上海市某中学2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

上海市实验学校2024-2025学年高二(上)期末数学试卷

一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在空间直角坐标系。―xyz中，已知4(2,—1,4),5(-2,-1,-4),则点4和点B关于()

A.x轴对称B.平面yOz对称C.y轴对称D.平面xOz对称

2.如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e2,e3,e4,其大小关系为()

A.e2<<e3<e4B.<e2<e3<e4C.<e2<e4<e3D.e2<<e4<e3

3.著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个

圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切(该球也被称为圆柱的内

切球)，那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为()

1132

A.5B.-C.-D.-

4.设直线/的方程为ax+6y+c=0,两不同定点4(%,月)、8(犯/2)，点P满足费=几用(％>。)，记&=

axL+byi+c(Z=1,2),若诙诙丰0,且线段4P与直线Z有交点，则()

A.e(-oo,-i)B.*e(0,1)u(1,+8)

C.*e(—8,0)u(0,1)D.粤e(—8,0)u(1,+8)

二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

5.抛物线必=》的准线方程为.

6.对任意实数a,直线ax+y+2a-1=0总经过定点.(写出该定点坐标)

7.椭圆2+1=1的左、右焦点分别为Fi、F2,过F2的直线交椭圆于4,B两点，则△4F1B的周长为.

8.若向量元=(2,1)是直线/的一个法向量，则直线/的倾斜角为.(用反三角表示)

9.已知方程％2+y2-2%-4y+m=。表示圆，则TH的取值范围为.

10.平面a经过点8(1。0),且a的法向量元=(LL1)，则P(l,2,3)到平面a的距离为.

11.双曲线E与双曲线1共渐近线且过点P(2,3四，则E的标准方程为.

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12.已知椭圆方程为全+y2=1,点4为椭圆的右顶点，定点7(t,0)在x轴上，点S为椭圆上一动点，当|ST|取

得最小值时点s恰与点a重合，则实数t的取值范围为.

13.如图，长方体4BCD-4送16。1中，AB=2,AD=1,AA1=2,。为底面ABCD的中心，点P为。通1上

14.在平面直角坐标系xOy中，入28C的三个顶点均位于抛物线八十=2Px(p>0)上，点F为「的焦点，若

sinA:sinB:sinC=YW:1:1,直线BC的斜率为则使赤-OF+OC-OF=4历成立的实数2的值为

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知椭圆C的方程为《+”=1,&、/2为其左、右焦点.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若直线y=%+m被椭圆C截得的线段长为上求zn的值.

16.(本小题12分)

如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面4B的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原

点，所在的直线为x轴建立直角坐标系.

(1)求该圆弧所在圆的方程；

(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车

顶不能与隧道有别蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？(将汽车看作长方体)

17.(本小题12分)

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如图，平行六面体ABCD-4/1的£>1中，底面4BCD是边长为1的正方形，AAt=y[2,乙%4D=N&AB=

120°.

(1)求该平行六面体的表面积；

(2)记&在底面4BCD上的射影为H,9=/.ArAB,91=^ArAH,d2=^BAH,求证：cos。=cos/cos"，

并求侧棱44i与底面4BCD的所成角；

(3)求异面直线2C与BA的所成角.

18.(本小题12分)

已知双曲线C:%2—马=1(匕>0),Fi，F2分别为其左、右焦点，2为其左顶点.设过右焦点尸2的直线1与C的

b

右支交于P，Q两点，其中点P位于第一象限内.当直线1与久轴垂直时，\PQ\=6.

(1)求双曲线的方程；

(2)设直线4P,2Q分别与直线x=a交于M,N两点，问：是否存在实数a,使右焦点F2恒位于以线段MN为

直径的圆上？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由；

(3)是否存在常数人使得NPFzA=2NP4F2恒成立？若存在，求出4的值，若不存在，说明理由.

19.(本小题12分)

带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学.以一种常见的生活用品一一酒杯为例，根据其造型，不妨

将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑.

(1)将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处

位置的特征.查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理.试将该物理原理抽象为这一抛物线

酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论.

【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与"问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始

解答的不得分；

②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明.

(2)将许多长短不一(但均足够长)的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一

点，请解释该现象.

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20.(本小题12分)

已知椭圆八9+，=1(0<b<2).

