人教版八年级数学上学期《三角形》基础专项训练（解析版）

专题01三角形基础专项训练

与三角形有关的线段

题型归纳与三角形有关的角

多边形及其内角和

II

经典基础题

■I

三角形的三边关系

1.（2023春・江苏常州•七年级统考期中）三角形的三边长分别为3、6和°,其中。为奇数，那么这

个三角形的周长是（）

A.14B.15C.16D.14或16

【答案】D

【分析】先根据三角形三边之间的关系求出。的值，再求出周长即可.

【详解】解：1•三角形的三边长分别为3、6和a,

6-3<a<6+3,即3<a<9,

。为奇数，

••4?—57,

：.这个三角形周长为3+5+6=14或3+6+7=16,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形任意两边之和大于第三

边，两边之差小于第三边.

2.（2023春•江苏盐城•七年级统考期中）已知。,c为的三边长，6,c满足也-2|+（c-3尸=0,

且。为方程5|=1的解，则“LBC的周长为

【答案】9

【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出6=2、c=3的值，再解绝对值方程可得。=6或

。=4,进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长.

【详解】解：眄一2|+（。-3）2=0,

•.b—2=0且c—3=0,

「•Z?=2、c=39

,.•°为方程|。_5|=1的解，

a=6或。=4,

又2+3<6,

a=4,

则AABC的周长为2+3+4=9,

故答案为：9.

【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出。的值是解题关

键.

3.（2023春・上海奉贤•七年级校考期中）己知一个三角形的两边长分别为3和7,且第三边长为整数,

那么第三边长的最小值为.

【答案】5

【分析】根据三角形的三边关系"第三边大于两边之差，而小于两边之和"，求得第三边的取值范围;

再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值.

【详解】解：设第三边为

根据三角形的三边关系，得：7-3<a<3+7,

即4<a<10,

••,a为整数，

二。的最小值为5.

故答案为：5.

【点睛】此题考查了三角形的三边关系.注意第三边是整数的已知条件是解题的关键.

4.（2022秋•湖南永州•八年级校考期中）若a,b,c是三角形的三边长，

-b—c|+1（7+c—Z?|_|c_a_"=.

【答案】3c-a-b

［分析］根据绝对值的性质和三角形的三边关系即可求得答案.

【详解】---a<b-\-c,

a—(Z?+c)=a—b—cvO.

/.\ci—b-_(Q—b_c)=—a+b+c.

同理可得

\a+c—t^=a+c—b,\c—a—t^=—c+a+b.

-b—c|+|a+c_Z?|—|c—a-Z?|

=—a+Z?+c+a+c—b—(—c+(2+Z?)

=—a+Z?+c+a+c—b—(—c+a+b)

=3c—a—b.

故答案为：3c-a-b.

【点睛】本题主要考查三角形的三边关系和绝对值的性质，牢记三角形的三边关系（三角形两边的

和大于第三边）是解题的关键.

由三角形的中线求面积

5.（2023春•江苏盐城•七年级统考期中）如图，在AASC中，。是AC的中点，E是A8上的一点,

且=8。与CE相交于点若ACDF的面积为3,则AAFC的面积为.

【答案】10

【分析】连接AF,根据中点可得=SmF=3,根据AE—3BE可得5«A所=,设S^BEF=x,

可得SBCF=4无，进而可得邑ACF：S“AEF=4：1,求出X的值，进而可求解.

【详解】解：连接"，如图所示:

c

。是AC的中点，S.CDF=3,

..-°ACDF_J，

又・・・AE=33E,

..Q.AEF_3ABEF，

=X

设^^BEF>则SMEF—3%,

・・q=q

•i,ABD.2ABCD，

SABCF+3=3+%+3x,

-SABCF=4x，

.\CF:EF=4:1,

•q•q—4-i

-LAC尸,°AAEF—FT，

•*-SjEF=5=3%，

解得：X=:，

\4"0=2"比。=2?(34?I)10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到S“ACF：SJEF=4：1是解

题的关键.

