解题技巧：整式运算中含参数及新定义型问题（6类热点题型）解析版-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

整式运算中含参数及新定义型问题解题技巧

（6类热点题型）

目录

【考点一利用单项式乘法求字母或代数式的值】...................................................1

【考点二利用单项式乘多项式求字母的值】.......................................................4

【考点三已知多项式乘积不含某项求字母的值】..................................................5

【考点四多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】.............................................10

【考点五完全平方式中的字母参数问题】........................................................16

【考点六整式的运算中的新定义型问题】........................................................18

【考点一利用单项式乘法求字母或代数式的值】

例题：（24-25八年级上•黑龙江绥化•阶段练习）设①-y+2）.（/y）=x5/，则/的值为（）

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】B

【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值

【分析】本题考查单项式的乘法，根据，1曾"=1+"求解即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

,n+2\,.n+2+2、.6加一1_.〃+4

%yJ]'yj=xy—xy,

6m-1=5,«+4=3,

解得：m=\,n=-\,

nm=（—I）1=—1,

故选：B.

【变式训练】

3

1.(24-25八年级上•河南南阳•阶段练习)已知单项式6Yy与一/的积为机/式,则"的值为()

A.12B.9C.6D.3

【答案】C

【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值

【分析】根据单项式乘单项式法则可得6/y.(-;XV2)=-9X3+"J?,即可求出加、您的值.

本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幕分别相乘，其余字母连同它的指数不

变，作为积的因式.

a

【详解】V6x3y(-|xy)=-9x3+y,

二.-9针〉3-,

二m=-9,3+〃=9,

:.n=6.

故选：C.

2.(24-25八年级上•黑龙江绥化•阶段练习)设(x，/+2).(—/)=/丁，则心的值为()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】B

【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值

【分析】本题考查单项式的乘法，根据旌・a"=腔+"求解即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

,n+2\,.n+2+2、.6加一1_.〃+4

%yJ]'yj=xy—xy,

­.■(xm-y+2).(x5V)=xy,

6m-1=5,«+4=3,

解得：m=\,n=-\,

nm=(—I)1=—1,

故选：B.

3.(23-24七年级下,全国•单元测试)已知单项式3工，与2孙2的积为加x》"，那么加-"=()

A.11B.5C.1D.-1

【答案】C

【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值

【分析】根据单项式乘单项式法则可得3x2jA2x/=6x3y5,求出机、〃的值，然后代入加-力中计算求解即

可.

本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幕分别相乘，其余字母连同它的指数不

变，作为积的因式.熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键.

【详解】^x2y3-2xy2=6x3y5,

/.mxyn=6x3y5,

；.m=6,n=5,

:.m-n=6-5=\.

故选：C.

4.（23-24七年级下•全国•假期作业）若（4为九3,则加+〃的值为.

142

【答案】y/4j

【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值、代入消元法

【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到优―“-/+2+2“=炉/,

\m+2n=5

据此可得。.。，解之即可得到答案.

[3〃+2=3

【详解】解：•••（a"""*

...4加+1+2〃-/+2+2〃=。5人3,

[m+2n=5

寸3〃+2=3'

13

m=一

3

1

n=—

3

14

：.m+n=——,

3

14

故答案为：—.

5.（23-24六年级下•山东青岛•阶段练习）已知-2/向/与4婷/的积与_4,/是同类项.

（1）求私〃的值，

⑵先化简，再求值：5加%.（—3〃）2+（6加〃丁•（-加〃）-加〃3•（-4加）2.

【答案】（1）m=2,n=-l

⑵-7冽，3,56

【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值

【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：

（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出-2/优+。2〃,4x-y=-8x3w+1-yn+4,再由同类项的定义得

到3加+1-3=4,2〃+4=2,解之即可得到答案;

（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可.

