数列的概念（原题版）-2024-2025学年高二数学同步训练（人教B版选择性必修第三册）

第01讲数列的概念

学习目标

课程标准学习目标

1.通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，

理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征。

1.理解数列的概念.

2.根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理

2.掌握数列的通项公式及应用.

解通项公式的含义。

3.能根据数列的前几项写出数列的一个通

3.知道数列的分类：有穷数列和无穷数列等。

项公式.

4.掌握数列的表示方法。

5.通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律。

思维导图

数列的概念及一般形式

数列的概念与辨析

L根据规律求数列的项

数列的分类及表示

＜数列的分类及判断

数列的概念-根据数列的单调性求参数

数列的通项公式:求数列项的最值

根据数列的前几项求通项

数列与函数

根据通项公式求值

ts知识清单

知识点01数列的概念及一般形式

（1）数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项

依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。

（2）数列的一般形式可以写成%,%，。3,……，%，……，其中4表示数列的第

”项（也称〃为。"的序号，其中H为正整数，即〃eN+）,称为数列的通项。此时一般将

整个数列简记为{%}

【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点:

①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；

②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现（即互异性）；

③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素

没有顺序（即无序性）；

④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.

【即学即练1】下列结论中正确的是（）

A.数列的项数是无限的

B.数列中各项与顺序无关

C.数列1,3,5,7可表示为｛1,3,5,7｝

D.数列1,3,5,7与数列7,5,3,1不是同一数列

知识点02数列的分类及表示

1、数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列%+1>册

递减数列%+i<a其中〃£N+

项与项间的大n

常数列%+i=%

小关系

从第二项起，有些项大于它的前一项，有

摆动数列

些项小于它的前一项的数列

2、数列的表示：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.

【即学即练2】下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）

A.1,g,—,—,...B.-1,—2,—3,—4

234

111厂

C.—1,一~~9一~.D.1,72，J3,Vn

248

知识点03数列的通项公式

一般地，如果数列的第〃项。“与"之间的关系可以用即=人〃）来表示，其中人"）是关于〃的不含其他未

知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式.

【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+或它的有限子集｛1,2,3,…，以为定义域的函

数解析式.

②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.

③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的.

【即学即练3】下列结论中，正确的是（）

A.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集｛123,…,必）上的函数

B.数列的项数一定是无限的

C.数列的通项公式的形式是唯一的

D.数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,…不存在通项公式

知识点04数列与函数

从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：

定义域正整数集N+（或它的有限子集｛1,2,3,…，«｝）

解析式数列的通项公式

值域由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成

表示方法（1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图像法

【即学即练4】（多选）下列结论中正确的是（）

A.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集｛1,2,3,…,科）上的函数

B.数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点

C.数列的项数是无限的

D.数列｛2〃+1｝是递增数列

04题型精讲

题型01数列的概念与辨析

【典例1】（2024高二•全国•专题练习）下列说法正确的是（）

A.数列4,7,3,4的首项是4

B.数列｛%｝中，若为=3,则从第2项起，各项均不等于3

C.数列3,6,8可以表示为｛3,6,8｝

D.a,-3,-1,1,b,5,7,9,11一定能构成数列

【变式1】（24-25高二上•全国•课后作业）若数列｛%｝的通项公式为%=4〃-5,则关于此数列的图象叙述

正确的是（）

A.此数列不能用图象表示

B.此数列的图象仅在第一象限

C.此数列的图象为直线＞=4X-5

D.此数列的图象为直线y=4x-5上满足xeN,的一系列孤立的点

【变式2】（2024高三•全国•专题练习）将正整数的前5个数排列如下：

①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.

其中可以称为数列的有（）

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

【变式3】（23-24高二上・山西•期末）下列说法中，正确的是（）

A.数列2,4,6,8可表示为集合｛2,4,6,8｝

B.数列1,2,3,4与数列4,3,2,1是相同的数列

C.数列｛/+〃｝的第左项为公+左

D.数列01,2,3,4,…可记为｛〃｝

【变式4］（24-25高二上•全国,课后作业）下列说法中，不正确的是（）

A.数列L3,5,7可表示为｛1,3,5,7｝

B.数列-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列

C,数列的项可以相等

D.数列。，4c和数列c,仇。一定不是同一数列

题型02根据规律求数列的项

【典例2］（23-24高二下•陕西渭南•期中）已知数列0,2,",2亚,M,2山，…，则这个数列的第

25项为（）

A.2万B.572C.7D.45/3

【变式1】（23-24高二下•四川成都•期中）在数列1,-2,4,—8,16,…中，这个数列的第7项是（）

A.-64B.64C.128D.-128

【变式2］（24-25高二上•福建龙岩•期中）己知数列1,-b2,-2,3,-3,根据该数列的规律，100

是该数列的第（）

A.100项B.101项C.199项D.200项

【变式3】（23-24高二下•河北张家口•开学考试）将正偶数按如图所示的规律排列:

2

468

1012141618

20222426283032

则4048在第行，从左向右该行的第个数.

【变式4】（24-25高二・上海•随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》

一书中的"杨辉三角J

12345-20142015201620172018

3579..........4029403140334035

81216..................806080648068

2028..........................1612416132

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其"肩上"两数之和，表中最后一行仅有一个数,

则这个数为.

题型03数列的分类及判断

【典例3］（24-25高二上•全国•课后作业）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）

,,111.兀.2兀.3兀

A.1,—B.sm—,sin——,sin—,­•

234777

c.-1,--,D.1,V2,V3,---,V21

48

已知数列4=（-；）",则该数列是（）

【变式1］（24-25高二上•全国,课后作业）

A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列

【变式2】（24-25高二上•全国,课堂例题）下列数列中，为递增数列的是,为递减数列的是,为

常数列的是.