6.(2022春•天津南开•七年级校联考期中)如图，正方形A8CD的边长为4,E、尸分别是BC、CD

边上的中点，求图中阴影部分的面积.

【分析】连接CG,根据三角形中线的性质可得凡GBE=1GCE，S“GCF=S@>F，通过证明

S&DFG=S界仃=4一S四边形ECFG，得出^GBE=^GCE=^GCF=^GDF'即可求解.

【详解】解：如图，令BEOE相交于点G,连接CG,

,正方形ABC。的边长为4,E、尸分别是BC、CO边上的中点,

GE,G尸分别是A3CG,AC£)G中线，BE=CE=CF=DF=2,

■q—Qq—Q

…DAGBE_3GCE，°HGCF~QAGDF，

,'e^ABCF=\DCE=—X2X4=4,

S^DFG~S&BEG=4—S四边形ECFG，

-q—v—Q—Q

..©AGBE一°AGCE一°AGCF-°©DF，

S^GBE=S&8E=SQCF=S4DF=§X4=§,

432

•.阴影部分的面积=S正方形—(S^GBE+S4GCE+S0CF+AGDF)=4x4—1X4=,

32

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形面积分为相

等是两部分.

7.(2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中)如图，在中，点E为AB

的中点，点。为2C延长线上一点，连接DE,DE与AC边交于点尸,^|=|,若AOBE的面积

【分析】连接ADBF,由线段比转化得到面积比，设S,BFC=2H2.=3无，结合中线的性质得到

关于面积的方程求解即可.

【详解】解：连接A。，BF,

BC2

,DC"3

qq

.◎QFC_LZMC

一q-q

Q4BFCAABAC

设S^BFC~2%,SQFC=3x,

•・,点E是AB中点,

•S—Q_s

..O&DAE_QADBE，^^FAE_Q后BE，

—SADBF~3%+2x—5x,

..°ADAF

S^DAC=5%+3x=8%,

,Q_Q216

-S.BAC=8x.§=可%,

c16c10

..、4BAF=%-2%—―^~%

,qJq=5.

,.MBEF_5JABAF-gX，

：£DEB=2x+3x+-x=—x=4f

3

:.x=—,

5

39

/.S=3x=3x—=—,

MnrCr55

9

故答案为：—■

【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，利用线段比转化为面积比并结合中线的性质列方程是解

决本题的关键.

8.（2023春•江苏无锡・七年级统考期中）如图，在AABC中，AB=8,AC=10,CD=3BD,点E是

AC的中点，BE、AD交于点歹，则四边形DC所的面积的最大值是（）

A.24B.22C.20D.18

【答案】D

【分析】连接CP,设m=。，由三角形面积公式可得SACFD=3。，S,A0c=3S.ABD，由点E是AC

的中点,得=S&CBE,SnAF£=S、CEF,进而得IABF=S-CBF=4。,山血=5。,S4ABe=匕。,

S«AFC=12a,S«ABC=20",SZEFC=6。，得出S四边形OCEE=9。，通过讨论AABC的面积最大值得四边

形。CE厂的面积最大值.

【详解】解：连接

设S4BFD=a，

•・•CD=3BD,

•q_Q/7Q_3Q

…jCFD—皿，QKADC~JQAABD，

•・,点E是AC的中点,

-v—vq—Q

…"AABE-"&CBE，u^AFE-Q&CEF，

•v-v-V+V-4/7

…0AABF一°ACBF~Q&BFD丁Q&CFD~，

…S^ABD~S^ABF+SRFD=4〃+Q=5〃，

=

•二SAADC=15〃，SJBCS&ABD+S&ADC=5a+15a=20〃

S

-，-^AFC=S^ABC~S^ABF~S^CBF=20〃一4〃-4。=12a,

•，•S^EFC=2“AFC~6〃，

S四边形DCEF=S^EFC+S&FD=6〃+3Q=9〃,

_9

••S四边形OCEF=^^^ABC»

•••在△ABC中，AB=8,AC=10,

•,SAABC的最大值=5乂8乂10=40，

二•四边形DCEF的面积的最大值是18,

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同

高的两个三角形面积之比等于底边之比.

