数列中的递推（解析版）-2024-2025学年高二数学同步训练（人教B版选择性必修第三册）

第02讲数列中的递推

01学习目标

课程标准学习目标

1.理解递推公式的含义.

1.通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养.

2.掌握递推公式的应用.

2.借助递推公式的应用学习，提升数据分析的素养.

3.会利用即与S”的关系求通项公式.

02思维导图

L

由递推关系求数列的项

数列的递推关系，求数列的递推关系

r数列的周期性及应用

数列中的递推-巳知Sn求通项公式an

'累加法求数列的通项

数列的前n项和

累乘法求数列的通项

根据Sn与an的递推关系求通项

03知识清单

知识点01数列的递推关系

1.数列的递推公式

如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称

这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）.

2.通项公式与递推公式的区别与联系

类别区别联系

通项公式。〃是序号n的函数式

都是给出数列的方法，都可求出数列中

已知田（或前几项）及相邻项（或相邻几项）间的关任意一项

递推公式

系式

【即学即练1】

（1）设数列｛（｝满足q=3,且%+i=J1+%,则%=（）

A.V3B.2C.1D.3

【答案】A

【分析】

依次代入”=1和〃=2即可得到结果.

【详解】

当〃=1时，a2=Jl+q=2；当〃=2时，a3=J1+%=A/3.

故选：A.

111

(2)数列1,…的递推公式可以是()

248

11

A.ci=—B.a=—

n2”n2n

_1_

C.an+i=-anD.an+l=2an

【答案】C

【解析】由题意可知C选项符合，故选C.

知识点02数列的前n项和

1、数列的前〃项和的定义

一般地，给定数列｛四｝,称S〃=qi+Q2+Q3H-----为数列｛魅｝的前〃项和.

2、即与S”的关系

一般地，如果数列｛%｝的前九项和为，那么当〃22,由=。1+。2+。33+%―1，

S],〃=1

S,=%+%+%…+%―1+4,，所以S,=5,1+4，因此4=彳c

电-S“T，〃22

2

【即学即练2]已知数列｛%｝的前〃项和Sn=n,则a2=.

【答案】3

【解析】472=52-5]=4-1=3.

04题型精讲

题型01由递推关系求数列的项

【典例1】(24-25高二上•天津•阶段练习)己知数列｛%｝满足%=3,a„+1=l-—则％=()

C.3D.2

【答案】C

【分析】根据递推关系直接求解即可.

【详解】因为为=3,«„+1=1-—（»eN,）,

an

112।1111r

所以，a2=1-----=T,。3=1------=-T,。4=1------=3.

<7]3a22a｝

故选：C

【变式1】（24-25高二上•山东荷泽•阶段练习）数列｛&｝满足1M=2〃+1,若。3=1,则q=

3

【答案】1/0.6

【分析】根据条件等式，代入〃=2求的，再赋值求q.

5,33

【详解】由。“。“+1=2〃+1,得a2a3=5,aa=3,所以出=一=5,a=—

A2Q3Aa?5

3

故答案为：—

，、11

【变式2】（24-25高二上•天津•阶段练习）已知数列%｝的首项为q=1,递推公式为%=1+—

an-X

（«>2）,a5=

Q

【答案】|/1.6

【分析】根据递推公式依次代值计算即可.

1I

【详解】由凡二1^（〃之2）,%=1,

an-\

1113

则生=1+—=1+1=2,%=1+—=^+-=-,

%%22

11,25।I138

。4=1+—=1+丁=；,a5=1+—=1+-=-.

a333a455

故答案为：I".

【变式3】（2024高二•全国•专题练习）已知数列为｛%｝,若为关于〃的图象是一条抛物线上的孤立的点,

且%=1,°2=3,=7,则.

【答案】21

【分析】利用待定系数法求通项，再求生即可.

