山东省单县某中学2024-2025学年高三年级下册第二次模拟考试数学试题（含答案解析）

山东省单县第一中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={々1,4},集合2={1,叫，若/口3=3,则实数。=()

A.2B.-2C.±2D.0

2.已知复数二=l+2i,则一在复平面内对应的点在()

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量1,且同=1，但+59=2,则B在Z上的投影向量为()

A.1B.-1C.-aD.a

4.若(2x—1)'=%+%(x—1)H--F%(x—I)，'则4=()

A.-10B.-1C.1D.10

5.设Q,bwR,则下列结论正确的是()

A.若a>b,则一■<B.若4<6<0,贝!J(。-1><(6-1)2

ab

C.若a+6=2,贝！12"+2,4D.若2"+：>2“+1，贝!]

ba

6.已知直线/：丘-y+1-左=0和圆0。:/+必=/&>0),则>是“存在唯一后使得

直线/与。。相切”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.当xe[-2兀,2兀]时，曲线y=sinx与y=卜*一1]的交点个数为()

A.1B.2C.3D.4

8.正方体MCD-4ACQ的棱长为3,平面/8C。内一动点。满足|。/|=2|0同，当三棱锥

。-DD/的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为()

A.24兀B.27兀C.54兀D.56兀

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.已知变量x,y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为5=加+3.4,则

()

X12345

y59101115

A.6=2.3

B.当x=5时，对应样本点的残差为0.6

C.表中y的所有样本数据的第70百分位数是11

D.去掉样本点（3,10）后，＞与x的样本相关系数不变

10.已知函数［卜）与其导函数g@）的定义域均为R,且1（x+l）为奇函数，

g（x）+g（l-x）=4,则（）

A.［（x）+〃2-x）=0B.g（x）+g（x+l）=0

C.g（-3）+g（-4）=4D.f（x）-f（l-x）=4x

11.在平面直角坐标系xOy中，给定〃个点4（%,匕=…，叫到这〃个点的距离之和

为定值d的点的轨迹，称为“多焦点曲线”，其轨迹方程记为1（4,4,4广、4；"）=0・己知

4（一1,0）,4（i,o）,4（0,6）,则（）

A.多焦点曲线/（4门）=。所围成图形的面积为兀

B.多焦点曲线/（4,4；2）=。是焦点为4,4的椭圆

c.若存在满足方程/（44，4；"）=o的点河（x，夕），则公26

D.若多焦点曲线/（4,4,4；4）=0所围成图形的面积为S,则由＜5

三、填空题

12.某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为:

1(X-85)2

小)=^"且尸（704X400）=0.8,若参加此次联考的学生共有8000人，则数

试卷第2页，共4页

学成绩超过100分的人数大约为.

13.记V/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,面积为G，3=60。，a2+c2=3ac,

则6=•

14.抛物线C:/=8x的焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线C交于/、2两点，抛物线C在

4、2处的切线交于点P,贝UM为+目餐的最小值为_________.

0I

四、解答题

15.在前“项和为S”的等比数列｛%｝中，3a2=2%+%,邑=30,邑=38-%.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)令bn=an-log2tz„,求数列也,｝的前"项和北.

16.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经

过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招

标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可

2

正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为甲、乙两家公司对每

题的回答都是相互独立，互不影响的.

(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；

(2)设甲公司答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差；

(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

17.如图，四棱锥P-42CD中，/BCD是边长为2的正方形，人尸/3是以尸为顶点的等腰

直角三角形，。为48的中点，。为PZ)的中点，PD=屈.

(1)证明：PO1BC-,

⑵过瓦。两点的平面与直线/尸,。尸分别交于点且平面〃/C,求平面

试卷第3页，共4页

与平面尸CD夹角的余弦值.

18.已知函数/(x)=Qx~^ax2-ax^aGR).

⑴当a=3时，求曲线y=〃x)在(OJ(O))处的切线方程；

⑵求证：当aVl时，尸(x)=W(x)+；af在(0,+(»)不存在最小值；

⑶若g(x)=ZH在(-叫0)存在极值点，求实数a的取值范围.

19.已知椭圆C：£+E=l(“>6>0)的离心率为包，左、右焦点分别是耳£，过月的直线

ab'2

与。交于M,N两点,A"F]N的周长为4拒.