由三角形中线求长度

9.（2022秋•浙江杭州•八年级统考期中）已知等腰三角形的底边长为10cm,一腰上的中线把其周长

分成的两部分的差为6cm,则腰长为.

【答案】16cMi案6厘米

【分析】设腰长为xcm,分腰长和腰长的一半长的和和腰长的一半和底边长的和进行讨论求解即可.

【详解】解：设腰长为xcm,依题意得，

当腰长和腰长的一半长的和比腰长的一半和底边长的和大时，

XH---X—|—X+10|—6,

2〔2）

解得x=16cm,

当腰长的一半和底边长的和比腰长和腰长的一半长的和大时，

—x+10-x=6,

2獭2

解得x=4cm,

因为4+4<10,所以x=4cm不符合题意舍弃.

故答案为：16cm.

【点睛】本题考查了三角形的中线，等腰三角形的性质，掌握相关知识并分情况讨论是解题的关键.

10.（2022春•陕西西安•七年级西安市曲江第一中学校考期中）在AABC中，边上的中线4。将

△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm,A8与AC的和为11cm,则AC的长为.

【答案】3cm或8cm

【分析】根据三角形的中线的定义可得3D=C»,然后求出△海与△ADC的周长差是A8与AC

的差或AC与A3的差，然后代入数据计算即可得解.

【详解】如图1,图2,

•••是2C边上的中线，

.•.BD=CD,

•••中线4）将AABC分成的两个新三角形的周长差为5cm,

（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）^5^（AC+CD+AD）-（AB+BD+AD）^5,

AB-AC=5^AC-AB=5,

A3与AC的和为11cm,

AB+AC^ll,

AB=8,JAB=3

AC=3或i&C=8

故答案为：3cm或8cm.

【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题

的关键.

11.（2022秋•安徽合肥•八年级统考期中）如图，在AASC中（ABABC）,AC=2BC,2c边上的中

线AD把"LBC的周长分成70和50两部分，求AC和A3的长.

c

A

【答案】A356,AB=36

【分析】先根据AC=23C和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①AC+a>=70,

@AC+CD=50,注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关

系.

【详解】解：设BD=CD=x,则AC=23C=4x,

VBC边上的中线把AABC的周长分成70和50两部分，AB>BC,

①当AC+CD=70,AB+3D=50时

4x+x=70,

解得：x=14,

AC=4x=4xl4=56,

BD=CD=14,

45=50—50=50—14=36,

/.AB=36>BC=28,满足条件

vBC+AB=36+28=64>AC=56,满足三边关系，

AC=56,AB=36；

②当AC+CD=50,45+50=70时，

4x+x=50,

解得：x=10,

AC=4x=4xl0=40,

..BD=CD=1Q,BC=20,

AB=70-BD=70-10=60f

VAC+BC=40+20=60=AB,

「•此时构不成三角形，「•舍去，

/.AC=56,AB=36.

【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程.

12.(2022秋•海南省直辖县级单位•八年级统考期中)如图所示，在中，AB=AC,AC边上

的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求这个三角形的边的长.

【答案】14cm或22cm

【分析】方法1：设AB=AC=2gm,BC=ycm,进而得出AD=C£>AC=xcm,再分两种情

2

况，建立方程组求解，最后判定能否构成三角形.

方法2：设AD=CD=〃cm,进而表示出AB=AC=2〃cm,30=(54-4〃)cm,再分两种情况，建

立方程求解，即可得出结论.