【详解】设%=的2+加+。（QWO,〃WN*）,

a+b+c=\a=1,

由题设可得，4Q+26+C=3,解得6=-1,

9a+3b+c=1c=l,

2

所以%=*+1,HeN*,tz5=5-5+l=21.

故答案为：21.

【变式4】（23-24高二下•广东广州・期末）已知数列｛叫满足％=-1,2%-年用=1H€4）,则

【答案】13/0.6

【分析】由递推式，结合％=-1依次求出〃2、〃3即可.

【详解】由q=-1,la2-axa2=1,可得%=g,

3

yi2a3-a2a3=1,可得用二歹

3

故答案为：—.

题型02求数列的递推关系

【典例2］（24-25高二上•全国,课后作业）数列:-的第"项。“与第〃+1项%的关系是（）

24o1o

A.%=2%B.%+i=-2a“C.an+l=1a„D.an+l=-^an

【答案】D

【分析】根据数列中从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数（不为零）进行求解即可.

_1_］__J_

［详解］因为学=互=一；,••・

248

所以%+i=_（。"，

故选：D

【变式1】（23-24高二下•湖南•阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的

研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学按照如图1所示的分形规律，可得如图2

所示的一个树形图.若记图2中第"行黑圈的个数为%,白圈的个数为“，则下列结论错误的是（）

第

1行

第

行

•2

•

O<•

OO

图1图2

A.%=8B.b5=13

C.an+1=2an+bnD.bn+l=2an-bn

【答案】D

【分析】由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，即可得

到%=2。"+加鼠=%+",根据初始值，由此递推即可求得结果.

【详解】已知见表示第“行中的黑圈个数，设”表示第〃行中的白圈个数，

则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈,

•.•。厨=2%+6"，bn+l=an+bn,故C正确，D错误；

又%=0,4=1,

所以。2=1，4=1，

%=2xl+l=3,4=1+1=2,

a4=2x3+2=8,b4=3+2=5,

%=2x8+5=21,b5=8+5=13,故A、B正确.

故选：D

【变式2】（23-24高二下•辽宁•阶段练习）若正整数集N*的非空子集T满足：至少含有2个元素，且任意两

个元素之差的绝对值大于1,则称T为数集N*的超子集.对于集合4={l，2,3,-M（〃eN*,〃N3）,记乙的

超子集的个数为。“，贝1」生=，。“与41，%.2（"25）的关系为.

【答案】7an=an-\++”-2（"N5）

【分析】由超子集的定义，列举法求出生；4的超子集可以分为两类，第一类是超子集中不含"，这类超

子集有％-个，第二类是超子集中含"，这类超子集。“一2+2个，从而求得的递推关系.

【详解】由题意知，4={123},则超子集只有{1,3},所以%=1；

4={1,2,3,4},则超子集有{1,3},{1,4},{2,4},所以&=3；

4={1,2,3,4,5},贝塘子集有{1,3},{1,4},{2,4},{1,5},{2,5},{3,5},{1,3,5},所以%=7.

由此可以分析，对于4={1,2,3,…㈤（“eN*,"23）,4的超子集可以分为两类：

第一类是超子集中不含"，这类超子集有个;

第二类是超子集中含〃，这类超子集同样也包含两类，

一类在{l,2,3,--,«-2)(neN;«>3)中取一个元素，个数为«-2:

另一类在{1,2,3,…，"-2}(“eN*〃25)中取两个或两个以上个元素，任意两个元素之差的绝对值大于1,个

数为%.2，

所以。,,=%_|+。"_2+”-2(”25).

故答案为：7；an=an_x+an_2+n-2{n>5).

【变式3】(23-24高二下•辽宁•阶段练习)若正整数集N*的非空子集T满足：至少含有2个元素，且任意两

个元素之差的绝对值大于1,则称？为数集N*的超子集.对于集合4={1,2,3,…，矶“eN*,心3),记4的

超子集的个数为4,，则％=，。"与的关系为.

