三角函数与解三角形-2025年高考数学复习易错题（新高考）

模块03三角函数与解三角形

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（24-25高三上•山东济宁•阶段练习）在三角形4BC中，a=2,/=$,b=2也,则/C=（）

6

7171色或四

A.—B.一CD.7■或不

63,6232

【答案】C

【分析】由正弦定理求得B,即可求解.

2273

ab

【详解】由可得：1sin5,

sinAsinB

2

所以sin5=——，又b>Q,

2

所以8=5或

TT冗

结合内角和定理,所以/°=%或5,

故选：C

2.（2024•海南•模拟预测）若a£（0,兀），且cosa-sina=；,贝!|tana=

()

A.丑立R4-V7c4+)4-V7

D.-----------------D.

5533

【答案】D

3

【分析】先左右两边平方，得出sinacosa=z，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值.

8

]2i

【详解】因为cosa-sina=5,所以(cosa-sina)=—,

13

即1一2sincrcoscr=—,所以sinacosa=—,

48

sincrcoscjftana3

所以一22

sina+cosa1+tan2a8’

解得tana=4+近或=1__

33

因为°£(0,兀)，且cosa-sini=；>0,

所以a1。,：,所以0<tana<l,所以匕口。=上」

3

故选：D.

3.(24-25高三上•安徽•阶段练习)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合,

终边经过点P(tana,4),则如干+1=()

cos2a+l

999―19—1

A.—B.-C.一或7D.一或

282288

【答案】C

4

【分析】由已知可得tano=——,可求得tana=±2,利用二倍角的正余弦公式可得

tana

sin+1112八、、4/分口1-

------------=tana+—+—tana,代入求值即可.

cos2a+122

【详解】因为aw；■，左EZ,所以tanawO,

4

因为a的终边过点P(tana,4),所以tani=-------,解得tana=±2,

tan。

sin2a+12sinacosa+cos2a+sin2a11

=-=tanadF-tan2a,

cos2a+1-------------2cos之a-1+1-----------------------22

sinla+1=2+L、22」

当tana=2时,

cos2a+1222

当tana=—2时,黑"=”+?(-2)24

sin2a+19fsin2cr+1

综上所述:-----------7或-------7

cos2a+12cos2a+12

故选：C.

TT

4.(24-25高三上・甘肃临夏・期末)将函数g(x)=2sin2x的图象向左平移匚个单位长度，再向下平移1个单

位长度得到函数〃x)的图象，则函数〃了)的()

A.最大值为3B.最小值为-1C.一个对称中心为D.一条对称轴为

0

【答案】D

【分析】利用平移变换求得/(x)的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断CD.

【详解】函数g(x)=2sin2x的图象向左平移匚个单位长度,

可得g(x+-=2sin2x+—=2sin12x+.的图象,

又再向下平移1个单位长度得到函数〃x)的图象，所以/(x)=2sin[2x+^J-l,

当sin12x+5=l时，/(%)_=!,故A错误；

当sin12x+总=-1时，/（x）min=-3,故B错误；

由2x+B=E#eZ,得工=一二+左eZ,所以函数〃x）的（一二+”,一1],左eZ,

61221122/

当k=l时，“X）的一个对称中心为[,,-!）,故c错误；

由2x+2=W+E,左eZ,得x=?+”,左eZ,所以〃x）的对称轴为x=g+”,左eZ,

626262

IT

当当后=0时，“X）的一条对称轴为X=：,故D正确.

6

故选：D.

5.（2024•河南•模拟预测）已知函数/（x）=tan（2x+g],则下列说法正确的是（）

A./⑺为奇函数B./⑺在区间上单调递增

C.7（x）图象的一个对称中心为（5,。]D./（x）的最小正周期为兀

【答案】C

【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.

【详解】因为〃x）=taj2x+"所以2X+9®+T，解得x吟+M丘Z

即函数的定义域不关于原点对称，所以/（X）不是奇函数，故A错误；

当x=9寸，2x+g=M此时〃x）无意义，故"X）在区间昌,圉上单调递增不正确，故B错误；

当彳=工时，2X+T=T，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；

•LND乙

IT7T7T7TI71I7T

因为〃x+R=tan2（x+-）+-=tan（2x+-+K）=tan2x+--f（x）,故g是函数的一个周期，故D错

误.