【详解】(1)解：-2x3m+ly2"-4x、4=-8x3m+—y2”+4,

••・一2/附+。2"与4d/的积与一4//是同类项，

一8一+13/,+4与-4//是同类项，

3nl+1—3=4,2〃+4=2,

/.m=2fn=—l；

(2)解：5加%•(-3〃y+(6加〃J•(一加〃)-mn3•(-4m)2

=5m3n•9n2+36m2n2•(—mn)-mn3-16m2

=45加，3一36加3九3一16加3/

=-7m3n3，

当m=2,〃=一1时，原式=-7x2?x(-1：=56.

【考点二利用单项式乘多项式求字母的值】

例题：(24-25八年级上•河南周口•阶段练习)若%(%+2)="2+法，贝1］。+6=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值

【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式,

可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得mb的值，根据有理数的加法，可得答案.

【详解】解：*/x(x+2)=x2+2x=ax2+bx,

«.a=l,b=2,

..tz+b=3,

故选：A.

【变式训练】

1.(23-24七年级下•河南周口•阶段练习)若x2+ax=x(x+4),则。的值为()

A.2B.3C.4D.8

【答案】C

【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值

【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出无(》+4)的结果即可得

到答案.

【详解】解：••・x2+ax=x(x+4),

x2+ax=x2+4x,

•••Q=4,

故选：c.

2.(23-24七年级下•山东淄博•阶段练习)已知x(x-a)+6(x+a)=x2+5x-6,当x为任意数时该等式都成

立，则』(6T)+6(a+l)的值为()

A.17B.-1C.-1D.-17

【答案】B

【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值

【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算.先把原式变形为，+(-。+6H+仍=/+5*-6,根据当》为

任意数时该等式都成立，可得-。+6=5,仍=-6,然后代入，即可求解.

【详解】解：x(x-a)+/?(x+a)=x2+5x-6,

.-.x2+(-a+b)x+ab=x2+5x-6,

■.■x(x-a)+b(x+a)^x2+5x-6,当x为任意数时该等式都成立，

-a+b=5,ab=-6,

。伍一1)+6(〃+1)

=ab-a+ab+b

=2ab-a+b

=2x(-6)+5

=-7

故选：B

3.(23-24八年级上•重庆渝中•期中)若》卜2-。)+3%-26=》3+5》一6对任意工都成立，则〃+/,=.

【答案】1

【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值

【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.利用单项式乘多项式的

法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可.

【详解】解：光卜2-a)+3x-26=1+5%-6,

x3—ax+3x—2b=X3+5x—6,

+(—a+3)x—2b=V+5x—6,

•・•原式子对任意1都成立，

—ci+3=5,—2b=-6,

解得：a=—2,b=3,

a+6=—2+3=1.

故答案为：1.

【考点三已知多项式乘积不含某项求字母的值】

例题：(24-25八年级上•河南驻马店•期中)若(--俏x-")(x+2)的乘积中不含公项和x项,则胪=

【答案】16

【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值

【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式展开并合并同类项，根据题意求得小"的值后代入心中计算

即可.

【详解】解：(x2-mx-w)(x+2)

=x3—mx2—nx+2x2—2mx—2n

=x3-(m-2)x2-^2m+n^x-2n,

・・•乘积中不含d项和X项，

•••掰-2=0,2m+〃=0,

.,.m=2,n=—4,

则心=(—4)2=16,

故答案为：16.

【变式训练】

1.(2025七年级下•全国•专题练习)已知(5-3x+加的计算结果中不含V项，则加的值为.

【答案】-3

【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值

【分析】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含某一项，则多

项式合并后，该项的系数为0.先计算(5-3x+7〃--6x3)(l-2x)的结果，不含d的项，则合并后含V的项

的系数为0.

【详解】解:(5-3X+WX2-6X3)(1-2X)

=5-10x-3x+6x2+mx2-2mx3-6x3+12x4

=12x4+(-2m-6)x3+(6+m)x2-13x+5

•.•已知(5-3x+加6/)。一2x)的计算结果中不含V的项，

—2m—6=0

冽=—3

故答案为：-3.

