三角形的证明（十大题型）解析版-2024-2025学年北师大版八年级数学下册

三角形的证明(压轴专练)(十大题型)

目录：

题型1:手拉手模型

题型2：倍长中线、类倍长中线模型

题型3：截长补短模型

题型4：三角形的传统解答证明题

题型5：旋转问题

题型6：折叠问题

题型7：动点问题

题型8：最值问题

题型9：数学活动题

题型10：三角形的证明在平面直角坐标系的应用

题型1：手拉手模型

1.(1)问题发现：如图1,和AOCE均为等边三角形，当应转至点A,D,E在同一直线上,

连接易证ABCE当"CD,则①/3EC=_；②线段力D,2E之间的数量关系」

(2)拓展研究：如图2,AZCB和ADCE均为等腰三角形，且//C8=/DCE=90。，点A,D,E在同

一直线上，若/£=12,DE=7,求4B的长度；

(3)如图3,P为等边三角形N3C内一点，且/4PC=150。，ZAPD=^°,AP=4,CP=3,DP=1,

求BD的长.

【答案】(1)①120°；②AD=BE；⑵13；(3)2回

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用，

(1)证明ANCD咨A8C£(SAS).得到/4DC=/BEC.利用SCE为等边三角形，得到

ZCDE=ZCED=60°,再利用点N,D,£在同一直线上，可得Z4DC=120。，即可得/8EC=120。；

(2)证明丝A8CE(SAS),可得AD=BE=AE-DE=15-7=8,/ADC=/BEC,再证明

ZAEB=/BEC-/CED=90。,利用勾股定理求解即可；

(3)把“尸。绕点C逆时针旋转60。得△BEC,连接尸石，可得ABEC知APC,证明/CE是等边三角形,

证明/3£。=90。，再证明。、尸、后在同一条直线上，求出0日利用勾股定理求解即可.

【解析】解：(1)①•••△ZCB和△QCE均为等边三角形，

:・CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°.

：.ZACD=ZBCE.

'AC=BC

在和△BCE中，＜/ACD=/BCE,

CD=CE

：."CD名△BCE(SAS).

・•・/ADC=/BEC.

・・・△£＞《£为等边三角形，

・•・/CDE=/CED=60。.

•・•点4,D,E在同一直线上，

ZADC=nO°.

：.ZBEC=120°.

②由①得：AACD知BCE,

：.AD=BE；

故答案为：①120。；②AD=BE.

(2),••△4C3和均为等腰直角三角形，

：.CA=CBfCD=CE,NACB=NDCE=90。.

：./ACD=NBCE.

"AC=BC

在△4CQ和△BCE中，＜ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.△4CQ%BCE(SAS),

:・AD=BE=AE-DE=\2-7=5,NADC=NBEC,

・・・△DCE为等腰直角三角形

・・・NCDE=NCED=45。.

・・,点A,D,E在同一直线上,

—4DC=135°.

/BEC=135°.

：.ZAEB=/BEC-ZCED=90°.

•••AB=4AE^+BE2=J144+25=13；

(3)把A/PC绕点C逆时针旋转60。得ABEC,连接尸E,如图所示：AP=4,CP=3,DP=7

图3

则ABEC以APC,

：.CE=CP,ZPCE=60°,BE=AP=A,/BEC=/APC=15。°,

：.APCE是等边三角形，

ZEPC=/PEC=60°,PE=CP=3,

：./BED=/BEC-ZPEC=90°,

ZAPD=30°,

：.ZDPC=150°-30°=120°,

又ZDPE=ZDPC+/EPC=120°+60°=180°,

即。、尸、E在同一条直线上，

：.DE=DP+PE=l+3=10,

在Rt^BDE中，BD=^BE1+DE2=2729,

即8。的长为2a.

【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题

的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中.

2.【探究发现】（1）如图所示，A/8C和ACDE均为等边三角形，ACDE绕点C旋转，其中，4c交BD于点

M,AE交CD于点、N,NE交BD于点。，如图1所示当ACDE旋转到点2、C、E在同一条直线上时，以下

结论成立的是：

①AE=BD；②/4QB=60。；③OC平分/MON；④AACN%ABCM.

【类比探究】⑵当ACDE旋转到“5C外部时，且点3、C、£不在同一条直线上时，如图2,⑴中结论

仍然成立的是：_（只填序号）若②正确请进行论证，若不正确，请说明理由；

【类比应用】（3）当ACDE旋转到与有部分重叠时，如图3,（1）中结论仍然成立的是：_（只填序

号）若③正确请进行论证若不正确，请说明理由；

A

A

【答案】（1）①②③④；（2）①②③，理由见解析；（3）①②③，理由见解析

【分析】（1）①根据全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质即可证明；②利用三角形内角和定理及

等量代换即可证明；③连接0C,过点C作CELBDCGVAE,由全等三角形的性质及角平分线的性质即

可证明；④利用等边三角形的性质及全等三角形的判定即可证明；

（2）证明方法同（1）类似；

（3）证明方法同（1）类似.

