数列（解答题11种考向）原卷版-2025年新高考数学二轮复习

数列（解答题11种考点分类）

知飘导囹

数列

1

坨，考点突破

考向一等差数列和等比数列

【例1-1](2025•河南•模拟预测)已知项数为的数列｛%｝满足：％+&+…+%=0且

同+同|+…+|。/=3.

⑴若"=4,."｝为等比数列，求q的值;

(2)若〃=9,｛凡｝是等差数列，求公差d的值.

2

【例1-2】(2025•福建漳州•模拟预测)已知数列｛%｝为等差数列，4=9吗+必+%=33.

(1)求数列｛对｝的通项公式.

(2)若"+%=19,求数列网的前n项和Sn.

【例1-3】(2025・广东惠州・模拟预测)记S,为等差数列｛%｝的前"项和，%=5,S3=9.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若或=一求数列也｝的前"项和4,并比较4与log2百的大小.

anan+\

3

【例1-4】（2024•湖北黄冈•一模）设S,为数列｛%｝的前〃项和，满足j=1-%（〃eN*）.

⑴求证：a

⑵记（=S；+S；+…+S；,求雹.

考向二数列中求通项、求和的方法

【例2-1］（24-25高三下,湖南•开学考试）已知数列｛%｝的前"项和为S"，且?+?+…+3=S"-”.

23n+1

⑴求数列｛0“｝的通项公式；

⑵已知a=要，求数列上｝的前"项和

4

【例2-2］（24-25高三上•黑龙江鸡西•阶段练习）已知数列｛%｝的首项为％=：,且满足氏+|+4%+"“-g=0.

（1）证明：数列为等差数列;

⑵求数列的前"项和为S”;

⑶求数列［（-1）"邑｝的前"项和.

【例2-3】（2021•天津和平•二模）已知等比数列｛。“｝是递减数列，｛““｝的前〃项和为邑，且，，2s2，8%成等

差数列，3%=q+2%.数歹!］｛2｝的前"项和为7；,满足2M+",〃cN*.

⑴求｛2｝和也”｝的通项公式；

。也,〃是奇数2„

⑵若'（处也，”是偶数,求g。

,6也+2!

5

,、22

【例2-4](2024・广东)在数列｛。“｝中，已知q=£,=4%+i-2a,,记或=---3.

a

5n

⑴证明：数列也,｝为等比数列；

(2)记,数列｛%｝的前"项和为S,,求S”.

在①4=1―A—一7—；②C"="―n-③c“=三个条件中选择一个补充在第(2)

lo

10g2Vrg2^+1®T)(A+1T)"(〃+1)她+1

问中并对其求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

考向三数列与三角函数的综合

【例3-1](2024海南)已知函数/(%)=百5出0%850工-8520%+：(0>0)的最小正周期为6.

⑴己知△/8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且c>b,若/伫/]=1,A-B]^,求：的值;

\71)\71)1b

⑵若«„=«­/2«+1|,求数列｛%｝的前2022项和邑侬.

6

【例3-2】（2025云南）已知函数玩二（2cosV2sin乃x）,n=（sin7rx,1+6sin7rxj,/（x）=m-n,

（1）求/（X）的解析式，并求其单调递增区间;

⑵若/（x）=l在区间（0,+◎上的根按从小到大的顺序依次记为生,电,4,求数列｛为｝的通项公式及其前〃项和

S”.

【例3-3］（2024宁夏）已知的三个内角A、B、C的对边分别为。、b、c,内角A、B、C成等差数列,

sin4+sinC

b=C，数列｛2｝是等比数列，且首项、公比均为

a+c

（1）求数列｛对｝的通项公式;

（2）若4=一电岂2,求数歹U"的前”项和s“.

an

7

考向四数列与统计概率综合

【例4-1］（24-25高三上•辽宁丹东•期末）某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练

车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为：，抽到乙练习的概率为

一12

每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为抽到丙练习的概率为1,每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为

抽到乙练习的概率为：，直到这天练习结束，一共练习了〃（"23,〃eN）轮，已知练习从甲开始.

