数学归纳法（解析版）-2024-2025学年高二数学同步训练（人教B版选择性必修第三册）

第08讲数学归纳法

.

01学习目标

课程标准学习目标

1.了解数学归纳法的原理.

1.数学归纳法的理解及其应用.

2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单

2.通过利用数学归纳法证明与自然数〃有关的数学命

命题.题，发展逻辑推理素养和数学运算素养.

02思维导图

k

对数学归纳法的理解

数学归纳法f数学归纳法中的增项问题

，证明恒等式

数学归纳法证明不等式

数学归纳法中的两个步骤之间的关系、归纳一猜想一证明

用数学归纳法证明整除性问题

'用数学归纳法证明几何问题

03知识清单

知识点01数学归纳法

一般地，证明一个与正整数〃有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当〃=〃（）（“oGN*）时命题成立；

（2）（归纳递推）以"当〃=左"GN*,匕为）时命题成立”为条件，推出“当〃=人+1时命题也成

立”.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从处开始的所有正整数"都成立，这种证明方法称为数学归

纳法.【解读】（1）第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n=l,有时需验证n=2,n=3.

（2）对11=1<+1时式子的项数以及n=k与n=k+l时式子的关系的正确分析是应用数学归纳法成功

证明问题的关键.

（3）“假设n=k时命题成立.利用这一假设证明n=k+l时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题

的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范.

【即学即练1］（24-25高二上•甘肃庆阳•阶段练习）若〃〃）=1+2+22+2、…+251用数学归纳法证明

1+2+22+23+...+2"T是31的倍数（〃eN+）,在验证〃=1成立时，原式为.

【答案】/(1)=1+2+22+23+24

【分析】将〃=1代入/(〃)计算可得结果.

【详解】当〃=1时，/(77)=1+2+22+23+...+25X1-1=1+2+22+23+24.

故答案为：/(1)=1+2+22+23+24

知识点02数学归纳法中的两个步骤之间的关系

记尸5)是一个关于正整数〃的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：

条件：(1)P(如)为真；(2)若P(k)(左GN*,k^n0)为真，则尸(左+1)也为真.

结论：P(")为真.

在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当M="o时结论成立，即命题尸(为)为真；第二步

是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若尸(k)为真，则P*+1)也为真.

完成这两步，就有尸("°)真，P(«o+D真……P(k)真，P(左+1)真…….从而完成证明.

【即学即练2](24-25高二上•全国•课后作业)在运用数学归纳法证明。+1)向+(》+2产[〃€z)能被

+3x+3整除时，贝I当”=左+1时，除了""时必须有归纳假设的代数式(x+1严+(x+相关的表达

式外，还必须有与之相加的代数式为.

【答案】W+3x+3)(x+2)2i

【分析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案.

【详解】设当〃=先时，(x+1产+。+2产-”eN*)能被/+3x+3整除，

所以〃=k+1时，(%+1)*+2+(x+2)”句=(x+l)(x+l)i+,+(x+2>(x+2)2i-1

=(x+1)(x+1)"]+(x+l)(x++(无2++3)(x+2)2i

=(x+l)[(x+1严+(x+2产]+(x2+3x+3)(x+2产-1,

因此必须有代数式(x2+3x+3)♦(x+2产1.

故答案为：(无2+3X+3)・(X+2)2J

2

04题型精讲

题型01对数学归纳法的理解

【典例1](24-25高二上•全国•课前预习)对于不等式4777<"+l(”eN+),某同学用数学归纳法的证明

过程如下：

（1）当〃=1时，左边=+1,右边1+1,不等式成立.

（2）假设当〃=左（左21且无eN+）时，不等式成立，即病获<4+1，

那么当”=上+1时，J（后+1『+（左+1）=J后2+31+2<3后+2）+++2=J（4+2）2=（1+1）+1,

所以当”=4+1时，不等式成立，则上述证法（）

A.过程全部正确B.”=1验证不正确

C.归纳假设不正确D.从“=左到"=左+1的推理不正确

【答案】D

【分析】根据数学归纳法的概念进行判断即可.

