解三角形的实际应用（4题型+限时提升练）-2025年上海高考数学复习专练（原卷版）

重难点05解三角形的实际应用

明考情■知方向

2025年考向预测：正、余弦定理的实际应用

重难点题型解读

迪正、余艇理判三角形形状

®求三角形中的边长或周长的最值或范围

解三角形的实际应用

避3几何图形中的计算

题型4正、余弦定理的实际应用

题型1正、余弦定理判定三角形形状

1.已知在VABC中，三边。，瓦c分别对应三个内角AB,C；且-----=-------

c+b-ab

(I)求角C的大小；

(2)当在VABC外接圆半径尺=1时，求VABC面积的最大值，并判断此时VABC的形状.

2.在VA2C中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c.已知2bsinA-W=0,且B为锐角.

⑴求角B的大小；

⑵若3c=3"+回，证明：VA2C是直角三角形.

3.（2023・上海虹口•一模）设VABC的内角A,B,C所对的边分别为。，瓦c,已知

2cos（7t+A）+sin+2=0.

⑴求角A；

⑵若c-b=Ba,求证：VABC是直角三角形.

3

4.（2024・上海宝山•二模）在ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC.

⑴求角B的大小；

（2）若&ABC的面积为6,求a+c的最小值，并判断此时ABC的形状.

题型2求三角形中的边长或周长的最值或范围

1.（2024・上海宝山•一模）在VABC中,已知层+/=/+庆.

（l）若sinC=2sinB且6=2,求VABC的面积；

⑵若b+c=l,求。的取值范围.

2.（2023・上海徐汇・三模）如图，VABC中，角A、5、C的对边分别为〃、b、c.

（1）若3a-c=3〃cosC,求角B的大小；

TT

（2）已知》=3、B=-,若。为VABC外接圆劣弧AC上一点，求△ADC周长的最大值.

3.（2023•上海青浦•一模）在VA2C中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且满足〃+/一从十的=。.

⑴求角B的大小；

（2）若匕=24，求VABC的周长的最大值.

4.（2023・上海•模拟预测）高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极

大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段代表山坡，线段CD为

75

一段平地.设图中AB、3C坡的倾角满足tan。=或，tan。=丘,A3长250m,BC长182m,CD长132m.假设该路

段的高铁轨道是水平的（与。平行），且端点E、/分别与A。在同一铅垂线上，每隔30m需要建造一个桥

墩（不考虑端点尸建造桥墩）

⑴求需要建造的桥墩的个数；

（2）已知高铁轨道的高度为80m,设计过程中每30m放置一个桥墩，设桥墩高度为无（单位：m）,单个桥墩

的建造成本为W=0.65/z+5（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值.

题型3几何图形中的计算

1.如图，矩形A2CD区域内，。处有一棵古树，为保护古树，以。为圆心，D4为半径划定圆。作为保护

区域，已知AB=30m,AD=15m,点E为AB上的动点，点P为CD上的动点，满足E尸与圆。相切.

(1)若NAOE=20°,求EP的长；

(2)当点E在A8的什么位置时，梯形FE8C的面积有最大值，最大面积为多少？

(长度精确到0.1m,面积精确到O.OlnP)

2.如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以/DCB和ZZMB

为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与80相切.

(1)若AD=4历，AB=3历,BD=37(长度单位：米)，求种植花卉区域的面积；

(2)若扇形的半径为10米，圆心角为135。，则/8D4多大时，平行四边形绿地ABC。占地面积最小？

3.某公园要建造如图所示的绿地Q4BC,OA,OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的

7T

总长度为12米，S.ZBAO=ZBCO.设NBAO=a（0<a<一）.

2

TT

⑴当AB=4,a时，求AC的长；（结果精确到0.1米）

（2）当A3=6时，求。4BC面积S的最大值及此时a的值.