【解析】解：（1）解：是等边三角形，

：.AC=BC,ZBAC=ZACB=60°,

•/AE。是等边三角形，

CE=CD,/DCE=60。,

：.ZACB=ZDCE=60°,

/ACB+/BCE=ZDCE+/BCE,

即/ACE=ZBCD，

AC=BC

在A/CE和A3C£>中，<ZACE=ZBCD,

CE=CD

...A/CE四ABCD(SAS),

；.AE=BD,ZCAE=ZCBD,故结论①成立；

在AZBO中，ZAOB=\80°-(ZBAO+ZABO)

^iSO°-(ZBAO+ZCBO+ZABC)

=\S00-(ZBAC+ZABC)

=180°-(60°+60°)=60°,

/.ZAOB=60°,故结论②成立；

如图所示：连接OC,过点C作CFIBDCGVAE,

：.AE=BD,

CF=CG,

：.OC平分/MON；结论③成立;

,?"CE丝ABCD,

ZCBD=/CAE,

ZACB=ZECD=60°,

/.ZACD=60°,

.../ACB=/ACD,

BC=AC,

:.AACN-BCM,结论④成立；

故答案为：①②③④；

(2)是等边三角形,

:.AC=BC,/B4C=/4CB=6Q°,

,/AECA是等边三角形，

/.CE=CD,ZDCE=60°,

/ACB=/DCE=60°,

：.ZACB+/BCE=ZDCE+/BCE,

即/ACE=/BCD,

AC=BC

在A/CE和中，＜ZACE=ZBCD,

CE=CD

：.AACE卷ABCD(SAS),

:.AE=BD,/C4E=NCBD,故结论①成立；

在AZBO中，ZAOB=\80°-(ZBAO+ZABO)

=180°-(/胡。+NCBO+NABC)

=^0°-(ZBAC+ZABC)

=180。一(60。+60。)=60。，

/.ZAOB=60°,故结论②成立；

如图所示：连接OC,过点C作C/，5。，CGLAE,

A

・.•^ACEgABCD,

AE=BD,

・,.CF=CG,

・・・oc平分/MCW；结论③成立；

・・,AACE^^BCD,

・•・/CBD=NCAE,

•：NACB=NECD=60。,

：./ACD>60°,

AZACB^ZACD,结论④不成立；

故答案为：①②③；

(3),••△43C是等边三角形，

；.AC=BC,/BAC=/ACB=60。,

・・・△£CD是等边三角形，

:・CE=CD,ZDCE=60°,

・,.NACB=/DCE=60。,

：.ZACB-ZDCA=/DCE-ZDCA,

即/BCD=NACE,

AC=BC

在△4CE和△5CD中，\/ACE=/BCD,

CE=CD

：.△/C£-8C0(SAS),

A

:.AE=BD,/CAE=/CBD,故结论①成立；

在中，ZAOB=\80°-[ZBAO+ZABO)

=180°-+ZCBO+NABC)

=180°-(^BAC+^ABC)

=180°-(60°+60°)=60°,

AZAOB=60°,故结论②成立；

如图所示：连接OC,过点C作CGLAN,

,?"CE/ABCD,

AE=BD,

：.CF=CG,

：.OC平分/MON；结论③成立;

,/AACE之ABCD,

：.ZCBD=/CAE,

无法找出另外相同的两个角，故结论④不成立；

故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，理解题意作

出相应图形，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

题型2：倍长中线、类倍长中线模型

3.（1）如图1,点。是线段8c的中点，连接/民8,则48与8的数量关系为，位置关系为

（2）①如图2,在△4BC中，N/C8=90。，点。为△4BC内一点，连接AD,DC,延长。C到点E,使

CE=CD,连接4E,若8C/E,探究/氏8。,/E之间的数量关系，并说明理由；

②如图3,在△/BC中，ZACB=90°,/C=8C,点。为48中点，点E在线段上（点E不与点8,点

。重合），连接CE,过点A作连接阳，若FD=3,CF=2,请直接写出么尸的长.

