立体几何 压轴题（十大题型）-高考数学压轴题专项训练

立体几何压轴题十大题型汇总

压轴俄解读

本专题考查类型主要涉及点立体几何的内容，主要涉及了立体几何中的动点问题，外接球

命题预测内切球问题，以及不规则图形的夹角问题，新定义问题等。

预计2024年后命题会继续在以上几个方面进行。

题型01几何图形内切球、外接球问题题型06几何中的旋转问题

题型02立体几何中的计数原理排列组合问题题型07立体几何中的折叠问题

高频考法题型03立体几何动点最值问题题型08不规则图形表面积、体积问题

题型04不规则图形中的面面夹角问题题型09立体几何新定义问题

题型05不规则图形中的线面夹角问题题型10立体几何新考点

高分必抢

♦题型01几何图形内切球、外接球问题

解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维

流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

L（多选）（23-24高三下•浙江•开学考试）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点4B,C,。在

同一个平面内，如果四边形力BCD是边长为2的正方形，则（）

A.异面直线4E与。尸所成角大小为与

B.二面角A-EB-C的平面角的余弦值为2

C.此八面体一定存在外接球

D.此八面体的内切球表面积为十

2.（2024浙江宁波二模）在正四棱台ABC。-a/iGA中，AB=4,2祖=W，若球。与上底面

力1B1G%以及棱AB,BC,CD,均相切，则球。的表面积为（）

A.9TTB.16nC.25TID.36Tl

3.（2024•河北石家庄•二模）已知正方体的棱长为2a,连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正

方体的中心。为球心作一个半径为孚的球，则该球。的球面与八面体各面的交线的总长为（）

A.2V6TtB.—itC.—itD.4V6it

33

4.（多选）（2022・山东聊城•二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形

状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离

称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的兀倍,已知某

圆柱的底面半径为2,用与母线成45。角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个

斜圆柱，下列选项正确的是（）

A.底面椭圆的离心率为日

B.侧面积为24位兀

C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36兀

D.底面积为4鱼兀

5.（21-22高三上•湖北襄阳•期中）在正方体4BCD-44品。1中，球同时与以A为公共顶点的三个面

相切，球。2同时与以G为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点凡若以F为焦点，4%为准线的抛物线经

过。1,。2,设球。1,G的半径分别为G,r2,贝噜=.

♦题型02立体几何中的计数原理排列组合问题

6.（2024•浙江台州二模）房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长

方体的规格为24cmx11cmx5cm,现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可

以得到12cmx11cmx5cm,24cmxycmx5cm,24cmx11cmx|cm三种不同规格的长方体按照上

述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得

到体积为165cm3的不同规格长方体的个数为（）

A.8B.10C.12D.16

7.（2023•江苏南通•模拟预测）在空间直角坐标系。-孙z中,4（10,0,0）,5（0,10,0）,C（0,0,10），则三棱锥。-

4BC内部整点（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（）

A.CioB.CgCVoD.Cg

8.（2024重庆•模拟预测）从长方体的8个顶点中任选4个，则这4个点能构成三棱锥的顶点的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3635735

9.（多选）（2024重庆•模拟预测）如图，16枚钉子钉成4x4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下

列说法正确的有（不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同）（）

A.可以围成20个不同的正方形

B.可以围成24个不同的长方形（邻边不相等）

C.可以围成516个不同的三角形

D.可以围成16个不同的等边三角形

10.（2024・上海浦东新•模拟预测）如图A8CDEF-49广。用户为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面

的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是.

BC

♦题型03立体几何动点最值问题

空间几何体中线段和差最值以及几何体中的轨迹问题，以及线线角和线面角的求解，综合性较强，难度较

大，解答时要发挥空间想象，明确空间的位置关系，结合空间距离，确定动点的轨迹形状；结合等体积法

求得点到平面的距离，结合线面角的定义求解.

