平面向量与解三角形（原题版）-2025年高考数学复习易错题（新高考）

专题06平面向量与解三角形

目录

题型一：平面向量

易错点01对平面向量的基本概念理解不到位

易错点02忽略平面向量夹角的范围与方向性

易错点03忽略向量共线时的两种情况

易错点04错用平面向量的运算律

题型二：解三角形

易错点05解三角形时错判解的个数

易错点06忽略边角互化条件

易错点07忽略三角形中的隐含条件

题型一：平面向量

易错点01：对平面向量的基本概念理解不到位

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二下•全国•课后作业）在下列结论中，其中正确的是（）

A.若向量B共线，则向量B所在的直线平行

B.若向量3所在的直线为异面直线，则向量苕，B一定不共面

C.若三个向量b,2两两共面，则向量1,b,1共面

D.已知空间的两个不共线向量I,b,对于空间的一个向量力，存在实数x,乃使得力=法+＞行，则

向量力与向量石，B共面

【答案】D

【分析】根据向量共线共面的判断，对选项逐一判断即可.

【详解】选项A,向量共线，则向量用B所在的直线平行或重合，故A错误；

选项B,根据空间向量的意义知，空间任意两个向量用3都共面，故B错误.

选项c,由于三个向量两两共面，但是a不一定共面，故c错误;

选项D,已知向量｛工同是空间的一个基底，p=xa+yb,则向量扇力共面，D选项正确.

故选：D.

【易错剖析】

在解题时容易混淆向量平行与直线平行的不同而出错，另外也容易忽略零向量的特殊性.

【避错攻略】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量，向量的大小叫作向量的模.

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：模等于1个单位长度的向量.

(4)共线向量：若两个非零向量a,A的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，规定:

零向量与任一向量共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量

定义法则(或几何意义)运算律

运算

(1)交换律：

a~\~b=b~\~a；

加法求两个向量和的运算

(2)结合律：

三角形法则平行四边形法则

(a+〃)+c=a+(〃+c)

求。与分的相反向量一6

减法的和的运算叫做。与b的xya一〃=〃+(—b)

三角形法则

差

(1)|筋|=囚同；(2)当＞0时，福

a)=(%〃)〃；

求实数4与向量。的积的的方向与。的方向相同；当ko

数乘a；

运算时，加的方向与〃的方向相反；

A(a+b)=Aa+Ab

当2=0时，2«=0

【解读】（1）利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点.

（2）当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用.

3.共线向量定理

向量。（aWO）与b共线的充要条件是：存在唯---个实数人使6=瓶.

【解读】共线向量定理中规定。加原因：（1）当。=0时，若厚0,则不存在实数人使得/>=篇，但此时

向量。与6共线；（2）当。=0时，若b=0,则对任意实数人都有6=相，与有唯---个实数力矛盾.

因此限定火0的目的是保证实数力的存在性和唯一性.

易错提醒：（1）注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且网=0;（2）单位向量有无数个，它

们的模相等，但方向不一定相同；（3）零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向

不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；（4）任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行

与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可

以重合；但直线平行不包含直线重合的情况.

举一反三

1.（2024高三・北京・专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方

向是任意的；②若心B都是单位向量，则③向量血与直相等.其中正确命题的序号为（）

A.①B.③C.①③D.①②

2.（2024高三・全国•专题练习）下列命题错误的是（）

A.若£与B都是单位向量，则£=认

B.“同=「”是”的必要不充分条件

ab-

c.若行都为非零向量，则使同+同=°成立的条件是々与刃反向共线.

D.若a=B》=c,则.=。.

3.（23-24高一下•四川•期中）下列命题正确的是（）

A.若&与B都是单位向量，则。

B.方向为南偏西60。的向量与北偏东60。的向量是共线向量

C.若Z与B是平行向量，则

D.若用有向线段表示的向量N应与/N不相等，则点Af与N不重合

易错题通关

1.（2024高三・北京•专题练习）下列说法正确的是（）

A.长度相等的向量叫做相等向量

B.共线向量是在同一条直线上的向量

C.零向量的长度为零，方向是任意的

D.方〃①就是与所在的直线平行于丽所在的直线

2.（2024高三•全国•专题练习）已知非零向量£与刃共线，下列说法不正确的是（）

A.a=3或4=-石

B.£与♦平行

C.£与办方向相同或相反

D.存在实数几，使得£=几否

3.（23-24高三下•江苏扬州•阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若，［W，则a=3B.若卜|>W，则a>加

