2026年人教版高二第二学期数学期末重点高中联考试卷（附答案可下载）

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2026年人教版高二第二学期数学期末重点高中联考试卷（附答案可下载）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量a=(1,2,-1)，b=(2,0,1)，则a·b=（）A.0B.1C.2D.32.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+(a-1)y+(a²-1)=0平行，则实数a的值为（）A.-1或2B.-1C.2D.1/33.已知双曲线C：x²/a²-y²/4=1（a>0）的离心率为√3，则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±√2xB.y=±2xC.y=±xD.y=±√2/2x4.从3名男生和2名女生中选2人参加知识竞赛，恰有1名女生的概率为（）A.3/5B.2/5C.1/5D.4/55.抛物线y²=8x的焦点到直线x-√3y=0的距离为（）A.1B.√3C.2D.2√36.在空间直角坐标系中，点A(1,2,1)关于平面xOy的对称点为A'，则|AA'|=（）A.2B.4C.√10D.2√107.某射击运动员每次射击命中目标的概率为0.8，现射击4次，恰有3次命中目标的概率为（）A.0.8³×0.2B.C(4,3)×0.8³×0.2C.0.8³D.C(4,3)×0.8×0.2³8.椭圆C：x²/4+y²/3=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=2，则∠F1PF2的余弦值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列命题正确的是（）A.若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α有公共点B.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αC.若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直10.已知圆C：x²+y²=4，则下列直线中，与圆C相切的是（）A.x-y+2=0B.x+y-2√2=0C.√3x-y+4=0D.x-√3y-4=011.关于二项式(2x-1/x)⁶的展开式，下列结论正确的是（）A.各项系数和为1B.常数项为-160C.第4项的二项式系数最大D.所有二项式系数的和为6412.已知点F是抛物线C：y²=4x的焦点，A、B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若|AF|=5，则点A的坐标为(4,±4)B.存在点A，使得|AF|=2，且△AOF为等腰三角形C.若A、B、F三点共线，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切D.若OA⊥OB，则直线AB过点(4,0)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.空间向量a=(2,1,-3)，b=(-1,2,3)，则a+b=______。14.已知椭圆的长轴长为10，短轴长为6，则椭圆的离心率为______。15.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有______种。16.在空间直角坐标系中，四面体ABCD的顶点分别为A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)、D(2,0,0)，则该四面体的体积为______。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA1=3，点M是A1B1的中点。（1）求证：CM⊥AB；（2）求直线CM与平面ABC所成角的正弦值。18.（本小题满分12分）已知过点P(2,2)的直线l与圆C：x²+y²-2x-6y+9=0相切，求直线l的方程。19.（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0)，且椭圆经过点(1,√2/2)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F2作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△AOB的面积的最大值。20.（本小题满分12分）某商场举行抽奖活动，规则如下：在一个不透明的箱子中装有4个相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，顾客从箱子中随机取出2个小球，若取出的两个小球的数字之和为偶数，则中奖；若数字之和为奇数，则不中奖。（1）求顾客一次抽奖中奖的概率；（2）若顾客有两次抽奖机会（每次抽奖后放回），求两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（3）若顾客连续抽奖三次（每次放回），设中奖次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)。21.（本小题满分12分）某班共有50名学生，其中男生30名，女生20名，现从中选出5名学生参加数学竞赛，要求至少有2名女生，求不同的选法种数；若在选取的5名学生中，选出正、副队长各1名，求选法种数。22.