11.（多选）（2024浙江台州•二模）已知正方体A8CD-的棱长为1,P为平面4BCD内一动点，

且直线DiP与平面4BCD所成角为g,E为正方形&4DA的中心，则下列结论正确的是（）

A.点P的轨迹为抛物线

B.正方体4BCD-4/16劣的内切球被平面力/Ci所截得的截面面积为！

O

c.直线CP与平面CD。©所成角的正弦值的最大值为日

D.点M为直线D/上一动点，则MP+ME的最小值为件运

12.（多选）（2024•江苏扬州模拟预测）如图，在棱长为1的正方体4BCD-4当6必中，M为平面ABC。

内一动点，则（）

A.若M在线段4B上，则AM+MC的最小值为+2也

B.平面4cA被正方体内切球所截，则截面面积为2

C.若GM与4B所成的角为:,则点M的轨迹为椭圆

D.对于给定的点M,过M有且仅有3条直线与直线。遇,。也所成角为60。

13.（多选）（2023•安徽芜湖•模拟预测）已知正方体力BCD的棱长为2,棱48的中点为M,过

点M作正方体的截面a,且名。1a,若点N在截面a内运动（包含边界），则（）

A.当|MN|最大时，MN与BC所成的角为T

B.三棱锥&-BNG的体积为定值|

C.若|DN|=2，则点N的轨迹长度为2TT

D.若N6平面&BCD1,则|BN|+INC/的最小值为，6+2,

14.（多选）（2024•福建厦门•一模）如图所示，在五面体48CDEF中，四边形ABCD是矩形，△ABF^KDCE

均是等边三角形，且力B=，EF=双式＞0）,贝［|（）

A.£77/平面ABC。

B.二面角a-EF-B随着久的减小而减小

C.当BC=2时，五面体ABCDEF的体积U（久）最大值为年

D.当BC=|时,存在M吏得半径为争勺球能内含于五面体力BCDEF

15.（多选）（2024•广西南宁一模）在边长为2的正方体A8C。-2向前。1中,动点M满足前=久乐+

yAD+zAA1,（x,y,zGR且无>0,y>0,z>0）,下列说法正确的是（）

A.当久=；,z=0,y€［0,1］时，B±M+MD的最小值为旧

B.当x=y=l,z=次寸，异面直线BM与皿所成角的余弦值为半

C.当x+y+z=1,且AM=管时，则M的轨迹长度为卓

D.当x+y=l,z=0时，力M与平面48也所成角的正弦值的最大值为当

♦题型04不规则图形中的面面夹角问题

利用向量法解决立体几何中的空间角问题，关键在于依托图形建立合适的空间直角坐标系，将相关向量用

坐标表示，通过向量的坐标运算求空间角，其中建系的关键在于找到两两垂直的三条直线.

16（2024•浙江台州•二模友］图，已知四棱台48CD—4/1GD1中AB=3A1B1ABIICDADLABAB=6,

CD=9,AD=6,且441=BBi=4,Q为线段CC1中点，

⑴求证：8QII平面；

（2）若四棱锥Q-4BB14的体积为蜉,求平面4BB14与平面CDDiG夹角的余弦值.

17.（2024•浙江杭州・二模）如图在多面体4BCDPQ中，底面A8CD是平行四边形/DAB=60°,BC=2PQ=

4AB=4,M为8c的中点，PQIIBC,PD1DC,QB1MD.

（1）证明：N2BQ=90°；

⑵若多面体ABCDPQ的体积为日,求平面PCD与平面Q4B夹角的余弦值.

18.（2024•浙江金华・模拟预测）已知四棱锥P-4BCD的棱AB,BC的长为近,其余各条棱长均为1.

Q）求四棱锥P—力BCD的体积；

（2）求二面角4-PC-B的大小.

19.（2024安徽•二模）将正方形2BCD绕直线4B逆时针旋转90°,使得CD到EF的位置，得到如图所示的几

何体.

B

（1）求证：平面4CF1平面BDE；

（2）点M为炉上一点，若二面角C-AM-E的余弦值为1,求NM&D.

20.（2024山西•二模）如图,四棱锥P-A8CD中，二面角P-CD-4的大小为90°,"CP=Z.DPC<：,

^DAB=/.ABC=^ADB=2乙DCB=90",E是24的中点.

(1)求证：平面1平面PCD；

⑵若直线PD与底面4BCD所成的角为60°,求二面角B-ED-。的余弦值.

♦题型05不规则图形中的线面夹角问题

21.(2024•浙江宁波•二模庵菱形4BCD中=2/BAD=60°以AB为轴将菱开"BCD翻折至I」菱形ABQA,

使得平面力BC/11平面力BCD，点E为边Bq的中点，连接CE,。玩

(1)求证:CE||平面40nl；

(2)求直线CE与平面BOA所成角的正弦值.

22.(23-24高三下•江苏泰州•阶段练习)如图,在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是菱形，乙BAD=60°,

△PAD为等边三角形，点M,N分别为AB,PC的中点.

P

(1)证明：直线MN〃平面PAD;

(2)当二面角P-AD-C为120。时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值.