⑴当"=3时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望；

⑵求第〃轮为甲练习的概率.

【例4-2】（2025•安徽•模拟预测）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3,

4,5,6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.

⑴设投掷2次骰子，最终得分为X,求随机变量X的分布列与期望；

（2）设最终得分为”的概率为勺，证明：数歹U｛心「只｝为等比数列，并求数列仍,｝的通项公式.

（提示：请结合数列的递推关系求解）

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【例4-3】(2025・四川•二模)小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择/,B,。三种套餐的概率相等，

若某次选择/之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择3套餐之后，下一次只会在2,C

两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题：

(1)试写出第〃次选择时，小王选/套餐的概率表达式，并求出第3次选择2套餐的概率.

(2)试写出第“次选择时，小王选8套餐的概率表达式，并求出选/套餐的均值.

【例4-4](24-25高三下•湖北武汉•开学考试)为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行

了问卷调查，据统计，其中;的人计划只参观黄鹤楼，另外:的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若

只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分.假设每位首次来武汉旅游的游客计划是

否游览晴川阁相互独立，视频率为概率.

(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望；

⑵从游客中随机抽取n人(〃eN*),记这„人的合计得分恰为"+1分的概率为《，求之々；

Z=1

⑶从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为％,求数列｛为｝的通项公式.

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考向五数列与导数综合

【例5-1】(2024・浙江•一模)已知数列｛4｝的首项是1,其前”项和是5,,且%+i=%+2"+l,〃eN*.

⑴求出，的的值及数列｛%｝的通项公式；

(2)若存在实数彳，使得关于〃的不等式2+S“W25",〃eN*有解，求实数彳取到最大值时”的值.

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【例5-2](24-25高三上•山西吕梁•期末)如图，在横坐标为多的点处作了(x)的切线，该切线与x轴的交点为

马；在横坐标为％的点处作了(x)的切线，该切线与x轴的交点为X3；一直继续下去，得到数列卜,｝.

x+2

(2)若函数/(X)=%2-X-6,记=ln一一心,%=2,%>3.

X.T

(i)求数列｛%｝的通项公式；

(ii)在凡与。向之间插入“个数，使这〃+2个数组成一个公差为4,的等差数列，在数列｛4｝中是否存在3项

4,,4,。(其中"，，斤,P成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.

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【例5-3】(24-25高三上,浙江金华・期末)已知数列｛4｝是等比数列，满足/&=%，且。2，%+%，%成等差数

列，数列也,｝满足她+她+她+…+。也=(2«-7)-2向+14,记数歹!］也｝的前"项和为S",

⑴求。“；

(2)求数列的前"项和；

(3)记c“=gj,若c“4q恒成立，求上的值.

12

【例5-4](24-25高三上•河南周口•期末)已知函数，x)=/,点月(对,4)(〃€^)均为曲线了=/(工)图象上的点,

且q产0，％+|+。“=6〃+3，％+1>%•

(1)当。尸3时，证明：&-3〃｝是等比数列；

(2)求4的取值范围；

⑶证明：直线勺Em的斜率随"的增大而增大.

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考向六数列与解析几何的综合

【例6-1］（24-25高三下•重庆•阶段练习）已知正项数列｛%｝的前〃项之和为S“，且2s“=2d+。“-3,〃eN*.

⑴求数列｛%,｝的通项公式；

⑵若点列｛功｝是曲线/=2x在第一象限上的点，点打的横坐标为“，点瓦到原点的距离为｛%｝,求数列低｝

的通项公式，并证明：…用（心）

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【例6-2】（2025•浙江温州•模拟预测）已知双曲线。:二-胃=1（。>0,6>0）过点片（2,2）,其渐近线的方程为

ab

y=+2x.按照如下方式依次构造点尺（"=2,3,…）；过右支上点4T作斜率为1的直线与C的左支交于点,

过再作斜率为-1的直线与C的右支交于点4,（斗,以）.

