手拉手模型 压轴题分类（解析版）-2022-2023学年人教版八年级数学上册重难点题型必刷题

专题06手拉手模型压轴题真题分类-高分必刷题（解析版）

基础模型

已知：在等腰中，0A=在等腰△OCD中，OC=

OD,ZAOB=ZCOD，将△OCD绕点。旋转一定角度后，连接

AC4。（称为“拉手线”，左手拉左手,右手拉右手），相交于点E,连接

OE

结论1:AAOC^A30。,AC=3D（即拉手线相等）；

结论2:石。平分NAED;

结论3:两条拉手线AC,BD所在直线的夹角与ZAOB相等或互补

1.（2022•广东）如图，已知AB=AC,AF=AE,NEAF=ZBAC,点、C、D、E、F共线.则下列结论，其

中正确的是（）

©AAFB^△AEC；②BF=CE；③NBFC=NEAF；@AB=BC.

A.①②③B.①②④C.①②D.①②③④

【详解】：ZEAF=ZBAC,ZBAF=NCAE；在AAFB与AAEC中，

'AF=AE

<ZBAF=ZCAE,AAFB合△AEC（.SAS\：.BF=CE；ZABF=ZACE,

AB=AC

.1A、F、B、C四点共圆，二/8八>/24>/瓦1/；故①、②、③正确，④错误.

故选A.

2.（202”湖南）如图，直线AC上取点8,在其同一侧作两个等边三角形△A3。和ABCE,连接AE,CD

与GF,下列结论正确的有（）

@AE=DC；@ZAHC=120°；③AAGB乎DFB；④8H平分/AHC；(5)GFIIAC

A.①②④B.①③⑤C.①③④⑤D.①②③④⑤

【详解】解：丫△ABD和ABCE都是等边三角形，/.BA=BD,BE=BC,ZABD=ZCBE=60°,「NDBE=

1800-60o-60°=60",ZABE=ZDBC=120",：BA=BD,ZABD=ZDBC,BE=BC,，△ABE空△DBC(SAS),

，AE=DC,所以①正确；

NBAE=NBDC,•/ZBDC+zBCD=ZABD=60",，NBAE+NBCD=60。，

ZAHC=180°-(ZBAH+ZBCH)=180O-60°=120°,所以②正确；

•••ZBAG=ZBDF,BA=BD,ZABG=ZDBF=60°,△AGB^△DFB(ASA)；所以③正确；丫△ABE空△DBC,

，AE和DC边上的高相等，即B点至!JAE和DC的距离相等,BH平分NAHC,所以④正确；AAGB空△DFB,

BG=BF,ZGBF=60°,二△BGF为等边三角形，,NBGF=60。，,NABG=NBGF,

GFIIAC,所以⑤正确.故选D.

3.(2021・上海)把两个含有45。角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE、AD,AD的延长线交

BE于点F.

(1)求证：AD=BE；

(2)判断AF和BE的位置关系并说明理由.

B

【详解】(1)证明：△CDE,AACB都是等腰直角三角形，CE=CD,CB=CA,ZACD=ZBCE=90",

在AACD和ABCE中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,△ACDM△BCE(SAS),AD=BE.

CD=CE

(2)解：结论：AF_LBE.理由:•••△ACD空△BCE,ZCAD=CBE,「ZCDA=NBDF,/.ZBFD=ZACD=90",

AF±BE.

4.(郡维)如图，在△ABC中,以AB,AC为边向外作等边尸和等边AACE,连结BE,CF交于点0.

求证：(1)AAEBSAACF；

(2)AO平分NEOF.

w

【详解】(1),・•△•和△ACE都是等边三角形，二AC,ZCAE=ZBAF=60°,

/.ACAE+ABAC=ZBAF+ABAC,即/BAE=NE4C,

AB=AF

在和△ACT中，<NBAE=/FAC,:.^AEB=^ACF(SAS)；

AE=AC

(2)如图，过点A作于点D,作AG_LCr于点G,连接AO由(1)已证：AAEBSAACF,

F

•,•£语=5AAe，BE=CP，.•.；JBE.AO=：CQAG，.•.AD=AG，，点A在/EO尸的角平分线上,

即A0平分AEOF.