①1，0.84,0.842,0.843,...

②2,4,6,8,10,..

③7,7,7,7）..

11

（4）-,一，一，...

7392781

（5）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.

【变式3】（24-25高二上•全国•课前预习）下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪

些是摆动数列？

①2017,2018,2019,2020,2021,2022；

③―

J一必’2^3?4^5"…；

⑤1,0,-1,0,1,0,...；

⑥9,9,9,9,9,9.

题型04根据数列的单调性求参数

【典例4］（24-25高二上•江苏苏州•阶段练习）已知数列｛〃“｝是递增数列，且对于任意

=n2+2An+l,则实数X的取值范围是（）

33

A.A>—1B.A<—1C.>——D.几<—

22

【变式1】（2024•贵州,模拟预测）已知数列｛%｝满足。“=巴上■（左eR）,贝〃数列｛。“｝是递增数列”的充要

n

条件是（）

A.k<0B.k<1C.k>0D.k>l

【变式2】（24-25高三上•安徽•阶段练习）"242"是"数歹!）｛/-2〃｝为递增数歹上的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式3】（24-25高二上•湖南长沙•期中）已知数列｛%｝的通项%=二>5,若｛%｝是递增

数列，则实数/的取值范围是（）

A.（1,6）B.（4,6）C.〔6,1］D.［4,6）

题型05求数列项的最值

【典例5］（24-25高三上•广东汕头•开学考试）已知数列句=：篇"eN*）,则数列｛%｝的前100项中

的最小项和最大项分别是（）

A.%,“100B.%5，〃44C.%5，D.〃44，“100

【变式1］（24-25高二上•全国•课前预习）已知数歹（］%=-*+4〃+2,则该数列中最大项的序号是（）

A.2B.3C.4D.5

【变式2］（24-25高二上•全国•课前预习）已知数列4=-*+4〃+2,则该数列中最大项的序号是（）

A.2B.3C.4D.5

【变式3】（23-24高二下•贵州毕节•阶段练习）（多选）己知数列｛%｝的通项公式为%=（“+2）（,,则下

列说法正确的是（）

A.%是数列｛%｝的最小项B.%是数列｛%｝的最大项

C.%是数列｛%｝的最大项D.当“25时，数列｛%｝递减

【变式4】（24-25高二上•上海•阶段练习）已知数列｛6｝满足％,==一,"为正整数，则该数列的最大项是

H+6

第项.

题型06根据数列的前几项求通项

【典例6］（24-25高二上•山东荷泽•阶段练习）若数列｛%｝的前四项依次为2,12,112,1112,则｛%｝的一

个通项公式为（）

A.=10,1-1+2=(«-l)(45n-80)+2

B.an

10"-810"+8

C.aD.a,

n99

叵£V2j_

【变式1】（24-25高二上•山东青岛•阶段练习）数列1,-—二―，"Z"，j--7，…的一个通项公式%=（）

2244

n-in—1

1(6

A.B.C.(-1)"D.(-If

I2J22J

【变式2］（24-25高二上•全国•课后作业）数列1,一1」,一也」，…的一个通项公式。“=（）

2244

n-\n-\、〃一1

(63n+16

A.B.C.(T)'D•(-1)'

I2J2

数列-2,g,U，…的通项公式可以为

【变式3］（23-24高二下•安徽・期末）()

n2n

A.(-1)•B.(-1)’

2H+12H-1

n-\2n

C.(T)'D.(-if2n

2〃+121

题型07根据通项公式求值

【典例7］（24-25高二上•河南•期中）已知数列｛%｝的通项公式为=n2+b,且2和7是｛〃〃｝中的两项，则

b=

A.—3B.-2C.1D.3

.2〃+1,几为奇数,nGN*

【变式1］（23-24高二下•海南•期中）已知一个数列的通项公式g=।，则出=

（—「2〃-为偶数，几EN*

()

A.—3B.3C.-5D.5

【变式2】（24-25高二上•全国•课后作业）已知数列｛%,｝的通项公式为为=/+2〃，若第2加项是第加项的3

倍，则旭=

,、11

【变式3】（24-25高二上•全国•课后作业）已知数列｛%｝的通项公式为%=而15y，贝!Iaw=

168

贝I]n=

强化训练

一、单选题

1.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）

A.1,；,不，:…B.-1,-2,-3,—4

234

111

C.-1,~~，一~，...D.1,J2，V3，…，yjn

248

2.（23-24高二上•江苏淮安•阶段练习）已知数列"退，⑺…工而，L则历是这个数列的（）

A.第20项B.第21项

C.第22项D.第23项

3.（22-23高二下•全国•课后作业）数列｛为｝的通项公式是=〃+1,〃eN*,则它的图象是（）

A.直线B.直线上孤立的点

C.抛物线D.抛物线上孤立的点

4.（24-25高二上・甘肃白银・期中）已知数列1,-3,5,-7,9,…，则该数列的第985项为（）

A.-1971B.1971C.-1969D.1969

5.（23-24高二下•浙江,期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传"大衍之数五十”的推论，主要用于解

释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，

它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是。,2,4,8,12,18,

24,32,40,50,…，则()

A.数列第16项为144B.数列第16项为128

C.200是数列第18项D.200不是数列中的项

6.（23-24高二上•贵州贵阳•阶段练习）数列-1,y,:,…的一个通项公式为见=（

(-l)n+1(-1)B+1D(T)'

A.ARD.Cr.U.

nnn+\n+1

/\\(3—a\x—6,x<10r、/\*

7.(24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/(*)=<匚9'3若数列｛%｝满足%,=/(〃)，〃eN,且

ICl,X〉1u

｛%｝是递增数列，则实数。的取值范围是（