【答案】（1）相等；平行

（2）®AB2=AE2+BD2,详见解析；②AF=3®+2

【分析】（1）由中点的定义可得。/=。。，0B=0C,然后可证AO/BGAODC,然后根据全等二角形的性

质和平行线的判定定理即可解答；

（2）①延长2C到T,使得C7=/C,连接ET,DT,BT.先说明CE=CD、AC=CT、

AE=DT,AE//DT,平行线公理得出/ZD8=90。，由勾股定理可得8〃+=/炉+台。2,然后

利用等腰三角形三线合一的性质得出37=胡，最后运用等量代换即可解答；②长FD到T,使得

DT=DF,连接87,延长CE交87于点J.再证尸C=AC"（AAS）可得C/=3J=2,AF=CJ,再说明

△7LR是等腰直角三角形，最后根据直角三角形的性质即可解答.

【解析】（1）解：结论：AB=CD,AB//CD,理由如下：.

如图1中，：点。是线段/D,CB的中点，

/.OA^OD,OB=OC,

在△045和△0DC中，

0A=OD

<ZAOB=/DOC,

OB=OC

：.△CUB%O"SAS）,

/.AB=CD,ZA=ND,

：.AB//CD.

故答案为：相等；平行.

⑵解：①结论：AB2=AE2+BD2.

A

理由：延长4c到T,使得CT=ZC,连接石丁，DT,BT.

9：CE=CD,AC=CT,

・・・同理（1）可证4£=QT,AE//DTf

'：BD1AE,

：.BDLDT,

：.ZTDB=90°,

BT2=DT2+BD2=AE2+BD2,

VCB1AC,AC=CTf

・•・BT=BA,

AB2=AE2+BD2;

②如图3中，延长ED到T,彳吏得DT=DF=3,连接BT,延长CE交BT于点/

A

图3

・.・AD=DB,FD=DT,

二同理可证/尸=5T,AF//BT,

丁AFLCJ,

：.CJ1BT,

；・/AFC=NCJB=90。,

VZACF+ZBCJ=90°,ZBCJ+ZCBJ=90°f

：.ZACF=ZCBJ,

・・・AC=CB,

：.△//。丝△CTB(AAS),

：.CF=BJ=2,AF=CJ,

：.JF=CJ-CF=AF-CF=AF-2,

JT=BT-BJ=AF-CF=AF-2f

：.JF=JT=AF-2

・・・△兀不是等腰直角三角形，

:・FT=6FJ，即后(/尸-2)=3+3.

AF=342+2.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、

直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解答本题的关键.

4.已知：等腰放△45C和等腰放△4DE中，AB=AC,AE=AD,ABAC=ZEAD=90°.

(1)如图1,延长。K交8c于点尸，若/A4E=68。，则/。尸C的度数为二

(2)如图2,连接EC、BD,延长区4交3。于点若乙4£C=90。，求证：点"为AD中点；

(3)如图3,连接EC、BD,点G是CE的中点，连接/G,交2。于点/7,AG=9,HG=5,直接写出△/EC

的面积.

【答案】(1)68°；(2)见解析；(3)36

【分析】(1)由已知条件可得ND=ZC=45°,对顶角ZAQD=ZCQF,则ZCMC=ZDFC,根据ZDAE=NCAB

即可的/D尸C=/8/E；

(2)过点B作ME1的垂线交EM的延长线于N,证明△/EC电△8及4,得/£=8N,进而可得40=NS,再

证明ADAM”ABNM即可得证点〃■为AD中点；

(3)延长ZG至K,使得GK=/G=9,连接CK,设/E交于点P,先证明A48EgzUCZ),进而证明

AAEG^AKCG,根据角度的计算以及三角形内角和定理求得N84D=NKC4,进而证明△43。段/XC/K,

再根据ZCAG=ZABD,ABAC=90°，证明，加，根据已知条件求得S》'D最后证明S"EC=S“皿即可.

【解析】（1）设。尸交/C于。，如图1,

X

BFC

图1

•・•△45。是等腰耳△/5C和△4DE是等腰如

/D=/C=45°

ZAQD=ZCQF

・.♦ZDAQ=1SO-ZD-ZAQD,ZQFC=180—NC—ZCQF

/.ADAQ=ZQFC

•・,ABAC=ZEAD=90°

即/BAE+ZEAQ=ZEAQ+ZQAD

・,./BAE=ZQAD

ZDFC=/BAE

•・•/BAE=68°

/.ZDFC=68°

故答案为68。

（2）如图2,过点8作ME的垂线交瓦〃的延长线丁N,

D

ZN=90°

•・•ZAEC=90°

ZN=ZAEC

・・•ABAC=90°

ZEAC+ZNAB=90°

•・•/NAC+/ACE=90。

/./NAB=Z.ECA

•・,△48。是等腰耳△/5C和zx4。石是等腰瓦△4Z）£

AB=AC,AD=AE

又•・,AC=AB

△AE8ABNA

NB=AE

•・•AE=AD

...AD=NB

•••NDAE=9。。

:.ZDAM=90°

ZDAM=NN

又・.•/DMA=4BMN

ADAM”ABNM

:.DM=BM

即“是5。的中点

(3)延长/G至K,使得GK=4G=9,连接CK,设/月交3C于点尸，如图

•・•ABAC=ZEAD=90°

即/BAE+/EAC=ZEAC+ACAD

/BAE=/CAD

•・•ZX/BC是等腰和是等腰

/.AB=AC9AE=AD

在与△ZC。中，

AE=AD

</BAE=/CAD

AB=AC

:•小ABE/小ACD(SAS)