23.(23-24高三下,浙江,开学考试)在三棱锥D—ABC中，AC=3,DC=2V2,/.DCA=45°,CB1AB,BC=

BD=V6.

D

⑴证明：平面ZDC1平面ABC；

（2）点E为棱DC上，若BC与平面E4B所成角的正弦值为答,求DE的长；

24.（2022•江西赣州•二模）已知四棱锥P—ABCD中，^ABD、^BCD、^BDP都是正三角形4B=2,AP=3

⑴求证：平面ACP,平面BDP;

⑵求直线BP与平面ADP所成角的正弦值.

25.（2024•全国模拟预测）如图，48,CD,EF两两垂直，点E为4B的中点，点尸在线段CD上,且满足DF=

D

⑴求证：平面ABC_L平面4B0.

（2）求直线8。与平面4CD所成角的正弦值.

♦题型06几何中的旋转问题

26.（2024•全国•模拟预测）如图,已知长方体ABCD-ABO中,AB=BC=2,AA'=<2,。为正方形

4BCD的中心点，将长方体4BCD-ABO绕直线0»进行旋转.若平面a满足直线OD'与a所成的角为53。，

直线/1a，则旋转的过程中，直线与/夹角的正弦值的最小值为（X参考数据：sin53。xi,cos53°«|)

3V3-4C3v^+3D4A/I+3

1010・10•10

27.（多选）（2024河北唐山一模）在透明的密闭正三棱柱容器ABC-4/停1内灌进一些水，已知48=

AA1=4.如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3.固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图

方向倾斜，至侧面4CG4与地面重合的过程中，设水面所在平面为a,则（）

A.水面形状的变化：三角形,梯形台矩形

B.当G4ua时，水面的面积为2后

C.当86a时，水面与地面的距离为学

D.当侧面4CG4与地面重合时，水面的面积为12

28.（2024•陕西商洛•模拟预测）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比

克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都

会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶魔方，由27个棱长为1的正方体组成，如图是把

魔方的中间一层转动了45。，则该魔方的表面积增加了

29.（2024•福建•模拟预测）在小ABC中,/.ABC=90°,AB=6,乙4cB的平分线交AB于点D,2。=2DB.

平面a过直线AB,且与△ABC所在的平面垂直.

（1）求直线CD与平面a所成角的大小；

（2）设点Eea,且NEC。=30。，记E的轨迹为曲线「.

（i）判断「是什么曲线，并说明理由；

（ii）不与直线AB重合的直线I过点D且交「于P,Q两点，试问：在平面a内是否存在定点T,使得无

论I绕点D如何转动，总有NPTC=&TC?若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.

30.（多选）（2024•浙江二模）已知正方体ABC。-,的棱长为1,点P是正方形A/iGA上的

一个动点，初始位置位于点公处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为:,向对角

顶点移动的概率为J如当点P在点4处时，向点名,%移动的概率均为:，向点G移动的概率为1则（）

A.移动两次后，"|PC|=V3"的概率为:

B.对任意neN*,移动n次后，"PA〃平面BDCJ的概率都小于1

C.对任意neN*,移动n次后，"PC，平面BOG"的概率都小于3

D.对任意neN*,移动n次后，四面体P-8DC1体积V的数学期望石⑺<|（注：当点P在平面上

时，四面体P-BOG体积为0）

♦题型07立体几何中的折叠问题

31.（2020・浙江•模拟预测）如图，在44BC中，乙4BC=90。，AB=1,BC=2,D为线段BC（端点除外）

上一动点.现将△4BD沿线段AD折起至AAB，。，使二面角9-4D-C的大小为120°,则在点D的移动

过程中，下列说法错误的是（）

A.不存在点。，使得CB，1AB

B.点次在平面ABC上的投影轨迹是一段圆弧

C.与平面4BC所成角的余弦值的取值范围是（¥，1）

D.线段C9的最小值是旧

32.（多选I23-24高三下•江苏泰州•阶段练习H知正方形ABCD的边长为4点E在线段AB上PE=1沿

DE将AADE折起，使点A翻折至平面BCDE外的点P』U（）

A.存在点P,使得PELDCB.存在点P，使得直线8c〃平面PDE

C.不存在点P,使得PCIDED.不存在点P，使得四棱锥P-BCDE的体积为8

33.（2024•安徽池州•模拟预测）如图①,四边形力BCD是边长为2的正方形，△EAB与AFAD是两个全等

的直角三角形,S.FA=4,FC与2D交于点G，将RtAR48与RtAB4D分别沿翻折，使E,尸重合于点P,

连接PC，得到四棱锥P-ABC。，如图②，

P

⑴证明:BDJ.PC；

（2）若M为棱PC的中点，求直线与平面PCG所成角的正弦值.

