山东省枣庄市市中区2024-2025学年高二年级上册期末阶段性质量监测数学试题（解析版）

2024—2025学年度第一学期

市中区阶段性质量监测高二数学试题

考试范围：选择性必修一：考试时间：120分钟：

第1卷(选择题)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若A(L°'—1),BQ」2)在直线/上，则直线/的一个方向向量是()

A.(1,1,1)B.(1,1,3)C.(3,1,1)D.(-3,0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量A3,即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线

的坐标表示可得出答案.

【详解】因为4B在直线/上，所以=

与AB共线的向量(1,1,3)可以是直线/的一个方向向量，其他选项经验证与A3均不共线.

故选：B

2.过两直线3x+y—l=0与x+2y-7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是()

A.x-3y+7=0B,x-3y+13=0

C.2x-y+7=0D.3x-y-5=0

【答案】B

【解析】

【分析】求出两直线交点坐标，求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

［详解］由｛尤+2_7_0，解得T-4，得直线31+/_］=0与x+2y—7=0的交点为点(-1,4).

因为所求直线与直线3x+y-1=。垂直，故所求直线的斜率k=-,

3

因此，所求直线的方程为y—4=g(x+l),即x—3y+13=0.

故选：B.

3.椭圆工+二=1的焦点坐标为()

42

A.(72,0),(-V2,0)B.(0,72),(0,-72)

C(76,0),(-76,0)D.(0,76),(0,-76)

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，直接求出椭圆焦点坐标作答.

22

【详解】椭圆土+上-=1的长短半轴长分别为a,b,有/=4,〃=2,则椭圆半焦距

42

c=^a2-b2=V2,

22

显然，椭圆焦点在无轴上，所以椭圆二+乙=1的焦点坐标为(0,0),(-行,0).

42

故选：A

4.在空间直角坐标系。孙Z中，已知4—1,0,0),3(1,2,—2),C(0,0,—2),0(2,2,T),则以下错误的是()

A.ACAB=6B.AC,A3夹角的余弦值为巫

6

C.A,B,C,。共面D.点。到直线AB的距离是必

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C,

根据点线距离的向量法即可判断D.

【详解】因为A3=(2,2,—2),AC=(1,0,—2),所以衣.崩=6,A正确;

AC,AB夹角的余弦值为cos(AC,AB\=>厂=叵，所以B错误；

\/\AC\\AB\2V3xV55

因为AZ>=(3,2,—4),所以AD=AB+AC，所以A，B,C,。共面，所以C正确；

nA.AB1

因为(9A=(-1,0,0),所以-------=——产，所以点。到直线山？的距离是

\AB\V3

,『一£]=旌等D正确.

故选:B.

5.已知圆的方程为V+y2—2x=0,M（x,y）为圆上任意一点，则2二2的取值范围是（）

A.[-B.[-1,1]

C.°o,—A/3J[A^,+8）D.（^0,—1][1,-Ko）

【答案】C

【解析】

【分析】将圆方程化为标准式，I工表示圆上的点与点4（1,2）的连线的斜率，求出过点4（1,2）与圆相

X-1

切的切线的斜率，即可求出金y—一2的取值范围.

X—1

【详解】圆的方程为好+9―2%=0,即（％—l）2+y2=l,圆心为C（1,O）,半径厂=1,

则2二2表示圆上的点与点4（1,2）的连线的斜率，

x~\

过点4（1,2）作圆的切线方程，

显然，切线斜率存在，设切线方程为y—2=Wx—1）,即Ax—y+2—左=0.

则标著=1,解得左=±6，

Vfc2+1

所以三2的取值范围为卜通―6]一[G,+8）.

X1

故选：C.

6.已知x,yeR,向量二=（%/」），1=c=（2,T,2）,且〃,。，b//c，则％+V的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量垂直、共线的坐标表示求出羽丁可得答案.

【详解】因为向量;=(x,l,l),^=(l,y,l),c=(2,T,2),

由a_Lc，则2x—4+2=。，解得x=l>

1y1

由bllc,则7=-r——，解得y——2,

2-42

则无+y=-L

故选：A.

7.圆f+y2=4关于直线x—y+2=0对称的圆的方程为()

A.(x-2)2+(y-2)2=4B.(x+2)2+(y-2)2=4

C.(x+2)2+(y+2)2=4D.(%-2y+(y+2)2=4

【答案】B

【解析】

—+2=0

22

【分析】设对称圆的圆心（a,切，解方程组,即得圆心，然后代入圆的标准方程得解.

【详解】圆。的圆心为。（0,0）,设对称圆的圆心为（。,力,

ab>%

22a--2

依题意得:，解得7c，

bib=2

一二一1L

又圆0的半径与对称圆的半径相等都为2,

所以对称圆的方程为（x+2/+（丁一2）2=4.