2.(24-25八年级上•四川内江•阶段练习)若(—+°工+8乂/-3》+4)的积中不含f项和Y项.求：

⑴p、q的值；

⑵代数式(2p02(_203x_3pg『的值.

【答案】⑴P=3,q=1；

⑵—96.

【知识点】幕的混合运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值

【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解

题的关键是正确求出p、q的值.

(1)利用条件中积不含公项和丫3项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解；

(2)先化简，再利用第(1)问中的结果，代入求值.

【详解】(1)解：=.X4-3x3+qx1+px3-3px2+pqx+8x2—24x+Sq,

=x4+(-3+p)x3+(q-3p+8)x2+(pq-24)x+Sq,

•••12+户+8)12-3》+«)的积中不含丁项和丁项，

-3+p=0q_3P+8=0,

:•P=3,q=l；

(2)(2*y(-2p)L(-3p4)2,

=4p2g4.(_8p3)+902g2,

=-32pSq*+,

3232

=Rq,

,:p=3,q=l,

3232

二原式=—p3q2=__—x27x1=—32x3=—96

1

3.(23-24六年级下•山东青岛・阶段练习)已知-Z--2”与4x+4的积与_以4必是同类项.

⑴求加，"的值,

⑵先化简，再求值：5m3n-(-3n)2+(6m«y-(-m/i)-mn3-(-4/n)".

【答案】(1)加=2,力=-1

⑵-7m3/,56

【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值

【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：

(1)先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出-2/山+。2”.4x\4=_8—+「)2”+4,再由同类项的定义得

至IJ3机+1-3=4,2〃+4=2,解之即可得到答案；

(2)先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可.

3m+12n

【详解】(1)解：-2xy-4x+4=-8/+j/+4,

■.--2x3m+1y2>,与4x-3y4的积与-4/r是同类项,

一8一小3丁"与一X4”「是同类项，

3m+1—3=4,2〃+4=2,

，加=2,77=—1;

（2）解：5加）•（-+（6冽〃J•（一mn）—mn3-（-4m）2

=5m，•9n2+36m2n2•（一加〃）-mn3-16m2

=45m3n3—367n"-I6m3^3

=-7m3n3,

当加=2,〃=—1时，原式=—7x23x（7）3=56.

4.（24-25八年级上•重庆•阶段练习）若+x-gp}-x+3q）的积中不含x与x2项.

⑴求。，4的值；

⑵求代数式（-P，2）2+/。2%2。23的值.

。=-3

【答案】⑴1

=一

Iq3

⑵12

【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值

【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算.

（1）将（x2+x-；p）（-x+3q）展开，根据结果不含x与f项，即含x与f项的系数为o进行求解即可;

（2）将（1）所求值代入计算即可.

【详解】（1）解：。卜x+3q）

3

=-x_犬++3疗+3qx-pq

--x3+（3q-I）］2+,

，+》一；“（一了+34）的积中不含%与尤2项，

'3«-1=0

<1,

y+3q=0

。=一3

(2)解：•.•夕=-3,q=g

_p)20242023

z\2023

=32+3x(3x—1j

=9+3

=12.

5.（23-24七年级下•贵州毕节•阶段练习）若12+尹-£|12-3x+q）的积中不含x项与/项.

⑴求p,q的值；

⑵求代数式（-2/d+（3pq）-2的值.

【答案】⑴P=3,q=--

（2）361

【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、负整数指数事

【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，负整数指数嘉的含义，积的乘方运算的含义，掌握运算法则是

解本题的关键；

（1）先计算多项式的乘法，再合并同类项，再根据积中不含x项与/项，建立方程求解即可；

（2）先计算积的乘方，再把0=3,“=-；代入计算即可.