故选：c

6.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心。距离水面2米，已知

水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点尸从水中浮现时（图中点4）开始计时，则下列说法错误的

是（）

A.点P第一次到达最高点需要20秒

B.当水轮转动155秒时，点尸距离水面1米

C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米

D.点P距离水面的高度〃（米）与时间/（秒）之间的函数解析式为人=45①（£”[1+2

oJ

【答案】B

【分析】根据题意求出点尸距离水面的高度,（米）与时间/（秒）之间的函数解析式为

7T元1

h=4sin—+2-结合选项依次判断即可.

3Uo）

【详解】设点尸距离水面的高度为人（米）与时间/（秒）之间的函数解析式为〃=然皿创+0）+5,

4>0,°>0,闸苦卜

A+B=6A=4

由题意，,max6,九min二-2,•1i一2,解得'

5=2

-2712,71兀­,,,71|_

,:T=—=60,.-.fy=—,贝i]/z=4sin|—t+(p+2.

coT30130J

当看=0时，/z=0,.\4sin^+2=0,则sin0=—;，

又时〈I贝好=—J.

，6

综上，〃=4sinH「-1]+2,故D正确；

13Uo)

令〃=4.]加高+2=6,贝依、金J=

若J?"—m=得£=20秒，故A正确；

3062

当r=155秒时，h=4sin|^-xl55-^|+2=4sin5K+2=2^,故B不正确;

(306J

当r=50秒时，A=4sin|^-x50-^|+2=4sin^+2=-27K：,故C正确.

故选：B.

7.（24-25高三上•湖南长沙•期末）若cos（a-0=火，cos2a=YY,并且47?均为锐角，且。〈尸，则a+夕

V7510

的值为（）

71715兀

A.-B.一D.

64~6~

【答案】c

【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得sin(a-0=-撞，sin2a=①，再由两角差的余

弦公式计算可得结果.

TT7T

【详解】由0<a<,<5,可得一尸<0,

又cos(a-£)=^^,所以sin(a_/7)=-Ql-cos2(a—/7)=-^^~,

因为cos2a=也°,0<2cr<7i,所以sin2a=J1一cos?2a=3^^,

1010

所以cos(a+4)=cos[2a-(a-/)]=cos2acos(a-/)+sin2asin(a-Q)

VlOV53屈275V2

=---x----------x----=-----，

1051052

37r

又因为a+4e(0,兀)，所以a+/?=彳.

故选：C

8.(2025高三・全国•专题练习)已知A/BC的内角48,C所对的边分别为若

(c-a)siiL4=csinC-bsinB,b=3,则NC边上中线长度的最大值为()

A30R4A/3r3若n40

2323

【答案】C

【分析】根据正弦定理角化边得到"+,2-9=ac,结合基本不等式得到/+°2<18,再由中线长公式求

解.

【详解】(c-o)SIIL4=csinC-bsinB,由正弦定理可得(c-a)a=c?-〃，

1jr

即a1+c2-b2-ac,则cosB=—,vBe(0,4)，.二B=—,

22

又b=3,所以〃2+02—9=〃°,因为巴上当且仅当〃=。=3时等号成立，

2

22

所以。2十。2一则/+。2«18.

2

设AC边上中线的长度为h,则2h=^a2+c2-2accos^~=)2"+1)-9<727=373,

所以NC边上中线长度的最大值为述.

2

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(24-25高三上・吉林・期末)在△NBC中，内角4瓦。所对的边分别为，已知

〃=3,b=2,sinB=sin24,则()

A.sin5=4yB.cosA=—

93

C.c=3D.SAABC-2V2

【答案】ACD

【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出cos4sin4sinB,cos5,进而由和角公式得出

cosCsiiL4=cosA,进而得出C=Q=3,最后求出三角形面积.