【详解】在"=k+1时，没有应用〃=左时的归纳假设，不是数学归纳法.

故选：D.

【变式1】（24-25高二上•全国,课后作业）已知命题1+2+2?+…+2"T=2"-1及其证明：

（1）当"=1时，左边=1,右边=2i-l=l，所以等式成立.

⑵假设〃=后（左©N+）时等式成立，即1+2+2?+…+21=2上一1成立，贝U当〃=左+1时，

1_»+1

1+2+2?+…+21+2斤=-----=2川一1,所以〃=左+1时等式也成立.

1-2

由（1）（2）知，对任意的正整数〃命题都成立.判断以上评述（）

A.命题、证明都正确B.命题正确、证明不正确

C.命题不正确、证明正确D.命题、证明都不正确

【答案】B

【分析】由数学归纳法、等比数列求和公式即可求解.

【详解】证明不正确，错在证明当"=上+1时，没有用到假设”=上时的结论.

由等比数列求和公式知1+2+2?+…+2"-1=L三=2"-1,命题正确.

1-2

故选：B.

【变式2】（24-25高二下•河南•期中）己知〃为正偶数，用数学归纳法证明

l-二+q-：H---1----；=2（----+--------］时，若已假设"=斤（k>2,左为偶数）时命题为真，则还

需要再证（）

A.〃=左+1时等式成立B.〃=上+2时等式成立

C.〃=2左+2时等式成立D.〃=2伍+2）时等式成立

【答案】B

【分析】直接利用数学归纳法的证明方法分析判断即可.

【详解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设"=kU>2,左为偶数)时命题为真,

还需要再证明下一个偶数，即〃=k+2时等式成立.

故选：B

【变式3X23-24高二下•上海•期末)现有命题：1-2+3-4+5-6+……+(-1)向〃=；+(-1广]；+£|(〃eN*),

用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是()

A.不能用数学归纳法判断此命题的真假

B.此命题一定为真命题

C.此命题加上条件">9后才是真命题，否则为假命题

D.存在一个无限大的常数%,当〃〉加时，此命题为假命题

【答案】B

【分析】直接用数学归纳法证明可得答案.

【详解】①当〃=1时，左边=1,右边=1,左边=右边，即〃=1时，等式成立；

②假设〃=左(左21，左£N*)时，等式成立，

即1_2+3_4+5—6+…+(_1)及%=]+(_1)1(；+0],则当“=左+]时，

4142J

]—2+3—4+5—6+…+(—1)"晚+(—1)"2(左+1)=；(—1)"1[；+1_]+(_1)"2(左+1)

㈠产dT

=%(-卢卜号,

即当〃=上+1时，等式成立.

综上，对任意〃eN+，

等式1-2+3-4+5-6+...+(-1严77=1+(-1)"+'恒成立,

4142J

所以ACD错误.

故选：B.

【变式4】(2024・高二・新疆伊犁•期末)利用数学归纳法证明/(〃)=1+2+3+4+…+(4〃-1)时，第一步应证

明()

A./(1)=1B./⑴=1+2+3

C./(2)=1+2D./⑴=1+2+3+4

【答案】B

【解析】由题意/(")=1+2+3+…+4〃一1,〃eN*,

即从1起连续4〃-1项正整数之和.

则/（I）为从1起连续3个正整数之和，

故第一步应证明/（1）=1+2+3.

故选：B.

题型02数学归纳法中的增项问题

【典例2】（2024・高二・上海・期中）用数学归纳法证明」7+-^+‘7+--+32考（后1,“€2，由”“

到〃二女+1时，不等式左边应添加的项是（）

111

A_____B__________

•2左+1•2左+1k+1

1111

C.-------+--------D.------------------

2左+12k+22左+12左+2

【答案】D

【解析】当"=左时，左边的代数式为丁1+L+上

k+\k+2k+32k

1111

当"=左+1时，左边的代数式为----------F+...+H------------

左+1+11+1+2左+1+左2左+2

故用〃=人+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为:

-------1--------1-------1----------1--------1-----------1--------------

k+\+k2k+2k+12左+12k+2

故选：D.