故选：B.

8.已知双曲线。：1—方=1（。〉0］〉0）的一个顶点为（2,0）,左、右焦点分别为《，F2,直线/经过

——3

F2,且与C交于A,B两点.若=7氏4,AF^AF^O,则C的离心率为（）

A屈n屈「石275

A.-----D.-----C.Dn.-----

3223

【答案】B

【解析】

【分析】设|铝|=尤，则因到=3%,利用双曲线的定义表示|A耳，寓用，由勾股定理可得关系进而

可得离心率.

【详解】由题意知胡，人工，3\AF2\=\F2B\,且A,B都在双曲线的右支上.

设［4闾=*，则|AFj|=2a+x,寓却=3%,闺@=21+3%.

在Rt△耳A5中，(3x+2a)2=(4x『+(x+2a)2,得％=。，

则司=a,|AF；|=3a.

在RtA4£居中，|耳闾2=|筋『+|他「，

即4c2=(34+〃，得e=£=普.

所以双曲线C的离心率为®.

2

故选：B

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列结论正确的是()

22

A.椭圆?+\=1的焦点坐标是(±1,0)

22

B.双曲线'—1_=1的顶点坐标是(±2，°)

C.抛物线V=—12%的准线方程是x=3

D,直线3x_4y+l=0与圆(x+iy+(y_2)2=4相交

【答案】AC

【解析】

【分析】由圆锥曲线的焦点坐标、顶点坐标以及准线的定义即可判断ABC,由圆心到直线的距离与半径的

大小关系即可判断D.

22

【详解】在椭圆上+上=1中，因为/=4，廿=3,贝黑Jq2_匕2=],且焦点在X轴上，A正确.

43

双曲线汇-三=1的顶点在y轴上，B错误.

45

抛物线=—12x开口向左，p=6,准线为X=^=3,C正确.

圆心(―1,2)到直线3x—4y+l=0的距离d=坦g1U=2=r,则直线与圆相切，D错误.

故选：AC.

10.已知直线a—y+3m+l=0,下列说法正确的是()

A.直线/过定点(—3,1)

B.点P(1,T)到直线/的最大距离为2遥

C.直线/一定经过第四象限

D.当机=—1时，直线/关于直线x+2y—3=。的对称直线为x+7y—28=0

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出直线/恒过的定点可判断A；当时，点P。,-1)到直线/的距离最大，求出最大距离可

判断B；直线/不一定经过第四象限可判断C；先求出直线/与直线x+2y-3=0的交点尸，再求出直线/

上一点Q(—2,0)关于直线x+2y—3=。的对称点Q',由两点式即可求出4,可判断D.

x+3=0

【详解】对于A,m(x+3)-y+l=0,令＜,可得：x=-3,y=l,

—y+l=0

所以直线/过定点4(—3,1),故A正确;

对于B,直线/过定点4(—3,1),当人尸，/时，点P。,—1)到直线/的距离最大,

且最大距离为|AP|=J(1+3)2+(1+11=2小，故B正确；

对于C,直线/过定点4(-3,1),不一定经过第四象限，故C错误；

对于D,当〃2=-1时，直线/:x+y+2=。,

设直线/关于直线x+2y-3=。的对称直线为12,

4一定经过直线/和直线x+2y-3=0交点，设为p,

x+2y-3=0x=-7/、

由＜可得：＜y_5，所以「(—7,5),

x+y+2=0

在直线/上任取一点2(-2,0)关于直线x+2y-3=0的对称点Q'(a,b)一定在乙上,

工=2

所以《,,解得：a=0/=4,

必+22_3=0

[22

所以。'(。,4),P(—7,5)在直线乙上，

所以土0=4士］，化简可得：x+7y—28=0,故D正确.

4-50+7

故选：ACD.

11.在正方形ABC。-A耳£2中，点产是线段BG上的动点，则下列说法正确的是()

A.\F±B1D

B.当点尸为BG中点时，4口与4。相交于一点E,且位=2

EF

C.存在点尸，使得A尸，平面

D.异面直线AR与。所成角的余弦值的最大值为渔

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,直接证明4。，平面ABC］即可判断A；对于B,设AR和4。相交于点E,则

A,EA.D

\DEFB］E,所以—=—，即可判断B；对于C,建立空间直角坐标系，求解平面3DC的法向

nrDxr

量，利用共线向量，即可判断C；对于D,由4£=43+3£=(-//1—1)和。。进行求解，可判断D.