【详解】（1）解：卜+夕工_§卜X2_3x+q）

=x4—3x3+qx2+px3—3px2+pqx--^-x2+x—^q

=X4+(^-3)X3+L-3J>-1x2+(pq+\]x-^q

•.•积中不含x项与一项,

p—3=0,pq+1=0,

解得P=3,q=

(2)-：P=3,g=_；,

•・・㈠犷力+(3网)-2

=w+W

21

4

=4x3xH----------------

9x(-l)2

=36]

【考点四多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】

例题：（23-24八年级上•福建厦门•期中）如图1,有足够多的边长为。的小正方形G4类），长为6、宽为。

的长方形（8类）以及边长为6的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些

长方形来解释某些等式.

例如图2可以解释的等式为（0+26）（a+6）=a2+3ab+2b2.

⑴图3可以解释的等式为；

⑵要拼成一个长为+奶），宽为（5。+6）的长方形，那么需用N类卡片一张，2类卡片一张，C类卡片一张；

⑶用5张8类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设

右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S,AB=x,若S的值与x无关，试探究。与6的数量关系，并说

明理由.

【答案】⑴（2a+，）（26+a）=2a，+5。6+2。2

（2）5,46,9

（3）6=2。，理由见解析

【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积

【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式

的混合运算法则成为解题的关键.

（1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可；

（2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答；

(3)设/B=x,由图可知S=(x-3a)b-24x-b),然后再化简，最后让x的系数为0即可解答.

【详解】(1)解：由(2。+6)(26+。)=2/+5。6+2火

故答案为：(2a+b)(2b+a)=2a2+5.6+262.

图I图3

(2)解：-：(a+9b^5a+b)=5a2+46ab+9b2,

・•・需用N类卡片5张，8类卡片46张，C类卡片9张.

故答案为：5,46,9.

(3)解：b=2a,理由如下：

设AB=x,

由题意可得S=(x-3a)6-2a(x-6)

=xb-3ab—2ax+2ab

=(b-2a)x-ab

由于S的值与x无关，则6-2a=0,即6=2a.

【变式训练】

1.(23-24七年级上•广东广州•期中)如图，长为V,宽为x的大长方形被分割成7部分，除阴影图形4B

外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形C,其中小长方形C的宽为4.

⑴计算：小长方形C的长=，小长方形C的周长=;(用含V的代数式表示)；

⑵小明发现阴影图形A与阴影图形8的周长之和与V值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释.

【答案】⑴5-12),(2y-16)

⑵与，值无关，理由见详解

【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积

【分析】(1)根据图示的分割情况即可求解；

(2)根据图示分别表示出阴影图形A与阴影图形8的长、宽，并计算其周长，由此即可求解；

本题主要考查整式的混合运算与图形周长的关系，掌握整式的混合运算是解题的关键.

【详解】(1)解：根据图示可得，小长方形c的长为(y-4x3)=(y-12),

•••小长方形C的周长为(yT2+4)x2=(y-8)x2=2y-16,

故答案为：。-12),(2y-16).

(2)解：由(1)可知，小长方形C的长为(了-12),小长方形C的宽为4,

・•・阴影图形A的长为(y-4x3)=(y-12),宽为(x-4x2)=(x-8),则阴影图形A的周长为:

阴影图形5的长为4x3=12,宽为x-(y-12)=x-y+12,则阴影图形8的周长为：

(12+x-y+12)x2-2x-2y+48,

・•・阴影图形A与阴影图形B的周长之和为：2元+2y-40+2x-2y+48=4x+8,

与了值无关.

2.(23-24七年级上•福建福州•期中)如图，长为了(cm),宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影48

外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm.

⑴从图可知，每个小长方形的较长边的长是_cm(用含V的代数式表示)；

⑵分别计算阴影48的周长(用含x，V的代数式表示)，并说明阴影A与阴影5的周长差与x的取值无关；

(3)当y=24时，比较阴影42面积的大小

【答案】⑴12)

⑵影/的周长为(2》+2x-40)cm,阴影3的周长为(2x-2y+48)cm,说明见解析

⑶阴影/的面积〉阴影8的面积

【知识点】列代数式、整式加减中的无关型问题、整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积

【分析】(1)由图可知，每个小长方形的较长边的长等于整个图象的长减去3个小长方形的宽，列出代数

式即可；

(2)先分别表示出阴影/和阴影8的长和宽，根据长方形周长公式得出阴影/和阴影2的周长，最后将

两阴影部分周长相减，若所得结果不含x,则与x的取值无关；

(3)分别求出两块阴影的面积，再用作差法比较大小即可.