S«BE~S^ABD，BE=CD

・「G点是EC的中点

EG=GC

・・・/AGE=/KGC,AG=GK

AAGE^AKGC(SAS)

AE=CK,/AEG=ZKCG

AE=KC=AD,

ZACK=ZACB+/BCE+ZKCG

=45。+/AEC+/BCE

=45°+ZABC+ZBAP

=90°+NBAE

=ZBAD

AAKC^^ABD(SAS)

；.BD=AK=\8,ZCAK=AABD

ZBAG+ZCAG=90°

:./ABD+/BAG=90。

即ZAHB=90°

vAG=9,HG=5

AH=AG—HG=9—5=4

・=

•S^LA\ARBnU—2BD-AH=—2xl8x4=36

S4AEC=SAJEG+SXAGC=S^GCK+S^AGC=^AACK=^AABD=36

S'AEC=36

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角

性质，构造辅助线是解题的关键.

题型3:截长补短模型

5.(1)阅读理解：问题：如图1,在四边形4BCD中，对角线8。平分NZ8C,ZA+ZC=180°.求证：

DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在3c上截取即1=如，连接。M,得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长切到点N,使得BN=BC,连接£W,得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.

(2)问题解决：如图2,在(1)的条件下，连接/C,当4UC=60。时，探究线段N8,BC,3D之间

的数量关系，并说明理由；

(3)问题拓展：如图3,在四边形ABC。中，ZA+ZC=180°,DA=DC,过点。作。EL8C,垂足为点

E,请写出线段42、CE、8c之间的数量关系.

A

【答案】(1)见解析；(2)AB+BC=BD,见解析；(3)BC-AB=2CE,见解析

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；

(1)方法1：在2。上截取W=连接。“，证明之AMSD(SAS),得出=

AD=MD,进而得出NC=NCML>,则。M=OC,等量代换即可得证；方法2：延长4B到N,使

BN=BC,连接DN,证明AA®。空AC8D(SAS),得出=ND=CD,进而得出

ZBND=ZNAD,则等量代换即可得证

(2)AB,BC,AD之间的数量关系为+=.方法1：在AD上截取段1=43,连接Z尸，由。)

知NB4O+N8C£)=180。，得出△48尸，为等边三角形，证明A/BC丝“ED(SAS),得出。尸=BC,

进而即可得证；方法2：延长C2到P,使2尸=创，连接北，由⑴知40=0则△NOC,“BP是等

边三角形，证明AP4C0ABW(SAS),得出尸C=AD,进而即可得证；

(3)线段48、CE、3C之间的数量关系为8C-Z8=2C£,连接AD,过点。作。尸，4B于点尸，证明

△DFA沿ADEC(AAS),RtABD尸丝和RtABOE(HL),得出BF=BE,进而即可得证.

【解析】解：(1)方法1：在2C上截取9=皿，连接。河，

图①

ZABD=/CBD,

在△4AD和△"8。中，

BD=BD

</ABD=/MBD,

BA=BM

:.AABD^MBD（SAS）,

:"A=/BMD,AD=MD,

vABMD+ZCMD=180°,ZC+ZA=180°,

.•・/C=/CMD,

:.DM=DC,

DA=DC；

方法2：延长到N,使BN=BC,连接。N,

B

/./NBD=/CBD,

在AABO和△CSD中，

BD=BD

<ZNBD=ZCBD,

BN=BC

.•.△AWZ）四△CBD（SAS）,

:.乙BND=/C,ND=CD,

ZNAD+/BAD=180。，ZC+/BAD=180。，

/./BND=/NAD,

:.DN=DA,

?.DA=DC；

(2)AB,BC,5。之间的数量关系为ZB+5。=AD.

方法1：理由如下：

如图2,在AD上截取台尸二孤，连接4月，

图2

由（1）知N8/Q+NBC7）=180。，

ZABC+ZDAC=m0,

•・•ZDAC=60°,

ZABC=120°,

:"ABD=/DBC=60。,

:.AABF为等边三角形,

AB=AF=BF,ZB/b=60。，

•・•AD=DC,

，"DC为等边三角形，

AD=AC,ADAC=60°,

ZDAF=ABAC,

.-.AASC^AAFD（SAS）f

:.DF=BC,

:.BD^BF+DF=AB+BC.

