三角形全等、相似及综合应用（三角形全等、三角形相似、折叠问题、旋转问题探究）-2025年中考数学答题技巧与模板构建（原卷版）

重难点05三角形全等、相似及综合应用（三角形全等、

三角形相似、折叠问题、旋转问题）

题型解篌।模型构建.।真题强化制练।模拟通关试练

［模型01三角形全等及其应用

模型02三角形全等及其应用

模型03三角形折叠问题探究

模型04三角形旋转问题探究

口时我解读

三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点。在考察题型上，

三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质

等。特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角

形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。直角三角形的出题类型可以是选择填空题

这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

④摸翅狗建

模型01三角形全等及其应用

浮.....................................

三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关

键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若已

知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，

且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。

答|题|技|巧

1.认真分析题目的已知和求证；

2.分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系;

3.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；

4.最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角

形中的边角关系是关键.

［题型守停I

1.（2024•上海）如图，点尸是上任一点，ZABC=ZABD,从下列各条件中补充一个条件,

不一定能推出AAPC二AAPD的是（）

A.BC=BDB.ZACB=ZADBC.AC=ADD.ZCAB=ZDAB

＞麦K

1.如图，把长短确定的两根木棍A3、AC的一端固定在A处，和第三根木棍摆出VABC,再将木棍AC

绕A转动，得到这个实验说明（）

A.有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等

B.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等

C.有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等

D.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等

2.下面是"作角的平分线"的尺规作图方法:

（1）如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交03于点。，E；

（2）分别以。，E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点C；

（3）作射线OC.

所以射线OC即为所求.

上述方法通过判定丝△OCD得到N3OC=NAOC,其中判定△OCE丝△OCD的依据是（）

A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

D.三边分别相等的两个三角形全等

3.综合探究

问题情境：V43C是等边三角形，点。是AC上一点，点E在BC的延长线上，且"）=CE,连接AE,DE.

图1图2图3

猜想证明回

（1）如图1,当点。是AC的中点时，DBDE-,（填“>","V"或"="）

（2）若点。为AC边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与CDE

全等来证明.以下是他们的部分证明过程:

证明：如图2,过点。作。/〃3C,交AB于点E.（请完成余下的证明过程）

问题解决:

（3）如图3,当点。是AC边上任意一点时，取8。的中点/，连接AF.求NE4E的度数.

4."综合与实践”课上，老师将一张长为4,宽为3的矩形卡纸沿一条对角线剪开，得到两个全等的三角形

纸片，表示为VA2C和」）£F（如图①），然后把这两张全等的三角形纸片完全重合叠放，其中点B与点E

重合（标记为点B）,在点B处订个钉子，将尸逆时针旋转.在旋转的过程中，发现了以下问题，请你帮

忙解答：

图①图②图③

⑴如图②，若DBF旋转的角度为90。时，延长。尸交AC于点G,试判断四边形BCGb的形状，并说明理

由；

(2)如图③，若DBF旋转的角度为锐角，。户的延长线交48于交AC于K,若一AHK为等腰三角形，

求CK的长；

⑶将D8尸旋转一周，点M为DF的中点，点N为A”的中点，请直接写出AN的最大值是多少.

5.在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的中

线有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论.根据此想法和思路，完成以下作图和填空：

(1汝口图，在VABC中，AB=AC,点。是A8的中点，连接CO.用尺规作AC的垂直平分线分别交AC,AB

于点E,F,连接8E.(只保留作图痕迹，不写作法，不下结论)

(2)已知：在VABC中，AB=AC,点。是AB的中点，EF垂直平分AC,求证：CD=BE.

证明：AB=AC

•••①

1.点。是A3的中点，所垂直平分AC

:.BD=^AB,②

:.BD=CE

在△BCD和△CBE中

BD=CE

<NABC=ZACD

BCD^CBE(SAS)

CD=BE.

进一步思考，等腰三角形两底角的平分线呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：(4)

模型02三角形相似及其应用

.j而［疝j百......................

三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或

者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。解这类问题的关键是熟练应用三角形的

判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组

边对应成比例，两个三角形相似。解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方程

思想的应用.

答|题|技|巧

1.认真分析题目的已知和求证；

2.分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；

3.在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形

4.最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角

形中的边角关系是关键。

猫型不停I

1.（2024•山西）如图，AB//CD,AE//FD,AE,ED分别交3C于点G,H,则下列结论中错

PHCHGECGAFHG一FHBF

D.----=----

FH-BHDF一CB~CE~~CGAGFA

*支式

1.如图，在VA3C中，/B=60。,AB=6,BC=8,将VABC沿下列各图中的OE剪开，剪下的阴影三角

形与VABC不一定相似的是（）

2.如图，点。在VABC的边AC上，添加一个一条件，使.AD5sABC,以下是嘉嘉和淇淇的做法.下列

说法不正确的是（）

淇淇的做法：添加条件当=当

嘉嘉的做法：添加条件NABD=NCACCn

证明：SZABD=ZC,ZA=ZA.