【详解】对于A选项，在正方体ABC。—中，易知

由2。！.平面得4£，耳。,

而。。BR=A,故AG，平面。42,

所以AC，BtD,同理可得BQ±BQ,

又因为3。1门4£=£,所以用。，平面AB。,

又AFu平面A^G，，用。，故A正确；

对于B选项，当产为8G中点时，根据题意可得，尸为用c中点,

设AF和耳。相交于点E,连接耳。和耳尸，如图所示：

因为A.DEFBXE,所以箸=黑=2,故B正确;

EFB[F

对于C选项，设正方体ABCD-4与。12的边长为1，建立如图所示直角坐标系,

则£>(0,0,0)1(1/,0)6(0,1,1),A(L0,1)0(0,L0),

设平面BDC1的法向量〃=（羽y,z）,

n-DB—0y+z=0

则则

",DC1=0%+y=0'

令x=l,则y=_l,z=_l,故/=(1,-1,—1),

设BF=tBC\,则迎=(T,0"),则4b=A3+3尸=—1),

由4^，平面BOG，则4///〃，

-tit-1

所以一=一=——，贝旷不存在，

1—11

即不存在尸使得4口，平面BDG，故C错误;

对于D选项，由AE=A3+BE=(T,1/—1),DC=(0,1,0),

4斤nkAFDC11

囚用。。|一+1+«―1)2也/―2/+23

此时，=」，即尸为BG中点，故D正确.

2

故选：ABD

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知点4(4,5,—6),6(—2,3,4),则的中点坐标为,卜$=.

【答案】①.(1,4,—1)②.2月

【解析】

【分析】直接利用中点坐标公式可得线段A8的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得心小的值.

【详解】设线段AB的中点坐标为(x,y,z),

4-2

x=-=--1---

2

5+3,

由中点坐标公式可得＜y=------=4

2

—6+41

"2

即线段A3的中点坐标为(L4,-1),

BA=(6,2,-10)

所以网=^62+22+(-10)2=2y/35.

故答案为：(1,4,一1)；2府.

1,

13.抛物线丁=3好的焦点坐标为

【答案】［0,1

【解析】

【分析】

将抛物线方程化为标准形式后可得结果.

【详解】由丁=万/得V=2y,

所以2p=2,p=l,

所以抛物线y=1x2的焦点坐标为

故答案为：^0,—

14.已知点A（l,2,1）,5（3,3,2）,C（2+1,4,3）,若AB,AC的夹角为锐角，则2的取值范围为

【答案】（―2,4）U（4,+8）

【解析】

【分析】根据AB,AC的夹角为锐角，可得A3.AC>0,且不能同向共线•解出即可得出.

【详解】AB=（2,1,1）,AC=（2,2,2）,

AB,AC的夹角为锐角，.•.A3.AC=24+2+2>O，且不能同向共线.

解得2〉—2,2^4.则2的取值范围为（―2,4）D（4,+8）.

故答案为：（—2,4）U（4,+8）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知点4（0,1,—1）,5（2,2,1）,O为坐标原点，向量&=。4出=05,计算：

（1）求向量6同向的单位向量瓦；

（2）若（初+B）_L（32-q,求人的值；

【答案】（1）

【解析】

【分析】(1)根据单位向量定义求向量6同向的单位向量瓦；

(2)应用向量的线性运算和垂直的坐标表示列方程求参数.

【小问1详解】

因为/?=08=(2,2,1),|^|=V4+4+l=3,

1/、(221、

所以，与b同向的单位向量为％=耳(2,2,1)=.

【小问2详解】

因为总+/>=左（0,1,—1）+（2,2/）=（2,左+2/一左），3a-Z>=3（0,1,-1）-（2,2,1）=（-2,1,-4）,

又（@+b）_L（3a-人），

所以（总+/?>（3々_））=0,即（2,k+2,1_左>（—2,1,^）=0nT+左+2-4（1—左）=0nk='.

16.如图，在四棱锥PA8CQ中，底面A8CD是矩形，M是丛的中点，N是BC的中点，平面

ABCD,且PD=CD=4,AD=2.

(1)求证：儿W//平面PC。；

(2)求AP与平面。72所成角的正弦值;

(3)求二面角”—Cfi—P的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵3

5

⑶血

10

【解析】

【分析】⑴取中点为E,分别连接ME,CE,利用中位线性质得MN//CE,再根据线面平行的判

定即可.

(2)以。为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求平面CW

的法向量，用向量的方法求直线AP与平面CMB所成角的正弦值；

(3)求平面CBP的法向量，用向量的方法求二面角河-Cfi-尸的余弦值.

【小问1详解】

取尸。中点为E,分别连接ME,CE,

又因为是力的中点，N是BC的中点，所以ME//AD,ME=LAD,

2

CN//AD,CN=~AD,所以ME〃CN,ME=CN,所以四边形MECN为平行四边形,

2

所以上W//CE,又因为CEu平面PCD,肱v(z平面PCD,

所以MN//平面PCD.

