解题技巧：作辅助线解决平行线中的拐点问题（5类热点题型）原卷版-初中数学

作辅助线解决平行线中的拐点问题解题技巧

目录

【考点一猪蹄模型（”型）与锯齿模型】.........................................................1

【考点二铅笔头模型】.........................................................................11

【考点三牛角模型】...........................................................................19

【考点四羊角模型】...........................................................................25

【考点五蛇形模型（“5"字模型）】.............................................................35

□

【考点一猪蹄模型（M型）与锯齿模型】

【模型解读】

图1图2图3

如图1,①己知：AMZBN,结论：乙4PB=乙4+乙B；②已知：UPB=U+AB,结论：AM\\BN.

如图2,已知：AMWBN,结论：乙匕+乙匕=乙4+48+乙?2.

如图3,已知：AA4\\BN,结论：+……

【模型证明】

（1）//尸8=//+/8这个结论正确，理由如下：如图1,过点尸作PQ〃/

'."PQ//AM,AM//BN,J.PQ//AM//BN,：.ZA^ZAPQ,NB=NBPQ,

:./A+/B=NAPQ+/BPQ=NAPB,即：ZAPB^ZA+ZB.

(2)根据(1)中结论可得，ZA+ZB+ZP2=ZP1+ZPi，

故答案为：//+/3+/尸2=/尸1+/93，

(3)由(2)的规律得，N/+N2+N尸2+…+尸2〃=NP1+NP3+N尸5+…+N尸2〃+1

故答案为：AA+AB+AP^---1"尸2"=/尸1+/尸3+NP5H----^/尸2〃+1

例题：(23-24七年级上•吉林长春•期末)(1)问题发现：如图①，直线43〃CD,连接8£,CE,可以发现

NB+NC=NBEC.

请把下面的证明过程补充完整：

证明：过点£作跖〃48,

AB//DC(已知)，EF//AB(辅助线的作法)，

EF//DC().

ZC=NCEF.().

■：EF//AB,

:"B=/BEF(同理).

.­.NB+ZC=.

即48+/C=/NEC.

(2)拓展探究：如果点£运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：Z5+Z5£C+ZC=360°.

(3)解决问题：如图③，AB//DC,E.F、G是48与CD之间的点，直接写出Nl,Z2,Z3,Z4,Z5

之间的数量关系.

图①图②图③

巩固训练

1.（23-24七年级上•全国•单元测试）如图，AB//CD,ZBAP=60°-x,ZAPC=45°+x,NPCD=30°-x,

求x.

2.(23-24七年级下•全国・期末)探究：如图①，AB\\DE,试问/8、NE、/8GE有什么关系.下面给

出了这道题的解题过程，请你完成下列填空：

解：如图①，过点C作。尸H”，

；.NB=/1(_).

X--AB\\DE,AB\\CF,

(_),

；.NE=N2(_),

.•./8+/E=/l+/2,

即「

应用：如图②，直线4凤，4BU，垂足为O,3c与4相交于点R若/1=30。，求/。3£的度数;

拓展：如图③，AB\\EF,8C_LCD于点C,ZABC=30°,/DEF=45°,则/CDE=_.

图②图③

3.（23-24七年级下•黑龙江鹤岗•期末）如图1,已知求证：ZAEP+NCFP=NEPF；小明想到了

以下方法，请帮助他完成证明过程:

⑴如图1,过点尸作尸G〃/3,^\ZAEP=.()

AB//CD,

■■.PG\\()

:./CFP=()

又Z1+N2=NEPF,

ZAEP+ZCFP=ZEPF.

⑵如图2,AB//CD,请写出乙4£尸+/瓦乎+/班心的和并说明理由；

⑶如图3,AB//CD,请直接写出图3中NNEP+NE尸0+N尸如+N。尸C的和.

4.（2024七年级上•全国•专题练习）⑴如图①，AB//CD,试问/2与N1+N3的关系是什么？并说明理

由；

⑵如图②，AB//CD,试问N2+N4与ZI+/3+N5的关系是什么？请直接写出结论；

（3）如图③，AB//CD,试问N2+N4+N6与N1+N3+N5+N7的关系是什么？请直接写出结论.

图①图②图③

5.（24-25七年级上•山东青岛•期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型一一猪蹄模型后，想继续

研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：

【分析问题】如图，已知直线直线c分别与直线a,6相交于点E,F,点2分别在直线a,6上,

且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点£,尸重合），设=AAPB=Z2,

ZPBF=Z3.