【详解】(1)解：从图可知，每个小长方形的较长边的长是V-3x4=(y-12)cm,

故答案为:(7-12)；

(2)解：由图可知：

阴影/的长为：(y-12)cm,宽为：x-2x4=(x-8)cm,

・•・阴影/的周长为：2x[(y-12)+(x-8)]=(2y+2x-40)cm,

阴影3的长为：3x4=12(cm),宽为：x-(y-12)=(x-y+12)cm,

・•・阴影2的周长为：2x[12+(x-y+12)]=(2x-2y+48)cm,

...阴影A与阴影8的周长差=(2y+2x-40)-(2x-2y+48)=(4y-88)cm,

・•・阴影A与阴影8的周长差与x的取值无关；

(3)解：阴影/的面积为：(y-12)(x-8)=(孙-12x-8y+96)cm',

阴影3的面积为：(x-j+12)-12-(12x-12y+144)cm2,

$阴影力一S阴影B=(xy-12x-87+96)-(12%-12y+144)

=xy-24x+4y-48

把y=24代入得：S阴影/一S阴影8=24x-24x+4X24-48=48>0,

.•・阴影/的面积〉阴影8的面积.

【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟

练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则.

3.(23-24八年级上•福建泉州,阶段练习)【知识回顾】

七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式G-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无关，求。的值”,

通常的解题方法是：把x、y看作字母，。看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x

项的系数为0,即原式=(a+3)x-6y+5,所以"+3=o,则a=-3.

⑴若关于x的多项式(2%-3)%+2病-3欠的值与》的取值无关，求加值；

【能力提升】

(2)7张如图1的小长方形，长为.，宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形4BCD内，大长方形中未

被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为耳，左下角的面积为邑，当42的长变化时，S,-S2

的值始终保持不变，求。与6的等量关系.

AB

b

DC

图1图2

3

【答案】⑴,

⑵”26

【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积

【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题

意得出关于y的方程是解题的关键.

(1)由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含无项的系数为0,故将多项式整理为

(2m-3)x-3m+2m2,令x系数为0,即可求出加；

⑵设=由图可知H=a(x-36),S2=2b(x-2a),即可得到H-S?关于x的代数式，根据取值与x

无关可得a=26.

【详解】(1)解：(2x-3)加+2/-3x

=2mx—3m+2m2—3x

=(2m-3)x+2m2-3m,

.・.其值与x的取值无关，

/.2m-3=0,

3

解得：m=~,

答：当加=］时，多项式(2x-3)〃z+2疗-3x的值与x的取值无关；

(2)解：设48=x,由图可知&=a(x-36),S2=2b(x-2a),

:.Sl-S2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-26)x+a6,

・••当的长变化时，鸟-$2的值始终保持不变.

・•・E-S2取值与X无关，

:.a-2b=0,

a=2b.

4.(23-24七年级下•安徽淮北,期中)［知识回顾］

有这样一类题：

代数式办->+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值；

通常的解题方法；

把x,y看作字母，。看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0,即原

式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=0,即a=-3.

---------------------\B

Si

bIII

aS2------------------

D

图1图2

[理解应用]

⑴若关于X的多项式(2"L3)X+2"/-3m的值与x的取值无关，求m的值;

⑵已知3[3+l)(x-l)-x(l-3y)]+6(-x2+孙-1)的值与x无关，求〉的值;

⑶(能力提升)如图1,小长方形纸片的长为。、宽为b,有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在

大长方形内，大长方形中有两个部分(图中阴影部分)未被覆盖，设右上角的面积为H，左下角的

面积为$2,当N2的长变化时，E-S?的值始终保持不变，求。与6的等量关系.