【变式1】（2024・高二・上海青浦•阶段练习）利用数学归纳法证明不等式1+:+（«>2,

232-1

且〃eN*）的过程，由〃=后到〃=k+1时，左边增加了（）

A.项B.2k项

C.4一1项D.I项

【答案】B

【解析】当〃=左（左22,左eN*）时，不等式左边为1+:+：+…+京二

232-1

当〃=%+1时'不等式左边为1+；+；+…+/7[+*白7[+…+齐占,

增加的项为*上+•••+口=*“+•••+♦—共有2项

故选：B

【变式2X2024•高二・陕西榆林•阶段练习）利用数学归纳法证明不等式1+（+:+…+;<"（〃1,〃eN*）

232—1

的过程中，由〃=左到"=左+1时，左边增加了（）

A.2k-1项B.2k项C.七项D.1项

【答案】B

【解析】当〃=《时，不等式左边为1+:+：+…+京二，

232—1

当T+1时，不等式左边为i+1g+…+即+++占+…+/3r

故增加的项数为：（21一1）一（2--1）=2x2"-2k=2上

故选：B.

【变式3】（2024•高二・辽宁•阶段练习）利用数学归纳法证明不等式1+〈+；+...+3?）</（〃21，〃€?4*）的

过程中，由"=左优21）变到〃=左+1时，左边增加了（）

A.1项B.左项C.3*项D.2x3上项

【答案】D

【解析】由题意，不等式的左边中分子都为1,分母是从1开始到（3"-1）,故共有3,-1项，

又由〃=上变到〃=左+1时，左边由（3*-1）项增加到（3加一）项,

从而左边增加了（3川-1）-（3、1）=2><3上项.

故选：D.

【变式4】（2024•高二・河南南阳•专题练习）用数学归纳法证明:

（〃+1）（〃+2）（〃+3）…（〃+〃）=2〃xlx3x5x…x（2〃-1）x（2〃+1）（几wN*）时，从〃=左至!J〃=左+1,等式的左边

需要增乘的代数式是（）

2左+1

A.2k+1B.-------

k+1

C2k+3D.2（2左+1）

.k+1

【答案】D

【解析】从〃=上到〃=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是

（4+2）（后+3）…2h（2后+1）,（2左+2）

（上+1）（\+2）（♦+3）…-2人—Ih

故选：D.

题型03证明恒等式

【典例3］（24-25高二上•全国•课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数

2+6+10H----F（4“-2）=2〃2.

【答案】证明见解析

【分析】应用数学归纳法证明即可.

【详解】当"=1时，左边=2=2xf=右边;

假设"=左(左21,)时，原等式成立,则”=左+1时，

等式左边=[2+6+10+―+(4左一2)]+(4左+2)=2后2+4左+2=2(左+1)2,因此“=左+1时原等式也成立.

综上，V"eN*都有2+6+IOH----F(4,Z-2)=2〃".

【变式1】(24-25高二上•上海•期中)己知等差数列｛七｝的首项为可，公差为d,前〃项和为S".若q="=l,

用数学归纳法证明：

i=l

【答案】证明见解析.

【分析】根据给定条件，求出等差数列｛%｝的通项。"，前"项和为S“，再利用数学归纳法证明.

【详解】等差数列｛%｝中，2=%+(〃-1)"=〃，5"=幽磬=巴罗，

当”=1时，彳=1,S；=l,原等式成立；

假设当〃=W：eN*)时，原等式成立，即/3=[与与，

»=1i=l2

贝I£=£媪+at,=k3+(k+1)3=[^-^]2+(后+1)3

z=lz=l2

二驾•3+4("3=驾Q+2『=](""[=舔，

即当〃=后+1时,原等式成立，

所以对一切〃eN*,等式fa；=黑成立.