C.若4=3,则D.若a//51//c,则al1c

4.设£是非零向量，4是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.々与入々的方向相反B.£与万公的方向相同

c.|-Aa|>|cz|D.|-2fl|>|2|a

5.（2024高三•全国・专题练习）（多选）下列命题中错误的有（）

A.平行向量就是共线向量

B.相反向量就是方向相反的向量

C.0与］同向，且卜|>W，则

D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

6.（23-24高二上•安徽阜阳•阶段练习）（多选）给出下列命题，其中假命题为（）

A.向量方的长度与向量防的长度相等

B.向量£与否平行，则£与办的方向相同或相反

c.同+问巾与B方向相反

D.若非零向量£与非零向量否的方向相同或相反，则£+3与Z，刃之一的方向相同

7.（2024高三•江苏•专题练习）（多选）下列说法不正确的是（）

A.若aw61w6,a〃彼，则a与3的方向相同或者相反

ab

B.若"，B为非零向量，且同=同，贝!与B共线

C.若a/区，则存在唯一的实数X使得£=宓

D.若qg是两个单位向量，且,1-02卜1,贝41+02卜加

8.（多选）下列叙述中正确的是（）

A.若Z成弧,则£//1

B.若a=3,贝13a>2^

C.已知非零向量£与刃且£//5，则£与否的方向相同或相反

D.对任一非零向量。，尸j'是一个单位向量

9.（多选）下列说法错误的是（）

A.方〃丽就是刀所在的直线平行于函所在的直线

B.长度相等的向量叫相等向量

C.零向量的长度等于0

D.2§+G4+5C=6

易错点02:忽略平面向量夹角的范围与方向性

,易错陷阱与避错攻略

典例（23-24高三上•山东聊城•期末）已知向量Z=（3/+l,2）,各=（1J）,若£与否所成的角为钝角，则实数

，的取值范围：.

【答案】（-8,-1）。（-1,一）

【分析】£与B所成的角为钝角即且£与方不平行，列式求解即可.

【详解】々与刃所成的角为钝角即鼠3<0且Z与刃不平行，

1

3%+1+2t<0t<——

即（37+1）1*20'5

3t之十/—2w0

所以才£（一.一1）D卜1,一（

故答案为：（-e,-l）。［-1,-1

【易错剖析】

本题容易误认为7办<0是Z与3夹角为钝角的充要条件而出错，因为当鼠B<0时々与.夹角可能为万.

【避错攻略】

1.向量的模

（1）向量的大小叫向量的模.向量1=（%,耳）的模为。=.

⑵若/（西,弘）,8（%,力）,则向量商的模卜5卜ja—/J,

2.向量的夹角

（1）已知两个非零向量用以如图），。是平面上的任意一点，作a=a,OB=b,则N4O8=6»（0W6W兀）叫

做向量。与b的夹角.

（2）当夕=0时，〃与〃同向；当。=九时，a与〃反向.

1

（3）设£=«,“）［=（%,8）是两个非零向量，它们的夹角为。，贝Jcos，=i^=—Kx,x2+y,y2

|4忖西‘+疗M+y；

71

3.垂直：如果。与分的夹角是则称。与6垂直，记作"_L4

2

易错提醒：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角（2）向量的夹角是指向量方向的夹

角；（3）向量的夹角范围是［0,乃］,这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.

叁举一反三

1.（23-24高三下•湖南湘潭•阶段练习）已知向量方=（〃?+1,〃2）,^=（2,-1）,若£与B所成的角为锐角，则

实数加的取值范围为.