H^/sin5=sin2^,所以sin5=2siiL4cos4b=2acos4,又。=3,b=2,

所以cos/=，,sin/=Rl>sinB=皿2,又6<a,所以cos2=1,

3399

cosC=-cos(/+8)=-cos/cosB+sirUsinS=；=coS,所以c=。=3,

-X2X3X^^=2A/2.

<?-bcsinA=

UAABC223

故选：ACD

10.(24-25高三上・重庆•期末)已知函数/@)=5皿3》+夕)，曰＜。＜外的图象关于直线》=-1对称，则

()

A./(x)的最小正周期为三B./(x)的图象关于点［三,0j对称

C.“X)在(0高上有最小值D./(x)在［上有两个极值点

【答案】ABD

【分析】根据对称可得夕=-?，即可得/(x)=sin0x-；J,根据周期的计算公式求解A,代入即可求解

B,根据整体法即可求解CD.

［详余星］3乂［_^|)+9=_弓+0=|■+痴，左eZ,即0=今+左兀,左eZ,

而一故人=_1,夕=_/.故/(x)=sin(3x-：］,

224＜4J

b2兀2兀

对于选项A：最小正周期7=旧=7，正确.

对于选项B：X时，3x-a=兀，(兀,。)为V=sinx的对称中心，正确.

对于选项C：xe(o,£|时，3x-(e［-:无最小值，错误.

对于选项D：xej-gW］时，3x-［e］-手，斗，结合y=sinx的图象可知，有两个极值点，正确.

I612J4I42J

故选：ABD

11.（24-25高三上•湖北•开学考试）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位:

TTTT

时）的关系都符合函数〉=/sin（0x+°）+/7（/>0,。>0,--<（p<~,/zeR）.根据该港口的安全条例，

要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面

的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时

0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月

某天的时刻与水深关系：

时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00

水深/米1074710747

以下选项正确的有（）

A.水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为y=3sin《x+^+7,xe[0,24）

B.该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口

C.该船卸完货物后可以在19：00离开港口

D.该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00

【答案】ABD

【分析】根据题意求出函数的解析式，即可判断A；解不等式组166）,即可判断B；

0<x<24

求出19时水的深度，即可判断C；求出函数了=-0.3》+6+2.5与y=3sin[ex+e）+7的图象的交点，即可

判断D.

【详解】解：依题意/=3,=7,-=14-2,解得。=?,

2G）6

显然函数尸3$《尹+\+7的图象过点（2,10）,

即sin[g+e]=l,又一々<（p<3,因此0=5，

<3）226

所以函数表达式为>=35苗[巳工+e）+7,xe[0,24],故A对；

3sin—x+-1+7>6+2.5>—

依题意,(66)整理得—2,

0<x<240<x<24

即有尹2加43+3*2阳左一）

0<X<24

12k<x<4+12k(kGZ)

即

0<x<24

角军得0WxK4或12<x<16,

所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口，故B对;

该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5,

时水深为工工=也+

19y=3sinX19++77<5.5,故C错;

I66)2

该船。点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货X小时后,

该船符合安全条例的最小水深为V=-0.3x+6+2.5

/兀兀

函数>=-0.3%+6+2.5与y=3sin—x+—+7的图象交于点（5,7）,

v66

即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米,

下次水深为7米时刻为11点，

故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，

综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务，故D

对.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（24-25高三上•河北沧州•阶段练习）已知4月分别为第一象限角和第三象限角,

tana-tan£=4,tana-tan/?=42—1,贝！|sin(a-月)=.

【答案】一迪

3

【分析】根据两角差的正切公式得tan（a-0的值，再结合两个角的取值范围得到的取值，即可得到

结果.

【详解】依题意，tan（a-0=黑就|=忌口=20>。,

Ti3兀

因为2左必<a<2左1兀+2，左1£Z,2左2兀+兀<4<2左2兀十3,左2£Z,

3

即一2k之穴——7i<c—（3<—2左2兀一兀,左2£Z,

371

所1以2（及一k2）n一万兀<a—0<2（左］_k2）兀_,,又>tan（a—〉0,

所以2（左］—左2）兀—R<a—0<2（左］—左2）兀—3,k［,k?wZ,

所以sin（a-/?）=_2,.

