立体几何与空间向量（解析版）-2025年高考数学复习易错题（新高考）

模块05立体几何与空间向量

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2024•安徽合肥•三模）设以民7是三个不同平面，且,则&〃/是/〃用的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.

【详解】由于a〃夕，。八7=/,尸n7=加，由平面平行的性质定理可得：IIIm,

所以a〃6是/〃加的充分条件；

但当/〃根，a^y=l,/3^r=m,并不能推出a〃夕，也有可能a,力相交，

所以a//p是/〃加的不必要条件；

故选:A.

2.（24-25高三上•重庆・期末）如图，在正四棱锥P-48co中，E为棱产工的中点，设

DA=a,DC=b,DP=c,则用落瓦万表示而为（）

【分析】由图及空间向量加减法可得答案.

【详解】由图可得：砺为+Z-觉+；江-觉+；（赤-可

一

=t1。_——1a_=——1_a-bt+—1c.

2222

故选：C

3.（24-25高三上•天津北辰•期末）已知血£是空间中的两个不同的平面，I,加，"是三条不同的直线.下列

命题正确的是（）

A.若机uua,/_L加J_L〃，贝!!/_LaB.若mua,nu0,mLn,则

C.若///私机ua,贝！|///aD.若///加,掰//〃,/1c,贝！|〃J.a

【答案】D

【分析】对于A：根据线面垂直的判定定理分析判断；对于B：根据面面垂直的判定定理分析判断；对于

C：根据线面平面的判定定理分析判断；对于D：根据平行关系可知///〃，再结合线面垂直的性质分析判断.

【详解】对于选项A：根据线面垂直的判定定理可知：需保证%,〃相交，故A错误；

对于选项B：根据面面垂直的判定定理可知：需推出线面垂直，现有条件不能得出，故B错误；

对于选项C：根据线面平面的判定定理可知：需保证/aa,故C错误；

对于选项D：若///加,加//〃，则///〃，

且/_La,所以〃_La,故D正确；

故选：D.

4.（24-25高三上•湖北武汉•期中）如图，四边形/BCD的斜二测画法直观图为等腰梯形48'C'。'.已知

A'B'=4,CD,=2,则下列说法正确的是（）

A.AB=2

B.A'D'=2y/2

C.四边形/BCD的周长为4+2上+2月

D.四边形的面积为60

【答案】D

【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关.

【详解】如图可知48=4,/，。=也，AD=2近,

四边形ABCD的周长为6+2夜+273,四边形ABCD的面积为1x（4+2）x2收=60.

故选:D.

5.（24-25高三上•天津红桥•期末）球面上有三点48,C,若N8=6,J8C=8,/C=10,且球心到△4BC所在

平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（）

400兀

A.-------B.300TIC.1200兀D.160071

3

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出△/BC的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球的半径，可求表面

积.

【详解】令△/2C外接圆的半径为，，球的半径为火，

由/8=6,3C=8,NC=10,^AB2+BC2=36+64=100=AC2,

所以△/BC为直角三角形，则"=10,即r=5,

因为球心到△/3C所在平面的距离，等于球的半径的一半，

所以炉一解得尺=罢，所以球的表面积为4a2=竿.

故选：A.

6.（24-25高三上•四川成都♦期中）已知正方体45cz）-4夕£2的棱长为2,且满足或＞皮+z可

且x+y+z=l,则目的最小值是（）

A.迪2.J324

B.上HC.-D.-

3333

【答案】B

【分析】由正=xl%+y诙+Z的且x+y+z=l,得到'，E,A,C四点共面，即点£在平面口工。上,

从而|力耳的最小值为点D到平面2/C的距离求解.

【详解】由题意得，DE=xDA+yDC+（\-x-y）DDl,

：.DE-1^=x[DA-DD^+y(l)C-DD^,即取=屹1+＞麻,

由共面向量定理得，4,E,A,C四点共面，即点E在平面。/C上,

则用的最小值为点D到平面。/C的距离.

以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),"(0,0,2),

：.AC=(-2,2,0),西=(-2,0,2),E?=(2,0,0),

设平面O/C的法向量为五=（x,y,z）,

—2x+2y=0

取为=(1,1,1),

—2x+2z—0

\DA-n\7o/a

D到平面DXAC的距离d==二=包

\n\V33

即叵目的最小值为手.

故选：B

7.（24-25高三上•黑龙江•期末）已知三棱锥尸-OMN的四个顶点满足：PQ,分别是圆柱的上，下

底面的两条直径，且该三棱锥体积的最大值为6,则圆柱的体积为（）

A.2兀B.6兀C.9nD.12兀

【答案】C

【分析】先应用到平面PO。的距离相等“，再应用三棱锥体积公式计算结合不等关系计算圆柱体积即

可.