5.(2021•山东)(1)如图1,已知以AABC的边AB、AC分别向外作等腰直角与等腰直角AACE,

ZBAD=ZCAE=90°,连接3E和8相交于点0,AB交CD于点F，AC交BE于点G,求证：BE=DC,

且BELDC.

(2)探究：如图2,若以AABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边AACE,连接BE和8相交

于点0,43交。于点/，AC交BE于点G,则8E与。C还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明

理由；并请求出N3OD的度数？

【详解】(1)证明：,：△•£>和AACE都是等腰直角三角形二AB=AD,AE=AC,又

ZBAD=ZCAE=90°.-.ZBAD+ABAC=ZCAE+ABAC,即NZMC=NB4E,

在A4BE■和AADC中

AB=AD

<ADAC=ZBAE,^ABE^Z\ADC(SAS),..BE=DC,ZABE=ZADC,

AE=AC

又：NBFO=NDFA,ZADF+ZDFA=9Q0,/.ZABE+NBFO=90。，：.ZBOF=ZDAF=90°,

即

(2)解：结论：BE=CD.理由：如图2,■.・以A8、AC为边分别向外做等边△至£＞和等边AACE,

AD^AB,AE^AC,ZACE=ZAEC=60°,NZMB=/£AC=60°,=ZDAB+ABAC=ZEAC+ABAC,

AD=AB

即NZMC=Z^4E,在△ZMC和AKAE中，<NDAC=NBAE,;（DACGBAE（SAS）,

AC=AE

：.CD=BE,ZBEA=ZACD,ZBOC=ZECO+Z.OEC=ZDCA+ZACE+ZOEC=ZBEA+ZACE+Z.OEC

-ZACE+ZAEC=600+60°=120°./.N30r>=180°-Z80C=60°.

6.（2020•辽宁）在△ABC中，AB=AC,。是直线8c上一点（不与点8、C重合），以AD为一边在A。的右

侧作△ADE,AD=AE,ZDAE=NBAC,连接CE.

（1）如左下图，当点。在线段BC上时，写出△AB/均△ACE的理由；

（2）如下中图，当点。在线段BC上，NA4C=90。，直接写出NBCE的度数；

（3）如右下图，若NBCER,NB4C=B.点。在线段C8的延长线上时，则a、B之间有怎样的数量关系？

写出你的理由.

【详解】解：(1),.,ZBAC=NDAE,/.ZBAC-ZDAC=NDAE-ZDAC,ZBAD=NCAE,在AABD和AACE中,

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,AAB睦△ACE(SAS)；

(2)/AB=AC,ZBAC=90",二NABC=NACB=45°,由⑴知,AABD空△ACE,/.ZACE=ZABC=45",

ZBCE=ZACB+ZACE=90°；

⑶同⑴的方法得，AABDJAACE(SAS),/.ZACE=ZABD,ZBCE=a,/.ZACE=ZACB+ZBCE=ZACB+a,

在AABC中，,；AB=AC,NBAC邛，

，NACB=NABC=；(18O°-|3)=90°-

ZABD=180°-ZABC=90°+y3，ZACE=ZACB+a=90°-；B+a,；NACE=NABD=90°+；B，

90°--^-|3+a=9O°+!|3,a=p.

7.（周南）如图1,在AABC中，AE_LBC于，AE=BE,D是AE上的一点，且DE=CE,连接BD、AC.

(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；

(2)如图2,若将ADCE绕点E旋转一定的角度后，仍然有DE_LEC,DE=CE,试判断BD与AC的位置关系

和数量关系是否发生变化，并说明理由；

(3)如图3,若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变：

①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；

②你能求出BD与AC所成的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由.