(1)求C的标准方程；

(2)若OM1ON,记线段MV的中点为A

(i)求R的坐标；

(ii)过R的动直线/与C交于P,0两点，PQ,PN的中点分别是S和7,求ARST面积的

最大值.

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《山东省单县第一中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CCDDCACCBCDAC

题号11

答案ACD

1.C

【分析】由集合的运算性质得出再根据子集的性质和集合性质得出/=4即可求出

答案.

【详解】由/口8=3得到81儿由子集的性质可知/e{-2,1,4}.

对于任意的实数“，/NO,/不能等于一2,由集合元素的互异性，/=i不成立，

故只能是1=4；求出。=±2.

故选：C

2.C

7

【分析】根据复数的运算法则，化简复数一，得到复数Z在复平面内对应的点，即可得到答

Z

案.

71-2i(l-2i)2-3-4i

【详解】z=l+2i,则亍=1-2i,则三二」!=

zl+2i(l+2i)(l-2i)-5

所以复数三在复平面内对应的点为金］,该点位于复平面的第三象限.

z<557

故选：C.

3.D

【分析】由,+分)g=2求出鼠3=1,再利用投影向量公式求解.

【详解】解：因为伍+可方=/+33=1+)石=2,

所以5石=1,

a-ba

所以3在万上的投影向量为向同=a

故选：D

4.D

【分析】令"X-1,将二项式变形为(2/+1)5=&+"+〃/+…，然后利用二项式展开

答案第1页，共18页

的通项公式，即可求得如的值.

【详解】因为(2%一1)5=%+〃](X—1)+42(工一1)2+••斗。5(》—1)5，

令't=X~\,贝｛JX=/+1,以(2,+1)5=〃0+〃,+〃2,2+,••+45.，

又因为⑵+1)5展开式的通项为&]=GQ产T=25-q尸(0<r<5,reN),

令5-尸=1,解得［=4,所以q=C；・2=10,

故选：D.

5.C

【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC.

【详解】对于A,取"1,6=-1,满足a>b,而上=1=LA错误；

ao'

对于B,由。<6<0,得1—a>1—b>0,则(a—I)?=(1—a)?>(1—b)~=(b—I)2,B错误;

对于C,2a>0,2h>0,2"+2-2后方=26行=4，当且仅当a=b=1时取等号，C正确;

对于D,取。=-1,6=—满足2"H—=—>V2—1=24H—,而a>b不成立，D错误.

2b2a

故选：C

6.A

【分析】先由厂=也，点到直线距离公式列出方程，求出此时k=-1,充分性成立；求出

/:丘-V+1-左=0所过定点，再由存在唯一先使得直线/与O。相切”，得到/*=1或定点在

圆上，得到方程，求出相应的答案，必要性不成立.

【详解】r=亚时，/：依一了+1-左=0到。。:/+/=2的距离为=^2,

故1一2左+左2=2+2-,解得肚=-1,

满足存在唯一人使得直线/与。。相切”，充分性成立,

/:丘-y+1-左=0经过定点

若r=l,6。：/+/=1,若左=(),此时直线/:y=l,

直线/：>=1与。。相切，另一条切线斜率不存在，

故满足存在唯一左使得直线I与OO相切”，

当M(1,1)在。<9：/+=r&>°)上，满足存在唯一k使得直线/与O。相切,

故/=1+1=2>

答案第2页，共18页

又一>0,解得/=血，必要性不成立，

故“尸=也”是“存在唯一k使得直线/与相切”的充分不必要条件.

故选：A

7.C

【分析】令sinx=--l|,易知x=0是sinx=p-l|的一个根.当无«0,2可时，令

/（无）=er-l-sinx,xe（0,24利用导数研究其单调性可判断方程根的个数.当xe[-2K,0）时

,sinx=1-e，,画出两个函数的图象判断交点个数求解.

【详解】解：令situ=HT，

当x=0时，sin0=p-l|,

故x=0是sinx=|ex-1|的一个根.

当xe（0,2兀]时，sinx=e*-1.

令f（x）=ex-1-sinx,xG（0,2K]，

则/'（%）=e"-cosx>1-cosx>0,

所以「（X）在X£（0,2兀]上单调递增,

所以/（“〉/（0）=0，

x

所以（0,2可时，e-1>sinx,即方程sim=卜、-1|在XE（0,2兀]无实数根.