故答案为：-迪.

3

JT

13.（24-25高三上•黑龙江大庆•期中）如图，0P。是以。为圆心，半径为1,圆心角为§的扇形，C是扇

形弧上的动点，N8在线段OP上，/BCD是扇形的内接矩形，贝U/3+空3的最大值为.

【答案】正

3

【分析】设/尸0c=6,9表达出/D=sin。，AB=cos，利用三角恒等变换得到

L3」3

^+―71Z)=—sinf^+-l求出最大值，得到答案.

33I3J

7T

【详解】设/poc=e,ewo,y,

则BC=OCsin0=sin0,OB=OCcos0=cos0

故AD=sin夕，

»ADsingVising

则=tan"00=%n工=~^，则45=OB-CU=cos。-"‘m,

an§3

M.I.2百百sin。2G.百sin。

贝UABD+---AD=cos8---------+----sm8=cos6+--------

3333

26.&

=----sm，+—,

3I3；

因为de04,所以6+j,y,

故当0+匹=火，即。=四时，/2+£l/D=Risin[d+二]取得最大值，

32633I3J

最大值为友.

3

故答案为：正

3

14.（24-25高三上•江苏无锡•阶段练习）在ZUBC中，内角4瓦。所对的边分别为。也。（"b）.已知

c=2acosA,贝1|sin5+sinZ的最大值是.

【答案】逋/，君

99

TT

3

【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到。=24,0<A<—fsinB+sinA=-4sinA+4sinA,构

造函数/«）=Y/+4/-=sin/e（0，¥）,利用导数，求出=+4的单调区间，即可求解.

【详解】由。=2acosZ,则由正弦定理可得sinC=2sin4cos4=sin24,4。£（0,兀），

所以C=24或C+24=兀，nUA+B+C=TI,且即

TT

所以C=2Z,^0<A+C=3A<7i即0</<一,

f3

sin5+sinZ=sin34—2sin4=sinZcos2Z+cosZsin24+sinZ

=sin^4(1-2sin2A)+2cos2ZsinZ+sin4=sin4-2sin34+2(1—sin2A)sinA+sin4

=-4sin3Z+4sinZ，

☆f=sin/e(O,且)，贝Uf(t)=^+4t,所以/")=-12/+4=-12(产-；)=-12(，+4)(/-

233

则在上递增;

上递减;

故答案为：述.

9

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（24-25高三上•黑龙江•期末）记△4BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

sinScosC=2siir4cos5-sinCcos5.

⑴求3；

（2）若a=2,c=3,求b和siiL4的值.

【答案】（呜

（2）6="叵

7

【分析】（1）运用两角和的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角化简计算即可;

（2）运用余弦定理和正弦定理计算即可.

［详解］（1）因为sinBcosC=2sirL4cos8-sinCcosfi，

则sin（5+C）=2siib4cos5,

因为在△NBC中,A+B+C=n,

所以sin（B+C）=sin（兀一Z）=sirM,

则有siib4二2siiL4cosB,

因为48©（0,兀）,

所以siiL4w0,cos5=—,

2

故B=S

IT

（2）由（1）可知：B=-,

在A/BC中，因为a=2,c=3,

2

由余弦定理可得：b=Q2+/一2Qccos6=4+9—2x2x3xg=7,

则6=77,

,2_V7

由正弦定理可得：-£-=-£-,即而一二万,

S1H4siiw

2

所以sid合理

回

16.（24-25高三上•山东德州•期末）在单位圆中，锐角。的终边与单位圆相交于点Pm，2连接圆心。

/

和尸得到射线。尸，将射线。尸绕点。按逆时针方向旋转。后与单位圆相交于点3,其中。£（0卷）.