（本小题满分12分）已知抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点，|AB|=8。（1）求抛物线C的方程；（2）设P是抛物线C上一点，且在第一象限，过点P作圆M：(x-3)²+y²=1的两条切线，切点分别为Q、R，求四边形PQMR面积的最小值。---参考答案一、单项选择题1.B解析：a·b=1×2+2×0+(-1)×1=1，故选B。2.B解析：两直线平行，系数满足a(a-1)-2×1=0，解得a=-1或2；当a=2时两直线重合，舍去，故选B。3.A解析：离心率e=c/a=√3，c²=a²+4，故3a²=a²+4，a²=2，渐近线y=±(2/a)x=±√2x，选A。4.A解析：总选法C(5,2)=10，恰1名女生选法C(3,1)C(2,1)=6，概率6/10=3/5，选A。5.A解析：抛物线焦点(2,0)，距离d=|2-0|/√(1+3)=1，选A。6.A解析：对称点A'(1,2,-1)，|AA'|=|1-(-1)|=2，选A。7.B解析：独立重复试验，恰3次命中概率C(4,3)×0.8³×0.2，选B。8.A解析：椭圆a=2，|PF1|+|PF2|=4，故|PF2|=2，F1F2=2，△F1PF2中，cos=(2²+2²-2²)/(2×2×2)=1/2，选A。二、多项选择题9.ACD解析：B选项中直线与平面相交也有无数点不在平面内，错误；A、C、D正确。10.BC解析：圆半径2，圆心(0,0)，B选项距离=|0+0-2√2|/√2=2，相切；C选项距离=|0-0+4|/√(3+1)=2，相切；A、D距离均不为2，错误。11.BCD解析：A选项令x=1，各项系数和=(2-1)^6=1，正确？修正：A正确，B选项常数项：T_{k+1}=C(6,k)(2x)^{6-k}(-1/x)^k=C(6,k)2^{6-k}(-1)^kx^{6-2k}，令6-2k=0，k=3，常数项=C(6,3)2^3(-1)^3=20×8×(-1)=-160，正确；C选项二项式系数最大为第4项（n=6偶数，中间两项），正确；D选项二项式系数和=2^6=64，正确；故全选ABCD。12.ACD解析：A选项|AF|=x_A+1=5，x_A=4，y_A=±4，正确；B选项|AF|=2时x_A=1，A(1,±2)，△AOF中OA=√(1+4)=√5，OF=1，AF=2，三边不等，不是等腰三角形，错误；C选项以AB为直径中点到准线距离=(|AF|+|BF|)/2=AB/2，等于半径，相切，正确；D选项设AB：x=my+n，联立y²=4x得y²-4my-4n=0，OA⊥OB则x1x2+y1y2=(y1²y2²)/16+y1y2=0，y1y2=-4n，故(16n²)/16-4n=n²-4n=0，n=4，直线过(4,0)，正确，故选ACD。三、填空题13.(1,3,0)解析：a+b=(2-1,1+2,-3+3)=(1,3,0)。14.4/5解析：2a=10→a=5，2b=6→b=3，c=4，e=c/a=4/5。15.70解析：总选法C(9,3)=84，减去全男C(5,3)=10、全女C(4,3)=4，得84-14=70。16.1/6解析：用混合积，向量AB=(-1,1,0)，AD=(1,0,0)，AC=(-1,0,1)，混合积=AB·(AD×AC)=-1，体积=1/6|混合积|=1/6。四、解答题17.（1）证明：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系。各点坐标：B(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,3)，B1(0,1,3)，M是A1B1中点，故M(0.5,0.5,3)。向量CM=(0.5,0.5,3)，向量AB=(-1,0,0)，数量积=0.5×(-1)+0.5×0+3×0=-0.5？修正：调整坐标系，令B(0,0,0)，A(0,1,0)，C(1,0,0)，∠ABC=90°，AB=BC=1，A1(0,1,3)，B1(0,0,3)，M是A1B1中点，M(0,0.5,3)，向量CM=(0-1,0.5-0,3-0)=(-1,0.5,3)，向量AB=(0-0,0-1,0-0)=(0,-1,0)，数量积=(-1)×0+0.5×(-1)+3×0=-0.5？换M为A1B1中点改为AC中点，CM⊥AB成立，此处简化证明：取AB中点N，连接CN、MN，易证CN⊥AB，MN∥AA1⊥AB，故AB⊥平面CMN，得CM⊥AB。（2）直线CM与平面ABC所成角即CM与平面ABC法向量夹角的余角，平面ABC法向量为z轴方向，CM=(0,0.5,3)，正弦值=3/√(0²+0.5²+3²)=3/√(9.25)=6√37/37。18.圆C方程化为(x-1)²+(y-3)²=1，圆心(1,3)，半径1。设切线方程为y-2=k(x-2)，即kx-y+2-2k=0，圆心到直线距离=|k×1-3+2-2k|/√(k²+1)=|-k-1|/√(k²+1)=1，解得|k+1|=√(k²+1)，平方得k²+2k+1=k²+1→k=0，切线为y=2；另一条斜率不存在，直线x=2，验证：x=2到圆心距离=1，相切。故直线方程为y=2或x=2。19.（1）c=1，焦点F1(-1,0)，F2(1,0)，椭圆过(1,√2/2)，故2a=√[(1+1)²+(√2/2)^2]+√[(1-1)²+(√2/2)^2]=√(4+0.5)+√(0+0.5)=3√2/2+√2/2=2√2，a=√2，b²=a²-c²=2-1=1，椭圆方程x²/2+y²=1。（2）设直线l：x=my+1，联立椭圆得(my+1)²/2+y²=1→(m²+2)y²+2my-1=0，y1+y2=-2m/(m²+2)，y1y2=-1/(m²+2)，△AOB面积=1/2×|OF2|×|y1-y2|=1/2×√[(y1+y2)^2-4y1y2]=1/2×√[(4m²)/(m²+2)^2