【详解】解法1：设AB=AC=2xcm,BC=ycm,

•.・点。是AC的中点,

AD=CD=—AC=xcm,

2

：AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分,

2x+x=24

•­•①

x+y=30

x=8

解得

y=22'

•.BC=22cm,

2x+x=30

②

x+y=24

x=10

解得

)7=14?

BC=14cm,

解法2、8。是AABC的中线,

..AC=CD=2AD,

设AD=CD=acm,

AB=AC=2tzcm,

•••AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，

/.3c=24+30-4〃=（54-4a）cm,

①当AB+AD=24cm时，

2a+a=24,

a=8,

・•.BC=54-4a=54-32=22cm,

②当AB+AD=30cm时，

2Q+〃=30,

a=10,

・•.BC=54-4a=54-40=l4cm,

综上，BC为14cm或22cm.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，分类讨论的思想，解本题的关键是建

立方程组求解.

II

题型04三角形的高线

■——।

13.（2022秋・北京朝阳•八年级校考期中）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,点。沿2C自点8向

点C运动（点D与点,B,C不重合），作班;J_A£＞于点E,CR_LAD的延长线于点尸，在点。的运

动过程中，旗+CF的值逐渐（填"增大"，"减小"或"不变"）.

【答案】减小

【分析】根据点。沿BC自点B向点C运动时，RtAABC的面积不变，但是AD会增大，由面积公

式可得BE+CF的值逐渐减小

【详解】解：由^AABC=^^ABD+^ACD得:

S,=-AD.BE+-ADZ7F

ZA-AABDCr22

=1AD（BE+CF）

••・Rt^ABC的面积不变，但是点。沿3C自点8向点C运动时，AD会增大，

.3E+CF的值逐渐减小，

故答案为：减小

【点睛】本题考查了三角形的动点问题，利用三角形的面积转换是解决问题的关键

14.（2023春•辽宁大连•七年级统考期中）如果一个多边形的内角和为1260。，那么这个多边形是

边形.

【答案】九

【分析】设它的边数为"，根据多边形的内角和公式列方程求解即可.

【详解】解：设它的边数为〃，根据题意，得（"-2）x180。=1260。，

解得〃=9,

所以这是一个九边形.

故答案为：九.

【点睛】本题考查多边形内角和与外角，掌握多边形的内角和公式是解决问题的关键.

15.（2023春糊北武汉•七年级统考期中）已知平面直角坐标系中，A（3,4）,B（-2,l）,C（l,0）,延

长AB与x轴交于一点尸，若SJBC=gs8ABc,则P点的坐标为.

【分析】过点A作轴于点。，过点8作BELx轴于点E,根据A（3,4）,,C（l,0）,

i717

求出得出S.sc=]x7=],设点尸的坐标为（帆,0）,得出5。—加）=],求出机的值，即

可得出答案.

【详解】解：过点A作AZ>_Lx轴于点。，过点3作应;_Lx轴于点E,如图所示：

VA(3,4),5(—2,1),C(l,0),

BE=1,£C=1-(-2)=3,CZ)=3—1=2,Z)£=3-(-2)=5,AD=4,

•'­S^ABC~S梯形ABED-S&BCE~^ACD

=-x(l+4)x5--xlx3--x2x4

2v722

=7,

e1r7

•e-SQBC=「,

设点尸的坐标为(m,o),

Vc(i,o),

CP=1—m,

l(l-m)=p

解得：m=-y,

二点P的坐标为I?，。］.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中三角形的面积计算，解题的关键是作出辅助线，利用割

补法求出AABC的面积.

三角形的角平分线

16.（2022秋•浙江绍兴•八年级校联考期中）如图，AE是AABC的角平分线,AOL3C于点。若NBAC

=128。，NC=36。，则ND4E的度数是（

EDC

A.10°B.12°C.15°D.18°

【答案】A

【分析】根据角平分线定义求出NEAC=64。,根据垂线定义求出NCAD=54。,相减即可求解.