Z=1

【变式2](23-24高二上•上海•课后作业)用数学归纳法证明

l.„+2-(„-l)+3-(W-2)+---+77-l=1n(W+l)(/7+2)(〃为正整数).

【答案】证明见解析

【分析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当"=1时成立，进而假设〃=左时等式成立，证明”=上+1

时，等式也成立；即可得证.

【详解】设/⑺=1・〃+2•(〃—1)+3•5-2)+…+(〃-1)•2+〃•1.

①当”=1时，左边=1,右边=：xlx(l+l)x(l+2)=l,等式成立；

0

②设当"=左时等式成立，^f(k)=l-k+2-(k-l)+3-(k-2)+...+(k-l)-2+k-l=yk(k+lXk+2),

6

则当〃=左+1时，

/(左+1)=1・伏+1)+2[(左+1)—1]+3[(左+1)—2]+…+[(左+1)—2]・3+[(后+1)—112+(左+1>1

=/(无)+1+2+3+...+1+(左+1)

=-k(k+Y)(k+2)+-(k+\)(k+\+\)

62

=-(k+l)(/c+2)(k+3).

6

.•.由①②可知当〃eN,时等式都成立.

【变式3】(2024•高二•江苏•专题练习)有下列命题：1+3+5+…+(2〃-l)=〃2(〃eN*)；使用数学归纳法证

明

【解析】当〃=1时，左边=1,右边=F=i，则原等式成立；

假设当"=左(左eN*)时，原不等式成立，即1+3+5+---H(2左—1)=笈?成立，

则当"=左+1时，1+3+5+…+(2左一1)+(2%+1)=%2+2左+1=(左+1『，即当〃=左+1时原等式成立，

所以1+3+5+…+(2"-1)=〃2对于任意“eN*成立.

题型04证明不等式

【典例4】(2024高三・全国・专题练习)证明:不等式而1成立.

2462n

【答案】证明见解析

【分析】利用数学归纳法证明即可.

【详解】①当"=1时，左边=^＞收=右边，二不等式成立.

②假设当〃父时不等式成立，即》33…,亭＞信-

③当〃=左+1时,

3572左+12左+3

左边=-x—X—X-x_____x______

2462k2左+2

2左+3（2左+3）2

>yjk+lx

2k+24（左+1）

_4（左+1『+4（左+1）+1

4（V+1）

.•・当〃=左+1时,不等式也成立.

综上可得，原不等式恒成立.

111

<eN）.

【变式1](2024高二・全国•随堂练习)用数学归纳法证明:1+/+国+—访+

【答案】证明见解析.

【分析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系.

【详解】当〃=1，则A=l<2xJT=2成立,

若〃=左且左eN+时，1+^rd--+-^=<2y[k成立,

人71rhi1111c万121—(一+1)+1左+后+1+1rj—r

令〃=左+1,则l+-j=+…++左+-j^==—~j=---<---/=-=2，k+1,

V24k4k+l4k+i4k+iTk+1

所以〃=左+1时不等式也成立,

综上'l+[+[+…+2<2〃(neN+)恒成立.

【变式2】(2024高二上•浙江绍兴•阶段练习)用数学归纳法证明:

1+—+-+.•-+—>ln(/i+l)+——-~-IneN")

23nv'2(〃+l)\).

【答案】证明见解析

xx

【分析】构造函数〃x)=5+而可-ln(l+x),利用导数分析该函数的单调性，推导出对任意的左eN*,

万1>心1+1卜而1r而可，然后利用数学归纳法即可证明出原不等式成立.

