解三角形图形类问题 基础练-2025年高考数学一轮复习

解三角形图形类问题基础练

2025年高考数学一轮复习备考

一、解答题

1.如图，在平面四边形A3C。中，ZACB=ZADC=90°,AC=26,ABAC=30°.

(1)若。=6，求BD；

(2)若NCB£>=30°,求tanZBDC.

TT

2.平面四边形A3C。中，AB=1,AD=2,ZABC+ZADC=n,ZBCD=-.

⑴求3£>;

⑵求四边形ABC。周长的取值范围；

⑶若E为边3。上一点，且满足CE=3E,SABCE=2S“DE，求△3CD的面积.

2bcsB

3.记VA5c的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,己知6=4,°=COsA+^.

ctanC

(1)求角B的大小；

(2)已知直线3。为—ABC的平分线，且与AC交于点。，若述，求VABC的周长.

3

27r

4.在VA2C中，角A,B,C所对的边分别是。，b,c,已知人=彳，c2-b2=accosC.

(1)求tanC；

(2)作角A的平分线，交边于点。，若夜，求AC的长度；

⑶在(2)的条件下，求VABC的面积.

5.在VA2C中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,B=3O°-

(1)己知。=夜，bcosA+acosB=2

(i)求C；

(ii)若a<b,。为AB边上的中点，求CD的长.

⑵若VABC为锐角三角形，求证：a〈组c

3

6.在VABC中，角A氏C的对边分别为。，瓦。，且二=sinAtang.

2c2

⑴求c；

m

(2)若a=8,6=5,S是边A3上的高，且CH=〃zC4+"C2,求一.

n

7.VABC的角A及C对应边是a,b,c,三角形的重心是0.已知。4=3,08=4,OC=5.

⑴求a的长.

(2)求VABC的面积.

8.已知VABC的外心为。，点分别在线段A8,AC上，且。恰为的中点.

(1)若8C=6,OA=1,求VABC面积的最大值；

(2)证明：AMMB=ANNC.

9.VABC的内角的对边分别为a,6,c,c>b,ARAC=20,ABC的面积为10月.

(1)求—4；

49

⑵设。点为VABC外心，且满足0B-0C=-L，求心

6

10.记VABC的内角A3,C的对边分别为a,b,c,已知c=6,6(l+cosC)=Esin8.

(1)求角C的大小和边b的取值范围;

(2)如图，若。是VABC的外心，求OCAB+CA-CB的最大值.

参考答案:

1.(DA/13

⑵tanZBDC=布十^或tanZBDC=而一6

44

CD1

(1)在Rt^ACZ)中，cosZACD=—=-,所以N4CD=60。，

AC2

在Rt^ABC中，tan/2AC=g^=走，所以3c=2,又NACB=90。,

AC3

所以NDCB=NACB+NACD=150。，

在Z\BCD中由余弦定理BD2=DC2+BC2-2.DC-BCcos/BCD,

222

IPBD=(V3)+2-2X2XA/3X=13,

所以8。=JTL

回篇二4,

(2)由已知可得NABC=60。，又ZCBD=30°,所以NAB£)=30。，

设DC=x(0<x<2代)，NBDC=a,则AD=J12-/，

40A3

在AABD中由正弦定理---------

sinZABDsinZADB

x

DCBC1.1

在△5CD中由正弦定理,即Isinaf所以sina=—,

sinZCBDsinZCDBx

2

又sin%+c0s%=l'所以［+±=1'解得'="答或/=任笠，

.sina1A/12-X2_1112-x2_1/12

田tana=-------

cosa

所以或2血=丁

2.⑴々

JTZ7T

(1)因为Z/WC+ZADC=TT,ZBCD=-,所以3，

在△BCD中由余弦定理BD=yjAB-+AD1-2ABADcosABAD

^l2+22-2xlx2x^-1^|=V7；

(2)在△BCD中BD1=CB2+CD2-2CBCDcosZBCD,

即7=CB'+CD1-CBCD,

所以CB2+CZ)2=7+caC。22cB-CO,所以0<CB-CDW7,当且仅当CBCD时取等号,

又(CB+CD)2=CB'+CD2+2cBCD=1+3CBCD,

贝|J7<7+3CB-CDW28,BP7<(CB+CZ))2<28,所以仇<.CB+CDW2。

所以CMCD=AC+A£>+C8+C£>=3+C8+C£)e(3+4,3+2«],

即四边形ABC。周长的取值范围为(3+旨,3+2近]；

(3)因为SABCE=2%C°E，所以BE=2ED,又BD=用,

所以BE=mBC=£1,DE=-BC=—,又CE=BE,所以CE=^^,

33333

在，BCE中由余弦定理CB2=CE2+BE2-2CE-BEcos/CEB,

BPCB2=—cosNCEB

99

在ADCE中由余弦定理CD2=CE2+DE2-2CE-DEcosZCED,

QCOQ

即cr>2=---------cosZCED,

99

又NCEB+NCED=n,所以cosNCE3=—cos/CEr>,

所以CB2+2C£>2=14,

又7=9+CD--CBCD,所以次+2c=2cB?+2CD2-2CBCD,

^CB2=2CB-CD,所以C3=2CZ),

714

所以cr>2=_,所以CB.cr>=CB2+cr>2_7=一，

33

所以sBC»=!c8.CDsin/j3C£>='x吧X走=2^一

BCD22326

c

(2)276+4

(1)由己知，得2CcosB=ccosA+'sin",

tanC

根据正弦定理，得2sinBcos8=sinCeosA+$也0..

tanC

BP2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC,

即2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,

由于0<5〈兀，sinB>0,

1TT

所以cos8=彳，所以8=；；

23

⑵因为^AABC=S/\ABD+S/\BCD，

所以工QCsin/ABC=l5£>csin/A5£)+，3£)Qsin/CB。,

222

因为直线50为ZABC的平分线,

171

所以ZABD=ZCBD=-ZABC=-,

26

所以L速，述c」+L述I

22232232

贝！JCac=?近(a+c),即ac=24(〃+c),

33V3

2222

由余弦定理得炉=a+c-2accos/.ABCf16=a+c-ac9

所以16=(Q+of-3ac=(a+c)2-2卢+c)

V3

解得a+c=2A/6或〃+c=(舍)，

3

故VABC的周长为2帽+4.

4.(1)1;

+拓

⑵0

2

9+56

4

(1)在VABC中，由/一〃=QCCOSC及正弦定理，f#sin2C-sin2B=sinAsinCeosC,

由A=§,得5+C=g,贝Usin3=sin(四一C)=^^cosC-LsinC，

33322

于是sin2C=(^-cosC--sinC)2+sin-sinCcosC=—cos2C+—sin2C，

22344

TT

整理得sin?C=cos?C,而。£(0,§),贝!JsinC=cosC,

所以tanC=1.

TTTT

(2)由A。为-54C的平分线，得=由(1)知，C=-,

在，ACZ)中，由正弦定理多AD=.CD",则CD=—高=6,

sinCsinZCAD

~T

由余弦定理得CD-=AD-+AC2-2AD-ACcos即3=2+AC2-&AC，

整理得AC?-应AC-1=0，而AC>0，

所以AC=更上在.

2

⑶由(2)知，s1nB=s1n(K-A-C)=s1n(1-J=^x^_lx21=2/t-^,

V2+A/6XA/2

b

由正弦定理得一则'==272+76,

sinC

4

所以VABC的面积S=—Z?csin—=—x

232

5.(1)(i)。=45°或135°;(ii)也—g

⑵证明见解析

(1)(i)因为匕=行，Z?cosA+〃cos3=2,所以Z?cosA+acosB=J5z?,

由正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=0sinB，即sin(A+3)=41sinB,

因为在VABC,8=30°,A+B+C=180°,

则sinC=^2x—=，

22

因为。£(0,兀)，所以。=45°或135°;

(ii)a<b,所以A<5,则。=135°,则)=15°,

a_c

sin15°sin135°

Xsin15°=,解得Q=6-1,C=2,

4

因为。为A3中点，则区£＞=1,

在一5DC中，由余弦定理可得：CD2=BC2+BD2-2BC-BDcosB,

即CD?=i+(出_I)2_2X(省—l)xlx#=2—百，则CD=j2-5

⑵因为VMC为锐角三角形,『0。，则I：2。一犷则6。。＜。＜9。。，

要证a<28c，即证目sinA<2sinC,

由于GsinA-2sinC=^3sin(B+C)-2sinC=A/3(—COSCH-----sinC)-2sinC

22

=^-cosC-^sinC=cos(C+30°),

由60°<C<90°,则90°<C+30°<120°,所以-g<cos(C+30°)<。，

故J^sinA-2sinC<0,则6sinA<2sinC,则a<c,证毕.