4.（2023・上海徐汇・一模）近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续

建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,

以砂中点A为圆心，尸G为半径的扇形草坪区A3C,点尸在弧上（不与端点重合）,48、弧BC、CA,PQ、

PR、R。为步行道，其中PQ与A8垂直,PR与AC垂直.设

⑴如果点尸位于弧8C的中点，求三条步行道尸。、PR、R。的总长度；

（2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道

PQ、PR、R。开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万

元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）

5.（2023•上海浦东新•一模）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABC。所示.为考虑露营客

人娱乐休闲的需求，在四边形A2CD区域中，将三角形48。区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立

成烧烤区，边AB、BC、CD,D4修建观赏步道，边BO修建隔离防护栏，其中CD=100米，3c=200米,

（D如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1

米）？

（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形A3。区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉

观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？

题型4正、余弦定理的实际应用

TT

1.某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，A0,为直线岸线，04=1000米，08=1500米，ZAOB=-,

该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB，过弧AB上一点尸按线段申和必修建养殖网箱，已知

2兀

ZAPB=—.

3

（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；

（2）如果线段以上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段网上的网箱每米可获得30元的经济收益.记

ZPAB=0,则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）

2.如图，某公园有一三角形的花坛A3C,已知围栏长5米，AC长7米，3=60,拟在该花坛中修建

一条直围栏尸。（即线段尸。，点AQ分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花

坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相

等.试问：在VABC的边上是否存在RQ两点，使得线段PQ既平分VASC的面积又平分其周长？若存在，求

出所有满足要求的点尸、。的位置（结果精确到01米）；若不存在，请说明理由.

C

AB

3.如图，A、B、C三地在以。为圆心的圆形区域边界上，AB=30公里，AC=10公里，ZBAC=60°,。是

圆形区域外一景点，ZDBC=90°,ZDCB=60°.

D

（1）0,A相距多少公里？（精确到小数点后两位）

⑵若一汽车从A处出发,以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处.需要多少小时?（精确到小数点

后两位）

4.如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆A3,公园内的小

山下是一个水平广场（虚线部分）.某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测

量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题.老师提供给同学们的条件是：已知AB=10

米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激

光投射在物体表面上的光点之间的距离）.

（1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路/上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点C处,

独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题.请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字

母表示）表示出小山的高度//；

（2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部A处松动产生了

倾斜.她提出的问题是：如何检验旗杆4?是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独

立测量方案.请你写出她的方案，并说明理由；

（3）已知（1）中的小路/是东西方向，且与点A所确定的平面垂直于地平面.又已知在（2）中的乙同学已经

断定旗杆A8大致向广场方向倾斜.如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实

施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计

算）.

5.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AQ5进行改建.如图所示，平行四边形

OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙A3弧上，点”和点N分别在道路。4和道路OB上，

且。4=60米，4403=60°,设ZPOB=。.

（1）求停车场面积S关于。的函数关系式，并指出。的取值范围；

（2）当。为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.

6.如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为4（/=1,2,3,4）,44=30米，

ZA4A=i20,。为对角线44和AA的交点.他以4、4为圆心分别画圆弧，一段弧与44相交于4、

另一段弧与44相交于A3,这两段弧恰与44均相交于。.设乙414r>=e.

（1）若两段圆弧组成“甬路”L（宽度忽略不计），求L的长（结果精确到1米）；

（2）记此园地两个扇形面积之和为跖，其余区域的面积为S?.对于条件（1）中的L,当心一些<0.12

时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由.

7.为打赢打好脱贫攻坚战,某村加大旅游业投入,准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，

2

分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为§万，点P在扇形的弧上，点。在

上，且尸

(1)当。是OB的中点时，求尸。的长；

(2)已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香

种植区△OPQ的面积尽可能的大，求△。尸。面积的最大值，并求此时扇形区域A08种植花卉的总成本.

8.（2023・上海杨浦•一模）某数学建模小组研究挡雨棚（图1）,将它抽象为柱体（图2）,底面A3C与

全等且所在平面平行，VABC与各边表示挡雨棚支架，支架AA、BB］、CQ垂直于平面ABC.雨滴

IT7T

下落方向与外墙（所在平面）所成角为:（即4402=7），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形相。。（0、。|

66

分别在C4、C鸿延长线上）.

（1）挡雨板（曲面的面积可以视为曲线段BC与线段8月长的乘积.已知。4=1.5米，AC=0.3米,

AA=2米，小组成员对曲线段BC有两种假设，分别为：①其为直线段且44。?=三；②其为以。为圆心的

圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到01平方米）；

（2）小组拟自制VABC部分的支架用于测试（图3）,其中AC=Q6米，ZABC=-,NC4B=6,其中:＜。＜彳，

求有效遮挡区域高。4的最大值.