【详解】先证明出办3—>14+)+：-就1即J+可/Ml+J>0,

构造函数/^)=鼻+了9-111(1+月，

当X>0时，则/(x)=；+11\2—二7=J]\2>0,

22(x+l)x+12(x+l)

j_

所以，函数y=/(x)在(o,+8)上单调递增，则0=左+彳^-Vln[1+^}>0T

〃n2U+1J"

,1,f,H111,1^1

则丁〉ln|1+-\-,即__—>ln1+--zx，

2n\nJ2(〃+l)n2n1nJ2(〃+l)

1/11

即—>1.1+-+--―n,

nInJ2n2(〃+l)

141111

对任忌的hN*,当”左+1时，万T>1”1+17TJ+不而一而可.

当〃=1时，左边=1,右边=：，左边〉右边;

假设当〃=M《eN*)时，不等式成立，即…+：>ln(左+1)+①濡.

i1111,/；k1k+211

则当〃二女+i时，贝出+井丁…+工+171＞爪"1A)+1^+山百+^^一

=In(左+2)+/+1

I72(k+2).

这说明，当〃=左+1时，原不等式也成立.

11111/八〃

综上所述，对任意的〃EN*,1+不+£+…+—＞山(〃+1)+“，1、.

23n2(H+1)

【变式3](2024高三•全国・专题练习)用数学归纳法证明：一二+二；+」^+…+1＞¥(〃22,〃eN*)

【答案】证明见解析

【分析】

由数学归纳法证明不等式的一般步骤可知：第一步验证初值〃。=2时不等式成立；第二步进行归纳假设：假

设当〃=左(左")时所证不等式成立，在此基础上来证明当"=%+1时所证不等式也成立；特别注意证

〃=左+1时一定要用至1」〃=左(左22)时的结论；第三步下结论：在第一步及第二步的基础上就可得出所证不等

式对一切力之2,〃wN*都成立.

【详解】

证明：⑴当"=2时，六+W21413

—〉—命题成立.

2424

1111134

(2)假设当〃=左(左22)时,----------11F...H>成立，

k+\---k+2-左+3---------2k----24

当〃二女+1时,L+-U」」+」一+」

左+2左+3左+42k2左+12k+2

=-L+-L+,+,+…+!+'+」1

左+1左+2左+3左+42k2k+12k+2k+\

13111

>------1-------------1------------------------

242左+12k+2k+1

[?]---------1------------------=—7-------77------C〉0

2左+12左+2k+12(2左+1)(左+1)

]]]]13

0(171)+1+(=+1)+2+(I+1J+3+…+2(1+1)>24

当〃=左+1时命题成立.

所以对于任意此2/£N*都成立.

题型05归纳一猜想一证明

【典例5】(2024・高二•全国•课后作业)已知数列｛七｝的首项q=1,且。用=广("=1,2,3,-.)，试猜想出

1十

这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

【解析】％=1,。2=不，。3=鼻，％=Z，…，

NJ-

猜想：-

n

证明如下：

(1)当〃=1时，％=1,猜想成立；

(2)假设当〃=^ksN*)时，猜想成立，

即％=；，

k

贝！J当〃=左+1时，％+i=T~^―=-^r=T—7，

1+%i+l左+1

k

所以当"=斤+1时，必+1=厂工猜想也成立.

综合(1)(2),可知猜想。“=!对于任意〃eN*都成立.

【变式1】(2024・高二・陕西渭南•期中)在数列｛6｝中，%用=六七("=1,2,3,…)

(1)求〃29"3'04；

(2)猜想数列｛6｝的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.

a

【解析】(1)%=胃75=1a...24;：1

3

2al+12xl+l"2%+l2xl+16

24

1_

〃_a3-6_1

42%+l2」+l8’

6

(2)猜想数列｛4｝的通项公式为4=二，

下面用数学归纳法证明此结论正确.

证明：①当〃=1时，左边=%=1,右边=—?=:，结论成立，

22x12

②假设当〃"(11)时，结论成立，即4=，

2k

1

那少0=%=/_1=_!_

那么1一24+1-2x^+1-2左+2-2(左+1)'

2k

也就是说，当篦=左+1时结论成立,

根据①和②可知，结论对任意正整数〃都成立，即为=1.