方法2：理由：延长C5到P,使BP=B4,连接",

图2

由（1）知/£>=CD,

•••ADAC=60°,

:.^ADC是等边三角形,

:.AC=ADfZADC=60°,

•・•ZBCD+ZBAD=^0°,

/ABC=360°-180°-60°=120°,

/.ZPBA=180。—/ABC=60°,

•・•BP=BA,

尸为等边三角形，

/.ZPAB=60°,AB=AP,

ADAC=60°,

/.ZPAB+ABAC=ADAC+ABAC,

即APAC=ABAD,

在△尸/C和△氏4。中，

"PA=BA

</PAC=/BAD,

AC=AD

..APAC^ABAD(SAS),

/.PC=BD,

・・・PC=BP+BC=AB+BC,

AB+BC=BD；

(3)线段/5、CE、5c之间的数量关系为5C-/5=2C£.

连接50,过点。作。尸，4g于点尸，

/BAD+NC=180。ZBAD+ZFAD=180°,

图3

ZFAD=ZC,

在△OE4和△D£C中,

NDFA=/DEC

<ZFAD=ZC,

DA=DC

.-.ADFA^ADEC(AAS),

.­.DF=DE,AF=CE,

在RSDF和RtABDE中,

BD=BD

DF=DE>

RSB。/经Rb即E（HL）,

BF=BE,

BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE,

BC-BA=2CE.

6.阅读与理解：

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，在△/吕。中，AB>AC（如图），怎样证明

呢？

分析：把/C沿的角平分线4。翻折，因为所以，点C落在上的点。处，即4C=/C,

据以上操作，易证明△NCO0ZX/CD,所以N/C'O=NC,又因为所以NC>ZB.

感悟与应用：

（1）如图（a）,在△ABC中，AACB=90°,AB=30°,CD平分NACB,试判断/C和4D、之间的

数量关系，并说明理由；

（2）如图（b）,在四边形4BC0中，4c平分NB4D,AC=16,AD=8,DC=BC=12,

①求证：Z8+ZD=180。；

②求48的长.

【答案】（1）BC-AC=AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14

【分析】（1）在CB上截取CE=CA,连接DE,证4ACD咨Z\ECD得DE=DA,ZA=ZCED=60°,据此

NCED=2NCBA,结合NCED=NCBA+NBDE得出NCBA=NBDE,即可得DE=BE,进而得出答案;

(2)①在AB上截取AM=AD,连接CM,先证aADC之△AMC,得到ND=NAMC,CD=CM,结合

CD=BC知CM=CB,据此得NB=NCMB,根据/。^8+/。\4人=180。可得；

②设BN=a,过点C作CN_LAB于点N,由CB=CM知BN=MN=a,CN2=BC2-BN2=AC2-AN2,可得

关于a的方程，解之可得答案.

【解析】解：(1)BC-AC=AD.

理由如下：如图(a),在CB上截取CE=CA,连接DE,

VCD平分NACB,

ZACD=ZECD,

又CD=CD,

.'.△ACD^AECD(SAS),

・・・DE=DA,NA=NCED=60。，

・・・NCED=2NCBA,

ZCED=ZCBA+ZBDE,

.,.ZCBA=ZBDE,

・・・DE=BE,

・・・AD=BE,

BE=BC-CE=BC—AC,

・・・BC—AC=AD.

(2)①如图(b),在AB上截取AM=AD,连接CM,

VAC平分NDAB,

・・・NDAC=NMAC,

•・・AC=AC,

AAADC^AAMC(SAS),

・・・ND=NAMC,CD=CM=12,

VCD=BC=12,

，CM=CB,

.-.ZB=ZCMB,

VZCMB+ZCMA=180°,

.,.ZB+ZD=180°；

②设BN=a,

过点C作CN±AB于点N,

VCB=CM=12,

；.BN=MN=a,

在RtABCN中，CN2=BC2-BN2^n2-a2,

在RtAACN中，CN2=AC2-AN2=162-(8+a)2,

贝!]12?-me?-(8+a)?,

解得：a=3,

即BN=MN=3,

则AB=8+3+3=14,

.\AB=14.

以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性

质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.

题型4：三角形的传统解答证明题

7.已知：在Rt^4BC中，/48C=90°,点。在边上，ZACD+ZBDC=90°,

图1图2图3

⑴如图1,求证：CD平分NACB；

(2)如图2,点E在48延长线上，且/C=/E,过点E作EF人CD于点F,EF交.BC于点、H.求证：

DE=CH-

(3)如图3,在(2)的条件下，过点C作CGLNC交NE延长线于点G,若。为4E中点，AC=4,求2G

的长.