【详解】设圆柱。。的底面圆半径为『，圆柱的高为人

设点M到平面尸。。的距离为“，因为。是河的中点，所以N到平面尸。。的距离也为d,

故Vp-QMN=VM-POQ+VN-POQ=；x2dXSAPOQ=三乂：X2丫Xh=3<irh&3r?h=6nNh=9,

所以圆柱。Q的体积为兀户力=9兀.

8.(24-25高二下•福建南平•期末)如图，正方体N8CZ)-/£G，中，新=丽，~A^M=MDX,

率二处,当直线与平面M2VE所成的角最大时，2=()

1

D.-

【答案】C

【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体/BCD-的棱长为1.

则N(I,O,£|,C(O,I,O),4(1,1,1),£>(0,0,0),"(0,0,1).

所以率=4窕=(一40,_#，£(1-2,1,1-2),7W=|1,0,-1|,=

设平面ACVE的法向量为而=（x,%z）,

m-MN-—x—z=0

e22

则—fl)

m-ME=1--2lx+j-Az=0

令x=l,则—z=1,可得身=[1,22_/,l

又西=（0,0,1）,设直线。R与平面AWE所成的角为a,则

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（24-25高三上•内蒙古鄂尔多斯•期末）已知直线〃2,n,平面a,夕，则下列说法正确的是（）

A.若机〃”，nua,则加〃aB.若机〃/?,mua,a^\（3=n,则机〃”

C.若a〃£,mLa,m//n,则■/D.若a_L/?,mLa,nV（3,则〃?〃〃

【答案】BC

【分析】由线面平行的判定定理和性质定理可得A错误，B正确；由线面垂直的的性质可得C正确，D错

误；

【详解】选项A中，〃?可能在a内，也可能与a平行，故A错误；

选项B中，因为机〃力，mua,a^\p=n,所以加〃〃，故B正确；

选项C中，因为a〃4，mla,所以比_L4，又〃?〃〃，所以〃故C正确;

选项D中，因为aJ■尸，7〃_l_a,“，B,所以故D错误.

故选：BC.

10.（24-25高三上•河北廊坊・期末）如图所示，棱长为2的正方体N5CO-44GA中，点E是棱C。的中点,

则下列结论中正确的是（）

A.点回到平面BDE的距离是A到平面BDE的距离的2倍

TT

B.若点〃€平面/BCD,且GM与所成角是彳，则点别■的轨迹是双曲线的一支

C.三棱锥4-2DE的外接球的表面积为1E

D.若Me线段BE,则+|/叫的最小值是2小+口『

【答案】ACD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A；利用坐标法，列出关于异面直线所成角的余弦

值的式子，即可判断B；利用坐标法，求三棱锥4-的外接球的球心坐标和半径，即可判断C；利用

坐标法，表示两点间的距离，转化为平面几何问题，即可求最值.

【详解】对于A选项，以点。为坐标原点，DA、DC、。，所在直线分别为x、丁、z轴建立如下图所示

则4（2,0,0）、8（2,2,0）、D（0,0,0）,£（0,2,1）、4（2,2,2）,

设平面取用的法向量为方=（xi,yi,zi）,丽=（2,2,0）,D£=（0,2,1）,

m•DB=2x+2y,=0（、---►/.

则—,取再=1,则应=LT2,2,2,2,

m-DE=2yl+zi=0

成|_4_276

所以，点用到平面BOE的距离为4=,,_广_，

1\m\763

\DA-rn\0、片

点A到平面3DE的距离为%空，所以，4=2右，故A正确;

\m\463

对于B选项，设点河（龙/,0）,刀=（0,2,0）,QM=（x,y-2,-2）,

7T

若0眼与居所成角是7

_V2

则ME斗标4=

一2，

整理为（y-2『--=4,为双曲线方程,

所以点M的轨迹是双曲线，故B错误;

对于C选项，4（2,0,2）、8（2,2,0）、£＞（0,0,0）、£（0,2,1）,

设三棱锥4的外接球的球心坐标为（见4。），半径为R,

2222

(a-2)+Z>+(C-2)=7?