【详解】解：(1)BD=AC,BD±AC,

理由是：延长BD交AC于F,AEJ_BC,二NAEB=NAEC=90°,

BE=AE

在△BED和△AEC中△BEDV△AEC,/.BD=AC,ZDBE=ZCAE,

DE=EC

■：ZBED=90°,zEBD+ZBDE=90°,：NBDE=NADF,zADF+ZCAE=90",

ZAFD=180°-90°=90°,/.BD±AC；

(2)不发生变化，

理由是：

•，-ZBEA=ZDEC=90",/.ZBEA+zAED=ZDEC+ZAED,/.ZBED=ZAEC,

BE=AE

在4BED和小AEC中(ZBED=ZAEC,/.ABED合△AEC,，BD=AC,ZBDE=ZACE,

DE=EC

■：ZDEC=90",ZACE+ZEOC=90",•/ZEOC=ZDOF,/.ZBDE+zDOF=90°,

ZDFO=180°-90°=90°,/.BD±AC；

(3)能，理由是：

:△ABE和△DEC是等边三角形，AE=BE,DE=EC,ZEDC=ZDCE=60°,ZBEA=ZDEC=60",

ZBEA+ZAED=ZDEC+ZAED,ZBED=NAEC,

BE=AE

在4BED和小AEC中△BED2△AEC,/.ZBDE=ZACE,ZDFC=180°-(ZBDE+

DE=EC

ZEDC+ZDCF)=180°-(ZACE+zEDC+zDCF)=180°-(60°+60°)=60°,即BD与AC所成的角的度

数为60°.

8.（2019•湖南）已知：如图①所示，在AABC和AAOE中，AB=AC,AD^AE,ZBAC=NDAE,且点3,

A,。在一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.

（1）求证：①BE=a）；②AAMN是等腰三角形；

（2）在图①的基础上，将AAOE绕点A按顺时针方向旋转180。，其他条件不变，得到图②所示的图形.请

直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：“BD-AMN.

图①图②

【详解】(1)证明：①「ZBAC=NDAE,ZBAE=ZCAD,在AABE和AAC。中，

AB=AC

<ZBAE=ZCAD,△ABE^△ACD,BE=CD.

AD=AE,

②由AAB磅△ACD,WzABE=^ACD,BE=CD,'：M,N分别是BE,C£>的中点，,BM=CN,

在"BAf和AACN中，

AB=AC

<ZABE=ZACDAABM^ACN.：.AM=AN,即AAMN为等腰三角形.

BM=CN,

（2）解：（1）中的两个结论仍然成立.理由：©•,BAC=ZDAE,：.ZBA£=ZCAD,

在AABE和AAC。中，

AB=AC

<ZBAE=ZCAD:.AAB的△ACD,BE=CD.

AD=AE,

②由△人台疫△ACD,WzABE=ZACD,BE=CD,'：M,N分别是BE,C£>的中点，，BM=CN,

在"BM■和AACN中，

AB=AC

,NABE=NACD,△ABM^△ACN.:.AM=AN,即△AMN为等腰三角形.

BM=CN,

(3)证明：由(1)同理可证A4B腔△ACN,：.ZCAN=4BAM,：.4BAC=4MAN.

又ZBAC=ZDAE,ZMAN=NDAE=NBAC.

△AMN,A4DE和AABC都是顶角相等的等腰三角形.：NPBD=NABC,ZPDB=4ADE,

又♦「NADE=NABC,：.△和A4WN都为顶角相等的等腰三角形，=ZPBD=NAMN,ZPDB=

ZANM,：.△PBD-△AMN.

图①图②

9.(2020•师大附中梅溪湖)如图，在平面直角坐标系中，人(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、

。在尤正半轴上.

(1)如图1,若NABC=60。，ZBCO=40°,BD、CE是AABC的两条角平分线，且B。、CE交于点尸，连

接AF求证：△AFD为等腰三角形；

(2)如图2,△A8D是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边ABC。，连接。。并延长，交y

2

轴于点尸，当点C运动到什么位置时，满足叨=§DC?请求出点C的坐标；

(3)如图3,以A8为边在AB的下方作等边AABP,点B在y轴上运动时，求。尸的最小值.