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

(3)1

【分析】此题考查了全等三角形的的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识.

(1)设//CD=a,证明/加C=90-fz,在△BCD中，证明/8CZ)=a,则=即可得到结

论；

(2)证明AECH丝AFED(ASA),即可得到结论；

(3)延长CG,FE相交于点/,过点/作/JLCD于点J.证明GZ»=GC,再证明“OJ之甲(AAS),

得到FE=4/=CF,证明A4/C£AC"(ASA),得至IJ/C=C/=4,Z/=ZACD,证明

ZI=AFED=ZGEI,贝l]EG=/G,设EG=IG=x,贝lj£G=/G=x,得至ljC7=CG+/G=x+2+x=4,解

[01A

得x=l.则EG=/G=1,得至IJCG=3,AG=AE+EG=5,BC=《,勾股定理求出/8=不，贝！]

BD=AB-AD=*2=*,即可得到8G的长.

【解析】(1)证明：设/ZCD=a,

,?ZACD+ZBDC=90

：.ZBDC=90-a

•：ZABC=90

...在ABC〃中，ZBCD=180°-90°-(90°-a)=a,

:.ZACD=/BCD

：.8平分//C8；

(2)设//CJD=(Z,

在△N8C中，ZA=180°-a-a-90°=90°-2a,

AC=AE,

NACE=ZAEC=45。+a,

ZBCE=45°-a,

：.ZFCE=a+45。—a=45。，

・・・EF1CD,

：.ZCEF=45,/FED=a,

・•・ZFCE=ZCEF,

：.FC=FE,

：.AFCH咨AFED(ASA),

二DE=CH-

(3)延长CG,FE相交于点/,过点4作4/1。。于点/

・.・/BCD+ZCDG=NACD+ZDCG=90°

・・・ZCDG=ZGCD,

・・・GD=GC,

・・・。为4E中点，

AD=DE,

•.・/ADJ=/EDF,ZAJD=ZEFD=90°,

・・.小ADJ注△EDF(AAS),

・・・FE=AJ=CF,

ZACD+ZCAJ=ZACD+ZDCG=90°

・・・ZCAJ=ZDCG,

•?ZAJC=ZCFI=90°,

.・・△4/C%C"(ASA),

AAC=CI=4,ZI=ZACD,

・・・Z/=/BCD,

・.・/BCD+/BDC=ZFED+ABDC=90°,

・・・/BCD=/FED,

・•・ZZ=/FED=ZGEI,

：.EG=IG,

设EG=/G=x,贝l」EG=/G=x,

-AC=AE=4,。为/E中点，

.・.AD=DE=-AE=2,

2

・・・DG=CG=DE+EG=2+x,

：.CI=CG+IG=x+2+x=4,

解得x=L

・•・EG=IG=\,

：.CG=3fAG=AE+EG=5,

'：S.ABC=-ACCG=-BCAG,

22

・•・4x3=58。，

55

69

・,.BG=AG-AD-BD=5-2——=一

55

8.如图1,已知4ABC，/ACB=90°,/ABC=45。，分别以，B、BC为边向外作AABD与△5C£,^DA=DB,

EB=EC,/ADB=NBEC=90。,连接£)£父/5于点尸.

DD

一

CEcECE

图1图2图3

⑴探究：N尸与8尸的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明.

(2)如图2,若乙”C=30。，NADB=NBEC=60。，题目中的其他条件不变，(1)中得到的结论是否发生变化?

请写出你的猜想并加以证明；

(3)如图3,若N4DB=NBEC=mZABC，题目中的其他条件不变，使得(1)中得到的结论仍然成立，请直接

写出用的值.

【答案】(1)4尸=38尸.理由见解析

(2)AF=3BF成立,理由见解析

(3)m=2

【分析】(1)作。GL/8于G,证明A。尸G妾AE尸B,根据全等三角形的性质证明结论；

(2)仿照(1)的证明方法证明；

(3)作于a,要使得结论/尸=38尸成立，则有/DGF=/EAF=90°,可得

^(18O°-mZABC)+ZABC=9O°,可得加=2.

【解析】(1)解:结论：AF=3BF.

理由：如图1,过点。作。G,48于G,则/DG8=90。，

:.AC2+BC2=AB2,

V2

BC=­AB,

2

•••DA=DB,AADB=90°,

.-.DG=AG=BG=-AB,

2

在RtA^EC中，ZBEC=90°,EB=EC,

:.BE=-BC=-AB,

22

DG-BE,

在A。尸G和△£尸3中，

ZDFG=ZEFB

<ZDGF=/EBF,

DG=BE

:.ADFG^EFB(AAS),

/.FG=BF,

AF=3BF；

(2)解：猜想：AF=3FB.