证明：回NA=NA,—=—

ACCB

fflADBsABC（两组角对应相

0ADBsABC（两组对应边成比例及一组

等的两个三角形相似）

对应角相等的两个三角形相似）

B

0DA

A.嘉嘉的做法证明过程没有问题B.淇淇的做法证明过程没有问题

C.嘉嘉的做法添加的条件没有问题D.淇淇的做法添加的条件有问题

3.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P由点A出发沿A8方向向点8匀速移动,速度为2cm/s,

点。由点。出发沿ZM方向向点A匀速移动，速度为lcm/s，如果动点P、Q同时从A、O两点出发,连接尸。、

PC,设运动的时间为《5乂0</<6）.若以。、A、P为顶点的三角形与，3PC相似时，贝卜的值为.

D

4.在菱形ABC。中，/ZMB=60。，点E在射线AB上，连接CE、BD.

(1)如图1,当点E是边AB的中点，求/ECD的正切值；

(2)如图2,当点E在线段AB的延长线上，连接OE与边BC交于点片如果AD=6,,EFC的面积等于34,

求E尸的长；

⑶当点E在边A8上，CE与BD交于点H,连接DE并延长OE与CB的延长线交于点G,如果AO=6,V6G¥

与以点E、G、8所组成的三角形相似，求AE的长.

5.如图1,在四边形ABC。的边A3上任取一点E,点E不与A,8重合，分别连结ED,EC,可以把四

边形ABC。分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们把E叫做四边形ABCD边上的相似点;

如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD边上的强相似点.

⑴如图1,若NA=/B="EC=40。，试判断点E是不是四边形ABC。的边A3上的相似点？(填"是"

或"不是")；

⑵如图2,在VABC中，NACB=90。，直角顶点C在直线DE上，分别过点A,8作AD_L£>E于点£),BEIDE

于点E,试判断点C是不是四边形ABED边DE上的相似点？并说明理由；

⑶如图3,AD//BC,DP平分NADC,CP平分/BCD交DP于点、P,过点P作AB_LAD于点A,交BC于

点B,求证：点尸是四边形ABC。边A3上的一个强相似点.

模型03三角形折叠问题探究

wTilWi"................................

与三角形的性质有关的折叠问题，该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型

问题，难度系数较大。三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准

确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关

知识点进行解题。

答।题।技।巧

i.运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；

2.在图形中找到一个直角三角形（选不以折痕为边的直角三角形），然后设图形中某一线段的长为x,将此

直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；

3.利用勾股定理列方程求出x；

4.进行相关计算解决问题.

|题型学.

1.（2023•山东）对于题目：“如图，点〃“分别是长方形相切的边和8c上的点，沿腑折

叠长方形46缪，点8落在点少处，若/MNB'马/CNB'两个角之差的绝对值为45°,确定/刎的所有

度数甲的结论是45°,乙的结论是/曲例=60°.下列判断正确的是（）

A.甲的结论正确

B.乙的结论正确

C.甲、乙的结论合在一起才正确

D.甲、乙的结论合在一起也不正确

＞支式

1.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交3C、钻于点。、E.如

果AC=4cm,的周长为10cm,那么3C的长为().

D.4cm

2.如图，在VABC中，AB=15,3C=12,沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在48边上的点E

处，折痕为80,若NC=2ZBDE,则DE的长为.

£

AEB

3.如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线3。折叠后，点C落在点E处，连接8E交AD于尸，再将三角

形DEF沿。尸折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分4D3,那么4Z汨的度数是

4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=9,AD=U,sinA=—,尸是射线AD上一点，连接PB,沿PB将

三角形"6折叠，得三角形AP3.

⑴当"/％'=10。时，ZAPB=度；

(2汝口图，当PT_L3C时，ZAPB=度，并求此时线段E4的长度;

⑶当点A落在平行四边形ABC。的边所在的直线上时，直接写出线段外的长度.

模型04三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）

...........................................

三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，

本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与

不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的

综合解题能力。

答।题।技।巧

1.找准旋转中心；

2.确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；

3.学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；

4.数形结合进行分析、解答。

|题型三例

1.如图所示，在RtZ\ABC中，AB=AC,D、E是斜边BC上的两点，且NDAE=45°,将4ADC

绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB,连接EF,有下列结论：①BE=DC；②NBAF=NDAC；③

ZFAE=ZDAE；@BF=DC.其中正确的有（）

C.②③④D.③④

）支式

1.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整.

【原题】如图1,点E,尸分别在正方形ABC。的边3C、CD上，㈤F=45。，连接所，试猜想砂、BE、DF

之间的数量关系.

