理))在△ABC中，角A,B,。的对边分别为〃，b,

c.J^sinA+cosA=抬\b=2^3.请再从条件①：a=2,sin2B>sin2A+sin2C;条件②：a<b,

«cosAcosC=csin2A+-a.这两个条件中选择一个作为已知，求：

2

⑴tan2A的值；

(2)c和面积S的值.

例45.（2022.北京•高考真题）在AASC中，sin2C=A/3sinC.

⑴求“；

（2）若6=6,且AABC的面积为6石，求AABC的周长.

例46.（2022・青海・大通回族土族自治县教学研究室三模（文））在AABC中，内角A、B、C的对边分

别为“、b、c,S.2bcosB=ccosA+acosC.

⑴求角8的大小；

（2）若。+2c=16,且AABC的面积为8g,求AABC的周长.

例47.（2022•陕西・西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知AASC的内角A,8,C的对边分别为a,

b,c,且asin（A+B-C）=csin（B+C）.

（1）求角C的值；

⑵若2a+6=6,且AABC的面积为由，求AABC的周长.

例48.（2022•广东深圳•高三阶段练习）已知的内角A,8,C的对边分别为。也c,b=不，

c=4,2cos]B-^\+J7sinC=3.

⑴求B；

（2）若C为锐角，求AABC的面积.

例49.（2022・浙江・高考真题）在AABC中，角A,8,C所对的边分别为a2,c.已知4a=&,cosC=1.

（1）求sinA的值；

（2）若匕=11,求△回（?的面积.

【过关测试】

一、单选题

1.（2022.江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永

徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量滕王

阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB,高为12m,在它们的地面上的点M（8,M,。三点共

线）测得楼顶4滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60。，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30。，则小明

估算滕王阁的高度为（）（精确到1m）

A.42mB.45mC.51mD.57m

2.（2022•黑龙江•哈九中模拟预测（文））记44SC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC=@,

7

c=2,b=3,则cosB的值为（）

A.一也B.五C.土五D.土也

1414147

4

3.（2022,江西・模拟预测（理））在448。中，内角48,。所对的边分别为〃也°,且风口5+南11。=耳4114,

sinAtanA

则的值为（）

sinBsinC

A.4B.5C.6D.7

4.（2022•黑龙江・哈九中模拟预测（理））记的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,sinC=^

7

b=3,c=2.贝hosB的值为（

V7

A.也B.

1414

C.土五d

14-4

57r

5.（2022•江西宜春•模拟预测（文））△ABC的内角A,8,C的对边分别为"c,若4=a=2A/7，

6

c=6b,则△ABC的面积为（）

A.276B.76C.73D.273

6.（2022・全国•高三专题练习）在△ABC中，已知AB=5,BC=3,C4=4,则通•反（）

A.16B.9C.-9D.-16

7.（2022.北京昌平.二模）在△ABC中，NB=45°,c=4,只需添加一个条件，即可使△A3C存在且唯一.

条件：①。=3行；②b=2非;③cosC=-1中，所有可以选择的条件的序号为（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

Ar

8.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，三边长”,b,c满足a+c=3b,贝ijtan耳tan,的值为（）

11

A.-B.-

54

C.1D.-

23

二、多选题

9.（2022.全国•高三专题练习）AABC内角A,B,C的对边分别为。，b,。.已知时!14=（36-小苗8,

且cosA=g,则下列结论正确的是（

)

A.a-\-c=3bB.tanA=2^/2

D.△ABC的面积为述/

C.△ABC的周长为4c

9

10.（2022.河北.石家庄二中模拟预测）已知△ABC中，AB=3,AC=5,3C=7,O为△回（7外接圆的圆心,

/为AABC内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（）

•C外接圆半径为竽B.AABC内切圆半径为正

A.

2

C.AOBC=8D.A/BC=1

（2022・全国•高三专题练习）在△ABC中各角所对得边分别为。，b,下列结论正确的有（）

ab

A.则△ABC为等边三角形;

cosAcosBcosC

B.已知(a+Z?+c)(〃+Z?-c)=3aZ?,贝U/C=60。;

C.已知a=7,b=46,c=5,则最小内角的度数为30°;

D.在a=5,A=60。，b=4,解三角形有两解.

12.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,且满足

sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列结论可能成立的是（）

A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.C=90°

三、填空题

a+b+c

13.（2022・河北•高三期中）已知△ABC中角A,B,。所对的边分别为。，b,c,P=--,贝5c

的面积s=jMp-a）（0-6）S-c）,该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若AABC的

周长为15,(sinA+sinB):(sinB+sinC):(sinC+si