3

6・⑴C=

n5

(1)VABC中，g=sinAtang,由正弦定理和同角三角函数的商数关系,

2c2

C..C

sinA•sin一sinAA•sm—

sinAsinA

得________2_由倍角公式得________2

2sinCCCCC

cos—4sin——•cos一cos—

2222

又因为AC为VABC的内角，所以

c

所以sinAwO,cos万wO.

耳二［、］•2C1•C1

所以sm-=-1sm-=-,

则有5=得C=?.

2o3

TT

(2)方法一：a=8,b=5,C=j,G4-CB=|cA|-|cB|-cosC=flZ?cosC=5x8xcos|=20,

2

所以CA=〃=25,C®2=a=64>

由题意知CH_LA3,所以CH.A3=0，

即(mCA+«CB)-(CB-CA)=(m-«)(CB-CAj-mC/+ncS=20(/n-/7)-25m+64〃=0.

所以5根=44%所以生m=f44.

n5

方法二：VA3C中，由余弦定理得c2=a2+62-2abcosC=82+52-2x8x5x：=49,

所以c=7.

又因为右钻0=；QbsinC=gc-S,

8x5x3r

所以absinC20K.

c77

所以A"='eV—.=3^L=_L

7AB49

5/\445

所以S=CA+AH=CA+—C5—CA)=—CA+—C5.

49'>4949

445

由平面向量基本定理知，根=77?九，

4949

7.(1)773;

(2)18.

(1)在VABC中，由。是重心，得OA+OB+OC=G，即有AO=OB+OC，

于是AO?=OB1+OC+2OB.<9C=42+52+2X4X5COSZ.BOC=32>解得cos/20C=-§,

而5。=0C-08，所以a=|BC|=而d+0B,-2OCOB=J42+52-2x4x5x(-1)=回.

(2)由(1)sinZBOC=^1-(-1)2=I,又。是重心，

133

所以VABC的面积SMc=3So8c=3x5O5-OCsinN3OC=5x4x5x—=18.

8.⑴至

4

(2)证明见解析

BC

(1)解：由正弦定理，得=2OA

sinZBAC

所以sinZBAC='°=，

2OA2

又NA4C«0,TI),所以ZBAC=m或日，

71

当/BAC=3时，

由余弦定理，BC2=AB2+AC--2ABxACxcosABAC

=AB2+AC2-ABxAC>2ABxAC-ABxAC=ABxAC,

所以ABxACV3,VABC的面积S='A2xACxsin巴4空，

234

当且仅当A8=AC=6时，取等号；

27r

当/&1C=一时，

3

同理可得ABxACWl,VABC的面积SW3，

4

当且仅当AB=AC=1时，取等号.

综上，VA2C面积的最大值为地；

4

(2)证明：设AM=%,AN=%2，CN=%，

―…、,…八X^+OM2-AO2/…八y^+OM2-BO2

由余弦定理知cosNAMQ=-^-―——-——,cosZBMO=-^―——-——

2%1•OM2%-OM

因为cosZAMO+cosZBMO=0,

,X^+OM2-AO2yf+OM2-BO2

所CCI以-------------+—-------------=0n,

2xx-OM2yx-OM

化简整理得a%+o"_a。?乂&+%)=0,

而西+%大0,因此占％=402_0暇2,

又因为。是VABC外心，^AO=BO=CO,

同理可知%%=4。2-。储，

因为。恰为MN的中点，

因此占％=天2%,所以AM-MB=A7V-NC.

9.(1)60°

⑵7

(1)AB-AC=20nbccosA—20,SABC=10y/3=>16csinA=10s/3,

两式相除得：tanA=若，

又0°<A<180°,/.ZA=60°.

(2)O为外心,故NBOC=2/4=120。,03OC=\OB|2x网=/

a14

由正弦定理可知：=2R=5=7

一71

10.(l)c=—,0<b<2

3

(2)i

(1)在VABC中，由。(l+cosC)=Gcsin8结合正弦定理可得:

sinB(1+cosC)=A/3sinCsinB,

因为Bw(0,兀)，则sin5w0,

化简得瓜inC-cosC=2sin(C-工]=1,即sin(C--)=-,

V6J62

又因为c^(o,7i),则

oooy

所以c—£=£，解得。=g，