(l)已知椭圆厂的离心率为苧，求椭圆r的标准方程；

(2)已知直线I过椭圆厂的右焦点且垂直于x轴，记2与「的交点分别为4B,4B两点关于y轴的对称点分别

为4、B',若四边形ABB%'是正方形，求正方形ABB'4'的内切圆的方程；

(3)设0为坐标原点，P、Q两点都在椭圆「上，若△OPQ是等腰直角三角形，其中NOPQ是直角，点P在第一

象限，且0、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.

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1.【答案】c

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】x=—；

6.【答案】（-2,1）

7.【答案】4c

8.【答案】71—arctanl

9.【答案】（一8,5）

10.【答案】苧

11.【答案】［_冬=1

3616

12.【答案】［邛,+8）

13.【答案】苧

14.【答案】与

15.【答案】解：（1）由椭圆C的方程为。+4=1,

可得Q=2,b=V-2,c=V4—2=V-2,

所以e=£=年；

a2

（2）设直线y=%+TH与椭圆C交于/（石，%），8（%2，、2）两点，

y=x+m

{了+万=1

得3/+4mx+2m2—4=0,

△=16m2—4x3（2m2-4）=8（6—m2）>0

4m

则{+x2=-T,

2m2—4

/

由于明=卬（l+F）［（书一4号=*

解得m=士，2.

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16.【答案】解：(1)由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，

由图可得4(一8,0),B(8,0),0(0,4)，

设该圆的半径为r米，则产=82+。—4)2,解得「=10,

则圆心为(0,-6),

故该圆弧所在圆的方程为/+(y+6)2=I。。.

(2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，

则($2+(6+1.6)2=102,

解得d=2V42.24.

若并排通过5辆该种汽车，

则安全通行的宽度为5x2.5+4x0.5=14.5>

故该隧道不能并排通过5辆该种汽车.

若并排通过4辆该种汽车，

则安全通行的宽度为4X2.5+3X0.5=11.5<2/4224,

故该隧道能并排通过4辆该种汽车.

综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.

17.【答案】解：(1)底面4BCD是边长为1的正方形，则SDABCD=1,SaAiBiCiDi=1,

AAt=V_2,Z.A-^AD=Z-A-^AB=120°,

所以S畋=4SDA[B]AB=4X2X•IA4J•sin/A遇B=4X2X?=2yf6,

所以该平仃八面体的表面积5表=S网+S^ABCD+^IZIA1B1C1D1=2>/-6+2.

(2)过七作_1_2。,4担1平面48C。，连接AM,HM,AE,HE,AH,

止匕时4Du平面4BCD,ArHVAD,ArEVAD,ArH0ArE=Ar,ArH,ArE^^ArHE,

：.AD1面4HE,

Al-JAM

cos%=cosZ-A^H=cos02=cos4BAH=—cos4HAM=——,

八....AMAMAH八八不日、十

cos3=—CQSZ-A^AM=-=——•=cos^cos^，得证.

因为Naia。=^ArAB=120°,贝ikaiZE=^A1AM=60°,

则a”=AAt-COS60°=苧=4E,

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所以=7-AH2=V2-1=1,

所以COSN&A”=萼=噂，所以N&4”=45°,

AA^L

因为_L平面ABC。，AHu平面4BCD,所以Ai"1AH,

所以侧棱与底面4BCD的所成角为N&A”.

所以，侧棱44i与底面48C0的所成角为45。.

⑶由题意荏•而=0,AA^-AB=AA^-AD=^xlxcosl20°=一/

BD]—BA+AD+DD]=—AB+AD+AA-1,

2

\BD±\={-AB+AD+AA^=AB+AD+AA1-2AB-AD-2AB-AA1+2AD-AA1

=l+l+2-0-2x（-苧）+2x（-苧）=4,

所以BQ1=|西|=2.

而前=同+和麻|=/I,

,>>--->>>>>>2>2>>>>

则B£>1-AC=（—AB+4。+441）•（4B+AD）=AD-AB+AA1-AB+AA1-AD

=1-1+（-苧）+（-苧）=«

所以|c°s瓯，狗=胃=黑/,1

所以直线B£>1与4C所成角为60。.

18.【答案】解：Q)因为当直线，与x轴垂直时,\PQ\=6,

且点P位于第一象限内，所以设P(c,3),

代入方程中得到。2—斗=1,而c2=1+%

bz

解得b2=3,c2=4,则双曲线的方程为/—1=1.