当xw[—2兀,0）时，sinx=1-ex,

>=1-e"在x£2兀,0）上单调递减，且y=l-e”vl,

如图所示：

%

y=l-^

/3~~~-'xj,»y=1-e*与y=sinx的图象在xe[-2n,0）上有两个交点,

2nOx

y=sinx

所以方程sinx=W-1|在xe[-27T,0）有两个不同的根.

综上所述，曲线>=sinx与>的交点个数为3.

答案第3页，共18页

故选：c

8.C

【分析】首先求点。的轨迹方程，并确定三棱锥体积最大时的点。的位置，再代入三棱锥外

接球的半径公式，即可求解.

【详解】如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

/(3,0,0),5(3,3,0),Q(x,y,0),由|0|=2也可可知,

^(x-3)2+y2=2^(X-3)2+(J-3)2,

整理为（x_3『+（尸4）2=4,

所以点。的轨迹是平面N2CZ）内，以（3,4,0）为圆心，2为半径的圆,

如下图，点。到平面。。4的最大值为6,此时点。在的延长线上，且8。=3,

所以0/，平面QA=6,

等腰直角三角形〃•的外接圆的半径为③近

所以三棱锥。的外接球的半径式=亏=亚

22

所以三棱锥外接球的表面积S=4TI7?2=54兀

9.BCD

【分析】对于A,根据表中的数据求出京1代入回归方程可求出/，对于B,根据残差的

答案第4页，共18页

定义求解判断，对于C,根据百分位数的定义求解判断，对于D,由于x=3j=10且样本中

心点在回归直线上，从而进行判断.

1+2+3+4+5、-5+9+10+11+15，八

【详解】对于A,由表中数据可得了=Z=3,y=----------------------=10,

5

因为经验回归方程为5=%+3.4经过点(3,10),则10=31+3.4,解得3=2.2,故A错误;

对于B,当x=5时，＞=2.2x5+3.4=14.4,残差为15-14.4=0.6,故B正确；

对于C,因为5x70%=3.5,所以表中y的所有样本数据的第70百分位数是第4个数，为

II,故C正确.

对于D,因为康=3工=10,所以去掉样本点(3,10)后，y与x的样本相关系数不变，故D正

确.

故选：BCD

10.AC

【分析】A.由/(x+1)为奇函数判断；BC.由/(-x+l)+/(x+l)=0求导判断；D.由

g(x)+g(l-x)=4还原原函数判断.

【详解】解：因为〃x+l)为奇函数，所以/(r+l)+/(x+l)=0,所以/(x)+f(2r)=0，A

正确；

由A可知，求导数，g(x)-g(2-无)=0,所以g(x)关于直线x=l对称，

又8(%)+8(1_工)=4,所以8(2_力+80-尤)=4,即g(尤)+g(x+l)=4,故B错误，C正确

因为g(x)+g(l一尤)=4,所以[/卜)_/。_2]=g(x)+g(1-x)=4,

所以/'(x)-/(1-x)=4x+c，D错误.

故选：AC

11.ACD

【分析】对于A,可知〃4；1)=0表示以4(T，o)为圆心，1为半径的圆，即可判断；

对于B,推出了(4,&2)=0表示线段44；

对于c,取点4(0,-若)，以4"为边作等边A4M。，其中点。在人444内，得到

答案第5页，共18页

d=\MA^+\MA^+|朋41=|Q41+|M2|+|M43|>1,即可判断；

对于D,分别以点4、4、4为圆心，2为半径作圆弧矶、石、寂推出满足条件的

点M在三个圆弧分别与三角形的三条边围成的三个弓形内(包含点4、4、4)，即可求解.

【详解】对于A,〃4；1)=0表示到点4(T，o)的距离"=1的曲线，

是以4(-1,o)为圆心，1为半径的圆，

则多焦点曲线;14；1)=0所围成图形的面积为万义12=万，故A正确；

对于B,7'(4,4；2)=0表示到点4(-1,0)和到点4(1,0)的距离之和为定值2的曲线，

因为|4匈=2,所以多焦点曲线/■(44；2)=0是线段44,故B错误；

对于c,存在满足方程/(4,4,4；d)=o的点河(X,田，

即d=\MAyI+\tAA21+|=Jk+1)+y2-|-—])+y2+,2+f，

取点4(o,-6),可知△444和均为等边三角形，

显然当点M在△444内时，d=|儿区|+|+1取得最小值，

如图：

以4“为边作等边A^M。，其中点。在内，则|必2|=|同。|=区0|,

由ZMA2At+N044=/Q44+=60°,

可得，ZMA.A^ZQA.A,,又|4阕=%4|，贝！以AQ44，

可得W4|=|04|，

答案第6页，共18页

则1=四|+四2|+|叫|=%+如+血区氏4|=2百,

当且仅当点M为△444的中心时取等号，即4226,故c正确;