2n

【变式2】（2024•高二•上海•随堂练习）设数列｛。“｝的前〃项和为S.，百=:，对任意〃eN,〃力都有

S〃+]=~——成立.

幺一3”

⑴求$2,S3,邑的值;

⑵猜想S”的表达式并用数学归纳法证明.

c1d=:，令〃=1,贝|」邑=i7^=「=§；

【解析】（1）5„=——

+122-5

令〃=2,邑=自4

令〃=3,=

—

Zo33

V]

（2）猜想S,=-

n+1

①当〃=1时，满足上式；

②假设”=后时，上式成立，即工二7二，

4+1

_1_1_-+1-+1

贝IJ当〃=左+1时，k+T-2—S1一？k—左+2-左+1+1,

k+\

显然，猜想成立，所以S“="7.

n+1

7b

【变式3】（2024・高二・上海•期末）已知点勺（%,或）满足%+i=a1A+i，bn+l=~r^,且点耳的坐标为

1一4Q”

(1,-1).

⑴求过点6、鸟的直线/的方程；

（2）试用数学归纳法证明：对于任意〃eN,点《都在（1）中的直线/上;

⑶试求数列包,｝、他,｝的通项公式.

【解析】（1）由月的坐标为（L—D知，q=L4=T.

7bli1

所以&=匚膏=十出，也="

所以点鸟的坐标为（;，1）,

所以直线/的斜率为心一f-=-2,

1——

3

直线方程为＞+1=-2k-1),即2x+y=l.

(2)证明：①当〃=1时，

2%+4=2x1+(—1)=1成立.

②假设〃=左(左EN*,左21)时，2〃左+4=1成立,

则2%+i+瓦+i=2%*b+b=--^(2即+1)

k+ik+i1—4%

_bk_1-2外_]

1——2。左1——2。左

.・・当〃=左+1时，命题也成立.

由①②知，对〃£N*,都有2%+bn=\,

即点匕在直线/上.

(3)由(2)知，2an+bn=1,所以2%=1-%

所以％=4%2=1_(：砧2=寸,

「生717173[5月士口72〃一3*

因为4=-1,b=-,b=~,Z?=-,…，猜想以=7；----,Z?GN;

2335472n-l

2L—3

用数学归纳法证明如下：因为“=1时，4=-1,假设〃=人时成立，即

2左一1

_1_1_2左一1_2（左+1）—3

贝lj〃=左+1时，"1—-22k-3-2左+]—2（左+1）_]，

~2k-l

所以〃二女+1时也成立，

所以对于任意“eN*都成立，即2=誓

2/7-1

所以0“=；（1一"）=；乂（1-"）=占.

222n-l2n-l

题型06用数学归纳法证明整除性问题

【典例6】（2024・高二・上海闵行•期中）证明：当"eN*时，〃"）=322-8〃-9能被64整除.

【解析】（1）当〃=1时，〃1）=34-8-9=64能被64整除.

（2）假设当"=左（左21,左€双*）时，/（左）=3?*+2—8左一9能被64整除，

则当〃=左+1时，f（k+l）=32（M+2-8（）l+l）-9=9x32t+2-8^-17=9x（3M+2-8Ar-9）+64A+64.

故/伍+1）也能被64整除.

综合（1）（2）可知当“eN*时，/（〃）=32"+2-8〃一9能被64整除.

【变式1】（2024・高二・陕西西安•阶段练习）用数学归纳法证明：42向+3"2（〃€乂）能被13整除.

【解析】当〃=1时，43+33=64+27=91,又13x7=91,4?向+3川（〃e能被13整除；

假设当〃=左时，422+3加2能被13整除，即422+3l2=13加（加€代），

那么当〃=《+1时，42t+3+3M=16x42M+3x3t+1=16x42i+I+16x3M-13x3i+1

=16x（421M+3"）-13x3"I=16xl3%-13x3i=13（16m-3"+）能被13整除；

综上所述：42向+3"+2（〃eN+）能被13整除.