证明：如图2中，过点。作。于G,则/DGB=90。.

D

;DA=DB,ZADB=60°.

图2

/.AG=BG,△。比1是等边三角形.

/.DB=BA.

ZACB=90°,/ABC=30。,

:.AC=-AB=BG.

2

/.RMQBG也RMB4C(HL).

/.DG=BC.

•・•BE=EC,/BEC=60°,

是等边三角形.

BC=BE,/CBE=60°.

DG=BE,ZABE=ZABC+ZCBE=90°.

•••ZDFG=/EFB,ZDGF=/EBF,

在ADFG和AEFB中,

ZDFG=ZEFB

<ZFGD=ZFBE,

DG=BE

:ADFG知EFB(AAS).

:.GF=BF,

故4尸=3尸B；

(3)结论：m=2,

理由：如图3中，过点。作。于G,则/DGB=90。.

要使得结论/尸=35尸成立，则有/DG厂=/£3尸=90。，

1(180°-mZABC)+ZABC=90°,

/.90°--m-/ABC+/ABC=90°,

2

:.m=2.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等

三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

题型5：旋转问题

9.如图1,△4BC为等腰直角三角形，ZACB=90°.将边/C绕点A顺时针旋转a(0°<aV90。)得到MV,

连接CN,将NC绕点N逆时针旋转90。得到M0,连接NM,BN.

⑴求证：ABCN”AANM；

⑵当8,N,M三点共线时，求A*N的值；

(3)若ABCN是等腰三角形，请直接写出a的度数.

【答案】(1)证明见解析

(3)a为30°或60°或90°.

【分析】(1)先证明NC7W=9()o=N/NC+N/W,ZANC=ZACN,结合4C=8C,

NACN+NBCN=90°,可得/N=8C,ZANM=ZBCN,再进一步可得结论；

(2)如图，过A作4FLCN于尸，可得AF〃MN,CF=FN,结合8,N,M三点共线，

△BCNmAANM,可得N8NC=//AW=90°,AM=FN,AM=FN=CF=^CN,MN=2AM,求解

AN=NAM?+MN?=下AM，从而可得答案；

(3)如图，Asav是等腰三角形，分三种情况：当NC=A®时，如图，当CN=CB时，如图，当BC=BN

时，再画出图形，利用数形结合解答即可.

【解析】(1)证明：由题意得NC=NM,AC=AN,ZCNM=90°=ZANC+ZANM,

：.ZANC=ZACN,

•.•△48C为等腰直角三角形，44c8=90。.

AAC=BC,NACN+NBCN=90°,

：.AN=BC,AANM=ZBCN,

：./\BCN^/\ANM；

(2)解：如图，过A作/尸_LCN于尸，而NQW=90。，ACAN,

：.AF//MN,CF=FN,

,:B,N,M三点共线，△BCN”AANM,

/.ZBNC=ZAMN=90°,

：.AM//CN,

由平行线间距离处处相等可得：AM=FN,

：.AM=FN=CF=-CN,

2

°：CN=MN,

：.MN=2AM,

AN=ylAM2+MN2=45AM，

.AN_45AM_V5,

••CN-2AM~2，

(3)解：如图，•••△8CW是等腰三角形，

当NC=NS时，而/\BCN空AANM,

：.AM=MN=CN=BN,ZNCB=ZNBC=AMAN=ZMNA,

:•设4NCB=/NBC=/MAN=4MNA=/3,NNMB=NNBM,

:・/CNB=\8O0—20,而NC43=NCR4=45。,ZCNM=90°,

.・./MNB=360°-90°-180°+2/7=90°+2/7,

.・./NMB=/NBM=45°-/7,

而乙45N=45。-尸，

・•・/在上，

・・.45。一夕二4+4，

解得：0=15。,

・•・a=NG4N=45。—15。=30。，

如图，当CN=C5时，

AC=AN=BC,

：.AC=AN=CN,

为等边三角形,

a=ZCAN=60°,

如图，当2C=8N时，

：.AACB为ANB,

NCAB=ANAB=45°,

a=ZCAN=90°；

综上：a为30。或60。或90。.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义与

性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，旋转的性质，作出图形利用数形结合，清晰的分

类讨论是解本题的关键.

10.如图，在等腰三角形/3C中，AB=AC=4,M为平面内一点.

图1图2图3

(1)当点M在氏4的延长线上时，连接MC；

①如图1,若NR4c=90。，BDLMC交AC于点、N,AM=3,求CN的长；

②如图2,若NB/C=60。，将线段MC绕点M逆时针旋转120。得到线段汹/,连接若G为•的中点,

连接MG,请猜想线段MG,BC,之间的数量关系，并证明你的猜想；

⑵如图3,若NB/C=60。，点河在N4BC的角平分线上运动（不与点8重合），取3c中点E,将线段£4/

绕点£逆时针旋转60。得到线段E尸，连接PM,PB,设NBPE=a,请用含a的式子表示乙的度数.