【详解】解：：AE平分NBAC,ZBAC=128\

ZEAC=64°,

AD±BC,ZC=36°,

ZCAD=54°,

ZDAE=ZEAC-ZDAC=64°-54°=10°,

故选A.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，属于简单题，表示出NEAD=NEAC-ZDAC是解题关

键.

17.（2018秋•浙江杭州•八年级统考期中）如图，M是NABD的平分线，CE是/ACD的平分线，

叱与CE交于点G.若/BDC=140。，ZBGC=110°,则NA的度数为（）

A.70°B.80°C.50°D.55°

【答案】B

【详解】解：如图，连接2C.

ZBDC=140°,Z.DBC+ZDCB=180°-140°=40°.

ZBGC=110°,ZGBC+ZGCB=180°-110°=70°.

8尸是4BD的平分线，CE是/AC。的平分线，

ZGBD+ZGCD=-ZABD+-ZACD=30°,.-.ZABC+ZACB=30°x2+40°=100°,

22

=4=180。—100。=80。.故选B.

18.（2021.秋•安徽安庆•八年级校考期中）如图，ZMAN=100°,点B,C是射线AM,AN上的动点,

NACB的平分线和NMBC的平分线所在直线相交于点D,则NBDC的大小为（）

A.40°B.50°C.80°D.随点B,C的移动而变化

【答案】B

【详解】试题解析：CD平分NACB,BE平分NMBC,

ZACB=2NDCB,ZMBC=2NCBE,

•••ZMBC=2NCBE=ZA+ZACB,ZCBE=ZD+ZDCB,

2ZCBE=ZD+ZDCB,

，ZMBC=2ND+ZACB,

2ZD+ZACB=NA+ZACB,

ZA=2ND,

•/ZA=100°,

ZD=50°.

故选B.

19.（2023春•江西萍乡•八年级统考期中）如图，在咫AABC中，ZC=90°,AZ）平分NCAB,CD=

3,AB=12,则△42。的面积为.

c

D

AB

【答案】18

【分析】过点。作于点E,先根据角平分线的性质可得OE=CD=3,再利用三角形的面

积公式即可得.

【详解】解：如图，过点。作。于点E,

•・•ZC=90°,

/.CD1AC,

又・.・AD平分/C43,8=3,

DE=CD=3,

-：AB=n,

.•△ABD的面积是gA2-DE=gxl2x3=18,

故答案为：18.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键.

三角形的角

20.（2023春・山东烟台•七年级统考期中）例题再现：

（1）如图1,五角星的顶角分别是NA,/B,NC,/D,NE,则NA+NB+NC+/O+/E=

（直接写出答案）；

知识链接

n边形的内角和等于（〃-2”80。.

变式拓展:

(2)如图2,将该五角星剪掉一个顶角NA.

①求NB+NC+ND+NE+NP+NQ的度数；

②若ZB+NC+ND+NE=8ZA,求/尸+N。的度数.

【答案】(1)180°(2)①360。②200。

【分析】(1)利用三角形的外角的性质和三角形的内角和进行求解即可；

(2)①三角形的外角的性质得到NQG尸=N3+N。，/PFG=NC+NE,进而得到

/QG/+/P尸G+NP+/Q=(4—2*180。=360。，即可得解；②根据NA+N3+NC+"+NE=180。

以及/3+NC+/O+NE=8NA,求出/A,进而求出N3+NC+/O+/E,再利用①中结论进行

求解即可。

【详解】解：⑴如图,

•1-Z1=ZC+ZE,Z2=ZB+ZD,

又•.・Z4+Zl+Z2=180°,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°；

故答案为：180。；

(2)①如图，NQG尸是△GBD的一个外角,

ZQGF=ZB+ZD.

在四边形尸尸GQ中，ZQGF+ZPFG+ZP+Z0=（4-2）x180°=360°,

ZB+ZC+Z£）+ZE+ZP+Z2=360°.