2.（24-25高三上•北京顺义•期中）设点A,B,。不共线，贝V方与就的夹角为锐角”是

方+就|>|万一就的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高三上•湖南常德•阶段练习）如图，在边长为2的正三角形4BC中，。为2C的中点,

4

C.—2D.—

3

,易错题通关

1.（23-24高三上•北京・开学考试）已知不共线的两个非零向量％b,贝『力+B与万所成角为钝角''是

“|&|<|/|”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（24-25高三上•河南安阳•期中）设非零向量的夹角为。，若同=胴=2,贝广。为钝角”是

“卜_司>岳的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高三上•山西大同•期中）已知向量£,否,"满足a+5+c=0,卜|=2,呵=内，且£与g的夹角为弓，则

cos（b,c]=（）

A271302万八2>/39「2V39

13131313

4.（24-25高三上•湖南•阶段练习）已知ZUBC为单位圆。的内接正三角形，贝U砺.前（）

33

A.—B.—C.1D.—1

22

5.（2024•云南贵州•二模）设向量1=（1,2）,分=（加,1）,且归+可小-可，则〃?=,1和B所成角为

6.（2024・四川绵阳•模拟预测）平面向量Z与B相互垂直，已知方=（6,-8）,⑸=5,且B与向量（1,0）的夹角

是钝角，则6=.

7.（24-25高三上•福建福州•期中）已知同=6,高为单位向量，且3在》上的投影向量为一3五G，贝与营

的夹角为.

8.（24-25高三上•福建福州•阶段练习）己知）=（1,2）,6=（x,-4）,若万与B的夹角是钝角，则实数x的取

值范围是.

易错点03：忽略向量共线时的两种情况

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上•安徽马鞍山•阶段练习）已知单位向量及与向量石=（1,2）共线，则向量G的坐标

是.

【答案】（@,撞

55

【解析】根据与向量共线的单位向量的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，单位向量值与向量石=（1,2）共线，

贝向量。=土自=±gl,即向量。的坐标是（个,半）或（一手

【易错剖析】共线向量的定义指出方向相同或相反的非零向量称为共线向量，并规定零向量与任意向量共

线，本题容易忽略方向相反的情况而造成漏解.

【避错攻略】

1.向量数乘的定义

规定实数4与向量。的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：Aa,它的长度与方向规定如

下：①|几。|=|无||。|；②当4>0时，Xa的方向与"的方向相同；当彳<0时，急z的方向与。的方向相

反.当4=0或a=0时，2a=0.

2.向量共线（平行）定理

向量a（awO）与力共线的充要条件是：存在唯一一个实数4,使〃=4a.

3.平面向量共线的坐标表示

（1）设a=（西，％）"=（%，％），其中bw0,a,b共线的充要条件是存在实数几，使a=/l从

（2）如果用坐标表示，向量a，b（bwO）共线的充要条件是西%-％%=0.

易错提醒：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题

的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反

的情况.

举一反三

1.（2025高三・全国•专题练习）已知向量aB不共线，^c=Aa+b,d=a+（2A-^b,若E与2反共线，贝U

实数力的值为（）

1-1―1

A.1B.—C.1或—D.—1或—

222

2.（24-25高二上•河南•阶段练习）已知直线I的方向向量为1=住,1）,直线4的方向向量为％=（2-左㈤,

若4〃4，贝隈=（）

A.-2B.1C.-2或1D.0或2

3.（24-25高一下・四川泸州•期中）（多选）与2=（3,-4）共线的单位向量有（）

友易错题通关

1.（24-25高三上•山东日照•阶段练习）已知向量3,3不共线，S.c=Aa+b，才=3+（24+1,，若］与2

同向共线，则实数彳的值为（）

A.1B.7

c1或-;D.一1或：

2.（2024・全国•模拟预测）已知向量Z=（3,-l）,单位向量］与向量石=（2,1）同向共线，则向量己在向量2方向

上的投影向量为（）

375⑹（3A/5垂）\A/23a}

,c.D.

l（rTo-jB-［记「司I/2'/2j

3.（23-24高一下•全国•随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（）

A.若向量B都是单位向量，则0=3

B.若向量£,刃都是单位向量，则而用向=1

C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量

D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共线

4.（24-25高一下•江苏连云港•阶段练习）已知向量砺=（2,2）,则与方共线且反向的单位向量为（）

（V2⑺

A.B.

[22J

C.D.（2,2）

5.（24-25高一上•云南・期末）（多选）设£,g是互相垂直的单位向量，AB=Aa+2b，AC=a+（A-1）b,

下列选项正确的是（）

A.若点。在线段45上，则4=2

2

B.若AB/AC,则2=§

C.当2=1时，与刀共线的单位向量是好Z+拽B

55

1_2-

D.当2=-1时，£在/C上的投影向量为9-⑥

6.（24-25高一上•上海•课前预习）设q、是两个不平行的向量，则向量加=-6+左（左eR）与向量

1=平行的充要条件是

7.（24-25高一下•河南•期末）已知向量2=（2,2）,与及共线且方向相反的单位向量B.

