2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题7.4 一元一次不等式（组）的应用【十大题型】（举一反三）（沪科版2024）（解析版）

专题7.4一元一次不等式（组）的应用【十大题型】【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1工程问题】 1【题型2销售利润问题】 5【题型3运输问题】 10【题型4水费电费问题】 15【题型5行程问题】 19【题型6得分问题】 23【题型7古文问题】 26【题型8数字问题】 31【题型9几何问题】 35【题型10方案问题】 41知识点：一元一次不等式（组）的应用（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.【题型1工程问题】【例1】（23-24七年级·全国·期末）在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元．(1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？(2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2100万，该区财政投入额资金不超过7700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围．【答案】(1)建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元；(2)A种户型至少可以建100套，最多可以建300套．【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式组的实际应用：（1）设建成一套A种户型住房所需的资金是a元，一套B种户型住房所需的资金是b元，列出方程组即可解决问题．（2）设A种户型有x套，则B种户型有800−x套．列出不等式组即可解决问题．【详解】（1）解：设建成一套A种户型住房所需的资金是a万元，一套B种户型住房所需的资金是b万元，根据题意得：10a+30b=48030a+10b=400解得：a=9b=13答：建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元；（2）解：①设A种户型可以建x套，则B种户型可以建800−x套，根据题意得：2x+3800−x解得：100≤x≤300，答：A种户型至少可以建100套，最多可以建300套．【变式1-1】（2024七年级·河南·学业考试）为实现“乡村振兴”的战略目标，幸福乡实施了“村村亮化”工程．计划投入40万元分三批次购买甲、乙两种型号的路灯（每种型号的路灯单价不变）安装在村公路两旁．第一批次购买甲型路灯300盏、乙型路灯400盏，共花资金150000元；第二批次购买甲型路灯400盏，乙型路灯300盏，共花资金144000元．(1)求甲、乙两种型号路灯的单价分别是多少元；(2)由于工程的需要，第三批次购买的甲型路灯不能少于350盏，那么第三批次最多能购进乙型路灯多少盏？【答案】(1)甲型路灯的单价是180元，乙型路灯的单价是240元；(2)第三批次最多能购进乙型路灯179盏．【分析】（1）设甲型路灯的单价是x元，乙型路灯的单价是y元，依题意列出方程组求解即可；（2）设第三批次最多能购进乙型路灯m盏，依题意列出不等式求解即可．本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键．【详解】（1）解：设甲型路灯的单价是x元，乙型路灯的单价是y元，依题意得：300x+400y=150000400x+300y=144000解得：x=180y=240答：甲型路灯的单价是180元，乙型路灯的单价是240元；（2）解：第三批次的资金为：400000−150000−144000=106000（元），设第三批次最多能购进乙型路灯m盏，则106000−240m180解得：m≤1791答：第三批次最多能购进乙型路灯179盏．【变式1-2】（23-24七年级·安徽合肥·期中）为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%．（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元；实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水，请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案．（3）经测算：每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1．5万元．在（2）中的方案中，哪种购买方案使得设备的各种维护费和电费总费用最低？【答案】（1）每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为9万元；（2）共有4种购买方案．方案1：购买1台甲型设备、7台乙型设备；方案2：购买2台甲型设备、6台乙型设备；方案3：购买3台甲型设备、5台乙型设备；方案4：购买4台甲型设备、4台乙型设备；（3）购买4台甲型设备、4台乙型设备时，各种维护费和电费总费用最低，最低费用为10（万元）．【分析】（1）设每台甲型设备的价格为x万元，则每台乙型设备的价格为75%x万元，根据购买3台甲型和2台乙型污水处理设备共花费资金54万元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设购买m台甲型设备，则购买（8-m）台乙型设备，根据总价=单价×数量结合处理污水的总量=200×购买甲型设备的台数+160×购买乙型设备的台数，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出各购买方案；（3）由1＜1．5可得出方案4使得设备的各种维护费和电费总费用最低．【详解】解：（1）设每台甲型设备的价格为x万元，则每台乙型设备的价格为75%x万元，依题意，得：3x+2×75%x=54，解得：x=12，∴75%x=9．答：每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为9万元．（2）设购买m台甲型设备，则购买（8-m）台乙型设备，依题意，得：{12解得：12∵m为整数，∴m=1，2，3，4．∴共有4种购买方案．方案1：购买1台甲型设备、7台乙型设备；方案2：购买2台甲型设备、6台乙型设备；方案3：购买3台甲型设备、5台乙型设备；方案4：购买4台甲型设备、4台乙型设备．（3）∵1＜1．5，∴购买甲型设备越多，各种维护费和电费总费用越低，∴购买4台甲型设备、4台乙型设备时，各种维护费和电费总费用最低，最低费用为1×4+1．5×4=10（万元）．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据甲、乙两种设备每年每台的各种维护费和电费之间的关系，找出使得设备的各种维护费和电费总费用最低的购买方案．