【答案】7a”=an-l+an-2+”-2(“25)

【分析】由超子集的定义，列举法求出。5；4的超子集可以分为两类，第一类是超子集中不含"，这类超

子集有见一个，第二类是超子集中含"，这类超子集%一2+2个，从而求得的递推关系.

【详解】由题意知,H={1,2,3},则超子集只有{1,3},所以%=1;

4={1,2,3,4},则超子集有{1,3},{1,4},{2,4},所以&=3；

4={1,2,3,4,5},贝U超子集有{1,3},{1,4},{2,4},{1,5},{2,5},{3,5},{1,3,5},所以%=7.

由此可以分析，对于4={1,2,3,.一,矶”6*,〃23),4的超子集可以分为两类：

第一类是超子集中不含"，这类超子集有为T个；

第二类是超子集中含"，这类超子集同样也包含两类，

一类在{1,2,3,…，"-2}(〃eN*,〃23)中取一个元素，个数为"-2；

另一类在{1,2,3,…，"-2}(〃eN*,〃25)中取两个或两个以上个元素，任意两个元素之差的绝对值大于1,个

数为%.2，

所以%=a„-i+a„-a+n-2(n>5).

故答案为：7；an=%—1+2+〃-25).

题型03数列的周期性及应用

【典例3](24-25高二上・甘肃庆阳・期中)己知数列{4,}满足%+1=3+而二!，且％=；，则该数列前2024

项的和为()

A.2015B.2016C.1518D.1519

【答案】C

【分析】计算数列｛七｝的前几项求出周期，再结合周期性分组求和.

2

【详解1依题意，%=g,七=g+-a；=；+jg-*=l,a3=g+yja2-of=g+Jl-1=g,

因此数列｛%｝是以2为周期的周期数列，

3

所以该数列前2024项的和为1012(q+&)=1012乂5=1518.

故选：C

【变式1］(24-25高二上•浙江金华•阶段练习)已知数列｛%｝满足为=彳，«„+1=1-一，则。23=()

a

2n

A.-1B.2C.3D.y

【答案】A

【分析】利用递推公式可验证出数列｛%｝为周期为3的周期数列，进而可得结果.

1,1

【详解】因为。］=彳，an+l=1---，

a

2n

令”=1,贝！］&=1---=1-2=-1；

%

令〃=2,则%=1一~—=1+1=2.

a2

,,111

令A”=3,则%=1---=1--=-；

a322

可知数列｛与｝为周期为3的周期数列，所以％必=«674x3+2=«2=-l.

故选：A.

【变式2】(24-25高二上•上海•期中)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列J

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...,即％=%=1,+«„_2(«>3,neN),此数列在现代物理“准晶体结构"、化

学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列仍“｝,则数列｛2｝的前2026项的和为

()

A.1350B.676C.1351D.1352

【答案】C

【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列｛"｝的规律，再利用数列的周期性即

可得结果.

【详解】根据斐波那契数列性质可得｛%｝中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，

因此新数列｛4｝即为按照1,1,0成周期出现的数列，周期为3,

易知2026=675x3+1,一个周期内的三个数字之和为2；

所以数列也,｝的前2026项的和为675x2+1=1351.

故选：C

【变式3】（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知数歹!J｛对｝的前〃项和S”=“2-2”，贝|%+%+%等于

（）

A.12B.15C.18D.21

【答案】B

【分析】利用之一邑即可求得/+%+%的值.

【详解】因为数列｛«„｝的前"项和S“=n--2n,

以%+4+%=S$—S,=5--2x5—（2-—2x2j=15.

故选：B.

题型04已知S”求通项公式即

【典例4］（24-25高二上•黑龙江绥化•阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为邑，且S“=2〃2+〃+l,

〃wN*,贝.

4,H=1

【答案】

4W-1,H>2

【分析】利用4=斗-％（心2）可得答案.