(:一号+'2=*,方程组中前2个式子和后2个式子相减,

则

a+b+c=R

a2+(Z)-2)2+(c-l)2=R2

\b-c=057oil

得46+27=0,得”%再回代方程组得。二，小了，

所以三棱锥4-BDE的外接球的表面积为4成z=1E,故C正确;

EC_可设点wQ,2,g(2_x)),即河Q,2,1

对于D选项,0<x<2,

~BC~2

\DM\+\AM\=%2+4+

，|x2-x+5+J|%2-5x+9=+。/*-2)2+4

上式的意义可以理解为平面直角坐标系中,

的距离和的心倍,

动点（x,0）到定点

2

74⑻

显然，动点（x,0）到定点的距离和的最小值是两定点间的距离,

距离为+[警+?]=京15+2廊,

所以叫+函的最小值是小抖5+2而=2小+等，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的使用，不仅可以表示角，距离，还可以求解轨迹方程，球心

坐标等问题.

11.（24-25高三上•贵州贵阳•开学考试）如图，在长方体/BCD-4片中，4B=AD=2,A4=1,

为线段用。上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）

A.当点M为中点时，平面网DQ

B.当点M为8Q中点时，直线与直线8C所成角的余弦值为YZ

3

c.当点〃在线段8a上运动时，三棱锥G-BDM的体积是定值

D.点M到直线BG距离的最小值为亚

3

【答案】ACD

【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向

量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D.

【详解】在长方体/BCD-4瓦GA中，以点。为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

z,

则D(0,0,0),BQ,2,0),C(0,2,0),Q(0,2,1),Q(0,0,1),Bx(2,2,1),设f,1),0VfV2,

对于A,t=l,MQ=(-1,1,0),函=(0,0,1),砺=(2,2,0),

MCl-DDi=0,MCl-DB=0,即MC；_L曲也6_LD3,

而。〃n02=。,。〃,u平面BBQ。，因此C|A/_L平面SB4。，A正确;

一灰卜2…

对于|COS(Z)A7,SC)|

B,ZM7=(1,1,1),SC=(-2,0,0),DM^BC73x23'B锢厌；

对于C,由选项A知，点G到平面四。Q的距离为应，而的面积（瓦＞。2=后,

因此三棱锥0-瓦亚的体积|是定值，C正确；

对于D,BCX=(-2,0,1),QM=(t,t-2,0),则点M到直线BC］的距离d=y

1+"2）2_?=新_4+4=松—邛,当且仅当时取等号，D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（24-25高二上•江苏徐州•期中）已知空间四边形/3CD的每条边和对角线的长都等于1,点E,尸分别

是BC,ND的中点，则瓦.赤的值为.

【答案】-1/-0.5

【分析】BC,BD，曲两两成60。角，模都为1,以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.

【详解】

A

根据题意ABCD为正四面体，

BC-BD>第两两成60°角，BA-BC=BA-BD=BC-BD=^,

由於=丽一加=；瑟-双

CF=RF-BC=-BA+-RD-JC,

22

故答案为：-g

13.（2025高三・全国・专题练习）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为弓和4,母线长分别为2化-4）和

3日-4）,则两个圆台的体积之比白=.

【答案】国

4

【分析】利用圆台的体积公式，得到3=*=理”4=乎，求解答案即可.

吃h乙2收伍-々）4

【详解】由己知结合圆台的体积公式即可求解.

因为甲、乙两个圆台上下底面的半径均为々和6，母线长分别为2（4-々）和3（八-々）,

则两个圆台的体积之比孑=*=

吟吃2&亿-々）4

故答案为：近.

4

14.（2025•上海•模拟预测）己知尸是一个圆锥的顶点，尸4是母线，PA=2,该圆锥的底面半径是1.B、C

分别在圆锥的底面上，则异面直线尸/与8C所成角的最小值为.

【答案】|

【分析】过A作4。//3c交底面圆锥于。点，则/尸/。为异面直线尸/与8C所成角，结合余弦定理与余弦

函数的性质即可得NP4。的取值范围，从而得所求最值.

【详解】

如图，过A作4D//8C交底面圆锥于。点，连接尸。，

因为PN=PD,ADHBC,则/P4D为异面直线PA与BC所成角,

\P^\+\AD2-\PD[22+\AD\^-22_\AD\

所以cosNPAD=

21p4皿4M一4

又0＜|/以42,所以0＜町＜；，即0＜cos/P4Dvg,

因为NPNOe[。,]],函数＞=cosa在上单调递减，所以

7T

故异面直线方与2c所成角的最小值为

TT

故答案为：y.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(23-24高二上•湖北武汉•阶段练习)如图，在三棱锥P-48c中，ABLBC,AB=2,BC=2也,

PB=PC=&,AP,/P,2C的中点分别为。,£,。，NO=石。O,点尸在/C上，BFVAO.

