强化训练：等比数列及其前n项和题型归纳（原卷版）-2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）

等比数列及其前n项和题型归纳精讲精练

【题型归纳】

♦题型一:等比数列及其前n项和基本量计算

♦题型二：等比中项问题

♦题型三：等比数列的性质

♦题型四：等比数列的函数性质

♦题型五：等比数列的前n项和的性质

♦题型六：等比数列的前n项和的奇数和偶数项之和问题

♦题型七：等比数列的证明问题

♦题型八：等比数列的应用

♦题型九：等比数列及其前n项和综合问题

【题型探究】

题型一:等比数列及其前n项和基本量计算

1.(22-23高二•全国)求下列等比数列｛为｝的前"项和.

(1)^=1,0=3,72=10;

11,

(2)%=］，9=n=6；

111

(3)%=§，q=M为=而；

(4)%=6,q=2,ctn-192.

2.(23-24高二下•陕西榆林•期末)设等差数列｛为｝的前〃项和为S“，且公差不为0,若%,%，%构成等比数歹11，

S"=66,则能二()

A.7B.8C.10D.12

3.（23-24高二上•四川眉山•期末）各项均为正数的等比数列｛。"｝中，％=1,%=4%.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）记S,为｛.”｝的前〃项和，若S,“=63,求加.

题型二：等比中项问题

4.（23-24高二上•福建莆田•期中）已知递增等比数列｛%｝的前〃项和为5，且&=4,S3=".

⑴求q的值.

（2）求出++0+。8的值.

5.（23-24高二下•广东广州•期末）已知正项等差数列｛%｝满足3%=%"，且％是%-3与&的等比中项，则%=

（）

A.3B.6C.9D.12

6.（23-24高二下•甘肃•期末）等差数列｛。“｝的公差是2,若4,%,心成等比数列，则｛%｝的前“项和S“=（）

A.«（«+2）B.«（«+1）C.n1D.

题型三：等比数列的性质

7.（2024•云南大理•模拟预测）已知各项均为正数的等比数列｛%｝中，若为=9,则1。83g+1。83%2=（）

A.2B.3C.4D.9

8.（23-24高二下•四川达州一阶段练习）等比数列｛0"｝中生+能+。5=］。2+&+。6=5，贝1。4+。6+。8=（）

5

A.-B.5C.10D.20

4

9.（23-24高二上•甘肃金昌•阶段练习）在等比数列｛%｝中，%+%+%+%=243,%+%+%+为=72,贝!I

%++。9+。10=（）

2

A.—B.—C.32D.64

33

题型四：等比数列的函数性质

10.（2023•广东佛山•一模）等比数列｛。“｝公比为4（441）,>0,若7；=/02a3…%（〃eN*）,则'">1”是"数列

｛4｝为递增数列''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.（22-23高二下•北京房山・期末）设各项均为正数的等比数列｛%｝的公比为q,且，Tog?%,贝卜也｝为递减数

列”是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

12.（23-24高二下•北京•期中）等比数列｛%｝的公比为4,%>0,则“凡+2>。,”是“4>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

题型五：等比数列的前n项和的性质

13.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）已知等比数列｛%｝的前〃项和为邑，且&>0,若工=5,几=105,则$2。=

（）

A.550B.520C.450D.425

14.（23-24高二下•河南南阳・期中）若正项等比数列｛。“｝的前〃项和为王，且S8-2$4=6,则%+阳+知+%的最

小值为（）

A.22B.24C.26D.28

15.（2024•江苏扬州•模拟预测）在正项等比数列｛为｝中，邑为其前〃项和，若$3。=7$，$+$3。=80,则S?。的

值为（）

A.10B.20C.30D.40

题型六：等比数列的前n项和的奇数和偶数项之和问题

16.（23-24高二上•重庆・期中）已知等比数列｛。"｝有2〃+1项，%=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为

42,贝！|"=()

3

A.2B.3C.4D.5

QC

17.（23-24高二下•云南保山・开学考试）等比数列｛。“｝的首项为2,项数为奇数，其奇数项之和为偶数项之和

为2三1,则这个等比数列的公比.

16

18.（21-22高三上•山东聊城•期末）已知等比数列｛七｝的公比且％+%+%+…+%）=90,则

%+%+%+…+"100=.

题型七：等比数列的证明问题

19.（24-25高二上•甘肃兰州•期中）已知数列｛叫满足4=1,点（%,%）在直线了=3无+1上.

⑴设6"=a"+g,证明低｝为等比数列；

⑵求数列｛%｝的前”项和邑.

20.（24-25高二上•山东•期中）已知数列｛%｝的首项为=1,且满足。加=痣-.

⑴求证：数列,为等比数列；

（2）若数列｛%｝的前"项和为S,,求证：5„<2,

21.（24-25高二上•江苏苏州•期中）已知数歹U｛%｝,也｝满足用_；"且4=］力=-1.

l"〃+i—Ta”+Zbn+4,2

（1）求生;

⑵证明数列卜-〃-共是等比数列，并求凡.

题型八：等比数列的应用

22.（24-25高二上•福建漳州•期中）已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一

次高度吗处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（）

235315C.交m315

A.-----mB.-----mD.——m

161688

4

4

23.（24-25高二上•福建•期中）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的1处，那么在第〃

次着地后，它经过的总路程超过5m,则"的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

24.（23-24高二上•湖北荆门•期末）在流行病学中，基本传染数凡是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力

的情况下，一个感染者平均传染的人数.以一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中

传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数4=4,平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）

增加到3333大约需要的天数为（）（初始感染者传染几个人为第一轮传染，这几个人每人再传染几个人为第二

轮传染……参考数据：lg2。0.3010）

A.42B.43C.35D.49

题型九：等比数列及其前n项和综合问题

25.（24-25高二下•全国•期末）已知数列｛%｝的前“项和S",且满足2s“+””=1.