【详解】S“=2/+〃+l,〃$N*,£=2+l+l=4=q,

当〃之2时，Si=2（〃一1了+〃一1+1

两式相减得%=4〃-1,而％=4-1=3工4,

［4,n=l

则"〃=L1』

=1

故答案为：41>0-

【变式1］（24-25高二上・甘肃庆阳・期中）已知S,为数列｛%｝的前"项和，S„=T-\,则为=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】由。4=S4-S3可求得结果.

【详解】因为S"为数列｛%｝的前〃项和，S,=2"-l,贝"4=凡-号=（24-1）-（23-1）=8.

故选：D.

【变式2］（24-25高二上•山东青岛•期中）已知数列｛6｝的前"项和S"="+〃，则为=（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】D

【分析】根据%=品-久求值即可.

【详解】因为%=5厂凡=（72+7）-（62+6）=14.

故选：D

【变式3】（24-25高二上•山东青岛•期中）已知数列｛6｝的前〃项和S“=/+",则%=（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】D

【分析】根据。7=$7-$6求值即可.

【详解】因为。7=诙/=（72+7）-（62+6）=14.

故选：D

【变式4】（24-25高二上•新疆乌鲁木齐•期中）设S,为数列｛%｝的前〃项和，若S'=3"+2〃+l,则数列｛4｝

的通项公式%=.

6,〃=1

【答案】<l.y+2>2

13

【分析】由％与S”的关系，化简可得所求通项公式.

【详解】由S〃=3"+2〃+l,可得〃=1时，q=吊=3+2+1=6；

2

当心2时…—”+-2（1）-33+2.

此时，当〃=1时，％=4w6,

6,n=1

综上，可得％=（2,.

—•3+2,«>2

13

6,H=1

故答案为：<2

一3"+2,〃22

13

题型05累加法求数列的通项

【典例51(24-25高二上•山东•期中)在数列｛4｝中，%=1,%=%+11111+则｛%｝的通项公式为

【答案】a„=l+lnn；

【分析】求出%=利用累加法求和得到通项公式.

【详解】=ln[l+1=ln(〃+l)-ln〃，

故%-a„_i=ln〃-ln(〃-1),

所以〃〃=In〃一In(〃-1)+an_x=In〃一In(〃-1)+In(〃-1)一In(及一2)+an_2

=lnw-ln(n-l)+ln(n-l)-ln(H-2)H-----i-ln2-lnl+tz1=Inw-In1+1=1+In

故答案为：氏=l+ln几

【变式1】(24-25高二上•上海•期中)在数列｛%｝中，%=6,且％=41+炮」―("22),则％。。=

【答案】8

【分析】利用递推公式累加即可求解.

YI

【详解】由题意可得%一%=lg-

n-l

,2,3,100

所以〃2-4=但1，a3-a2=1g—,.....,%oo-须=坨亚~，

e-।2।3,100(23100、।…0

累加得％o°_%=lg-+lg-+---+lg-=1gy｝X^x…=lgl00=2,

所以%oo=2+%=8,

故答案为：8

【变式2)(2024高二,全国•专题练习)已知数列｛。〃｝满足%T,。〃=%-1+J几+1一〃(几之2),则氏=

【答案1Jn+1—V2+1,〃£N+

【分析】利用累加法可求数列的通项公式.

【详解】因为〃〃=%_1+力+1-6(〃22),

所以。〃一+1-Vw.

以“2-4=A/3—\/2,%-%=V4-A/3,...,61n—册_]—J「+1-y/n

以上各式相加，得：

an-ax=(行一行)+(7?一8)+...+(7^71-6)=J〃+l-血

所以Q“=yjn+l—y/2+ax=n+1—5/2+1

又。i=l也符合上式,

所以%=y/n+1—V2+1,及£N+.