34.（多选）（2023・浙江嘉兴•模拟预测）如图,SAABC中，乙B=?AB=W,BC=\,过4C中点M的

直线/与线段力B交于点N.将A4MN沿直线2翻折至A4MN,且点4在平面BCMN内的射影H在线段BC上,

连接交/于点。，。是直线/上异于。的任意一点，则（）

A.4A'DH>Z-A'DC

B.WDH</.A'OH

C.点。的轨迹的长度为3o

D.直线4。与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为8百-13

35.（2024•全国•模拟预测）如图1,已知在正方形力BCD中,AB^2,M,E,尸分别是边CD,BC,4。的

中点，现将矩形ABEF沿EF翻折至矩形AB'EF的位置，使平面ABNF，平面CDFE,如图2所示.

（1）证明：平面4EM1平面AFM；

⑵设Q是线段4E上一点，且二面角4-FM-Q的余弦值为手,求券的值.

♦题型08不规则图形表面积'体积问题

解决不规则图形的表面积体积问题，注意使用割补法，通过分割与补形的方法，转化成常规的几何体进行

求解。

36.（2024浙江•模拟预测）如图，已知长方体ABC。-4/iGA的体积为匕E是棱C/i的中点，平面Z/E将

长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）

A•尹B苧一D•/

37.（2022•辽宁锦州•一模）2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”.其中

2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方"摇身一变成为了"冰立方"."冰立方"在冬奥会期间承

接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目.“水立方”的设计灵感来自威尔・弗兰泡沫，威尔•弗兰泡沫是对开尔文胞体

的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个

正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2,则该多面体的表面积是（）

A.24（V3+1）B.24V3+6C.48百+24D.16V3+8

38.（2024•全国模拟预测）如图,已知正方体ABC。-4/iGA和正四棱台ABC。-2c2。2中，&%=

2AB^4,AA2=VTT.

2G

A2B2

⑴求证：以2〃平面ABGA；

（2）若M是线段8%的中点，求三棱锥M-2c2的表面积.

39.（2024•江苏常州•一模）如图，正四棱柱A8CD-a/iGA的底面边长为1,高为2,点M是棱CC1上一

个动点（点M与C,G均不重合）.

（1）当点M是棱CCi的中点时，求证：直线4M，平面/MA；

（2）当平面481M将正四棱柱/1BCD-A%G5分割成体积之比为1:2的两个部分时，求线段MC的长度.

40.（多选）（2024安徽芜湖二模）如图，多面体PS-ABCD由正四棱锥P-2BCD和正四面体S-PBC组

合而成，其中PS=1,则下列关于该几何体叙述正确的是（）

C.二面角4-PB-C的余弦值为-[D.该几何体为三棱柱

♦题型09立体几何新定义问题

立体几何新定义问题，解题关键是理解新定义，能够构建合适的空间直角坐标系，解决相应问题.

41.（多选）（23-24高三上•河北・期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球。的

半径为R,A,B,C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a,设。。表示以。为圆心，且过8,C的圆，同理，圆

Ob,0c的劣弧AC,AB的弧长分别记为b,c,曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，若a=b-c,则称

其为曲面等边三角形，线段。力,0B,0C与曲面△力8c围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面。-A8C.

设上B0C=a,^AOC=6，4AOB=y,则下列结论正确的是（）

A.若平面△ABC是面积为fR2的等边三角形，贝必=6=c=R

4

22

B.若—+fa=C1则仇2+尸=y2

C.若。二人.二］/?,贝11球面。一4BC的体积U>*3

D.若平面△4BC为直角三角形，S.AACB==,贝必2+

42.（2022・安徽合肥・模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面a相交，

记交线为C,圆锥S的轴线I与平面a所成角0是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角0的一半，

为探究曲线C的形状，我们构建球T,使球T与圆锥S和平面a都相切，记球T与平面a的切点为F,直

线|与平面a交点为A直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M,\0M\=a,\MS\=b.

(1)求证：平面SOA，平面a,并指出a,b,8关系式；

(2)求证：曲线C是抛物线.

43.(2022•辽宁沈阳•二模)蜂房是自然界最神奇的"建筑"之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截

去三个相等的三棱锥H-ABCJ-CDE,K-EFA,再分别以AC,CE,EA为轴将△ACH,△CE/,AEAK分

别向上翻转180。，使H,/,K三点重合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空

间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的

曲率规定等于2TT减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表

示).例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是,所以正四面体在各顶点的曲率为2TT-3xT=TL

力1BiAiBi

图1图2

(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；

⑵若正六棱柱底面边长为1,侧棱长为2,设BH=x

(i)用工表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积S(x)；

(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.