②由（1）知，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=18O°.

又ZB+NC+〃+ZE=8ZA,

ZA+8ZA=180°

ZA=20°.

ZB+ZC+ZD+ZE=160°.

由①知，ZB+ZC+ZD+ZE+ZP+ZQ=360°.

：,ZP+ZQ=360°-160°=200°.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，多边形的内角和.熟练掌握相关知识点，正确

的计算，是解题的关键.

21.（2023春•浙江温州•七年级校联考期中）已知：如图1,在三角形45c中，ZBAC=40°,ZC=65°,

图1图2

⑴当NE=65。时，请说明

（2）如图2,当DE在AC上方时，且/E=2/B4E-29。时，求NBAS与/E4c的度数.

⑶在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的/E的度数.

【答案】⑴见解析

⑵/BAE=23°,NE4c=17°

⑶25。或50。或90。

【分析】（1）由平移的性质可得AC〃。石，可得/。止=/£=65。=/。，可得结论；

（2）由平行线的性质可得ZBAC=ZBDE=40°,NE=NE4C,由外角的性质可得/E+/BAE=40°,

即可求解；

（3）分三种情况讨论，由平行线的性质以及三角形的内角和定理即可求解.

【详解】（1）证明：•・,将线段AC沿直线A3平移得到线段。石，

:.AC//DE,

:.ZCAE=ZE=65°,

.\ZC=ZCAEf

:.AE//BC；

（2）解：•・・将线段AC沿直线AB平移得到线段。石，

/.DE//AC,

.\ZBAC=ZBDE=40°fZE=NEAC,

.•.NE+NBAE=40。,

Q/E=2/BAE—29。,

.\ZBAE=23°,/E=17。,

.\ZEAC=1T；

图2

\'ZBAC=40°,ZC=65°,

:.ZABC=J5°f

vAElBC,

/.ZBAE=15°,

QZBDE=40°,

二.ZE=25。；

如图3,当AFLAC时,

图3

•/AC//DE,

ZE=ZCAE=90°,

如图4,当时,

AC//DE,ZBAC=40°

：.ZE=90°-ZADE=50°

综上所述：NE=25。或50°或90。.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形的外角性质等知识，

灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

22.（2023春・江苏苏州•七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或

者能够反映图形基本规律的几何图形.这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和

基本规律为基础，图形简单又具有代表性.在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好

地帮助我们解决问题.

我们将图1①所示的图形称为"8字形在这个"8字形"中，存在结论/A+/3=NC+/D.

我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形".在这个“飞镖形”中，存在结论NAOC=NA+NC+NP.

D

A

①

图1

⑴直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：

如图2,AP,CP分别平分/54£＞、ZBCD,说明：ZP=1（ZB+ZD）.

⑵将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：

①如图3,直线AP平分154。的外角ZRW,CP平分/BCD的外角ZBCE,若/3=30。,

ZD=20°,求/尸的度数.

②在图4中，AP平分44。的外角/E4£）,CP平分/BCD的外角/BCE,猜想一尸与/3、/D

的关系（直接写出结果，无需说明理由）.

③在图5中，AP平分4AD,CP平分/BCD的外角/BCE,猜想一尸与/O的关系（直

接写出结果，无需说明理由）.