故答案为：yjn+l—5/2+1,〃£N+

【变式3】(24-25高二上•全国•课堂例题)在数列｛%｝中，q=1,all+l=a„+--一二，则％等于()

【答案】B

【分析】由%+「。”=!-一工，可以采用累加法进行求解.

nn+l

【详解】由见+「见=------则

nn+1

%=1,

a2~a\=1--

以上各式累加得见=1+1-[+-----b—.

223n-1n

On—1

所以%=——(«>2).

n

因为q=l也适合上式，

所以。“=(〃eN+).

故选：B.

题型06累乘法求数列的通项

【典例6].(23-24高二下,四川成都•阶段练习)已知数列｛叫满足：％=1且儿=占仅",〃。*),则

n—1

数列｛%｝的通项公式为.

【答案】an=n

【分析】根据累乘法求数列通项公式即可.

【详解】因为'nVkNZ6eN*),

%2%_3%_4

所以

aI1，a-c2'a-C3，a

x23„-i"T

234n

累乘可彳喙今=—X—X—X---X----------

I23n-l

即詈="，所以%=〃（"22）,

当〃=l时，%=1也成立，

所以%=".

故答案为：a„=n

a,+a

【变式1］（2024高三・全国•专题练习）已知数列｛曲｝满足①一­=2«,的=1,则。2023=

aa

n+\~n

【答案】4045

【详解】

-"=2〃，Aan+i-\~an—2n(an—an),BP(1—2n)an+i=(-2n—l)an,可得=-----，a2023—

tJ.i小?”I

<02①回G6

----------X-----------X-----------X...X-X-xai

Jin心cgatnotan：™

【变式2］（23-24高二上•山东青岛•阶段练习）若数列｛对｝满足（"-1）%=（"+1）%（〃22）,%=2,则满

足不等式对<930的最大正整数〃为（）

A.28B.29C.30D.31

【答案】B

【分析】利用累乘法求得见,由此解不等式%<930,求得正确答案.

【详解】依题意，数列｛%｝满足（〃-1”“=（〃+1）。1（7此2）,q=2,

aH+1z小aa义级…X/n+1

——=­7("22)，所以4=%23x-------

%«-1axa2123n—2n—1

=«（«+1）,%也符合，所以｛《,｝是单调递增数歹ll，

由%=n(w+1)<930,(«+31)(»-30)<0,解得一31<〃<30,

所以”的最大值为29.

故选：B

【变式3］（23-24高三上•河南•期中）在数列｛%｝中，%>0,q=1,争土乌=2〃，则为13=（）

A.4714B.15C.V223D.10

【答案】B

【分析】

22

依题意对之”+*=2〃化简,米用累乘法得到。言，从而得到％13

aa

n+l-n

2.2204-1

【详解】因为十一r=2»,所以匕1+个=2〃(匕「4)，即(1-2〃)匕1=(一2〃一1"；，得笠=

%+「%a”2n-\

22222225223221

所以尤=竽、9X冬X…X与义与XQ；=___x____x____X

...x-x-xl=225.

%12411410。2a\22322121931

因为%>0，所以知3=15.

故选：B.

题型07根据Sw与即的递推关系求通项

【典例7](23-24高二下,海南海口•期中)已知数列｛%｝的前“项和为，吗=2且满足£=三一%,则数列

｛%｝的通项公式为.

【答案】«„=(«+1)«

【分析】当“22时，。“二月一'-,化简得工=-利用累乘法计算得到%=〃+1〃，％=2满足上式,

a„-i,T

写成分段的形式即可.

【详解】当“22时，％=斗一%=*%-巴詈*,

__=

化简得(〃T)a“=("+1)%_1,^__7>利用累乘法得知…x幺x2xax%

a

%—1〃—1%_1。〃-2n-3。3。2

〃+1nn-\543。/

=----------X-----------x----x…x—x—x—x2=(〃+1)H

n-1n-2n—33211

显然4=2满足上式，

2,〃=1,

所以%=<(〃+

------,«>2.