对于D,设满足多焦点曲线/（4,4,4；4）=0的点M（x。,%）,

则网+|"|+|加蜀=4,

若点河在△444内，

过点M作DE//44分别交44、44于点。、E,

则A&DE为等边三角形，即|44=\DE\=",

可知|跖431<%刈，I儿闾<|4。|+I<|4回+，

则\MAX\+|AM2|+\MA3\<\AXD\+\A3D\+|。叫+忸明+区同

=|44|+。同+区同=|44|+|4国+区同

=|44|+|44|=4,

故△444内的点不满足|九区|+1儿区I+|朋41=*

若点河在△444三边上时，

根据对称性，不妨设点河在边44上，

则|M4||+|"|+|M43]=|44|+|W3|v|44|+|44|=4,

当且仅当点M与点4或点4重合时取等号，

因此，当点M在△444三边上时，

当且仅当点/与点4、4、4重合时满足W4|+W4|+W4|=4；

若点河在△444外，

答案第7页，共18页

分别以点4、4、4为圆心，2为半径作圆弧R、44'瓦,如图:

根据对称性，不妨考虑点M在京上的情况，

此时|=2，|朋匐+|>|4阕=2,不满足+|曲|+|=4；

当点M在三段圆弧围成的曲边三角形外时，显然不满足|九阖|+|九@|+|九/4|=4；

故满足|必|+|"|+|M阕=4的点M在三段圆弧分别与三角形的三条边围成的三个弓形内（

包含点4、4、4），

所以多焦点曲线/（44,4；4）=0应该是经过点4,44而且在三段圆弧分别与三角形

的三条边围成的三个弓形内的一条封闭曲线，

所以所围成图形的面积大于△444的面积内,小于△444外接圆的面积年.

故多焦点曲线1（4,4,4；4）=o所围成图形的面积s满足力<s<q.故D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：

①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景,

要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息、，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移,

达到灵活解题的目的；

②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求,

“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.

12.800

【分析】根据总体密度函数可知〃=85,结合对称性求出尸（X>100）,再估计人数即可.

1（X-85）2

【详解】因为总体密度函数为：f（x）=T=e2/,

c/2兀

所以X~N（85,b2）,即〃=85,

答案第8页，共18页

1_AQ

由尸（704XW100）=0.8,所以尸（X>100）=^^=0.1,

所以数学成绩超过100分的人数大约为8000X0.1=800人，

故答案为：800.

13.2亚

【分析】由三角形面积公式可得m=4,再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，S4BC=—izcsinB=^-ac=V3,

所以QC=4,-12,

所以6?=片+<?-2accos8=12-2x4xg=8,解得6=2e（负值舍去）.

故答案为：2VL

14.9

【分析】设直线/方程为尤=2+犯，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出

|/同=再+Z+4=8+8加2,再结合导数的几何意义得到C在/、2处的切线方程，联立后求

出尸的坐标，从而得到归歼=16/+16,从而表达出|/可+/1F=8（加2+1）+±p结合

对勾函数单调性得到最值.

【详解】由题意得下（2,0）,当直线/斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点，

设直线/方程为1=2+加>，联立=8%得，y2-8my-16=0,

设4（石,%）,8（%2，歹2），必〉0,%<0,

则%+%=8加”1%=T6,

故玉+%2=4+加（必+歹2）=4+8加2为”"办）'4'

2

故\AB\=xx+x2+4=8+8m,

I——i/\1i

y=2y[lx_yf2x2,故过”（再Ji）的切线方程为>一2收x,=V5X]5（x-再），

同理可得过点B（x2,%）的切线方程为>+242x1=-瓜）（x-x2）-

联立y-2>/2%2=母工1万（x-再）与y+lyflxf=-也（x-%）得

答案第9页，共18页

故yj=2(玉+Xj-Rw)=2x(4+8〃/=l6m",

yP=+4m,贝I]|尸尸『=42+(4m『=16wj2+16,

故+—^=8（后+1）+^—,

11|PF|2、>m2+1

其中加2+121,由y=8f+；在fe[l,+s）上单调递增，

故当病+1=1,即加=0时，|四+」|^=8加+1）+」^取得最小值,

|rr|m+1

最小值为8+1=9.