8.（23-24高一下•广东佛山•期中）已知同=&，恸=1,£与g的夹角为45。.

⑴求Z在刃方向上的投影向量；

⑵求归+2可的值；

⑶若向量（2【应与（茄-3可平行且方向相同，求实数X.

易错点04：错用平面向量的运算律

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上•山东青岛•期中）已知"石=石・"，下列关系一定正确的是（）

A.b=0B.Q=°C.（6/—c）_LZ?D.（Q—c）〃/）

【答案】C

【解析】由已知4坊=,所以B・c=O，即—c)=0,所以(Q—C)_L_B,故选C.

【易错剖析】本题容易混淆了向量数量积与实数的积的概念而出错，如由房坂二点〉两边同除以所

以。二c•

【避错攻略】

1.向量数量积的性质

设2,B都是非零向量，工是单位向量，。为Z与B(或工)的夹角.贝IJ

(1)a-e-e-a=|a|cos^；

(2)Q_1_B=Q.B=0；

(3)当a与B同向时，=当a与B反向时，a•坂=

(5)|叫第W

2.向量数量积的运算律

(1)a-b=b-a；

(2)(4Q"=/1(Q.坂)=a.(4)(2为实数)；

(3)(a+B)c=a.c+B.c；

(4)常用公式

a-\-by\a-b\=a-b\a+b\=a+2a-b+b{a-b\=a-2a*b+b

易错提醒：(1)在实数中：若QWO,且Qb=O,则6=0,但在向量的数量积中，若Iwi，且

7B=o,不能推出1=0.

(2)已知实数〃也。修。0),且ab=bc,则a=c,但在向量的数量积中没有Q/=B.

(3)在实数中有(a-b)-c=a•仅0,但是在向量的数量积中仅看"wZ•仅号，这是因为左边是

与工共线的向量，而右边是与£共线的向量.

举一反三

1.（24-25高三•河北石家庄期末）已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（）

A.若—Q.C=0,则B=c

B.若|a_c|=|7-c|,则2=I

C.若0>向，则（a+B）.（a-3）〉0

D.若21M=|司=2,鼠3=0,且|1+1-2）|=1,则|句的最大值与最小值之和为石

2.（2025全国高三第一次模拟）已知用B忑为非零平面向量，则下列说法正确的有（）

A.a-Lboa-b=0B.a//b<=>32GR^b=Aa

C.若万工=3工,则N=BD.（a-b）-C=a-（b-C）

3.（2025・全国•高三课时练习）已知平面向量。=0,3）,W=2,>|a-5|=V10,则侬+孙（,-町=（）

A.1B.14C.7l4D.y/10

易错题通关

I.（2025高三・全国・专题练习）设£,否为非零向量：X,〃eR,则下列命题为真命题的是（）

A.若“”q=0,则［=3

B.若否=花，则忖+忖=,+目

C.若比+痴=。，贝1|2=〃=0

D.若M>W，则（。+可-（a-®>。

2.（24-25高三上•安徽合肥•阶段练习）下列叙述中正确的个数是：（）

①若a，b，工为平面向量,则（晨昨=平封；

②向量&3卜-伍⑹在与£垂直；

③3=（-3,%），3=（4,3）,若£与否的夹角是钝角，则实数机的取值范围是加<4

b一

④.记回=e,则向量£在向量刃上的投影向量为伍福前

A.0B.1C.2D.3

3.（24-25高三上•山东济宁•阶段练习）若向量a行满足W=l,+（5+2^15,则同=（

A.V2B.V3C.2D.3

4.（24-25高三上•山西太原•期中）（多选）已知非零向量£,反乙则下列结论正确的是（）

A.若q（=c）=6,贝

B.若0+杨，（"-杨，则|£|=历|

C.向量可・5）c-（a・c）5与向量°垂直

D.若七=尤,则£

题型二：解三角形

易错点05:解三角形时错判解的个数

叁易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•山东济宁•阶段练习）在三角形A8C中，。=2,/=£,b=2拒,则/C=（）

6

兀7171r；,71

A.B.c鸿D.；或彳

632

【答案】c

【分析】由正弦定理求得B,即可求解.