（1）求出m的值和锐角a的大小；

4sin31*6cr+—|+2sin2（电一a]—4cos（a+兀）

⑵求I2）I2J,J的值；

2+2cos2（5兀+a）+cos（-a）

（3）记点8的横坐标为若/■-。!=：，求cos[q[+c°s,J的值.

1兀

【答案】（1）心=；,a=：

（2）1

（3）V15-1

4

【分析】（1）由单位圆与三角函数的定义求解；

（2）用诱导公式化简后可得；

（3）已知条件代入得cos/+£|=；,由同角三角函数关系得sin,+£）再由诱导公式化简后可得.

【详解】（1）由于点P在单位圆上，且&是锐角，

可得加＞0,

],TT

所以cosa=5，且。为锐角，可得a==

（2）4sin3^6Z+^+2sin2（:一“-4cos（a+7i）

2+2cos2（57i+a）+cos（-a）

4cos3a+2cos2a+4cosa_.

=-----------------------------------=2cosa=1；

2+2cosa+cosa

jr

（3）由（1）可知a=/xOP=§,

根据三角函数定义可得：/（0）=cos[d+g],

因为/（YJ=COS,+£|=；>0,且

因止匕d+所以sin[d+£]=等.

6<63；16）4

71

+COS\e+-\-Tl

2I6

71V15-1

=sin6>+--cos0+-

664

17.（24-25高三上•山东淄博・期末）在中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,a2,b2,cz成等差

TT

数列，且

（1）求证：为等边三角形；

（2）如图，点。在边3c的延长线上，且8C=2CD,AD=B求sin/氏4。的值.

【答案】（1）证明见详解

Q）巫

14

22

【分析】（1）根据等差中项可得〃=巴上J,再结合余弦定理分析证明；

2

（2）^BC=2CD=2x>0,在中，利用余弦定理可得x=1,再利用正弦定理运算求解.

【详解】（1）因为b2,0?成等差数列，则〃=且土且，

2

TT

又因为8=5,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,

即12=a2+c2-ac,解得a=c,

2

所以△NBC为等边三角形.

(2)T^BC=2CD=2X>Q,贝1]/3=2X,8。=3苫，

在八ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZB,

BP7=4x2+9x2-2x2xx3xx-,解得x=l,BPAB=2,BD=3,

2

ADBD

由正弦定理可得sin/B/O=2。•sinZB3H

sin/Bsin/BAD

AD14

18.（24-25高三上•安徽•阶段练习）函数〃》）=然也（8+0”/>0,0>0,陷<]]的部分图象如图所示.

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)将函数y=f(x)的图象向左平移右TT个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的31倍，纵坐标不

变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在0,?上的值域.

【答案】(l)/(x)=2sin12x+《

⑵[-亚2]

【分析】(1)根据图象易得A和周期，结合/0可得结果;

(2)根据平移和伸缩变换可得g(x),进而由整体法即可求解函数的值域.

【详解】(1)观察图象可得4=2,函数/(x)的周期「=詈712兀._

兀=—，解得0=2,

12

71

即/(x)=2sin(2x+。)，由/2sin[_《+e)=0,得—^+夕=也，

6

71

即0=标+:，keZ,而则e=：,

626

所以函数V=/(x)的解析式是“X)=2sinJ.

7T

(2)将〃x)的图象向左平移R个单位长度,

71

可得到函数V=2sin2卜+力+—=2sin(2x+gJ的图象,

6

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的g，纵坐标不变,

得至U函数g(x)的图象，贝Ug(x)=2sin14x+gj,

,兀t7C.兀4兀

当OWxV—时，一K4x+—W——,

4333

贝」一I百<2sinW2,即<g(x)<2,

因此g(x)在oj上的值域为[-6,2].

19.(24-25高三上•山东•阶段练习)16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》

中给出了积化和差与和差化积恒等式.

积化和差：sinasin尸=/[cos(a-⑶一cos(a+0],cosacos/7=—[cos(6Z+cos(a+/7)],

sinacos夕=—[sin(6Z+月)+sin(a-77)],cosasin〃=—|^sin(6Z+-sin(a-力)].

工n上/i工n•