(2)由上问得双曲线的方程为/芸=1,

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如图，则点a,F2的坐标分别为(-1，。)，(2,0)，

又双曲线渐近线为y=±73%,显然直线PQ的斜率不为零,

故设其方程为尤=my+2,(znK±?),

联立双曲线方程比2—=1可得：(3m2-l)y2+12my+9=0,

设点P,Q的坐标分别为Oi，yi),(%2，y2)，且/>0恒成立

liiii.12m9

4

+g=爪(yi+y2)+4=

久1孙=巾2yly2+2m(乃+%)+4=霓；

又直线4P方程为：y=(x+1),令久=a,则y=(a+l)p

故点M的坐标为(a,(a+1)•岛)直线4Q方程为：丁=爵0+1)，

令x=a,则y=(a+1)•告p故点N的坐标为(a,(a+1)・毋y)；

若右焦点F2恒位于以线段MN为直径的圆上，则丽•丽=0,

则“尸2'NF2=(2—a,-(a+1)-^0・(2—a,-(a+1)-

9

=(2-a)2+(a+l)2---------~T-T=C2-a)2+①+〔尸•°?料

%1%2+%1+%2+1324—_L----4-----[

3m2—13m2—1

=(2—a)2+(a+I)2•2=(2—a)2—(a+l)2,令(2—a)2—(a+l)2=0,解得a=

故存在a=p使右焦点F2恒位于以线段MN为直径的圆上.

(3)当直线PQ斜率不存在时，

对曲线C:久2一1=1,令％=2,解得y=±3,

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故点p的坐标为(2,3),此时NPBAM*

在三角形PFzA中，\AF\=3,IPF2I=3,故可得4PA&=P

24

则存在常数2=2,使得NPF2&=2NP4F2成立；

当直线PQ斜率存在时，不妨设点P的坐标为(x,y),x丰2,

此时直线PF2的倾斜角为a，直线P4的倾斜角为0,

则NP&a=兀-a,/-PAF2=£,

假设存在常数4=2,使得NPF2&=2乙PAF2成立,即兀一a=20,

则一定有：tan(兀-a)=-tana=tan20=1叱,也即一的^=号;

L-tClYlp1—0人

又_k=__y2kp4_2x备一2y(x+1)

2

PF2X-2'l-kpA1-y(%+l)2—y2,

(x+1)2

又点P的坐标满足％2一］=1,则y2=3%2_3,

附2kpA_2yol_I)_2yO+l)

22

乂1一后人一(x+l)-y-(X+1)2-3X2+3

2y(x+1)_2y(x+1)y

--2x2+2%+4-一2(%—2)(%+1)-x-2

=-kpF2；

故假设成立，存在实数常数a=2,使得NPF2/=24PAF2成立；

综上所述，存在常数2=2,使得4PF2A=2乙/MF2恒成立.

19.【答案】解：(1)抽象出的数学问题：

已知抛物线/=2py(p>0)上有一条长度为L(L>0)的动弦求48中点M到％轴的距离的最小值.

问题解答：

设4(%141)8(第2，、2)，直线=kx+m,

2=2py

联立t得,x2—2pkx—2pm=0,

=kx+m

4=4P2k2+8Pm>0,=-2pm+2m=2pk2+2m,

，%+%=+x2)

2222

所以£=V1+k\xr—x2\=A/1+k2d(jq+72)2—4%I=2=V1+ky/4pk+8pm,

pk2

解得TH=

8p(l+/c2)

AB中点M(pk,pk2+m),

则中点M到X轴的距离为

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,,2,1_Pfc2,/_p(k2+l)p

\pk+m\=——I------------T-=—Q--------1-------------5—

28P(1+Y)28P(1+Y)2

4fc2+l=t,t>l,设"。=与+导一畀

ZoptZ

①当L22P时，/(t)>2号熹—%空，

、zoptzz

2

当且仅当9=工，BPt=fc2+1=与时等号成立.

28Pt2P

L2pk2L2P脸T)

此时TH=

8P(1+M)2-8P.专2

故直线480=依+畀恒过抛物线的焦点(0,.

2

②当0<L<2p时，在[l,+8)上单调递增，则f(t)N〃1)=散r.

当力=k2+1=1,即k=0时，AB中点M到%轴的距离最小，最小值为白

8P

此时AB斜率k=0,即4B关于y轴对称.

回归实际问题，研究结论是：

当木棍长Le(0,2p)时，小木棍自然静止下来后对应木棍处于水平位置；

当木棍长LG[2p,+8)时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点.

(2)由题意，小木棍长短不一，但均足够长，不妨认为木棍长度L均满足L2