⑴求双曲线。的方程；

（2）用毛,其表示点2T的坐标；

⑶求证：数列｛2x.-”｝是等比数列.

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【例6-3】(2025・福建•模拟预测)已知抛物线C-.x-=2Py｛p>0)的焦点为RM(x0,v0)为抛物线C上的一

个动点(不与坐标原点重合)，\MF\-y0=\.

⑴求抛物线C的方程；

⑵已知点M(2,D,按照如下方式构造点M“(〃=2,3,4,…)，设直线为抛物线C在点处的切线，过点

作"I的垂线交抛物线C于另一点，记Mn的坐标为(x“.

(i)证明：当“21时，|%尸怛4〃-2；

(ii)设△监"+1的面积为S”，证明:Z^<—.

【例6-4](2025•陕西渭南•一模)已知双曲线。:4)，2-1=%.点虫-1,1)在。上.按如下方式构造点

^(«>2).过点匕―作斜率为-1的直线与C的下支交于点。,一.点。,T关于X轴的对称点为匕.记点匕的坐标为

(1)求工,%的值：

(2)记。.=2%+x,.证明：数列｛%｝为等比数列；

⑶记“几/2的面积为力证明：S,是定值.

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考向七插项数列

【例7-1］（24-25高三上•浙江杭州•期末）己知等比数列｛%｝的前"项和为。加=25“+3.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵在数列｛%｝的相邻项为与效+iHeN*）之间插入左个相同的数（一以,使其与原数列构成新数列抄“｝，设（为数

列低｝的前"项和，求仇

【例7-2】(2024陕西)已知数列｛%｝满足。1+3的+5%+…+(2"-1)%=("-1)3"+1.

⑴求｛七｝的通项公式;

⑵在见和a向之间插入〃个数，使这〃+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为口，求数列的前〃

项和方.

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【例7-3］（24-25高三上•天津南开•期末）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S.，数列也,｝是等比数列，满足

%=4，%=5,%+。4=19,百1=11(4+1).

⑴求数列｛&｝和｛〃｝的通项公式;

—，〃为奇数2„

（2）对任意的正整数"，设c"=，电：1）（%2+1）,求学;

（-1户5-1）”〃为偶数

⑶若对于数列｛。“｝,在％和殁M之间插入4个1（左eN*）,组成一个新的数列｛d”｝,记数列｛4｝的前〃项和为北,

求^2025•

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【例7-4](24-25高三上,天津滨海新•阶段练习)已知数列｛g｝是公差为1的等差数列，且％+电=%，数列｛4｝

是等比数列，且4=4，。4=4々-%.

⑴求｛%｝和抄0｝的通项公式;

1%厂32,,〃为奇数

(2)设g=<4。“。“+2伍”)(〃eN*),求数歹lj｛C"｝的前2〃项和刀”：

aj5，〃为偶数

⑶在々与6川之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为Z的等差数列，若加公＞。"对V"eN*恒成立，求

实数加的取值范围.

考向八数列中的存在性问题

【例8-1](2024江西)已知数列｛““｝满足：％=彳＞0,%•%+1=27N".

(1)当彳='时，求数列｛?”｝中的第1。项；

(2)是否存在正数彳，使得数列｛%｝是等比数列，若存在求出几值并证明；若不存在，请说明理由.

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【例8-2].（24-25高三下•全国•开学考试）记数列｛%｝的前"项和为%已知弓=1（"0）,

2nan+i=2S“+"("+l)d.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）是否存在加和总使得一匚是‘和」一（左22）的等差中项?若存在，求出”和左的值;若不存在，请说明理由.

am+lamam+k

【例8-3】（2024•广东•二模）在数列｛2｝中，％=1,VkN*都有%t，0，生川成等差数列，且公差为”.