,2_273

【详解】由号=1彳可得：T=而万,

sinAsinn一

2

所以sin8=4^,又b>a,

2

所以5=g或斗，

33

7T71

结合内角和定理，所以/c=+或V，

故选：C

【易错剖析】

已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，容易忽略对解的个数的讨论而出错.

【避错攻略】

在“8。中，已知a,6和/时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

C

ccc

X

图形-A

AB\：..-BA.......BAB

AB

bsinA<aa>b

关系式a=bsinAa>ba<b

解的个

一解两解一解一解无解

数

由上表可以得出：已知两边一对角:

大角求小角一解（锐）

"两解一sin/<1（一锐角、一钝角）

小角求大角一一解一sin/=1（直角）

无解一sin/>1

易错提醒：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间（0/）内不单调，此时三角

形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的

个数。

举一反三

1.（24-25高二上•河南洛阳・期末）在△4BC中,已知4=60°,a-2^3,b=2,则5=()

A.30°或150°B.60°C.30°D.60°或120°

2.（24-25高二上•山西晋城•阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若

a=5b=2后,C=|,则角3的大小为（）

兀兀71

A.—B.一D.-

62c鸿4

3.（24-25高三下•江苏扬州•开学考试）在△4BC中，内角A、B、C的对边分别为。、6、c,根据下列条

件解三角形，其中有两个解的是（)

A.a=8,b=10,A-45°B.a=60,6=81,8=60°

C.a=7,b=5,A=80°D."14,6=20,/=45°

易错题通关

1.在A4BC中，2=30。,6=2,c=2①，则角/的大小为（）

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

TT

2.（24-25高二上•重庆・开学考试）若满足=丁,/C=6,2C=上的△/BC恰有一个，则实数上的取值范

4

围是（）

A.（0,6]B.（0,6]U{6A/2}C.[6,60]D.（6,672）

3.（24-25高三上•江苏淮安•期中）在外接圆半径为4的△N8C中，ZABC=30°,若符合上述条件的三角形

有两个，则边的长可能为（）

A.2B.3C.4D.5

4.在中，AC=\,ZACB=3,延长A4到点。，使得/。=也，ZADC=^,则48的长为____.

46

5.已知的三个内角A,B,C的对边分别为Q,b,C,若。=2,-4=y,且sin（5-C）=sin23,

则AABC面积为.

易错点06：忽略边角互化条件

，易错陷阱与避错攻略

典例在zJ5c中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知74cos8=6（c-7cos/）.

（1）求6;

TT

（2）。为边N3上一点，AD=2DB=2BC,ZBDC=~,求AASC的面积.

【答案】⑴6=7

4

【分析】（1）通过正弦定理将74cos5=6（c-7cos/）中的边化为角，可求出6的值；

（2）由题可知AMC为等边三角形，|CD|=a,在中运用余弦定理可求出。的值，进而求得“3C

的面积.

【详解】（1）:7acos5=6（。-7cos4）,由正弦定理得：7siiL4cos5=sin5（c-7cos/）,

7siiL4cos3+7siaBcos4=csin3,即7sin（4+5）=bsinC=7sinC,

贝1=7.

（2）由题可知ABOC为等边三角形，则|CZ）|=a,AADC=y,

•.•|/。|=2。，在440。中，由余弦定理可得：

|/C「=\AD^+\DC[-2\AD\■\DC\■cosZADC,

2兀

2

即49=（2ci）+/-2•2ci•a,cos—^―,解得Q=V7,

”BC的面积为工xJ7X3A/7xsin'=.

234

【易错剖析】

本题在对题设条件的应用过程中容易错用正弦定理进行边角转化，将7加053=6（°-785/）化为

7sinAcosB=51116（5亩0-785?1）而出错.

