解三角形及其应用（8题型+高分技法+限时提升练）解析版-2025年高考数学复习专练（新高考）

热点3-3解三角形及其应用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

解三角形及其应用是高考数学的高频考，在选择正弦定理和余弦定理及其变形依然是2025年高考

题、填空题及解答题中都有出现.命题侧重考查正的重点内容.题型包括选择题、填空题和解答题，

弦定理、余弦定理和面积公式的应用，难度适中。难度多为中档，除利用正、余弦定理解三角形外，

也与三角恒等变换、三角函数等知识结合、注重考还可能结合三角形的中线、高线、角平分线等性质

查解三角形在实际问题中的应用.考查三角形的面积、周长、最值和范围问题.

热点题型解读

题型1利用正、余弦定理解三角形题型5解三角形中的中线问题

题型2利用正、余弦定理判断三角形形状题型6解三角形中的角平分线问题

解三角形及其应用

题型3与三角形面积有关的问题题型7测量距离、高度、角度问题

题型4平面多边形中的解三角形问题题型8解三角形与三角函数综合应用

题型1利用正、余弦定理解三角形

:利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：

1、选定理.

(1)已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；

(2)已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；

(3)已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；

(4)已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；

(5)已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理.

2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之

间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.

3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），

：并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.

1.（24-25高三上•陕西西安・一模）在VABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,若b=Lc=6,C=^~,

则a的值为（）

A.2B.3C.1D.4

【答案】C

[.2兀

【解析】由正弦定理得：三二七，则.nA.石

sinCsinBsm万-—耳—--

又因为NC=/,所以,

所以cosB>0,cosB=Jl-[J=,

在VABC中由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac-cosB.代入得:

1=a2+(^3)-2xax^/3x^-.解得：a=l或a=2,

又因为NC=q,贝ija<5故a=l,故选：C.

2.(24-25高三上•河南•期末)已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=l,c=2,B=2C,

则6=()

A.72B.73C.2D.76

【答案】D

【解析】B+A+C=n,:.A=it-3C,

ac21-.——,

由正弦定理得，即—7；=—7—彳，2sm3C=smC,

sinAsmCsinCsin(兀-3C)

2sin(C+2C)=2(sinCeos2C+cosCsin2C)=2^sinCcos2C+2sinCcos2C)=sinC,

0<A<7C,，sinCwO,

/.2(cos2C+2cos2。)=1,2(cos2C+cos2C+1)=1cos2C=--,

4

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=5-4cos2C=6,:.b=y[6；故选：D.

.nsinAb

3.(24-25高三下•山东淄博•开学考试）VABC的内角A,3,C的对边分别为，且sin5+sinc+|=l'

则。为()

712兀5兀

B.C.D.

T~6

【答案】B

sinAb-r，目ab1

【解析】由—----；——+----=1可得；一+——=1，

sinB+sinCa+cb+ca+c

所以+a。+/+儿="+a。+历+。2,所以〃之十/一二"，

所以所以cosC=L,因为0<C<7i,所以C=2.故选：B.

2ab223

4.(24-25高三上•贵州•月考)在VABC中,内角A,B,C所对边分别为a,8c,若

b

2V3sinAsinBsinC=3sin2B+3sin2C-sin2A，贝!j—=()

a

A.|B.且C.皂D.2

232

【答案】B

【解析】由题可得20bcsinA=3b2+3c2-a2,•-a2=3b2+3c2-2瓶csinA=b2+c2-2bccosA,

ObesinA-bccosA=b2+c2,&sinA-cosA="十，=—+—22,

becb

.•.2sin|^A-^>2,/.sin|^A-^=l,当且仅当:=］取等号，

・・c4・4兀兀•A2兀

•0<A<TI,••A—=—,••A=—,

623

si.n—兀

,bsinB手.故选：B.

所以B=C=~^,6

2兀

6sinAsin——

3

题型2利用正、余弦定理判断三角形形状

1、通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2HsinA,a2+b2-c2=2^cosC^)«利用三角变换

得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如

I

i

.71

sinA=sin50A=5,sin(A-B)=0oA=3；5111274=51112504=5或4+5=一等.

2

ah2A-c1—a1

2、利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=——,cosA==^~匕等，通过代数恒等变换，求；

2R2bc

出三条边之间的关系进行判断.