12

故答案为：+

【变式1】(2024•四川泸州,三模)已知凡是数列｛%｝的前"项和，为=1,加用=(〃+2)S“，贝!]%=.

【答案】("+力2"一2

【分析】借助。,与E,的关系及累乘法计算即可得.

【详解】当"22时，(〃一1)%=(〃+l)S,T，即与=已.向，S,T=N%,

n+2n+1

n«-l_aR产+J2(〃+2)

贝监工%+i示“"一％'即a「“+1

n+2

,a(a

则有工=2△w+-l)L%_2〃2_2x3

a

a„-in„-2"Iax2

贝!Jan=—^x—^x—x^i=(〃+1)•2”一2，

an-\an-2a\

当”=1时，％=1,符合上式，故%=("+1>2"汽

故答案为:(〃+1)-2"-2.

【变式3】已知各项均不为0的数列｛4｝的前"项和为S"，若3月=g+1,则｝=()

1111

A.——B.——C.-D.-

2323

【答案】A

【分析】根据为与国之间的关系分析可得2。用=-。“，令〃=7即可得结果.

【详解】因为3S“=a“+l,贝13sM=。向+1,

两式相减可得：3。“+]=an+l-an,即2an+i=-an,

令”=7,可得2a8=—a7,

a.1

且a,产0,所以法=-].

故选：A.

【变式4】设尺为数列｛《｝的前”项和，且a“=2S,+5,贝”2。21=()

A.-2021B.2021C.-5D.0

【答案】C

【分析】根据数列递推式求出外,再利用。〃,5的关系推出4+%_]=0,结合并项求和法，即可得答案.

【详解】由题意矢口a”=2S"+5,故q=2S[+5,即4=24+5,/.4=—5,

当〃22时，%=2S〃_i+5,和*=2S"+5相减，

aaa

得n~n-\~2%，即旦+n-\~。，

+

故§2021=+(%+%)+(。4+〃5)+…+(。2020。2021)=囚=-5,

故选：c

05强化训练

一、单选题

1.（2024•新疆乌鲁木齐•三模）已知数列｛%｝满足%='+3

«>2,neN*),若火则q=(

an-\

12

A.-B.-C.1D.2

23

【答案】C

【分析】根据递推公式求出。2、q即可.

【详解】因为。“=—L+l("22,〃eN*)且生=：,

an-l2

3I111cli

所以J=—+1,解得%=2,则出=—+1,即2=—+1,解得q=1.

2a2axax

故选：C

3%+1,%为奇数,

2.（24-25高二上•福建漳州•期中）数列｛氏｝满足〃1=5,贝!

"+1+吗为偶数,J%=)

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】按照数列的递推定义即可求解.

3%+l,a〃为奇数,

【详解】因为数列｛%｝满足%=5,«„+1=%

kM〃为1内现，

所以〃2=34+1=16,%=~~=8,%=/=4.

故选：C.

3.（23-24高二上重庆九龙坡•期末）数列••的递推公式可以是（）

24816

A-a“=/("eN*)B.%=：(〃eN*)

2n'7

C.an+l=1a„(weN,)D.%=2a“(〃eN*)

【答案】c

【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的由此可以得到递推公式，得出结果.

【详解】数列第一项是LAB是通项公式的形式，故AB错误;

观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的千，

所以递推公式为N*）,故C正确，D错误.

故选：C.

4.（23-24高二上•山东青岛•阶段练习）已知数列｛氏｝满足：/=9,--%=2〃，则4=（）

A.19B.21C.23D.25

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用累加法求通项即得.

【详解】在数列｛%｝中，％=9,an+i-an=2n,

以％=%+（2—1）+（%—2）+（“4—°3）=9+2+4+6=21.