(1)证明：£尸//平面40(9；

(2)证明：平面平面BE尸;

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)设/=彳就(0<文<1)，得到而=(1-几)诙+2前，再由。为BC的中点，得到

__.1—.—.1

AO^-BC-BA,结合济.而=0,列出方程求得彳=5,得到尸为/C的中点，进而证得所//PC,得到

EF//DO,结合线面平行的判定定理，即可求解.

(2)根据题意，求得/。2+。。2=《。2,得到进而得到/。1跖，结合NO_LNF,利用线面

垂直的判定定理，证得/O_L平面3EF,即可证得平面/DO_L平面麻尸.

【详解】(1)证明：设/=彳刀(0<4<1),则帝一筋=2(就一直)，

所以旃瓦5+2前，

因为。为8C的中点，则的=」就，所以15=丽-茄=,前-茄，

22

又因为48_L8C,则刀.前=0，

因为=2,5C=2拒,8尸_L49,

---►---»►1►►1►2---►2

贝I」•力O=[(1-A)BA+25C]-(5C-BA)=-ABC-(1-A)BA

=42-4(1-2)=82-4=0,解得4=g,所以尸为/C的中点，

又因为E为尸/的中点，所以EF//PC,

因为。,。分别为尸瓦尸C的中点，所以。。〃尸C,所以EF//DO,

又因为斯2平面，DOu平面4。。，所以斯//平面400.

(2)证明：因为2。分别为尸民尸C的中点，所以。o=Lpc="，

22

所以AD=«DO=0^=叵,

22

因为//8C=90。"=2,5。=与。=也，

2

所以/0==(4+2=逐，所以/。2+。。2=/。2,所以/O_LOD,

因为£尸//。。，则/O_L£7"

又因为尸，BFcEF=F,且8尸，斯u平面尸，

所以NO_L平面AEF,

因为/Ou平面4。。，所以平面4OO_L平面5E77.

16.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)如图，在△/3C中，点。在边5。上，且。。=2助，£为边45的

中点.s是平面/8C外的一点，且有便+网•而=(在+2元).而=0

(1)证明：SC1SD；

⑵已知。£=1,SD=瓜,SE=3,直线2C与平面SAE所成角的正弦值为逆.

3

(i)求ASDE的面积；

(ii)求三棱锥S-/8C的体积.

【答案】(1)证明见解析；

⑵(i)好；(ii)2V15.

2

【分析】(1)由空间向量的运算可得SELSC,ED1SC,再由线面垂直的判定定理与性质定理即可证明;

(2)(i)由余弦定理求cos/SED,根据同角的平方关系求出sin/S即，再由三角形面积公式即可求解；

(ii)由⑴得NSDC即为与平面SED所成角，根据VS_DEC=VC_SDE及%_则=|R_ABC即可求解.

【详解】(1)因为E为边的中点，所以江+而=2豆.

又母+网•五=0,BP2SE-SC=0,即SELSC.

ED=AD-A£=AB+BID--AB=-AB+-BC

223

]]

=LAB+-AC--AB=-AB+-AC,

23363

所以6而=益+2%.

又因为(次+2X)•而=0,所以6而•而=0，即ED_LSC.

因为S£C|m=E,SE,EDu平面SED,

所以SC_L平面SED.

因为⑼u平面SE。，所以SC_L也.

ES?+ED2-SD21+9-62

(2)(i)由余弦定理可得cos/S£D=

2ES•ED2x1x3-3

所以sinNSED=

所以ks"=gxlx3x*=#

（ii）由（1）可知，SC，平面SEZ）,

所以NSDC即为BC与平面SED所成角.

因为sin/SDC=2^2

所以cosNS£>C=tanNSDC=20，

3

sc

所以­=2痣，得SC=2及SD=2®*a=.

设S到平面ABC的距离为d,点A到直线BC的距离为h,

/则、7匕o-DFC=一3SZ八A口U司£C。.d——3x—2x—3BC—2h•d

=^^^BC'h'd=^S^ABC'd=^S-ABC-

因为七DEC=九SDE=~X~~~*46=2I），

b—DELC—o£/£32,3

==X

又Z-DEC=T-S-ABC，所以VS-ABC^S-DEC=2^/1?.

，J

17.（24-25高三上•天津北辰•期末）如图，在四棱柱中，平面

ABCD,ABUCD,ABVAD,其中N8==/。=2,DC=1,E是AA,的中点.

⑴求证：OE〃平面48C；

（2）求平面A.BC与平面3CG夹角的余弦值;

⑶求点G到平面48c的距离.

【答案】（1）证明见解析

4

⑶3

【分析】（1）以/为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得£>£//平面43C；

（2）求出平面的法向量，结合（1）中的信息，利用面面角的向量求法计算可得结果;

（3）利用空间中点到平面距离公式计算即可得解.