I

3、注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种情况的可能.

i

1.（23-24高三下•河北秦皇岛•三模）在VABC中，内角A,3,C的对边分别为。，6,c,且3=2C,6=任,

则（）

A.VABC为直角三角形B.VABC为锐角三角形

C.VABC为钝角三角形D.VABC的形状无法确定

【答案】A

【解析】由6=友°，可得51113=0$11171,

则sin2C=应sin（兀-3C）=0sin3C,

sin2C=6sin2CcosC+A/2COS2C-sinC>

2cosC=2V2cos2C+V2（2cos2C-l）,

即4&cos?C—2cosc-0=0，

由B=2C>C,故C只能为锐角，可得cosC=Y2,

2

因为0<C<W，所以C=；,2=5.故选：A.

242

2.（24-25高三上•四川绵阳・月考）在VABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,且acosB+〃cosA=b,

则VA3C一定是（）

A.等腰三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形

【答案】A

【解析】acosB+bcosA=b,

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sinB,则sin（A+B）=sinB,

又A+B+C=7t,可得sinC=sin3,

氏C为三角形的内角，.1台二。，

所以VABC一定是等腰三角形.故选：A.

a2+b2_sin（A+B）

3.（24-25高三上•江苏扬州・月考）在VABC中，角A,B,C分别为。，b,c三边所对的角,

a2-b2sin（A-B）

则VABC的形状是（）

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】C

a2+b2sin（A+B）

【解析】由得,+/).sin(A-3)=(々2-Z?2^sin(A+B)且awZ7,

/.(^a2+b2y(sinAcosB-cosAsinB)=(6^-b1^(sinAcosB+cosAsinB),且awb,

/.(a?+62).(acos5-Z?cosA)=(〃-b1^(acosB+Z;cosA),

2x(+c2—b2b2+c2—a1y12\(a2+c2-b1b2+c2-a

.•.(〃2+/?)•a-----------------b---------------\=(a2-b)\a----------------+b--------------

(lac2bc)(lac2bc

化简整理得：(/+/).(4一k)=(q2一"卜2,即(/+62-°2)(〃-62)=0,

a2=b2^cr+b2=c2,又"b,

・•.VABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.故选：C.

4.（24-25高三上•福建南平•期中）在AABC中，内角A,民C的对边分别为c,已知向量

ir（A、r/ITrC、

根=[0,8$彳），“=[6,8$万卜？=卜,＜：0$5）共线，则△ABC的形状为（）

A.等边三角形B.钝角三角形

7T

C.有一个内角是7的直角三角形D.等腰直角三角形

6

【答案】A

【解析】因为向量a=1,cosT],w=（仇cos9]共线，

则acos0=bcos4,由正弦定理可得：sinAcos—=sin5cos4,

2222

则2sin&"c"=2sinOs&",

222222

因为A,5£（0,TI）,则万,,£（0,71—rk.Acos-,sin-,cosO均不为0,

，可知sin二,

2222

_4口AB।AB

可r得sm彳nsmu，n则7=工，o即nA=8；

2222

同理由向量机二,cosg，P=[c，cos£）共线可得：A=c；

综上所述：A=8=C.

所以VABC的形状为等边三角形.故选：A

题型3与三角形面积有关的问题

1、常用的三角形面积公式：

在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,边BC,CA,AB边上的高分别记作4,hb,hc,

厂为内切圆半径，R为外接圆半径，O为内切圆心.

(1)S=—ah=—bh,=—ch(2)S=—acsinC=—Z>csinA=—acsinB

222222

(3)S=-(a+b+c)-r(4)S-

24R

2、与三角形面积有关问题的解题策略

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

22

1.(24-25高三上•浙江宁波・期末)在VABC中，内角A,B,C所对的边分别是。,b,c4c+b=4"sinC,

b=L则VABC的面积是()

A.—B.—C.■-D.1

842

【答案】B

【解析】因为4c2+4=4/7sinC,b=l,所以4c?+1=4〃sinC,

又_2访cosC,BPc2=a2+1—2^cosC»

所以4(/+1_2acosC)+1=4asinC,

所以4/+5-8acosC=4asinC,

所以4/+5-(sinC+2cosC)=0,

因为A=16(sinC+2COSC)2-80>0,即(sinC+2cosC)2>5,

又sinC+2cosc=«sin(C+0)(其中tan(p=2),

所以(sinC+2cosc丫45,则(sinC+2cosC)2=5,

即sin2C+4sinCcosC+4cos2C=5,

又sir?C+cos2C=l,BP(2sinC-cosC)2=0,即2sinC=cosC,

sinC=——

5

又。£(0,兀)，所以sinC>0,解得<

r2逐'

cosC=-----

5

2_2、475

C=4+1--------CL

5,解得a=好,

所以

2

4r+l=—a

5

所以S=JabsinC=j.故选：B

ABC22254

2.（24-25高三上・贵州安顺・模拟预测）已知VABC的内角A3,C的对边分别为a,6,c,且匝=1±£2".

csinC

（1）求角A；

7T

(2)若C=：,c=4,求VA6C的面积.