【答案】（1）①CN=1,®MB=BC+2MG,理由见解析

（2）当点尸在期上方时，ZPMB=60°-1a；当点尸在5M与2C之间时，ZPMB=1a-60°；当点尸在BC下

方时，ZPMB=1200--a

【分析】（1）①证RL/BN也RtA/CM（ASA）即可得解；

②见中点构造倍长中线，延长MG至点尸，使得GF=MG,连接N尸，BF,易证ABGT7取（SAS）,再

证A/&^A/CM（SAS）,得到△如1/是等边三角形，即可得解；

（2）分类讨论，当点尸在5M上方时，当点尸在氏0与3c之间时，当点尸在BC下方时，由题易知AEPM

是等边三角形，在8E下方作等边连接尸。，易证—EM也AQEP（SAS）,从而得到尸。垂直平分班,

即可得解.

【解析】（1）解：解：①在RtAADM中，ZMBD+ZAMC=90°,

在RM/CM中，ZACM+ZAMC=90°,

Z.ZABN=ZACM,

又；AB=4C,ABAC=ACAM=90°,

/.RM/8N之RQ/CM（ASA）,

：.AN=AM=3,

；.CN=AC-AM=4-3=1；

®MB=BC+2MG,理由如下，

如图，延长MG至点尸，使得GF=MG,连接BF,

BC

・・・G为瓦7的中点，

・•・BG=HG,

BG=HG

在ABGF和AHGM中,</BGF=ZHGM,

GF=GM

：.^BGF^AHGM(SAS),

BF=HM=CM,ZGBF=AH,

MH//BF,

/ABF=Z1,

AACM+AAMC=ABAC=60°,Z1+ZAMC=180°-ZCMH=60°,

.../ABF=Z1=ZACM,

又,:AB=AC,

：.AABF^AACM(SAS)f

：.ZBAF=ZCAM,AF=AM,

：.ZBAF-ZCAF=ZCAM-NCAF,艮ABAC=AMAF=60°,

4AFM是等边三角形，

***MF=AM,

：.MB=BA+AM=BC+MF=BC+2MG；

(2)VAB=AC=4,4ZC=60。，点M在245C的角平分线上

・・・是等边三角形，

/ABM=NCBM=30。,

当点尸在攻上方时，如图，在放下方作等边△BE。，连接尸0,

・・•线段亚绕点E逆时针旋转60°得到线段EP,

EP=EM,ZPEM=60°,

**•AEPM是等边三角形，

・・・△BE。是等边三角形，

：.EB=EQ,ABEQ=60°,

.・./BEM=APEQ,

.・・△困修△QEP(SAS),

.・.NBME=ZQPE,ZMBE=ZPQE=30°,则QP平分ABQE,

・••尸0垂直平分则的==

NQPE二NBPE=1a,2PBM=ZPMB,

APMB=APME-ABME=60°--a；

当点P在■与3c之间时，如图，在班下方作等边ABE。，连接尸

同理可证A8£A£A0£尸(SAS),

；.NBME=NQPE,NMBE=ZPQE=30°,贝I]QP平分NBQE,

P0垂直平分3E,则BP=PE=PAf,

ZPQE=|NBPE=1a,2PBM=NPMB,

NPMB=NBME-NPME=-a-60°；

当点尸在3c下方时，如图，在8E下方作等边A8£。，连接尸

A

Q

同理可证△BE"四△0EP(SAS),

/.ZBME=ZQPE,/MBE=ZPQE=30°,贝IjQP平分ZBQE,

・•・直线尸。垂直平分班，则5尸=尸石=尸河，

/PQE——(360。—/BPE)—180°——cif,/PBM=/PMB,

APMB=ABME-ZPME=120°--a.

2

综上，当点P在8M上方时，ZPMB=60°-^a；当点P在W与8C之间时，ZPAffi=1a-60°；当点P在8。

下方时，ZPMB=l20°-^a.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相

关知识是解题的关键.

题型6：折叠问题

11.如图，=。，点M是射线04上的一个定点，点N是射线02上的一个动点，连接把

沿"N折叠，点。落在//O8所在平面内的点C处.

/BC/BCBA

UMAUMA°AA

图1图2图3备用图

(1)如图1,点C在//。3的内部，若/CM4=20。，NCNB=G)°,贝!]4=_.

⑵如图2,若a=45。，ON=也，折叠后点C在直线05上方,CM与08交于点£,且MN=ME,求NOMN

的度数及折痕的长.

(3)如图3,若折叠后，直线MC