【模型】我们把这种模型称为“半角模型"，在解决半角模型问题时，"旋转"、"截长补短”均是常用的方法.

（1）思路梳理：

A旋转法：把_/睡绕点A逆时针旋转90。

至△ADG,可使与4。重合，则

BE=DG,ZADG=NB=90。,可以得到

ZFDG=180°,即点RD、G共线.

8.截长补短法：延长C£＞至点G,使得易证,AFG二一，故砂、BE、。尸之间的

DG=BE,由/B=ZADG=90。，数量关系为

AB=AD,即△ABE■9ZiADG,可以得到

AG=AE.

(2)类比引申

如图2,点E,尸分别在正方形ABCD的边CB、OC的延长线上，ZEAF=45°.连接跖，试猜想ERBE、DF

之间的数量关系，并给出证明.

2.如图1,在RtZkABC中，ZC=90°,AC=2BC=8,点。、E分别在边2C、AC上，>DE//AB,WCDE

绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为a.

⑴问题发现

①当。=0。时，曝=；②当夕=180。时，41=；

DDDL)

(2)拓展探究

试判断：当。°〈0<36。°时，—的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明;

⑶问题解决

当CE=BC,△即C旋转至A,D,C三点共线时，直接写出线段A。的长.

❽以里裁炼

1.（2024•山西）小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结.如图，他的画图过程说明（）

彳2.5cmB

A.两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等

B.两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等

C.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等

D.两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等

2.（20244・福建）如图，ABC中，ZA=80°,AC=4,BC=6,将ABC沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的

方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（）

A

3.（2024•浙江）如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,点E、尸分别是边AB,BC边上

的点（E、/不与端点重合），且所〃AC,将谶石厂沿直线M折叠，点6的对应点为点M,延长四交

AC于点G,若以M、G、尸为顶点的三角形与/kBE厂相似，求母'的长.

4.（2023•四川）如图，将一张等腰三角形ABD纸片（440=90。），沿AC折叠后点3与点。重合，点石

为线段BC上一点，连接AE,将三角形沿AE折叠，点3恰好落在直线AC上的点片，则NC4E的余

角的度数为.

5.（2024•广东）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，平行四边形ABCD的顶点3、C在X轴上，A在V

轴上，OA=OC=2OB=4,直线，=x+r（-2Vf<4）分别与1轴、y轴、线段AD、射线45交于点石、F、

P、Q.

（2）探究线段AP与尸。之间的数量关系，并说明理由.

⑶在X轴上是否存在点M,使得NPMQ=90。，且以点M、P、。为顶点的三角形与VAOB相似？若存在,

请求出此时f的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由.

6.（2024•山东）【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第4页的部分内容.

思考:如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起,摆出VABC.固定住长木棍，转动短木板,得到AABD,

这个实验说明了什么？

⑴【应用发现】

小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即"SSA”对应相等）的两个三角形不一

定全等.同时他受此启发，展开了以下探究：

如图1,如果VABC和二。砂中，ZB=ZE,AC=DF,ZC+ZF=180°(ZC<ZF).则可证=

证明：在BC上取一点G,使AG=AC.

AG=AC,=①.

又•.ZC+ZF=180°

而ZAGC+ZAGB=180。.:.ZAGB=@.

AC=DF,AG=(3).

又，NB=NE..-.△ABG^ADEF(AAS).

/.AB=DE.

小红提出：如图2,若在"的延长线上取一点G,使OG=D7"也可证得结论.

请补全小明证明中①②③④所缺的内容.

总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全

等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形.

VABC为等腰三角形，AB=AC,点。在45的延长线上，点石在线段AC上，连接DE交3c于点尸.

①如图3,若BD=CE,求证：点尸为DE的中点；

(说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分)

②若VABC为等边三角形，点E为AC的中点，点G在3C的延长线上，且满足NEGC=NADE,请直接写

⑥模核速用

1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=；x+2图象分别交x轴，y轴于A,2两点,过该函数图

象上一点C(4,4)作CD1无轴于点。，点£是线段AB上一动点，连接8。，EO,若以3,E,。为顶点的三

角形与△BCD相似，则点E的坐标为.

【数学活动】将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后

展开铺平，得到折痕DE;第二步：然后将DEC绕点。顺时针方向旋转得到DFG,点、E、C的对应点

分别是点尸、G,直线G厂与边AC交于点M(点M不与点A重合)，与边A3交于点N.

(1)折痕DE的长为.

(2)在DEC绕点D旋转的过程中，试判断与ME的数量关系，并证明你的结论.

⑶在DEC绕点。旋转的过程中，探究下列问题：

①如图2,当直线GF经过点3时，AM的长为.

②如图3,当直线G