4

【答案】⑴；⑵6+2有

【解析】（1）因为息=叵电4=1±空空，所以百sinA=l+cosA,

csinCsinC

即百sinA-cosA=2sin[A—6)=1,得到sinf

62

■V7A(r\\n>I4兀(兀5兀ILLt、i4兀兀以714口.71

又A«0,7i),贝"一^6一72，所以A—：=解得A二不

0\o0y663

/一、」/<、£-4兀TT-兀ALLIT-*兀兀57c

(2)由(1)知A=z，又C=：,c=4,所以3=兀一彳一~,

343412

.71

4Asin—

又，=£,所以。=——之=2网,

.71

sinAsinCsm—

4

7171V21V26+岳

Xsin-=sin—+—=x—H---x=--------

124322224

所以SABC=；acsinB=]x2Wx4x®；"=6+2指.

3.（24-25高三上•浙江•期末）在VABC中，角A,3,C对应的边分别为a,8c,

sin2A—sin2B=sin2C—6sinBsinC.

⑴求角A；

（2）若852=述，a+b=5,求VA3c的面积.

3

【答案】（1）A=£;⑵2后+百

62

【解析】（1）由sin2A-sin?B=sin2c-百sin3sinC及正弦定理，

可得〃2一/=c2-y/3bc,故后bc=c?+b2-a2，

由余弦定理，可得COSA=-+'-"2==@,

2bc2bc2

由于Ae(O,?r),故A=$,

6

兀1

(2)由(1)可知A=—,所以sinA=—

62

因为COSB=R1,所以sin8==

33

所以吗=；=［，由a+b=5

sinBb2

所以。=3，b=2

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB="

所以SABC=；absinC=2点;石

4.（24-25高三下•安徽•月考）在VABC中，角A,3,C的对边分别为a,ac,2a-26cosC+c=0.

⑴求8；

（2）若。=3,6=7,。为8C边上一点，且△AB£＞的面积为更，证明：BD^-BC.

43

2兀

【答案】（1）3=3；（2）证明见解析.

【解析】（1）由2Q—2bcosC+c=2〃-2Z7---------------+c=0,贝！J〃+/一〃2+.。=。，

2ab

所以cos3="一+｝一”Be(o,叽则8=".

lac23

(2)由/=a?+/-2accosB=c?+3c+9=49,可得c=5(负值舍),

mil01-15A/3而1DC.D5A/3

则SABc=5acsinBD=^p，而S居。n/BD-csmB=丁，

所以q产aBC

即=得证.

ABDBDBD

题型4平面多边形中的解三角形问题

0。混

将复杂的多边形分割成若干个三角形，通过逐一解决每个三角形的问题，求解整个多边形的边长和角

■度，有时还需结合三角恒等变换逐步.

1.（24-25高三上•山东淄博・期末）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2,b2,c?成等差数

（1）求证：VABC为等边三角形；

（2）如图，点。在边8C的延长线上，且3c=2CD,AD=币，求sin/54£＞的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）返

14

【解析】（1）因为b2,°?成等差数列，则"=£1±£：

JT

又因为5=§,由余弦定理可得b2=a2^c2-2accosB,

7+X

即------=a2+c2—ac9解得a=c,

2

所以NABC为等边三角形.

(2)设3C=2CD=2无＞0,则45=2%助=3x,

在AABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZB,

即7=4炉+9%2—2x2xx3xxg,解得％=1,gpAB=2,BD=3,

aJ3

ADBD

由正弦定理可得…3XT_3V21.

sin/BsinZBAD

2.（24-25高三上•甘肃酒泉・月考）如图，已知VABC的内角A,昆C所对的边分别是。,6,c,

49兀

sinBsinA=sin2A+sin2B-sin2C,且VABC的外接圆面积为不一.

⑴求边C；

⑵若。=5,延长CB至使得COS/AMC=4,求8M.

7

【答案】（1）7；（2）5

【解析】（1）设VABC的外接圆半径为R,

由题意兀代=学，解得R=递.