故答案为：9

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决;

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数,

再求这个函数的最值或范围.

15.(1)«„=2"

(2)7；=(n-l)x2"+1+2

【分析】（1）根据等比数列的通项公式，由3%=2%+6,可以计算得出等比数列的公比9=1

或4=2,分别再由其=30得q,验证，是否符合S?=38-%,得到%=2,得出数列的通

项公式.

答案第10页，共18页

⑵根据。“=2",得出”的通项公式，错位相减得出

【详解】(1)设数列｛《｝的公比为4,

由3a2=2%+%,得3%0=2%+%/,所以3q=2+/,解得《=1或4=2,

若4=1,则由'=30,得％=[,所以邑=15,38-。5=38-£=?与$2=38-%矛盾,

所以，qwi

若g=2,则由邑=30,得q=2,所以$2=6,38-05=38-2x24=6,符合

$2=38—%,所以q=2,q=2,所以%=2".

故数列｛4｝的通项公式为：%=2"

(2)由2=an-log2a„=n-2",

7；=1X2+2X22+3X23+...+,-1卜2"1+"2"

两边乘以2得

234

2Tti=1X2+2X2+3X2+...+伞-1卜2"+〃x2",

两式相减得：-1=2+22+23+...+2'-1+T-nx2,+1,

,2x(1-2"),

:.Tn=〃x2"i——:2=(〃一l)x2"i+2

故数列也｝的前〃项和(=(〃-1)x2"+1+2.

1

16.⑴石；

(2)分布列见解析，数学期望为2,方差为(；

(3)甲公司竞标成功的可能性更大.

【分析】(1)将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的

概率，结合古典概率求解作答.

(2)求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.

(3)求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答.

【详解】(1)记“甲、乙两家公司共答对2道题”的事件为A,它是甲乙各答对1道题的事

件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，

答案第11页，共18页

则有尸(/)=皆XC；($I(1-舍X(1-$3=1

1?

所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是《.

（2）设甲公司答对题数为X,则X的取值分别为1,2,3,

1C2Cl1

P(X=1)=看=1,RX=2)y

则X的分布列为:

1Q11312

期望£(丫)=1、］+2义］+3*］=2,^•^D(X)=(1-2)2X-+(2-2)2X-+(3-2)2X-=-_

（3）设乙公司答对题数为y,则y的取值分别为0,1,2,3,

p（y=0）=（乎$,尸e=1）=c卜22=>

"=2）=0（/；=："=3）=守=3,

1O429

方差。(y)=(0-2)2x药+(1-2)2*§+(2-2)2、5+(3-2)2、句=5,

显然E(x)=E(y),A(x)<o(y),

所以甲公司竞标成功的可能性更大.

17.（1）证明见解析

⑵半

【分析】（1）根据几何关系，证明尸。，平面/BCD,即可证明线线垂直；

（2）根据线面平行的性质定理说明NC//MN,再根据（1）的结果，以点A为原点建立空间

直角坐标系，分别求平面和平面P8的法向量，利用向量法求解.

答案第12页，共18页

【详解】（1）连结0D,因为APHB是等腰直角三角形，且O为斜边N8的中点，

所以尸0_L/8,且尸。=工/8=1,

2

OD=y!AO2+AD2=V5>PD=4^，

所以PO2+O£）2=「£）2,

所以PO_LOZ）,且ABriOD=O,/8,ODu平面/BCD,

所以尸O_L平面4BCD,且BCu平面/BCD,

所以尸OIBC.

（2）连结儿W,/C,因为平面8N0M〃/C,/Cu平面PNC,平面BNQMPl平面尸/C=〃N,

所以/C//MN,即痂=4%,

由（1）知尸。_L平面/BCD,

如图以点A为原点，为阳〉轴，过点A作与尸。平行的直线为z轴，

/（0,0,0）,P0,0,1）,C（2,2,0）,£>（0,2,0）,5（2,0,0）,og[，；]，

?C=（1,2,-1）,P5=（-1,2,-1）,加=H，1，£|，芯=（2,2,0）,

设平面尸CD的一个法向量为成=（x,y,z）,

m-PC=0[x+2y—z—0

则｛―.，即｛八，令了=1,则x=0,z=2,

m-PD=0[-x+2y-z=0

则平面PCD的一个法向量为m=（0,1,2）,

设平面的一个法向量为为=（a,6,c）

—.L——31

rn•BQ=0〃,BQ=—a+b—c=0

则_,BP22令”1,则6=—l,c=5,

n-MN=0一

iyn-AC=2oa+2b=0n

所以平面3NQW的一个法向量为=(1,-1,5),

设平面BNQM与平面PCD夹角为6,

厂

则cos6=Icos(m,万)]=9/

所以平面BN0M与平面PCD夹角的余弦值为姮.