图3

（2）①25°；（2）ZP=180°-^（ZB+ZD）；（3）ZP=9O°+1（ZB+Z£＞）

【分析】(1)根据角平分线的定义可得4=N2,Z3=Z4,再根据题干的结论列出

ZP+Z3=Z2+ZABC,ZP+Z1=Z4+ZAT>C,相加得到

2ZP+Z2+Z3=Z1+Z4+ZABC+ZADC,继而得到2NP=NABC+NAZ)C,即可证明结论；

(2)①如图所示，分作NBAD,NBCD的角平分线交于H,根据(1)的结论得到

Z//=1(ZB+ZD)=25°,再由角平分线的定义和平角的定义证明/PCH=90。，ZPAH=90°,再

根据题干的结论可推出NP=/H=25°；

②如图所示，分作44DN3CD的角平分线交于X,由(1)的结论可知+/£>),,同

理可得/PCH=90。，NR4H=90°,则由四边形内角和定理可得/尸=180。-：(/2+/0)；

③由题干的结论可得N尸=/3+/5针+/小才，由角平分线的定义得到

ZBAP=-ZBAO,ZBCP=-ZBCE,再求出/BCP=90。-工/3。，由题干的结论可知

222

NB+NBAO=NO+NBCD,由此可得ZP=ZB+ZBAP+ZBCP=90°+|(NB+ZD).

【详解】(1)解：:AP、CP分别平分440、ZBCD,

,Zl=Z2,Z3=Z4,

Z2+Z3=Z1+Z4,

由题干的结论得：ZP+Z3=Z2+ZABC,ZP+Z1=Z4+ZADC,

2ZP+Z1+Z3=Z2+Z4+ZABC+ZADC,

2ZP=ZABC+ZADC,

ZP=1(ZABC+ZADC),即/尸=：(/8+/£>)；

(2)解：①如图所示，分作NBA。，N3CD的角平分线交于X,

由(1)的结论可知/+/£>)=25。，

•••PC,HC分别平分NBCE,Z.BCD,

ZBCP=-ZBCE,ZBCH=-ZBCD,

22

■，-/BCD+/BCE=180。

ZBCP+ZBCH^-ZBCD+-ZBCE=90°,

22

/PCH=90。,

同理可得NR4H=90。，

由题干的结论可得NP+/PAH=NH+ZPCH,

/.ZP=ZH=25°；

图3

②如图所示，分作NBA。，N5co的角平分线交于”,

由（1）的结论可知N〃=g（N3+N。），,

同理可得/PCH=90。，ZPAH=90°,

ZP=360°-ZPAH-ZPCH-ZH=180°-1(ZB+ZD)；

③由题干的结论可得NP=N5+N&W+N5cP,

”平分NB4D,C尸平分N5CD的外角/BCE,

/.ZBAP=-ZBAO,ZBCP=-ZBCE

22f

NBCE=180。一NBCD,

ZBCP=90°--ZBCD,

2

由题干的结论可知NB+ZBAO=NO+NBCD,

/./BAO=ND+NBCD—NB,

NP=NB+NBAP+NBCP

=ZB+-ZBAO+90°--/BCD

22

=ZB+-ZD+-ZBCD--ZB+900--ZBCD

2222

=90o+1（ZB+ZD）.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用

好"8〃字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观.

|题型07|

23.（2022秋・河北廊坊•八年级廊坊市第四中学校考期中）一个多边形每一个内角是外角的2倍，则

这个多边形是（）边形.

A.六B.五C.四D.七

【答案】A

【分析】设这个正多边的外角为尤。，则内角为2尤。，根据内角和外角互补可得x+2x=180,可得x

的值，再利用外角和360。-外角度数即可解答.

【详解】解：设这个正多边的外角为x。，由题意得：

x+2x=180,解得：x=60,

360。+60°=6.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和外角，根据题意列方程计算出外角的度数是解答本题的关

键.

24.（2022秋•湖北孝感•八年级统考期中）一个多边形的每一个内角为150。，则这个多边形的边数是

（）

A.8B.10C.12D.15

【答案】C

【分析】根据多边形的内角和，列方程即可求解.

【详解】设多边形的边数为〃，

由题意得：180汽w-2）=150。、“，

解得：n=12,

故选：C.

【点睛】此题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握多边形内角和及其应用.

25.（2023春・福建泉州•七年级泉州五中校考期中）若一个〃边形的内角和的I比外角和多90。，求〃

的值.