33

由sinBsinAusidA+sin3B—sin2c和正弦定理，可得：ab=a2+b2—c2

又由余弦定理，可得cosC="=L

lab2

TT

因为OvCv兀，故C=§

由正弦定理，c=2RsinC=2x拽x且=7；

32

TT

(2)由(1)已得a=5,c=7,C=1,

则cosC」25+〃一49

22x5x/?

化简得：fo2--24=0,解得6=8,(b=—3舍去).

C2I72_Q2

由余弦定理，可得cos/ABC=/上--1

2x5x77

4>/3

所以sin/ABC=

7

由cos/AMC=^^—，可得sin/AMC=2不

77

故sinZBAM=sin(ZABC-ZAMC)

4A/3A/2112a10币

=sinZABCcosZAMC—cosZABCsinZAMC=-----x-----------x------=

777749

BMc

在dABM中，由正弦定理,

sinZBAMsinZAMB'

710币

c-sinZBAM_x49

即得=二5

sinZAMB277

7

3.（24-25高三上•安徽亳州・期末）如图，在平面四边形ABC。中，AD±AC,ABLBC,AC平分NBCO.

B

---------------------

■jr

(1)^ZACD=~,CD=2,求BD;

o

⑵若BD=CD,求sin4CD.

【答案】⑴半；⑵半

jrjr

【解析】(1);AC平分N3CD,：.ZACB=ZACD=~,故N5CO=2ZACD=—,

63

VADLAC,AB±BCf

3

/.AC=CDcosZACD=5BC=ACcosZACB=-,

在/\BCD中，由余弦定理得BD=VSC2+CD--2BC-CDcosZBCD=—

2

(2)设/ACD=0(0＜，＜5),则/3CD=2夕

CD=BD=a,则AC=acos6,BC=acos?6,

在ABCD中，由余弦定理得cos20="+"8s=1cos2。，

2a・〃cos82

e.■cos29=2cos2〃一1,-cos26=2cos?6-1,

2

._A/6.a_币

••cosuQ=—,sinu=—f

33

sin/BCD=sin20=2sin6cos0=.

3

4.（24-25高三上•浙江・月考）如图，四边形ABCZ）中，AB=1,CD=AD=2,BC=3,ZBAD+ZBCD=7i.

D

//\

，2c

⑴求44D；

（2）P为边BC上一点，且△PCD的面积为由，求aAB尸的外接圆半径.

【答案】（1）与；（2）立

34

【解析】(1)因为NBAD+/BCD=7r,所以cos—3Ao=—cos/BCD,

在△ABD中，由余弦定理得：BD-=AB2+AD2-2AB-ADcosABAD=5-4cosABAD,

在△BCD中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-IBC-CDcosZBCD=13+12cosZBAD,

两式作差得：8+16cosZBAD=0,解得cos/BAD=-',

2

2兀

因为/BADe(0,兀)，所以/胡。=

(2)因为AB=LC£)=AD=2,BC=3,/BAD+NBCD=7t

由⑴知必=5-4cos亨=7,可得BD=8,S.ZPCD=ZBCD=^,

则=；PC.CDsinZPCD=gPC='，所以尸C=2,

在△尸CD中，可得HD?=a>2+PC2—2C7>PCcosNPCD=4,所以PD=2,

+»-…nAB2+BD1-AD11+7-4_2

在△ABD中，XT1#cosZABD=-----------------------

2xABxBD2x1x77-77

BD?+BC2-CD27+9-4_2

在△及»中,可得cos/D8C=

2xBDxBC2'77'3一"

可得ZABD=NDBC,所以cosZABP=2cos2ZABD-1=-,贝ijsinZABP=—

77

5

所以A/?=AB2+BP?-2AB-APcosZABP=—,解得AP=

77

设,AB尸的外接圆半径为R,

2^/21

由正弦定理得2R=—1^=二%=¥，解得R=也,

sinZABP4,324

7

所以,A3P的外接圆半径为五.

4

题型5解三角形中的中线问题

1、中线长定理：在AABC中，4。是边BC上的中线，则ZB?+/。2=2啰。2+人。2)

2、向量法：标2=((炉++2bccos4)

【点睛】适用于已知中线求面积(已知总的值也适用).

1.(24-25高三上•福建厦门•一模)在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC=(J5b-c)cosA.

⑴求A;

(2)设。为边AB的中点，若c=2,且sin/CZ)B=d叵，求或

10

【答案】(1)4=弓；(2)〃=叵或〃=巫

442

【解析】(1)在VABC中，由acosC=(^/5z?-c)cos4及正弦定理得5111AcosC-A/5sin3cosA+sinCcosA=0,

即sin(A+C)—2sin3cosA=0,即sin与—夜sinBcosA=0,

而5£(0,兀)，即sin^wO,贝lJcosA=也，又AE(0,兀)，

2

所以A=：.