（1）求｛%｝的通项公式；

⑵记数列｛%｝的前“项乘积为4,求，的最小值.

26.（24-25高二上•上海•期中）已知数列｛%｝的各项均为正实数，%=3,且。“=4%7+3（«>2）.

⑴求证：数歹！|｛%+1｝是等比数列；

=1,

⑵若数列也｝满足4=log/%+1），求数列也｝中的最大项与最小项.

----------,n>2

、n-\

27.（24-25高二上•山东青岛•期中）己知在数列｛%｝中，％=9,且满足%=*+2%.

⑴求证：数列但（%+1）｝是等比数列，并求出｛&｝的通项公式；

⑵设bn=an+\,求数列也｝的前n项积Tn；

（3）设%=—+求数列｛4｝的前”项和S,.

an十/

5

【专题训练】

一、单选题

28.（24-25高二上•江苏•期中）已知等比数列｛“"｝的公比”1,且满足出+%=5,%=2,则4的值为（）

A.2B.3C.4D.5

29.（24-25高二上•上海•期中）数列｛%｝是等比数列，公比为4,%>1”是“数列｛%｝是严格增数列”的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

30.（24-25高二上•山东青岛•期中）已知数列｛““｝为正项等比数列，%4=16,%=4,则使4<1成立的〃的

最小值为（）

A.9B.8C.7D.6

31.（24-25高二上•山东青岛•期中）若〃1，〃2，〃3，。4成等比数列，且满足山（。1+〃2+。3+〃4）<山（%+。2+〃3），则（）

A.4<%，。2〉。4B.ax<a3,a2<a4

aa

C.%>/，2<4D.q>a2>a4

（）[%+2/为偶数,

32.（24・25高二上•山东青岛•期中）已知数列｛。J满足%+2=（o斗，4用，且％=2,外=1，则邑0=（）

[2%,〃为奇数，

A.1023B.1124C.2146D.2145

33.（24-25高二上•福建龙岩・期中）已知数列{%},%=1,匕1一4a〃+i%+4a；=0,则%=()

A.8B.16C.24D.64

34.（24-25高二上•福建・期中）记等比数列｛%｝的前〃项和为S,,若智=<，则”=（）

品»6

267C.竺D.1

A.-B.—

918169

35.（24-25高二上•甘肃酒泉•期中）设s.为数列｛。“｝的前〃项和，若S“-2a“T,则79的值为（）

A.8B.4C.；D.-

48

36.（23-24高二下•辽宁沈阳•期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为10%,

且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列｛c“｝,G=1200,则/大约为（参考

数据：l.l8®2.1,1.19®2.4,1.110»2.6,1.111®2.9()

6

A.1420B.1480C.1520D.1580

37.（23-24高二下•山东日照・期末）已知等比数列｛叫，〃],应为函数/（%）=-—5x+2的两个零点，则

log2a2+log2a3+log2a4=（）

33

A.V2B.—log25C.—D.3

二、多选题

38.（24-25高二上・江苏苏州・期中）设七为数列｛4｝的前〃项和.若5“=2%+；,则（）

2

A.an=2"-B.数列｛叫为递减数列C.%=4%+%D.

39.（24-25高二上・江苏•期中）已知数列｛6｝满足2*,+1=（〃+1）%,%=；,则下列说法正确的是（）

A.a3=JB.｛%｝中存在连续三项成等差数列

O

C.｛““｝中存在连续三项成等比数列D.数列｛为｝的前〃项和S"=2-祟

40.（24-25高二上•福建•期中）已知等比数列｛。“｝的首项为1,公比不为1,若生,出，%成等差数列，贝U（）

A.｛为｝的公比为-3B.｛%｝的公比为-2

C.｛对｝的前10项和为-341D.%，％，&成等差数列

41.（24-25高二上・江苏镇江•期中）己知数列｛叫满足4+「2%=2向，且％=4,则下列正确的有（）

A.%=32

B.数列1含J的前〃项和为2向

2

的前〃项和为（）工”

C.数列log2n+l+

I4"[11

D.若数列——的前〃项和为「，则774TL＜：

[a„an+lJ124

42.（23-24高二上•云南昆明・期末）已知公比为q的等比数列｛%｝,。“=占，贝U（）

7

B.%+%之w

C.若q=l,则4=土;

D.若q=1,记S,=同+|a21H"…+|%|，则S,<2

三、填空题

43.（24-25高二上•上海•期中）在等比数列｛%｝中，a„>0,且％•外……。79=16,则。也5的值为.

20242019

44.（24-25高二上•山东青岛•期中）数列｛2｝中，％=2,am+n=aman，若ak+l+ak+2+…ak+s=2-2，则上+s=.

45.（24-25高二上•上海•期中）设邑是数列｛%｝的前〃项和，4=；,且对任意正整数加，"，都有％+“=%,•%,

若S,<a恒成立，则实数”的取值范围为.

46.（24-25高二上・甘肃酒泉•期中）已知等比数列｛七｝的前〃项和'=2"-a,〃eN+,贝|。=；设数歹!]｛log应a,,｝

的前〃项和为若北>5"+比对”eN+恒成立，则实数九的取值范围为.

四、解答题

47.（24-25高二上•浙江宁波・期中）设等比数列｛%｝的前"项和为S"，且q=-l,2S„=Sn+l+Sn+2.

（1）求数列｛%｝的通项公式.

（-l）n-n

⑵求数列——的前〃项和（.

a.

48.（24-25高二上•