【答案】12

【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和列式计算即可.

【详解】解：〃边形的内角和为（，一2）.180。，外角和为360。，根据题意得:

（n-2）^80ox1=360°+90°

解得：n=12

即〃的值为12.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，牢记多边形的内角和公式与外角和等于360。是解题

的关键.

优选提升题

26.（2022秋•安徽马鞍山•八年级校考期中）如图，在41SC中，。是边A8上的点，E是边AC上

的点，且黑=工，器」,若△3CF的面积为1,则AABC的面积为

BDmAEn

【分析】连接AF，把AABC分成几个小三角形，再根据线段比，用加，”表示小三角形面积，由面

积和即可求解.

【详解】如图，连接AF,令YBDF、4CEF、△AEF的面积分别为耳、邑、S3、.

S1sAsES11s31

m

S^BDCSABCES2m54n

S]+S3+S41S]+邑+

-S2+1m'S3+1

整理得：52+1=m(^Sl+S3+S4),"(83+1)=S]+S2+邑,

S2~z/zS],S4—11s3,

解得：S|=扁，邑=段，邑=/，邑=京旬,

•q=E+S2+S3+S4+1,

ffl++1

+^—+l=„+l+l=»"

m+1m+1+m\n+\)mm

nrn+m+X

故答案为:

m

【点睛】此题考查了三角形的面积，解题的关键是根据线段比，求出小三角形面积，充分运用数形

结合的思想方法，从图形中寻找各三角形面积之间的关系.

27.（2023春•江苏盐城•七年级校联考期中）（1）如图1的图形我们把它称为"8字形"，则/A,ZB,

NC,一。四个角的数量关系是；

（2）如图2,若/BCD,—ADE的角平分线CP,DP交于点P,则一尸与NA,的数量关系

为NP=;

（3）如图3,CM,DN分别平分/BCD,NADE,当NA+N3=80°时，试求NM+4V的度数（提

醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；

（4）如图4,如果/知。£>=,48。£>,ZNDE=-ZADE,当/A+/3=〃。时，试求/M+NN的度

33

数.

图1图2

图3图4

【答案】(])ZA+ZB^ZC+ZD-,(2)90°-1(ZA+ZB)；(3)230°；(4)240°-1n°

【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明；

(2)如图2,^ZPCD=x,=根据外角的性质得：^P=y-x,NCOD=2y-2x,所

以NCOD=2NP,最后由三角形内角和定理可得结论；

(3)如图3,延长CM、交于点尸，根据(2)的结论，并将NA+N3=80°,代入可得结论；

(4)如图4,同理计算可得结论.

【详解】解：(1)在AAC©中，

ZA+ZB+ZAOB=180°,

在中，

ZC+ZD+ZCOD=180°,

ZAOB=ZCODf

・•.ZA+ZB=ZC+ZD；

故答案为：ZA+ZB=ZC+ZD；

(2)设NPCD=%，ZADP=y,

CP,OP分别平分NBCD,NADE,

ZBCD=2xfNADE=2y,

•「ZP=ZPDE-ZPCD=y-x,

:NCOD=NODE—/BCD=2y—2x,

NCOD=2NP,

ZA+ZB+ZCOD=180°,

/.2/P+/A+/3=180。，

ZP=90°-1(ZA+ZB),

故答案为：ZP=90°-1(ZA+ZB)；

(3)如图3,延长CM,ON交于点尸,

图3

由(2)可知：ZP=90°-1(ZA+ZB),

VZA+ZB=80°,

NP=50°,

XPMN+ZPNM=130°,

XCMN+^DNM=360°-130°=230°；

(4)如图4,延长CM、DN交于点、P,

设NPC£»=x,ZNDE=y,则/3CD=3x,ZAOE=3y

图4

ZP=ZPDE-ZPCD=y-x,NCOD=ZADE-NBCD=3y—3x,

：./