⑴求。2，。3，〃4，。5；

⑵求数列｛%｝的通项公式；

⑶是否存在X,使得V左eN*,a2k+x,a2m+x,出用+工成等比数列.若存在，求出x的值；若不存在，说明

理由.

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【例8-4】(2024•山东•模拟预测)已知数列｛%｝,｛，｝,｛%｝的首项均为1,；。用为%,%的等差中项，且

2+2。”+1-“"=0.

(1)若数列｛2｝为单调递增的等比数列，且4+&=:打，求｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛"｝的前〃项和S„=n2,数列｛c„｝的前"项和为7；,是否存在正整数机使(>总对〃eN*恒成立?

若存在，求出加的最大值；若不存在，请说明理由.

考向九数列与二项式定理的综合

sS]

【例9-1](2023•江苏无锡•校联考三模)记S”为数列｛g｝的前"项和，已知的=1,3-翌=K.

an+\an,

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)记d=2%,数列低｝的前"项和为北，求耳一除以3的余数.

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【例9-2］（2024•江苏）已知数列｛4｝的前〃项和为S〃，且—-=a+\,%=2.

nn

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵集合力=｛%吗，…4｝，将集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为北，求北.

【例9-3】（2023・江苏镇江•江苏省镇江中学校考三模）已知数列｛%｝的前”项和为S“，满足5,=2（%,-1）.等差数

列也｝满足2=%，4=%.

⑴求｛%｝,｛4｝的通项公式;

⑵将数列｛4｝满足（在①②中任选一个条件）的第加项金取出，并按原顺序组成一个新的数列

匕,｝，求｛c,｝的前20项和7M.①logM“=4,②册=34+1,其中4eN*.

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考向十数列中求参数

【例10-1](24-25高三上•河北•期末)数列｛%｝满足：4=1,+。2%+…+%4+1=；"("+1)("+2).

⑴求数列｛%｝通项；

111

(2)-----+------+…+---------〈加恒成立，求加最小值.

2a33a4%A+iqt+2

【例10-2](23-24吉林长春•阶段练习)设正项数列｛叫的前"项之和，=%+%+•••+%，数列也｝的前"项之

积c“=b也…”，且6"+C"=l.

⑴求证：]：，为等差数列，并分别求｛%｝,抄〃｝的通项公式；

11Q

(2)设数列｛。“心用｝的前"项和为S,，不等式S,＞：+2-三对任意正整数〃恒成立，求正实数彳的取值范围.

22

【例10-3】(2024・广东韶关•一模)设数列｛叫的前"项和为"，且S“+%=2.

(1)求数列｛对｝的通项公式；

(2)在4和。2之间插入1个数X”，使％,网”。2成等差数列;在。2和。3之间插入2个数孙，当2,使。2户21户21，。3成等

差数列；依次类推,在。“和%之间插入〃个数X"”尤"2,…，尤."，使%，/，尤"2,…,当",%成等差数列.

⑴若北=X”+%[+%2+…+X“]+X"2+…+x,“，求(；

(ii)对于(i)中的1,是否存在正整数见*p(〃<p),使得，=4+4成立？若存在，求出所有的正整数对(加,"M)；

若不存在，说明理由.

【例10-4](24-25高三上•辽宁•阶段练习)已知数列m｝的首项为1,其前"项和为S"，等比数列也｝是首项为1

的递增数列,若3皿用-6S"=〃("+1)(“+2),88+2b4=b6.

⑴求数列｛““｝和也｝的通项公式；

1111c

(2)证明：—+—+—+—<2；

Clyn

⑶求使得％之”成立的最大整数〃.

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考向十一新定义数列

【例11-1】(2025•陕西咸阳•一模)若无穷数列｛与｝满足：对于V〃eN*,扃-框=4,其中/为常数，则称

数列｛%｝为"/数列".

⑴若等比数列｛4｝为，数列",求低｝的公比q；

(2)若数列｛%｝为"/数列"