【变式2］（2024•高二・全国•课后作业）用数学归纳法证明：/+（"+1）3+（“+2）3能被9整除（〃eN）

【解析】证明：（1）当”=1时，F+23+33=36能被9整除，所以结论成立；

（2）假设当〃=左（左€双*）时结论成立，即后3+（左+以+（无+2）3能被9整除.

2

贝IJ当〃=左+1时，化+1）3+（左+2）3+（后+3丫=（后+疗+（后+2）3+F+9k+21k+27k

=左3+（左+1）3+（左+2丫+9（左2+3上+3）,

因为二+（人1）3+（左+2）3能被9整除，9（/+3/+3）能被9整除，

所以，（左+以+（左+2）3+（左+3）3能被9整除，即即〃=左+1时结论也成立.

由（1）（2）知命题对一切"eN*都成立.

【变式3］（2024・高二・全国•随堂练习）用数学归纳法证明：一―产能被x+.y整除（〃eN+）

【解析】当〃=1时，X?-必=（x+,

故Y-V能被x+y整除，

假设当”=左时，结论成立，即/尢-/"能被x+y整除，

则当〃=左+1时,x2k+2-y2k+2=x2x2k-x2y2k+//上_/尢/

=4针_力+广力产

由于7”和Y一/均能被x+y整除，

故一/«+2能被x+y整除，

综上：X?"-/"能被x+y整除（"eN+）.

题型07用数学归纳法证明几何问题

【典例7】（2024•高二•全国•课后作业）平面上有23）个点，其中任何三点都不在同一条直线上.过

这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论.

【解析】当"=3时，过任意两个点作直线，共有3条；

当〃=4时，设四个点为42,C,D,过48,C三点中的任意2点的直线有三条，过4瓦C三点中的任意1点

与。点相连的直线有3条，即共有3+3=6条；

当”=5时，设五个点为4,4,4,4,4，同上，过4,4,4,4中的任意2点的直线有6条，过4,4,4,4

中的任意1点与4的连线共有4条，即共有6+4=10条；

假设当〃=左，（左25）,过左个点（任意三点不共线）中任意2点作直线，共有3+3+4+…+（"1）=若［

条；

当"=左+1时，共有立+1个点4,4,4「、4,4+1（任意三点不共线），过上个点4,4,4,…，4中任意2个

作直线，共有”［条；过这左个点中的任一个点与4+/相连的直线共有左条，因此，过这什1个点中的

任意2个点作直线，共有幺了+先=&±吗止12,

22

所以当〃=左+1时，假设成立；

综上，有”（"€^^,〃23）个点，其中任何三点都不在同一条直线上.过这些点中任意两点作直线，这样的直

n(n—1)

线共有条.

2

【变式1】（2024•高二・吉林・期末）已知点£（%,“）满足%=。屋加，"田=占江川,且点＜的坐

标为（T1）.

（1）求过点用5的直线的方程;

（2）试用数学归纳法证明：对于“eM,点£都在（1）中的直线/上.

【解析】（1）由尸/的坐标为（1,T）知：即=1，m=T.

,b,11

一2-77^一］，。2=即•岳=§•

；•点巳的坐标为

直线I的方程为2x+y-l=0.

⑵要证明原问题成立只需证明点匕都满足2x+y=l即可.

①当〃=1时，2ai+bi=2x1+（-1）=1»成立.

②假设〃=左（左$N*,左＞1）时，2ak+bk=1成1tL,即d=1一2%成立，

b,小八b,\-2a,1

1

贝！J2ak+1+bk+l=2ak-bk+l+bk+l=~~~7T（2%+1）=~"—~~~--二，

当n=k+\时，命题也成立.

由①②知，对“eN*,都有

即点1在直线/上.

【变式2】（24-25高二上•全国•课后作业）己知数列｛«„｝的通项公式为%/+2”，若第2m项是第m项的3

倍，则加=.