【小问2详解】

以。为原点，分别以ZHOCDP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示

则。(0,0,0),A(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),0,2),5(2,4,0),

AP=(-2,0,4),CB=(2,0,0),BM=(-1,-4,2),网=2氐

设平面CM3的法向量＞i=(x,y,z),则

n-CB=0：；令'i则)止后

即《°4y+2z=0'z=2,5=(0,1,2,1

n-BM=0

设直线"与平面CMB所成的角为仇则

sin3=|cos(AP,n)|=APn84

网网一2后"5.

4

所以AP与平面CMB所成角的正弦值为二.

【小问3详解】

CB=(2,0,0),BP=(-2,-4,4).

设平面C8P的法向量沅=Q,y,z),则

m-CB=0(x=0

<，即{,

m-BP=Q[-2x-4y+4z=0

令y=l,则z=l=(。,1/),同=拒.

又平面CMB的法向量〃=（0,1,2）,同=6.

设二面角M-CB-P的大小为a,则a为锐角，

3M

10

所以二面角M-CB-P的余弦值为题.

10

22

17.已知椭圆氏三+1=l（a〉6〉0）的离心率e=当,左焦点F（-l,0）,

a2b2

（1）求椭圆£的标准方程;

（2）过左焦点尸的直线/与椭圆E相交于A,8两点，若|人创=半，求直线/的一般式方程.

【答案】（1）—+/=1

2

（2）x±y+l=0

【解析】

【分析】（1）根据6=^+,2求出即可；

a

（2）当左不存在时，弦长不符，当左存在时，设直线方程为：丁=左（％+1）,与椭圆方程联立，利用韦达

定理和弦长公式列列方程求出斜率，则直线方程可得.

【小问1详解】

ci=-\/2，£»_=2—1=1，

所以椭圆方程为工+丁=1；

2

【小问2详解】

设人(国,％),5(孙％)，

当太不存在时，通径|A创=Z=J5(舍)；

当上存在时，设直线方程为：y=k(x+l),与椭圆方程联立消去y得:

(2k2+1产+4左2工+2左2-2=0,A=8(左2+1)>o,

4k2242—2

•■-X1+X2=-2FTT,%1%2=2FTT,

2夜俨+1）4V2.

|AB|=Jl+%2J（X]+尤2）"—4%尤2=Jl+B?2V2VF+1

2k2+12k2+1亍'

解得k=±l,

故直线方程为：x±y+l=0.

18.若圆G与圆C2相交于尸，。两点，归。=机(机>0),且C?为线段尸。的中点，则称C?是G的相等

距共朝圆.已知点43,5),8(6,4)均在圆G上，圆心G在直线X—4y—3=0上.

(1)求圆G的标准方程.

(2)若圆C2是圆G的8等距共轨圆，设圆心C?的轨迹为Q.

(i)求Q的方程.

(ii)已知点”(3,3),直线/与曲线Q交于异于点H的E,尸两点，若直线"E与族的斜率之积为3,试

问直线/是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】⑴(X-3)2+/=25

(2)(i)(X-3)2+/=9；(ii)直线/过定点(3,-6)

【解析】

【分析】⑴设G(4a+3,a),根据CH=|G却解得a=0,即可得圆心和半径，进而可得圆的方程；

(2)(i)分析可知|。。21=3,可知圆心C2的轨迹为Q是以G(3,0)为圆心，半径々=3的圆；(ii)分类讨

论直线/的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可.

【小问1详解】

因为圆心G在直线X—4y—3=0上，设G（4a+3,a）,

且点A（3,5）,8（6,4）均在圆G上，则

可得Jl6a2+（a-5）2=J（4a-3）~+（a-4y，解得a=0,

即圆心为G（3,0）,半径度=|。同=5,

所以圆G的标准方程为（X-3）2+/=25.

【小问2详解】

（i）因为|PQ|=8,由题意可得：|CCUJr—glPQl］=3,

可知圆心C?的轨迹为Q是以G（3,0）为圆心，半径々=3的圆，

所以Q的方程为（x—3『+V=9；

（ii）若直线/的斜率存在，设直线/：y=kx+b,E（石/

y=kx+b

联立方程＜（3）2+2—9,消去y可得（左？+1）犬+2（奶—3）%+及=0,

…c口2(3—⑹b1

贝!j△>0,且Xy+X--------,-.----

129左2+11242+]

X-3%-3kx、+b-3kx?+b-33

因为^HE.kfjF

玉一3%2—3国一3%—3

整理可得（左之一3）西尤2+［左（6一3）+9］（玉+%2）+〃—6b—18=0,

则吆9+2［破3）+9］（3—叫……=0

可得。+3左+6）0+3左一3）=0,即/?=—3左一6或人=—3左+3,

当〃=—3左一6,直线丁=左口一3）—6过定点（3,-6）；

当〃=—3左+3,直线丁=左