平面/BCD,NBu平面N5CD,/Du平面ABCD,

AXA1AB,4/±AD，又；ABVAD,

以N为原点，分别以而，五1方的方向为x轴，V轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得

/(0,0,0),5(0,0,2),Z>(2,0,0),C(2,0,l),£(0,1,0),4(0,2,0),G(2,2,1),

...港=(0,-2,2),苹=(2,-2,1),

设平面48c的一个法向量为拓=(再,W4),

n-A,B=-2y,+2z,=0

则_L，不妨设再=1,得4=2,必=2,

n-AtC=2x1-2必+Z[=0

所以平面AXBC的一个法向量为万=(1,2,2),

=(-2,1,0),有无•万=0，故诙_L万.

又平面43C,所以DE〃平面48c.

(2)由(1)可知元=(2,0,-1),%=(2,2,-1),

设平面8CC]的一个法向量为应=心，为0),

m•BC=2x?-z9=0

贝―►,不妨设工2=1，得Z2=2/2=。，

m•BCX=2X2+2y2-z2=0

所以平面8CG的一个法向量为而=(1，°，2),

m-nlxl+2x0+2x2

于是cos〈玩，方〉=

元I712+22+22-Vl2+223

所以‘平面42c与平面3CG的夹角余弦值为7.

(3)由西=(2,2,-1),平面48c的一个法向量为为=(1,2,2),

设点£到平面4BC的距离为d,则d=当世=|2xl：2x2+(一l)x2|=4；

|«|Vl2+22+223

4

所以，点£到平面43c的距离为g.

18.(24-25高三上•天津红桥•期末)在如图所示的几何体中，四边形为矩形，/尸，平面/8CD,所〃

AB,其中=/尸=2E尸=1,P是棱。尸的中点.

⑴求证：8尸〃平面4PC；

(2)求直线DF与平面APC夹角的正弦值；

(3)求点E到平面APC的距离；

【答案】(1)证明见解析

(2)晅

15

(3)1

【分析】(1)连接3。交NC于点。，连接0P,则由三角形的中位线定理可得B尸〃PO,然后利用线面平

行的判定定理可证得结论；

(2)由已知可证得,且4F_L4D,/B_L4D,所以以A为原点，尸所在直线为x/,z轴,

建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解；

(3)利用空间向量中的距离公式可求点£到平面/PC的距离.

【详解】(1)连接3。交/C于点。，连接OP,

因为己。分别为。尸的中点，所以B尸〃P。，

又尸Ou平面4PC,3尸(Z平面/PC,

则BF//平面APC；

（2）直线NEJ"平面48co,48u平面/BCD,

所以/尸_L48,且/尸_L4D,/8_L4E),

则以A为原点，/用/。,/尸所在直线为x/,z轴，建立空间直角坐标系;

5（l,0,0）,D（0,2,0）,£f1,0,Ac（l,2,0）,F（0,0,l）,pfo,l,1

所以后=（0,1,g）,就=（1,2,0）,

设平面APC的法向量为万=(x,y,z),

n-AP=Qy+—z=0

由＜，得2

n-AC=Qx+2y=0

令x=2,得万=（2,-1,2）,且丽=（0,-2,1）,

所以卜os(而•。卜皆三=卓,

1'71|£»F||H|15

直线小与平面4PC夹角的正弦值为述;

15

(3)因为西=‘也"，

且平面/PC的法向量为万=(2,-1,2),

\EA-n\

则点E到平面APC的距离d==1.

1«1

19.(24-25高三上•内蒙古鄂尔多斯•期末)如图，在四棱锥尸-/BCD中，BCHAD,ABLAD,

AB=BC=1,△P4D是边长为2的等边三角形，且平面平面A8C。，点E是棱PD上的一点.

(1)若PE=ED,求证：CE〃平面PAB；

(2)若平面E/C与平面PBC的夹角的余弦值为乎，求PE的值；

⑶求点B到直线CE的距离的最小值.

【答案】(1)证明见解析

⑶且

2

【分析】(1)取尸/的中点R可得CE//BF,再由线面平行的判定定理可得答案；

(2)取40的中点。，由面面垂直、线面垂直的性质定理得P0_L0C,PO1OD,以O为坐标原点，直

线OC,0D,。尸分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设西=彳而，求出平面E/C、平面P5C的法

向量，由二面角的向量求法求出2可得答案；

(3)设方=〃丽，〃目0川，求出点B到直线CE的距离J1一一4——，分〃=0、0<〃41、必=1可

\4〃--6〃+4

得答案.

【详解】(1)取尸/的中点尸，连接