【避错攻略】

1.正弦定理

在AIBC中，角/,B,C所对的边分别是a,b,c,R为A42C外接圆半径

工=工=上=2R

sinAsinBsinC

2.正弦定理的变形

①asin3=bsin/；6sinC=csin5；asinC=csin/；

②sin/:sin5:sinC=a:b:c

abca+b+ca+ba+cb+c

（3）-----=-----=------=--------------------=-------------=-------------=-------------

sin/sin5sinCsin24+sin5+sinCsin4+sin5sin/+sinCsin5+sinC

④。=27?sin/,b=2RsinB,c-2RsinC（可实现边到角的转化）

cihc

⑤sin/=——,sin5=——,sinC=——（可实现角到边的转化）

2R2R2R

3.正弦定理的应用

①边化角，角化边oa:b:c=sin/:sin5:sinC

②大边对大角大角对大边a>b=4>5=sin/>sin8=cosA<cosB

a+b+ca+b_b+c_a+cabc

③合分比:=2R

sin/+sin5+sinCsin4+sin8sin5+sinCsin4+sinCsin/sinBsinC

易错提醒：若等式中每一项的边或者三角的正弦（特指sin4sin8sinC）的个数相同，可以考虑直接改成对

应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用2人进行等量代换.

举一反三

1.（2025高三・全国・专题练习）已知△NBC的内角C所对的边分别为凡4c,若

c-a）siiL4=csinC-6siii8,6=3,则NC边上中线长度的最大值为（）

A3V2c4拒r373n4收

2323

2.（23-24高一下•江苏盐城•期中）在八42。中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,若

acosB+bcosA=a,则AJ8C一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等边三角形

3.（23-24高一下•广西南宁•期末）已知△ABC的内角/,B,。所对的边分别是a,b,c,点。是48的中

16

点.若a+-=ccos3且/C=l,CD=——，则48=.

22

易错题通关.

1.（2024・四川成都•模拟预测）已知△N8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且产=.5m「，

b+csin24+sinC

则/=（）.

7i7i27r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

2.（2024•陕西•模拟预测）在△48C中，角Z,BC所对的边分别为a,6,c,c（sin4-sinC）=（a-6）（sin4+sin3）,

若△NSC的面积为周长为%,则/C边上的高为（）

4

A."B.走C.GD.2A/3

32

3.（2024・全国•二模）在ZkABC中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,2acosN=bcosC+ccosB,且

a=4sin/,则△/8C周长的最大值为（）

A.4V2B.672C.473D.6A/3

4.（24-25高三上•广东东莞•阶段练习）在A/BC中，若sin?/+sin?8+sin/sin8=sin?C,且NB边上的中

线长为2,则△NBC面积的最大值为.

5.（2024•山东•模拟预测）△4BC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若人=2asin8,be=4,则△/BC

的面积为.

6.（2024•陕西西安•模拟预测）在△4BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且.="，

ncos8=（3c-6）cos/,贝！l/UBC面积的最大值为.

7.（2025高三・全国•专题练习）在△4BC中，内角所对的边分别为风瓦c,

2b=a（2cosC-cosB）-6cos4.

⑴求A；

(2)若△ABC的面积为46，。为NC的中点，当2。取得最小值时，求8c的长.

易错点07:忽略三角形中的隐含条件

易错陷阱与避错攻略

典例(2025高三•全国•期末)设锐角。5c的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若C=24,则女生

a

的取值范围是.

【答案】(272+1,273+2)

【分析】根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角A的函数关系，再求A

的取值范围，根据函数值域即可求得结果.

【详解】因为C=2N,!^sinC=sin2/=2sin/cos/,cosC=cos2T1=2cos2/I-1,

又sinB=sin(Z+C)=sinAcosC+cosAsinC,

故由正弦定理可得：

2c+bsin5+2sinCsinAcosC+cos24sinC+4sinAcosA.._cosAsinC

-------=------------------=-----------------------；-------------------------=4cosA+cosCH-------；--------

asinAsinAsinA

=4cos/+2cos之J-l+2cos2A

=4cos2Z+4cos4-l，

又zU5C为锐角三角形，故可得AG(09,C=2AG(0,立*=兀-3/£(09,

解得力£(/，；)，则，

由于》=4COS2Z+4COSN-1=4(COSZ+；1-2,在cos/G(乎,5)上单调递增，

当cosZ=¥，＞=1+2后,当354=等,》=2+2百，

4cos2+4cos-1e(2V2+1,273+2),

即行+1,2用2).

a

故答案为：(20+1,26+2).

【易错剖析】

本题在求解过程中容易忽略条件中三角形是锐角三角形这一限制条件，以致求错/的取值范围而出错.

【避错攻略】

[△Z5C内角和定理：A+B+C=71

①sinC=sin(Z+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=QcosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,6=ccos4+QCOSC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，-tanC=tan(Z+B)='+tanB=tan4+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

1-tan-tanB