【答案】2

【分析】根据题意，由数列的通项公式列出方程，代入计算，即可求解.

【详解】由题得a2n1=34,又a?”,=4〃r+4私%“=加"+2加，所以4加2+4"?=3加2+6加，

解得相=0（舍去）或机=2.

故答案为：2

【变式3】（2024•高二・全国•课后作业）己知〃（〃22,aeN*）个半径相等的半圆的圆心在同一直线/上，这"

个半圆每两个都相交，且都在直线/的同侧，试用数学归纳法求这"个半圆被所有的交点最多分成多少段圆

弧.

【解析】设这"个半圆被所有的交点最多分成了（"）段圆弧，

如图分别是"=2,〃=3的情形.

由图可知，/（2）=4,〃3）=9,由此猜想22,”eN*）.

现用数学归纳法证明该猜想.

①当〃=2时，猜想显然正确.

②假设〃=M"22,〃eN*）时，猜想正确，即/㈤=/，

则当〃=左+1时，作出第左+1个半圆，它与前上个半圆均相交，最多新增上个交点,

第左+1个半圆自身被分成了k+1段弧，同时前上个半圆又各多分出1段弧，

故有/（后+1）=/（左）+左+4+1=后2+2左+1=（后+1）二

即当〃=上+1时，猜想正确.

综上，对于"N2,"wN*,/（"）=/都成立.

故这"个半圆被所有的交点最多分成”2段圆弧.

强化训练

1.（2024高二下•四川成都•阶段练习）用数学归纳法证明"对任意的〃eN*,都有

---1---—1-•••-|----------1---------1--------1-•••-|----第一步应该验证的等式是（)

234--------2/7-12n〃+1n+2n+32n

A.—IIII

B.I—i——I—

234342323

1II

C.I=—+—D.I-

222-2

【答案】D

【分析】根据数学归纳法的知识确定正确答案.

【详解】在等式1一+;一:+…+小111117*

——=------+-------+-------+…+——,/zeN中，

2n77+1n+2〃+32n

当〃=1时，2n=2,

故等式的左边为右边为3

所以第一步应该验证的等式是K

故选：D

2.（2024高二下•河南•期中）某个与自然数有关的命题，如果当"=MkeN*）时该命题成立，可推得〃=4+1

时该命题也成立，那么，若已知〃=5时该命题不成立，则可推得（）

A.当〃=6时，该命题不成立B.当〃=6时，该命题成立

C.当〃=4时，该命题不成立D.当〃=4时，该命题成立

【答案】C

【分析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论.

【详解】可得题干等价于其逆否命题：当〃=^+l（£eN*）时该命题不成立，则可推得"=左时该命题也不成

立.

所以，当〃=5时该命题不成立，则当〃=4时，该命题也不成立.

故选：C.

3.（2024・高二•全国•课前预习）对于不等式4rm<"+1（〃eN+）,某同学用数学归纳法的证明过程如下:

（1）当〃=1时，左边=+],右边1+1,不等式成立.

（2）假设当〃二女（n1且丘N+）时，不等式成立，即护II〈k+1，

那么当”=无+1时，J（4+1），+（6+1）=J后2+34+2<J（[2+3V+2）+斤+2=,（1+2）2=（左+1）+1,

所以当”=斤+1时，不等式成立，则上述证法（）

A.过程全部正确B.〃=1验证不正确

C.归纳假设不正确D.从〃=上到”=后+1的推理不正确

【答案】D

【解析】在〃=上+1时，没有应用〃=左时的归纳假设，不是数学归纳法.

故选：D.

4.（2024高二上•上海静安•阶段练习）〃〃）=1+:+!+…+,+」7+…+5（〃eN*）,那么/伍+1）-/㈤

23nn+12

共有（）项.

A.2k-1B.mC.2丘+1D.以上都不对

【答案】B

【解析】写出/■（左+1）-/（公，然后计算项数.