【变式1-3】（2024春·广西南宁·七年级统考期末）2022年9月28日上午，伴随着盾构机隆隆轰鸣声，南宁市轨道交通4号线“五象火车站一清平坡站”区间盾构顺利始发，标志着4号线续建工程正式进入区间据进施工阶段，待此次工程建设完工后，将实现4号线全线贯通运营，目前，地铁4号线续建工程正在有序进行施工，工地现有大量的泥土需要运输，某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆满载运输一次可以运输110吨泥土．(1)求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输泥土不低于163吨，为了完成任务，该车队准备再购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？【答案】(1)该车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆；(2)3辆．【分析】（1）设该车队有载重量为8吨的卡车x辆，载重量为10吨的卡车y辆，根据“该车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆满载运输一次可以运输110吨泥土”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设再次购进载重量为8吨的卡车m辆，则再次购进载重量为10吨的卡车6−m辆，根据该车队需要一次运输泥土不低于163吨，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．【详解】（1）解：设该车队有载重量为8吨的卡车x辆，载重量为10吨的卡车y辆，根据题意得：x+y=128x+10y=110解得：x=5y=7答：该车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆；（2）解：设再次购进载重量为8吨的卡车m辆，则再次购进载重量为10吨的卡车6−m辆，根据题意得：110+8m+10(6−m)≥163，解得：m≤7又∵m为正整数，∴m的最大值为3．答：最多购进载重量为8吨的卡车3辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【题型2销售利润问题】【例2】（23-24七年级·甘肃定西·期末）某电器商场销售每台的进价分别为2599元、7300元的A，B两种型号的空调，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量/台销售收入/元A种型号B种型号第一周4336296第二周5555495（进价、售价均保持不变，利润=销售收入−进货成本）(1)求A，B两种型号的空调的销售单价．(2)若该电器商场准备用不多于151182元的金额再采购这两种型号的空调共30台，则B种型号的空调最多能采购多少台？(3)在（2）的条件下，该电器商场销售完这30台空调能否实现利润超过16000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【答案】(1)A、B两种型号的空调的销售单价分别为2999元和8100元；(2)B种型号的空调最多能采购16台；(3)能实现利润超过16000元的目标，方案如下：方案一：购买A种型号的空调15台，购买B种型号的空调15台；方案二：购买A种型号的空调16台，购买B种型号的空调14台；方案三：购买A种型号的空调17台，购买B种型号的空调13台；方案四：购买A种型号的空调18台，购买B种型号的空调12台．【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应用的方案问题．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．（1）设A、B两种型号空调的销售单价分别为x元、y元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购买A种型号的空调a台，则购买B种型号的空调30−a台，根据题意列不等式可得答案；（3）根据题意列不等式2999−2599a+8100−730030−a>16000，结合（2）问，得到【详解】（1）设A、B两种型号的空调的销售单价分别为x元、y元．根据题意有：4x+3y=362965x+5y=55495解得：x=2999y=8100答：A、B两种型号的空调的销售单价分别为2999元和8100元；（2）设购买A种型号的空调a台，则购买B种型号的空调30−a台，根据题意有：2599a+730030−a解得：a≥14626∵a为整数，∴a的最小值为14，∴30−a的最大值为16∴B种型号的空调最多能采购16台；（3）根据题意有2999−2599a+解得：a<20．∵a≥14626∴a=15，16，17，18，19，∴能实现利润超过16000元的目标，且方案如下：方案一：购买A种型号的空调15台，购买B种型号的空调15台；方案二：购买A种型号的空调16台，购买B种型号的空调14台；方案三：购买A种型号的空调17台，购买B种型号的空调13台；方案四：购买A种型号的空调18台，购买B种型号的空调12台．【变式2-1】（23-24七年级·重庆·期末）小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、1.5元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并且，当卖出特色文化书签20个和特色中性笔30支时，获得总利润90元．(1)求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？(2)校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为900，并且投入的总成本不超过1200元，获得的总利润不少于1648元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？(3)义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了150元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足40≤a≤50，则a的值可能为多少？说明理由．【答案】(1)每个特色文化书签的售价是2.5元，每支特色中性笔的售价是3.5元；(2)见详解；(3)a=42或45或48；【分析】（1）本题考查一元一次方程的应用，设特色中性笔售价为x元，则特色文化书签的售价为(x−1)元，根据利润列方程求解即可得到答案；（2）本题考查不等式组择优方案的运用，设特色中性笔的数量为b，则特色书签的数量为(900−b)，根据总金额及利润列不等式组求解即可得到答案；（3）本题考查不等式整数解问题，根据利润求出特色笔的数量是正整数即可得到答案；【详解】（1）解：设特色中性笔售价为x元，则特色文化书签的售价为(x−1)元，由题意可得，20(x−1−1)+30(x−1.5)=90，解得：x=3.5，x−1=3.5−1=2.5，答：每个特色文化书签的售价是2.5元，每支特色中性笔的售价是3.5元；（2）解：设特色中性笔的数量为b支，则特色书签的数量为(900−b)个，由题意可得，900−b+1.5b≤12001.5(900−b)+2b≥1648解得：596≤b≤600，∴方案为：①

购买特色中性笔596支，特色书签304个；②

购买特色中性笔597支，特色书签303个；③