9.如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔C。和EF.张明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两

条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点

A测得点D的仰角为30°,/CAB=75。，又选择了相距100米的B点，测得ZABC=60.

（1）请你根据张明的测量数据求出塔CD高度；

（2）在完成（1）的任务后，张明测得/BAE=90,并且又选择性地测量了两个角的大小（设为。、夕）.据此,

他计算出了两塔顶之间的距离.

请问：①张明又测量了哪两个角？（写出一种测量方案即可）

②他是如何用d6表示出D尸的？（写出过程和结论）

10.落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角

形的迎宾区，=迎宾区的入口设置在点A处，出口在点2处，游客可从入口沿着观景通道4C-8

到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为AABC内一点）.

（1）若APBC是以尸为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行

至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）

（2）园区计划将APBC区域修建成室外游乐场，若NBPC造24,该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说

明理由.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、填空题

1.（22-23高三上•上海宝山•期中）在△ABC中，角B为锐角，所对的边长b=6,AABC的面积为15,外接

圆半径R=5,则△ABC的周长为.

2.（24-25高三上•上海•期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的

取值范围是

3.（23-24高三上.上海徐汇・期中）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120。的扇形A02,小区的两个出

入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于3。的小路C£＞；已知某人从C沿8走到。用了10分

钟，从。沿£%走到A用了6分钟；若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长为

（精确到1米）

O

4.（23-24高三上•江苏无锡・开学考试）如图，某同学为测量鹳雀楼的高度在鹳雀楼的正东方向找到

一座建筑物高约为37m,在地面上点C处三点共线）测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部河的

仰角分别为30°和45，在A处测得楼顶部M的仰角为15，则鹳雀楼的高度约为m.

5.（24-25高三上•上海•阶段练习）某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤.如图所示，点

均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球“与“轩辕十四”（恒星名）.组员在地面C处测得

轩较十四的仰角/BCD=40,随后向着两“天体”方向前进4米至。处，测得两“天体”的仰角分别为

ZADH=3Q、NBDH=75.若"月球"距离地衣的高度AH为3米,贝『‘轩辕十四"到"月球"的距离约为.

6.（24-25高三上•上海•开学考试）如图，已知点C在点0的正北方向，点A、点8分别在点。的正西、正

49

东方向，且sin/ACB=,,sin（A-B）=y,AB=4,若/AC2为锐角，则OC=.

二、单选题

7.（22-23高三下•上海杨浦•开学考试）在VABC中，"sinA+cosA<l”是“VABC为钝角三角形”的（）条

件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

JT

8.（22-23高三下•上海普陀•阶段练习）已知锐角VABC,AB=2币,C=-,则A3边上的高的取值范围为

（）

A.（0.3]B.（0,3）C.（2,3]D.（2,3）

9.（2020•上海松江•模拟预测）如图，某景区欲在两山顶A,C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知

山高A5=1（M,CD=3（M,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30。，山顶C的仰角为60。，ABED=120°,

则两山顶A、C之间的距离为

A.20（%利）B.VlO（fon）C.屈（km）D.3«（km）

10.（2023•上海普陀・模拟预测）己知点。为VABC的外心，且AB+BO-BCvCO.C4,则丫4屈为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

三、解答题

11.（22-23高三上•上海浦东新•期中）某公园有一块等腰直角三角形的空地4BC,其中斜边的长度为400

米，现欲在边界BC上选择一点尸，修建观赏小径PM,PN,其中Af,N分别在边界AB,AC上，小径

PN与边界BC的夹角都是60。，区域尸M8和区域PNC内部种郁金香，区域AMPN内种植月季花.

A

B

PC

(1)探究：观赏小径PM,PN的长度之和是否为定值？请说明理由；

(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN,当点尸在何处时，三条小径(PM,PN,MN)的

长度之和最少？

12.(22-23高三下•上海•阶段练习)雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明

想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小.为了简化问题小明做出下列假设：

假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸

片人”：

假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为60。的直线；

假设3：伞柄OT长为60cm,可绕矩形“纸片人”上点O旋转；

假设4：伞面为被伞柄。7垂直平分的线段AB,AB=120cm.

以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”.

(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿(阴影)部分的面积(结果精确到(M