(2)依题意，ZCDB+ZCDA=TI,则sin/CD4=±叵，cos/CDA=叵或cos/CZM=-叵，

101010

当cosNCD4=叵时，由NACD=兀一NCZM—/54C,

10

4B._.上「、一A/2_2A/5

,fvpsinN/ACrDn—sin(z_CL)A.+/BAC)-........x------1-------x-------,

1021025

3Vw

在ACD中，由正弦定理得，.艺..=-.,则-C=lx0器=4^，

sinZACDsmZCDA2154

亍

在VABC中，由余弦定理得/=从+C2一26CCOSA,

因此用J(述)”一2x2x£lx也=叵,

V4424

吆丽口十•/“八_3M6M母—非

当cosNCDA--------n;jfsin/ACD=-------x-------------x=—,

101021025

13M_

「宇华.J(述)”一2x2x述x"=①,

V52V2222

5

QI西卡

所以Q=------或〃=-V--W-•

42

A

a

Bc

2.(24-25高三上•湖北武汉•期末)在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点。为线段AC的

中点，A,C(sinA-sinC)2=sin2(A+C)-sinAsinC.

(D求&

⑵若VABC的面积为石，b=岳,求中线8。的长.

【答案】(l)B=60；(2)画

2

【解析】(1)因为A+3+C=JI,所以，sin2A-2sia4sinC+sin2C=sin2(TC-B)-sinAsinC.

又因为旦=—乙=工.

sinAsinBsinC

所以，a1—2ac-^-c2=b2—ac得〃=/+/一改，

所以，由余弦定理得COSB="-+L—/=旦=1,

2ac2ac2

又B为三角形内角，

所以，8=60.

(2)因为VABC的面积为由，b=413,B=60°,

所以，!acsinB=石，所以℃=4,JLa2+c2=b2+ac=ll,

因为BD为VABC的中线，所以，BD=^BA+BC),

所以，[8£)[2=；d+a2+2accosB)=；117+2x4x；1=m,

所以忸4=浮.

3.(24-25高三上•海南海口・期末)已知。，b,c分别为VA3C三个内角A,B,C的对边,

a1+3Z?2=3abcosC—3bccosA,a=6.

⑴求庆•的最大值；

(2)若VABC的面积为述,3为2C中点，求sin/ADC的值.

2

【答案】（1）12；（2）sinNADC=^

6

7.222

【解析】（1）由余弦定理cosA="0一a

2bc

因为储+3b2—3bacosC—3Z?ccosA,

222

a+b-cioZ+C〜2

即a?+3b2=3bax

2ab2bc

整理，得3/+3。2=2/,^b2+c2=—.

3

由于a=6,则/+0?=24.

Vb2+c2>2bc,.I仇:《12当且仅当b=c时，等号成立

be的最大值为12

(2)由题知，2AD=AB+AC^CB=AB-AC

平方可得4AD2=A52+AC+2AB-AC，cS=AB+AC-2ABAC，

联立得：AB2+AC2=23+1—J,S.BD=DC=3,

即+人2=2[A£>2+9]=24联立解出AD二道，

SMC=‘SABC=-V3x3sinZADC=^^,sinZADC=—.

2246

2cosB+cosC

4.(24-25高三上•山东济南•期末)记VA3C的内角A3,C的对边分别为瓦c,已知一：

a2-cosA

(1)求A的值；

⑵若3cAe边上的两条中线AM,BN相交于点P,且2AM=&Tc,求"PN的正切值.

【答案】(l)g;(2)正

32

„e、，c2cosB+cosCsinC2cosB+cosC

【解析】(1)在VABC,因为一=「------,由正弦定理得：—-----，

a2-cosAsinA2—cosA

BP2sinC-cosAsinC=2sinAcosB+sinAcosG

BP2sinC=2sinAcosB+(sinAcosC+cosAsinC),

因为sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C),

所以2sinC=2sinAcosB+sinB,

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以2sinAcos_B+2cosAsinB=2sinAcosB+sinB,整理得2cosAsinB=sinB,

因为VABC中，sinB>0,所以cosA=—,

2

又Ae(O,万)，所以A=g；

(2)因为AM是边BC的中线，所以AM=万(AB+AC),

贝I]AM2AB?+AC?+21|cos

不妨设c=1,则AM=呼，所以,（孝）2=；（］?+〃+外,

b

即。2+〃—20=0,解得，6