购买特色中性笔598支，特色书签302个；④

购买特色中性笔599支，特色书签301个；⑤

购买特色中性笔600支，特色书签300个；（3）解：a=42或45或48，理由如下，由题意可得，特色书签的数量为：150−2a1.5∵40≤a≤50，且100−4∴a是3的倍数，∴a=42或45或48．【变式2-2】（2024春·福建漳州·七年级校考期中）为响应阳光体育运动的号召，学校决定从体育用品商店购买一批篮球和足球，按标价若购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元．(1)求篮球、足球每个分别是多少元？(2)由于购买数量较多，商店决定给予一定的优惠，篮球每个优惠20%，足球每个优惠10【答案】(1)篮球、足球每个分别是150元，100元(2)购买篮球至多是30个【分析】（1）设篮球、足球每个分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元列出方程组求解即可；（2）设购买篮球m个，则购买足球40−m个，根据购买费用不超过4500元列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设篮球、足球每个分别是x元，y元，由题意得，2x+3y=6003x+y=550解得x=150y=100∴篮球、足球每个分别是150元，100元；（2）解：设购买篮球m个，则购买足球40−m个，由题意得，150×1−20解得m≤30，∴m的最大值为30，∴购买篮球至多是30个．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键．【变式2-3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）用1块A型钢板可恰好制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可恰好制成1块C型钢板和3块D型钢板．(1)若需14块C型钢板和12块D型钢板，则恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？(2)现准备购买A、B型钢板共50块，并全部加工成C、D型钢板，要求C型钢板不超过86块，D型钢板不超过90块，求A、B型钢板的购买方案共有多少种？(3)在（2）的条件下，若出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元，则全部售出C、D型钢板可获得的最大利润为_______元．【答案】(1)6块；2块(2)7种(3)18800【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，找到相等关系或不等关系是解题的关键．（1）先设设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块，再根据“需14块C型钢板和12块D型钢板”列方程组求解；（2）根据“C型钢板不超过86块，D型钢板不超过90块”列不等式组求解；（3）由（2）的结论，分别求出各方案的利润，再比较大小得出结论．【详解】（1）解：设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块，则：2x+y=14x+3y=12解得：x=6y=2答：恰好用A型钢板6快，B型钢板2块；（2）解：设购买A型钢板a块，购买B型钢板50−a块，则：2a+50−a解得：30≤a≤36，∴a的整数解有：30，31，32，33，34，35，36共7个，∴共有7种购买方案；（3）解：当a=30时，利润为：80×100+90×120=18800（元），当a=31时，利润为：81×100+88×120=18660（元），当a=32时，利润为：82×100+86×120=18520（元），当a=33时，利润为：83×100+84×120=18380（元），当a=34时，利润为：84×100+82×120=18240（元），当a=35时，利润为：85×100+80×120=18100（元），当a=36时，利润为：86×100+78×120=17960（元），∵18800>18660>17520>18380>17240>17100>17960，∴全部售出C、D型钢板可获得的最大利润为18800元，故答案为：18800．【题型3运输问题】【例3】（23-24七年级·湖南湘西·期末）中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨．(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？(2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨(2)第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆；第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆；第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆．大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元．【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车10−m辆，根据题意可以列出不等式组，从而可以求得有几种方案，然后求出各方案的费用即可得出结论．【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，则2x+3y=314x+5y=57解得x=8y=5即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；（2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车（10−m）辆，由题意可得，8m+5解得：5≤x<8故有三种派车方案，第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆；第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆；第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆．5×200+5×180=1900元；6×200+4×180=1920元；7×200+3×180=1940元；∵1900<1920<1940∴大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元．【变式3-1】（23-24七年级·黑龙江鸡西·期末）在今年的新冠疫情期间，政府紧急组织一批物资送往武汉．现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱．(1)求食品和矿泉水各有多少箱？(2)现计划租用A、B两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知A种货车最多可装食品40箱和矿泉水10箱，B种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通过计算帮助政府设计几种运输方案？