故选：B

5.（23-24高二下•安徽亳州•期中）己知数列｛%｝满足％=-1,«„+1（«„-l）+l=O（HeN*）,则数列｛。“｝的前9

项和为（）

.93

A.6B.—C.3D.一

22

【答案】B

【分析】利用数列递推公式对"进行赋值求出数列的项，判断并运用其周期性即可求得

【详解】因为=-1,由a“+i（a“-l）+l=O（〃eN*）可推得，4+1=；,

1一©

故数列｛%｝是周期为3的数列，

从而数列｛g｝的前9项和为Sg=3（%+出+%）=3（-1+；+2）=g.

故选:B.

6.（23-24高二下•北京大兴•期中）已知数列｛%｝的前"项和S“=/+l,则数列｛%｝的通项公式为（）

A.an=n+\B.an=2n-l

2,〃=1,

C.a=2n+\D.%

n2n-\,n>2

【答案】D

【分析】当〃=1时，求得％;当〃之2时，根据%=S〃-Si化简得乙,再检验得出通项公式即可.

【详解】当典二1时，q=S]=l+l=2；

当〃22时，an=Sn-S^=2n-l,

2,〃=L

经验证，％=2不符合上式，所以%=

2n—l,n>2.

故选：D.

7.（24-25高二上•福建龙岩•期中）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢

琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1,1,2,3,5,8,13,

21,....这个数列的前两项都是1,从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试

解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法

种数是（）

A.21B.13C.12D.15

【答案】A

【分析】设〃级台阶的走法为找出数列的递推公式，即可求解.

【详解】设〃级台阶的走法为％,

则％=1,a2=29

当〃之3时，an=an_x+an_2f

所以。3=%+%=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,

。5=&+。3=5+3=8,4=%+&=8+5=13,

=a6+“5=13+8=21.

故选：A.

nA2

8.（24-25高二上•福建宁德•阶段练习）已知正项数列也｝满足4=1,则下列错误的是（）

曲+1+1

A.B.也｝是递增数列

.J1Js1

C.bn+i-bn<--D,bn+x>^——

n+1左=ok+1

【答案】C

【分析】结合数列的递推公式、单调性、以及放缩法、累加法的应用，对各项逐一判断，即可得到本题答

案.

【详解】对于A：辿=1,“=<&，•海=工，即其一%-1=0

也+l+l4+1

因为在正项数列抄“｝中，仇>0,.•也=与夕，故A正确；

闻i%+鼠脸=b"+'>0,

对于B：bn+i-bn=bn+l

曲+i+lnbn+l+1也+i+l的+i+l

即6用>4,•••也｝是递增数列，故B正确;

咻泌21+2+1及%_。+|

对于C：

曲+1+1曲+1+1曲+1+1曲+1+1

♦.也+i>l,0<--^—<l,n<n+--<«+1,

bebn+l

•.・必+1"+J_"+1，故C不正确；

b〃+i

对于D：-，bn-bn_x>—,......,"一。>:，

•,•々+1=9"+1-6"）+伍"一，-J+…+92-4）+4>^7+工+…+；+1=W7^7・

故D正确.

故选：C.

二、多选题

9.（24-25高二上•吉林长春•期中）已知数列｛%｝的前"项和为S,,,fl1=3,«„+1=1--,则（）

an

12

=

A.tz3=—B.〃4>°C.g024yD.S37=41

【答案】BCD

【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列｛%｝是以3为周期的周期数列，根据周期性计算可

得.

1I

【详解】因为4=3,。〃+i=l-----，

an

1731〃=1!—=3

所以g=1—：=：，%=1一：=一：，12*4~1，……，故A错误，B正确；

3322--

2

所以数列｛为｝是以3为周期的周期数列，则出期=。3*674+2=%=:，故C正确；

$3]=%+?+%+…+a37=12（%+%+%）+%7=12^3+———^+3=41,故D正确.

故选：BCD

10.（23-24高二下•海南•期中）在数列｛%｝中，如果｛4｝的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数,

则称数列｛