【详解】(1)ZABC=60°,NBCO=40。,

■.ZABC=180°-60°-40°=80°,

:BD、CE是AABC的两条角平分线，AF也是AA8C的角平分线，ABD=NDBC=30°,

ZBCE=ZACE=20°,ZBAF=ZCAF=40°,ZAFD=ZABD+ZBAF=30°+40=70°,ZADF=ZBCO+ZDBC

=40°+30°=70°,NAFD=NADF,，AF=AD,AAFO为等腰三角形；

(2)r△ABD是等边三角形，且A(-3,0),BO±AD,AO=OD=3,r△ABD和△BCQ是等边三角形,

NABD=NCBQ=60。，,NABC=NDBQ,在ACBA和AQBD中，

BA=BD

<NABC=NDBQ,ACBAV△QBD(SAS),ZBDQ=NBAC=60°,/.ZPDO=60°,PD=2DO=6,

BC=BQ

2_

•••PD=-DC,DC=9,即OC=OD+CD=3+9=12,/.点C的坐标为(12,0)；

(3)如图3,以OA为对称轴作等边△ADE,连接EP,并延长EP交X轴于点F.

图3

同理证得：AAEPS&ADB,/.ZAEP=ZADB=120°,ZOEF=NOEA=60°,又EO±AF,/.0F=0A=3,

二点P在直线EF上运动，当OP_LEF时，OP最小，ZOFE=90°-Z0EF=90°-60°=30o,

0P=10F=f-,则OP的最小值为

10.(2020青竹湖)如图，A(m,n),B(t,0),C(m,0),m、n>t满足+Jr_3+(/_4:=0.点P是

x轴上的一个动点，点E是AB的中点，在APEF中，NPEF=90。，PE=EF.

(1)则A、B、C三点的坐标分别为：A,B,C.

(2)如图①，当点P在线段CB上或其延长线上时，若CP=2BP,求点F的坐标.

(3)如图②，当点P在线段CB的反向延长线上运动，连接AF.若S/=k,S»BE，k的值在:＜左变

化，求点F运动路径的长度.

图①备用图图②

m-1=0

【详解】解：(1)I忱-1|+J.-3+«-4)2=0,<n-3=0「.<n=3

t-4=0£=4

「•A(1,3),B(4,0),C(1,0).

(2)如图①中，当点P落在线段CB上时，连接EC,BF.

•/AE=EB,/.CE±AB,CE=AE=EB,ZECB=ZECA=45°,

/.ZCEB=ZPEF=90°,：NCEP=NBEF,「EOEB,EP=EF,/.^CEP^BEF(SAS),

/.PC=BF,ZECP=ZEBF=45°,,/ZABC=45°,/.ZCBF=90°,PC=2PB,BC=3,/.PC=BF=2,

F(4,2),

当点P在CB的延长线上时，如图,

综上所述，满足条件的点F的坐标为（4,2）或（4,6）.

（3）如图②中，连接EC,BF.

图②

结合（2）①：同法可证，APEC'FEB,；S.PEC=S"EB，PC=BF,ZPCE=ZEBF=135°,

•••ZABC=45°,

c_cc_c

AEFFEBK,O

ZFBP=90°,即BF-LPB,；AE=EB,^~^,:.ZAEF-°#EC，~^PBE?

1144

S-PEc=kS/BE，当k=一时，PC=BF=—PB,；BC=3,PC=FB=1,当k=一时，PC=FB=—PB,可得PC=BF=12,

4455

二点F的运动路径=12-1=11.

IL（雅境）（1）问题发现：如图1,△ACB和△Z5CE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接

BE.

①/AEB的度数为

②猜想线段4。，8E之间的数量关系为：,并证明你的猜想.

（2）拓展探究：如图2,△AC2和△OCE均为等腰直角三角形，/ACB=NOCE=90°,点A,D,E在

同一直线上，CM为△OCE中。E边上的高，连接BE,请求出/AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的

数量关系.

【解答】解：（1）①和△OCE均为等边三角形，；.C4=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q

：.ZACB-NDCB=ZDCE-NDCB,即ZACD=/BCE,

在△ACD和△BCE中，

'CA=CB

<ZACD=ZBCE.

CD=CE

/.AACD^ABCE,：.ZCEB=ZCDA=120°,：.ZAEB=6Q°,故答案为：60°；

②AD=BE,证明：,；AACD乌ABCE,：.AD=BE,故答案为：AD=BE；

(2)ZAEB=90°,AE-BE=2CM,证明：：aDCE是等腰直角三角形，CM是中线，

'CA=CB

CM=DM=EM=AD£,在△AC£)和△BCE中，，ZACD=ZBCE>:.AACD沿ABCE,

CD=CE

：.ZCDA=ZCEB,'：ZCDA=135°,ZAEB=135°-45°=90°,:・BE=AD,

：.AE-AD=DE=2CM,：.AE-BE=2CM.