3

【答案】(1)加=];

(2)y=|；

⑶4=26

【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积

【分析】(1)根据含X项的系数为0建立方程，解方程即可得；

(2)先根据整式的加减求出34+63的值，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；

(3)设=先求出E，邑，从而可得再根据“当的长变化时，¥-$2的值始终保持不变"可

知耳-$2的值与x的值无关，由此即可得.

【详解】(1)解：(2x-3)加+2加2-3x=2%x-3加+2苏-3x

=(2m—3)x-3m+2m2,

关于x的多项式(2x-3)机+2/-3x的值与x的取值无关，

二.2a-3=0,

解得加=十3

(2)令力=(2x+1)(%-1)-X1-2y)^2x2-2x+x-1-x+3xy^x2+?>xy-2x-1

B=—+xy—1,

原^^二3A+6B—3(2工2+3xy—2x-1)+6x2+xy—1

=6x2+9xy-6x-3-6x2+6xy-6

=15xy-6x-9

=(15y-6)x-9,

3/+68的值与%无关，

z.15^-6=0,

2

解得y=不；

（3）解：设AB=x,

由图可知，H=a{x-3b)=ax-3ab,S2=2b(x-2a)=2bx-4ab,

贝！JE-S2=ax-3ab一(2bx-4ab)

=ax-3ab-2bx+4ab

=(a-2b)x+ab,

・・•当的长变化时，H-s?的值始终保持不变，

••.S「S2的值与X的值无关，

:.a-2b=0,

a=2b.

【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加

减乘法的运算法则是解题关键.

【考点五完全平方式中的字母参数问题】

例题：(24-25八年级上•吉林・期末)若式子f+h+16是一个完全平方式，则4.

【答案】±8

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍

项即可确定人的值.

【详解】解：,•,x2+fcr+16=x2±2x4x+42,

•••kx=±2x4x,

解得左=±8.

故答案为：±8.

【变式训练】

1.(24-25八年级上•吉林松原•期末)若V-12X+左是一个完全平方式，则常数左的值为.

【答案】36

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可.

【详解】解：,••--12尤+左是一个完全平方式，

k=62=36

故答案为：36.

2.(24-25八年级上■四川凉山•阶段练习)如果25/+10x+r是一个完全平方式，那么左的值是.

【答案】±1

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式.先根据两平方项确定出这两个数，再根据完

全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值.

【详解】解：••・25%2+10%+左2=(5%)2+2、5%*1+k2是一个完全平方式，

k2=(±1)2-],

左=±1,

故答案是：±1.

3.(24-25八年级上•全国•阶段练习)如果关于1的多项式x2+(m+l)x+4是完全平方式，那么加的值

为.

【答案】3或-5/-5或3

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解

即可.

【详解】解：x2+(m+l)x+4=x2+(m+l)x+22,

m+1=±2x1x2,

解得：加=3或加=-5,

故答案为：3或-5.

4.(24-25八年级上•山东日照•阶段练习)如果关于x的整式9%2-(2%-1卜+；是某个整式的平方，那么加

的值是.

【答案】2或-1

【知识点】求完全平方式中的字母系数

【分析】本题考查完全平方式，根据9--(2〃?-1卜+；是某个整式的平方，得到

9--(2加-1)x+；=土;:，进行求解即可.

【详解】解：•••9/_(27"-1卜+；是某个整式的平方，

9--(2加+：,

2m—l=±2x3x—=±3,

2

；.%=2或"2=—1；

故答案为：2或T.

5.(24-25八年级上•重庆万州•期中)已知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的

平方，则M为.

【答案】±8x或64x“

【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数

【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.利用完全平方公式的结构特征

判断即可求出

【详解】解：®vl6x2+Af+l=（4x）2+Af+l2=（4x±l）2,

/.M=±2-4x•1=±8x,

②若朋'+2x8x2x1+12=（8》2+1）2中M是多项式的平方，

则M=（8/）2=64/；

故答案为：±8x或64/.