【解决问题】（1）问题一：如图1,当点尸在线段所上运动时，试探索Nl,Z2,N3之间数量的关系，

并给出证明.睿睿回忆猪蹄模型的证明方法："过点P作尸。......"请你用直尺和铅笔在图1中作出这一

辅助线，并帮助睿睿完成证明；

【类比探究】（2）问题二：当点P在线段E尸外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认

为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系.

①如图2,当动点尸在线段£尸之外且在直线。的上方运动（不与E点重合）时，Zl,Z2,N3满足什么

数量关系？请给出证明；

②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段E尸之外且在直线6的下方运动（不与厂点重合）时的图

形，并仿照图1,图2,标出图3中的/I,Z2,N3,此时Nl,Z2,N3之间有何数量关系，请直接写出

结论，不必说明理由.

【应用拓展】

（3）问题三：如图4所示48〃CD,请直接写出图4中Zl,Z2,N3,N4之间的数量关系，不必说明

理由.

【考点二铅笔头模型】

【模型解读】

图1图2图3

如图1,①已知：AM//BN,结论：Nl+N2+N3=360。；②已知：Zl+Z2+Z3=360°,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如图3,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+...+Zn=（«-1）180°.

【模型证明】在图1中，过尸作的平行线尸0,

,JAM//BN,J.PQ//BN,：.Z1+ZAPQ=1SO°,Z3+ZBPQ=1SO°,AZl+Z2+Z3=360°；

在图2中，过马作的平行线马C,过点尸2作的平行线尸2。，

'JAM//BN,：.AM//PtC//P2D//BN,

.,./1+//尸＜=180°,ZP2PiC+ZPiP.D=180°,/3尸2。+/4=180°,；.Nl+N2+N3+/4=540°；

在图3中，过各角的顶点依次作的平行线，

根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：/1+N2+/3+…+/”=（„-1）180°.

例题：（2024七年级下•全国•专题练习）如图1,四边形M7VBD为一张长方形纸片.

⑴如图2,将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（NB4E、NAEC、NECD),贝I」NBAE+ZAEC+ZECD=

⑵如图3,将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（NBAE、NAEF、NEFC、NFCD),则

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD='

⑶如图4,将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（NBAE、NAEF、NEFG、NFGC、NGCD),则

NBAE+ZAEF+ZEFG+NFGC+Z.GCD=

⑷根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪〃刀,剪出（〃+1）个角，那么这（〃+1）个角的和是

巩固训练

1.（23-24七年级下•江苏宿迁•阶段练习）（1）如图①，MA.//NA.,^]ZA1+ZA2=

如图②，MAJ/NA,,则/4+“+/4=，请你说明理由；

(2)如图③，M4〃NA&,贝I]N4+N4+/4+24=

（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB//CD,//BE和NCDE的平分线相交于点尸，/E=130。，求

N8FD的度数.

2.（22-23七年级下•广东江门,阶段练习）（1）如图1,AB//CD,求//+//EC+/C的度数.

解：过点E作跖〃N8.

EFUAB(已作),

：.ZA+ZAEF=\^O°().

Xv^5||CD（已知），

〃（平行关系的传递性），

：.ZCEF+Z=180°（两直线平行，同旁内角互补），

.•.44+4EF+NC£F+NC=360。（等式性质），

即NA+ZAEC+ZC=；

（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB//EF,贝iJ/8+/C+/D+/E=

（3）根据（1）和（2）的规律，图3中/2||GF,猜想：ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=；

（4）如图4,AB//CD,在8,。两点的同一侧有监，惧，M，…M共〃个折点，贝U

ZB+ZMl+ZM2+...+ZMn+ZD的度数为(用含〃的代数式表示).

3.（23-24七年级下•山东青岛・单元测试）已知：（1）AB//CD,尸为平行线内一点，请猜测/8、/尸、ND

的关系并说明理由.

（2）若内部有两个点《，P2,那么N3,和/耳，/5又有怎样的数量关系（直接写出结果）

AB

尸i

CD

（3）内部有〃个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）

你找到了怎样的规律？（直接写出结果）

【考点三牛角模型】

【模型解读】

如图1,已知/2〃CD,结论:

如图2,已知N5〃CD,结论:Zl+Z3-Z2=180°

【模型证明】在图1中,过E作45的平行线斯，：.ZI+ZFEB=1SO°

图1图2

'JAB//CD,：.EF//CD,AZ3+ZF££>=180°,即：Z3+Z2+ZF£5=180°,.,.Z1=Z2+Z3.