12.(郡维)如图1,已知△ABC和都是等边三角形，且点E在线段AB上.

(1)求证：BF//AC；

(2)过点E作EG〃BC交AC于点G,试判断AAEG的形状并说明理由；

(3)如图2,若点。在射线CA上，且即=EC,求证：AB=AD+BF.

【解答】(1)证明：’.•△ABC和△£1/(都是等边三角形，：.ZA=ZABC=ZACB=ZECF=60°,AC=

'AC=BC

BC,CE=FC,：.ZACE=ZBCF,在Z\ACE与△FCB中，<ZACE=ZBCF-：.AACEm4FCB(.SAS),

CE=CF

/.ZA=ZCBF=6Q°,VZABC=60°,ZA+ZABC+ZCBF=1SO°,AZA+ZABF=180°,

：.AC//BF；

(2)解：ZVIEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：•.•△ABC是等边三角形，.•.NA=NABC=N

ACB=60°,,:EG〃BC,：.ZAEG=ZABC=60°,ZAGE=ZACB=60°,：.ZA=ZAEG=ZAGE=

60°,...△AEG是等边三角形；

(3)证明：如图2,过E作交AC于M,则NAEM=/A8C=60°,ZAME=ZACB=6Q°,

VZA=ZABC=ZACB=60°,Z.ZA=ZAEM^ZAM£=60°,/XAEM是等边三角形，

：.AE=EM=AM,：.ZDAE=ZEMC=120°,,:DE=CE,：.ZD=ZMCE,在△AOE和△MCE中，

，ZDAE=ZEMC

<ZD=ZMCE，；.AADE沿AMCE(AAS),：.AD=CM,：.AC=AM+CM,由(1)得△ACE0△尸CB，

AE=ME

：.BF^AE,C.BF^AM,：.AC^BF+AD,：.AB^AD+BF.

13.(中雅)已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB,8C中点。，E,连接。E,如图1,易证△O8E

为等边三角形，将△O3E绕点2顺时针旋转，设旋转的角度/ABr>=a,其中0<a<180°.

E

D

ADBABAB

图1图2图3

(1)如图2,当a=30°,连接A。，CE,求证：AD=CE；

(2)在旋转过程中，当a超过一定角度时，如图3,连接A。，CE会交于一点,记交点为点R

AD交BC于点、P,CE交BD于点Q,连接请问8尸是否会平分/CB。？如果是，求出a,如果不是,

请说明理由；

(3)在第(2)问的条件下，试猜想线段AF,8尸和CT之间的数量关系，并说明理由.

【解答】证明：(1);△ABC,都是等边三角形，BD=BE,ZABC=ZDBE=6Q°,

'AB=CB

:.NABD=NCBE,在△ABD和△C8E中，，/ABD=NCBE，•・.△ABD<△CBE(SAS),：.AD=CE；

BD=BE

(2)不存在，理由如下：如图3,过点8作BNJ_A。于N,过点B作8H_LCE于H,

图3

,/AABC,△D2E都是等边三角形，：.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=6Q°,：.NABD=NCBE,

'AB=CB

在△48。和△CBE中，，NABD=NCBE，AABD^△CBE(SAS),：.AD=CE,SMBD=S^CBE,ZBAD

BD=BE

=ABCE,；.LXADXBN=LXCEXBH,：.BN=BH,又•：BF=BF,:.RtABFN咨RtABFH(HL),

22

:./AFB=NEFB,,:/BAD=NBCE,ZCPF=AAPB,：.ZAFC=ZABC=60°,:.NAFB=NEFB=

60°,：.ZCFB^ZDFB=120°,当2尸平分NC8£)时，贝UNCBP=ZBCF=180°-ZCBF

-ZCFB=180°-/DBF-/DFB=NADB,：.ZDAB^ZADB,C.AB^DB,与题干O8=_LBC=LB

22

相矛盾，，即不会平分/CB。；

(3)AF^CF+BF,理由如下：如图4,在上截取加尸=2/，连接

c