【考点六整式的运算中的新定义型问题】

例题：（24-25七年级上•上海虹口•期中）定义：整式A乘以整式B,得到整式C,如果整式C的项数正好比

整式A的项数多1,那么我们称整式B是整式A的“相邻增项式

⑴如果/=x-2,B=2x+5,判断B是否是A的"相邻增项式”，并说明理由；

⑵己知/=x-3,2=/+2加x+〃都是关于x的整式且加、"均为不等于。的有理数.

①填空：当”=1时，如果B是A的"相邻增项式”，那么加的值为；

②设。=3（/+2）,E^B-A-n,如果关于x的整式。中不含x的二次项，且整式£是整式。的"相邻增

项式”，求〃的值.

【答案】⑴是，理由见解析

13

⑵①别=：或"2=彳；②〃的值为_2

62

【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式的项、项数或次数、解一

元一次方程（一）一一合并同类项与移项

【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则.

（1）根据多项式乘法算出再根据“相邻增项式〃的定义判断即可.

（2）①当〃=1时，算出4*8=/+（2加-3）x?+（-6m+l）x-3,根据3是A的“相邻增项式"，得出2机—3=0

或一6»?+1=0,解答即可.

②根据。=8（/+2）,算出。=/+（2〃-1）/+（〃-2〃7）》一〃，根据关于x的整式。中不含x的二次项，得

出2加-1=0,求出机=g,从而得出£>=/+（〃-1）》一〃，再表示出E,算出£>*£,即可求解.

【详解】（1）解：是，理由如下：

根据题意可得：C=AxB—（x—2）（2x+5）=1x~+JC—10,

•••C的项数正好比A的项数多1,

是A的“相邻增项式

（2）解：Q）当a=1时,B=（x—3）（x~+2加x+1）=X*+（2/77—3）x?+（-6TW+1）X—3,

・•・8是A的〃相邻增项式〃,

・..2m-3=0或-6m+1=0,

13

解得：加或加

62

②根据题意可得。=5(4+2),

D=(%2+2机x+〃)(、-3+2)=x3+(2m—l)x2+(及一2加)x—〃,

由于关于％的整式。中不含、的二次项，，

/.2m-1=0,解得：加=；，

/.D=x3+(〃一l)x一〃,

♦；E=B-A-n,

E=x2+x+n-^x-3]-n=x2+3,

2

DxE=[d+(〃-1)工_〃](x2+3)=工5+(〃+2)X3_nx+3(n-l)x-3zz,

当〃=1时，。为关于X的二项式，而。x£=/+x3—%2—3为四项式，

••.此时不合题意，舍去；

当〃W1时，则。为关于％的三项式，

又「E是。的〃相邻增项式〃且〃w0,

n=—2,

综上所述，力的值为-2.

【变式训练】

1.(23-24七年级下•安徽宿州,阶段练习)阅读材料：

在学习多项式乘以多项式时，我们知道(2x+5乂3x-6)的展开结果是一个多项式，并且最高次项为

2x-3x=6x2,常数项为5x(-6)=-30.那么一次项是多少呢？

要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数.通过观察，我们发现一次项系数就是：2x(-6)+3x5=3,

即一次项为3x.

参考材料中用到的方法，解决下列问题：

⑴求(3x-l乂5x-3)展开所得多项式中的一次项系数；

⑵已知(/+》+1乂/-3》+。)展开所得多项式中不含x的二次项，求。的值.

【答案】⑴-14

(2)2

【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值

【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出相应的算式.

(1)根据题干中提供的方法求出展开所得多项式中的一次项系数即可；

(2)根据提供提供的方法列出关于。的方程，解方程即可.

【详解】⑴解:一次项系数为3x(—3)+(-l)x5=~14.

(2)解：由题意，得二次项系数为：

lxa+lx(-3)+1x1=0,

解得a-2,

即。的值为2.