在图2中，过£作48的平行线EF,；.N1+/FE8=18O°

'CAB//CD,J.EF//CD,：.Z3=ZFEC,即：Z3-Z2=ZFEB,AZl+Z3-Z2=180°.

注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长交DE于点凡或延长£8交于点产等。

例题：（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，已知45〃。£,ZABC=75°,ZCDE=\45°,则/8C。的

度数为

巩固训练

1.（23-24七年级下•全国•期末）直线P为直线上方一点，连接尸4PD.

图1图2

⑴如图1,若44=100。，ZD=130°,求N4PD的度数；

⑵如图1,设NP4B=a,4CDP=/3,求N/尸。的度数（用含a、£的式子表示）；

/Apr

（3）如图2,N为443内部一点，ZBAN=3NPAN,连接CN,若aDCN=34PCN,求工标的值•

2.（23-24七年级下•河南商丘・期末）【阅读理解】

我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题.

例如：如图1,AB//CD,点N分别在直线4B,CD上，点尸在直线48,CD之间.设

ZBMP=2a,ZDNP=2/3,求证：ZMPN=Aa+A/3.

证明：如图2,过点P作尸。〃/2,==

■.-PQ//AB,AB//CD,.-.PQ//CD,

ZQPN=ZPND=,

：.ZMPN=ZMPQ+ZNPQ=Na+N/3.

【类比应用】

(1)如图3,AB//CD,ZC=30°,ZGBA=45°,求/GPC的度数.

（2）如图4,48〃。，点m在直线8上，点尸在直线48的上方,连接尸5,尸河.设/8=/0,/尸必）=/£,

则/a,4与/BPM之间有何数量关系？请说明理由.

【拓展应用】

（3）如图5,/2〃CD,点M在直线CD上，点尸在直线48的上方，连接依，PM.ZPMC的平分线与

N尸氏4的平分线所在的直线交于点。，请直接写出+的度数.（不要求写过程）

图4图5

【考点四羊角模型】

【模型解读】

图2

如图1,已知：ABWDE,结论：a=y-P.

如图2,已知:ABWDE,结论:。+尸+7=180°.

【模型证明】在图1中,过C作48的平行线CF,.-.Z/3―FCB

■.■ABWDE,：.CF\\DE,：./.y=/LFCD,,:乙a=^FCD-乙FCB,.-.z«=zy-z^.

在图2中，过C作的平行线CF,：/口=乙FCB

■■■ABWDE,.-.CFWDE,.-.zy+zFC£>=180°,,:乙FCD=La+乙FCB,.-.za+z^+zy-z=180°.

例题：（2024七年级上•全国・专题练习）如图a,AB//CD,猜想与18、ZD的关系，并说明理由.

⑴填空：

解：猜想N8PO+/8+/D=360。.理由：过点尸作E尸〃48,如图e所示，所以N8+NBPE=180。

（①）.因为/8〃CD,EF//AB,所以£F||CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么

②）,所以/EPZ）+/O=180。（③）,所以NB+NBPE+NEPD+ND=

（4）,即ZB+ZBPD+ZD=360°；

（2）依照上面的解题方法，观察图6,已知猜想图中的尸。与的关系，并说明理由;

⑶观察图。和图d,已知NB〃CD,猜想图中的N8PD与23、的关系，不需要说明理由.

巩固训练

1.（24-25七年级上•全国•课后作业）如图，已知48〃C〃，"BE=150。，ZCDE=85°,求N8ED的度数.

D

⑵在图2中，AB//CD,若44=120。，ZC=140°,则N4PC的度数为_；

⑶在图3中，AB//CD,若N/=40。，ZC=70°,则//PC的度数为一；

（4）在图4中，AB//CD,探索一尸与NC,/尸48的数量关系，并说明理由.

3.（23-24七年级下•辽宁大连•期末）已知A8〃CD

⑴如图1,求证：ZABE+ZDCE-ZBEC=180°

⑵如图2,/DCE的平分线CG的反向延长线交Z/5E的平分线班'于k，若BF〃CE,NBEC=28。,求

Z3FC的度数

（3）如图3,若CN平分NECD,BF平分NABE,好的反向延长线和CN的反向延长线交于点M,且

ZE+ZM=m°,求NE的度数

4.（23-24七年级下•山东荷泽・期末）已知：在图1-图6中，AB//CD,点E,点尸，点G与4B,C。在

同一平面内.

⑴探究与表达请直接写出：

4______B---------------B4__________B

£（___________〉_

>---------------D4----------------DC~力

图1C图2图3

V「「

cDcL_________DC——D

图4图5图6

①图1中/E,—C的数量关系；

②图2中NE,44,/