答案第13页，共18页

18.(l)2x+y-l=0

⑵证明见解析

⑶(-°°，o).

【分析】(1)先求导函数，得出切线斜率再写出点斜式方程即可求解;

(2)根据导函数得出函数单调性即可证明；

(3)根据导函数得出函数单调性分是否为负根讨论求解.

【详解】(1)当°=3时，函数/(x)=e，一f-3x,f(x)=e-2x-3.

则/'(0)=e°-3=-2,又/(O)=e。-0=1.

故曲线尸/⑺在(0/(。))处的切线方程为2x+y-l=0.

(2)由尸(x)=切(尤)+:。尤2得尸卜)=xe*1312/

—ax——ax(x>0,6ZGR).

32

9(x)=(x+l)e%-ax2-ax=(x+l)(e“-ax),

设m(x)=e"—ax,xG(0,,则加'(x)=ex—a.

当aWl时，对任意的xc(0,+8),?„,(x)>0,则根(x)=e*-ox在(0,+ao)上单调递增.

此时〃z(无)>机(0)=1>0,对任意的xe(O,+e),广(x)>0,

故尸(x)=切(x)+go/在(0,+“)单调递增，不存在最小值.

X12(x

⑶g(x)=ZH=e-3>2==0…，得g，(x)=X—l)ea

2

xxx3x3

因为g⑴=在o)存在极值点，首先g'(x)=0有负解.

如)=个-畀。得丁q有负根，设M+三里，

答案第14页，共18页

当Xe(口,0)时“3=』-2：+2屋0,所以〃3=(“；哼在(-8,0)单调递减.

且当X.0时，〃(x)--8,当XfYO时，〃(x)f0.

因为(x」)e'=里有负根,所以£<0,即。<0.并设0一1卜'=巴的负根为％.

%233x3

,

即Xo€(-8,O),使g'(Xo)=O,则当时,g(x0)>0,g(x)=/3单调递增,

,

当xe(x0,0)时，g(x0)<0,g(x)=g单调递减，/为g(x)=2。的极大值点.

综上，若g3=?l在(-双0)存在极值点，则实数。的取值范围为(-8,0).

【点睛】关键点点睛：构造函数Mx)」”?.,再求导函数根据函数单调性解题.

2

19.(1)^+/=1

。、4后］J4后)V3

(2)(1)7--1或；(U)一

(55J^55J10

【分析】⑴由椭圆的定义可得的周长为4a,求出”0.离心率e=£=4=^，解

a2

得c=1,利用6?=/-c?,求出6,可得椭圆的方程；

(2)(i)设出直线方程，与椭圆方程联立，结合数量积为0,求出直线的斜率，进而求R

(40

的坐标；(ii)不妨设点k的坐标是，此时直线"N的方程可化为

L7

也x+y-6=0,S^ST=S,TRS=1stMs=；S；设点S到直线MN的距离为d,求出三角形

的面积，分类讨论，求出"的最大值，即可得出结论.

【详解】(1)由椭圆的定义可得A"F；N的周长为4a,所以4a=40,所以a=0.

离心率6=£=/=走，解得c=l,所以〃=/12=1,

ayJ22

所以椭圆c的标准方程为=1.

答案第15页，共18页

F2]X

(2)(i)由(1)可得点6坐标。，0)，易得过点月的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点,

由(W_LON可得而.而=0.

①直线斜率不存在时，在椭圆方程中令x=l得了=±等，

________11

不妨设MI,2-，N1,--，所以0M0N=1-L=±/O,所以不成立；

I2JI2J22

②直线"N斜率存在时，设直线的斜率为七则其方程为>=左卜-1)，

设的士,%）1（%2，%）,

y=k[x-1）,

2222

由方程组X11消去y,W（2k+1）x-4kx+2^-2=0,

——+V2=1

I2,