2.(22-23七年级下•辽宁沈阳•阶段练习)用"软'定义一种新运算：对于任意有理数。和6,规定

a0b=(a-b^-2a+b.如：103=(1-3)2-2x1+3=5.解答下歹!］问题：

⑴若(x+2)③x=6,求x的值；

⑵化简：^x+l^®(2x)+x03；

(3)若m=4@(3x),"=(x+l)@2-17x,判断〃?与"的大小关系，并说明理由.

【答案］⑴》=-6

⑵铲2-10X+11

⑶m>",理由见解析

【知识点】整式的加减运算、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算

【分析】题目主要考查新定义运算及整式的乘法运算，理解新定义运算及整式的乘法运算法则是解题关键.

(1)根据新定义的运算，得出方程求解即可；

(2)根据新定义运算求解计算即可；

(3)根据新定义分别确定加，〃，然后作差即可判断.

【详解】⑴解：根据题意得：(x+2-x)2-2(x+2)+x=6,

解得：x=-6.

(2)［gx+l］o(2x)+xO3

=］；x+l-2xj-2(；x+l)+2x+(x-3)2-2x+3,

13,

=—x2-10x+ll.

4

(3)m>n.

理由：m=40(3x)=(4-3x)2-2x4+3x=9x2-21x+8,

»=(X+1)02-17X=(X+1-2)2-2(X+1)+2-17X=X2-21X+1,

'：m—n=8x2+7〉0,

m>n,

3.(23-24七年级下•辽宁沈阳•期末)定义：对于一组多项式：x+a,x+b,x+c[a,b,c都是非零常数),

当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数加时，称这样的三个多项式是一

组和谐多项式，的值是这组和谐多项式的和谐值.例如：对于多项式x+1,x+2,x+4,因为

[(x+2)2-(x+l)(x+4)]+x=-l,所以x+1,x+2,尤+4是一组和谐多项式，和谐值为-1.

⑴小明发现多项式x+3,x+6,x+12是一组和谐多项式，求其和谐值；

⑵若多项式》-2,x+3,x+p⑺为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值.

【答案】⑴-3

4,9

⑵工或一不

【知识点】(x+p)(x+q)型多项式乘法、运用完全平方公式进行运算

【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式.理解题意，熟练掌握完全平方公式，多项式乘多项

式是解题的关键.

(1)根据[(X+6)?-(x+3)(x+12)kx,计算求解即可；

(2)由题意知，分当—_(、+3)(%+夕)=(一4一2一3)、+4—3夕，4-32=0时；当

(x+3『-(x-2)(x+p)=(6-p+2)x+9+2p,9+2p=0时；当(x++=(2/?-l)x+/?2+6,

p2+6=0时；分别求解作答即可.

【详解】(1)解：由题意知，[(x+6)—(x+3)(x+12)]+x=+12x+36——15x—36卜x=-3,

・•・和谐值为-3；

(2)解：・・•多项式％-2,x+3,x+P(夕为非零常数)是一组和谐多项式，

・•・当(x-2)_(x+3)(x+p)=J_41+4—卜2+川+31+32)=(一4一夕一3)x+4-3p,4—32=0时，即夕=§,

此时多项式％-2,x+3,x+p(P为非零常数)是一组和谐多项式；

当(x+3)2一(工一2)(1+,)=J+61+9—卜2+8―21一22)=(6—p+2)x+9+2p,9+22=0时，即p=--,

此时多项式％-2,x+3,x+p仍为非零常数)是一组和谐多项式；

当(工+?1一(％-2)(%+3)=/+22%+22-(J+3%_2%一6)=(22一1)、+22+6,2?+6=0时，止匕时不成立；

综上所述，夕的值为4:或Q

4.(22-23七年级下•陕西西安,阶段练习)配方法是数学中重要的一种思想方法.这种方法常被用到代数式

的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成“2+〃(。、6是整数)的

形式，则称这个数为“完美数".例如，因为5=2?+1,所以5是