44.(2024•山东济南•一模)在空间直角坐标系。-盯z中，任何一个平面的方程都能表示成力x+By+Cz+

。=0,其中6R,A2+B2+C2^0，且元=(A,B,C)为该平面的法向量.已知集合P={(x,y,z)||划＜

l.lyl<1,|z|<1},<2={(X,y,z)||x|+|y|+|z|<2],T={(x,y,z)\\x\+\y\<2,\y\+|z|<2,|z|+\x\<

2}.

(1)设集合M={(x,y,z)|z=0},记PnM中所有点构成的图形的面积为Si,QnM中所有点构成的图形的面

积为52,求Si和S2的值；

(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为明,PnQ中所有点构成的几何体的体积为彩,求明和彩的值：

(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.

①求W的体积匕的值；

②求W的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.

。2。3

45.(2024•云南•模拟预测)三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：瓦b2b3=

C1C2C3

TIJk-T

%b2c3+Q2b3cl+Q3ble2一G3b2cl-。2ble3-3c2.若五XB=/％z1，则称五XB为空间向量五与b的

%272Z2

叉乘，其中a=Xi?+yj+Z1/%1，yltz±&R),b=x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2&R),{i,J,"}为单位正交基底.

以。为坐标原点，分别以己了,说勺方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,已知4B是空间直角坐

标系中异于。的不同两点.

(1)①若4(0,2,1),B(-1,3,2),求市xOB；

②证明：瓦？*丽+砺xH1=6.

⑵记△20B的面积为SA9，证明：S-OB=1国x画；

⑶问：(mx而产的几何意义表示以△40B为底面、x而|为高的三棱锥体积的多少倍?

♦题型10立体几何新考点

46(2024河北沧州•一模却图在正三棱锥4-BCD中,BC=CD=BD=4点P满足而=AACE(0,1),

过点P作平面a分别与棱AB,BD,CD交于Q,S,T三点，目4D〃a,BC//a.

⑴证明：VAG(0,1),四边形PQST总是矩形；

(2)若2C=4,求四棱锥C-PQST体积的最大值.

47.(2022•全国模拟预测)如图1,在矩形AB©。中，B,C分别为42,的中点，且28=8C=1,

现将矩形力BiG。沿BC翻折，得到如图2所示的多面体A8CDB1G.

(1)当二面角A-B©_C的大小为60。时,证明：多面体A8CDB1G为正三棱柱；

(2)设点4关于平面GBO的对称点为P,当该多面体ABCDBiG的体积最大时，求三棱锥P-ABC的体积.

48.(23-24高三下•浙江金华•阶段练习)如图，在三棱柱718C-A/iG中，"BC是边长为2的正三角形，

侧面BBiGC是矩形，4&=A±B.

B

(1)求证：三棱锥&-4BC是正三棱锥；

⑵若三棱柱ABC-的体积为2夜,求直线AC】与平面A4/iB所成角的正弦值.

49.(2023•重庆沙坪坝•模拟预测)正锥体具有良好的对称性.

(1)在正三棱锥P-ABC中，证明：P41BC；

(2)已知正棱锥P-44••4.请在下列两个条件中，选择一个命题填到__________上,并证明：

①当k=2n+1,nGZ+时,存在血6{1,2,■■■,k-1},使得P&1AmAm+1；

②当k=2n+2,n6Z+时,不存在m6(1,2,■■■,k—1},使得P&1AmAm+1.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

50.(23-24高三下•江苏苏州•阶段练习)甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为n,

若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形定义随机变量X

的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥(和甲研究的四棱锥一样)的8条棱中任取2条，定义随机变量f

的值为这两条棱的夹角大小(弧度制)；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量”的值为这两

条棱的夹角大小(弧度制).

(1)比较三种随机变量的数学期望大小；(参考数据arctan4«0.3661,arctang)=0.2677,arctan2V2〜

0.3918)

(2)现单独研究棱长n，记(x+1)x(%+|)x…X(%+£)(nN2且neN*)，其展开式中含x项的系数为Sn,

含/项的系数为七.

①若色=an2+bn+c,对n=2,3,4成立，求实数a,b，。的值；

②对①中的实数a,b，。用数字归纳法证明：对任意九＞2且n