(3)在（2）条件下，A种货车每辆需付运费600元，B种货车每辆需付运费450元，政府应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？【答案】(1)食品有260箱，矿泉水有150箱(2)共有3种运输方案，方案1：租用A种货车3辆，B种货车7辆；方案2：租用A种货车4辆，B种货车6辆；方案3：租用A种货车5辆，B种货车5辆(3)政府应该选择方案1，才能使运费最少，所需运费为4950元【分析】（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，依题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用A种货车m辆，则租用B种货车10−m辆，依题意，建立不等式组，结合m为正整数，确定整数解，整数解的个数就是方案数．（3）计算各种方案的费用，比较大小后决策即可．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总运费＝每辆车的运费×租车辆数，分别求出三个运输方案所需总运费．【详解】（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，依题意，得：x+y=410x−y=110解得：x=260y=150答：食品有260箱，矿泉水有150箱．（2）解：设租用A种货车m辆，则租用B种货车10−m辆，依题意，得：40m+2010−m解得：3≤m≤5，又∵m为正整数，∴m可以为3，4，5，∴共有3种运输方案，方案1：租用A种货车3辆，B种货车7辆；方案2：租用A种货车4辆，B种货车6辆；方案3：租用A种货车5辆，B种货车5辆．（3）解：根据题意，得选择方案1所需运费为600×3+450×7=4950（元），选择方案2所需运费为600×4+450×6=5100（元），选择方案3所需运费为600×5+450×5=5250元）．∵4950<∴政府应该选择方案1，才能使运费最少．【变式3-2】（2024·四川攀枝花·二模）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套(1)求书籍和实验器材各有多少套？(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来【答案】(1)书籍和实验器材各有240套，120套；(2)有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．（1）设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得；（2）设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车8−m辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】（1）解：设书籍和实验器材各有x套，y套，由题意得，x+y=360x−y=120解得x=240y=120答：书籍和实验器材各有240套，120套；（2）解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车8−m辆，由题意得，40m+308−m解得0≤m≤4，∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．【变式3-3】（23-24七年级·重庆·期末）为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，3辆重型卡车与2辆轻型卡车可以一次共同运输800箱：7辆重型卡车与4辆轻型卡车可以一次共同运输1800箱．(1)求1辆重型卡车和1辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？(2)计划用两种类型的货车总共15辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为6000元，每趟每辆轻型货车的费用为4000元．如果要求至少使用7台重型货车，并且总费用不超过78000元，请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？【答案】(1)1辆重型卡车能够单独运输200箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输100箱展览材料；(2)方案1：使用7辆重型货车，8台轻型货车；方案2：使用8辆重型货车，7台轻型货车；方案3：使用9辆重型货车，6台轻型货车；使用7辆重型货车，8台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是74000元．【分析】（1）设1辆重型卡车能够单独运输x箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输y箱展览材料，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设使用m台重型货车，则使用15−m台轻型货车，根据题意列出不等式组即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组．【详解】（1）设1辆重型卡车能够单独运输x箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输y箱展览材料，根据题意得：3x+2y=8007x+4y=1800解得：x=200y=100答：1辆重型卡车能够单独运输200箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输100箱展览材料；（2）设使用m台重型货车，则使用15−m台轻型货车，根据题意得：m≥76000m+4000解得：7≤m≤9，又∵m为正整数，∴m可以为7，8，9，∴共有3种配送方案，方案1：使用7辆重型货车，8台轻型货车；方案2：使用8辆重型货车，7台轻型货车；方案3：使用9辆重型货车，6台轻型货车；选择方案1所需费用为6000×7+4000×8=74000（元）；选择方案2所需费用为6000×8+4000×7=76000（元）；选择方案3所需费用为6000×9+4000×6=78000（元）；∵74000<76000<78000，∴使用7辆重型货车，8台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是74000元．【题型4水费电费问题】【例4】（23-24七年级·江苏镇江·期末）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过15立方米时，按基本价格x元/立方米进行收费；超过15立方米时，加价收费，超过的部分按y元/立方米收费.该市某户居民今年3、4、5月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量(立方米)水费(元)31650420705m不低于36元且不超过95元（1）求x、y的值；（2）求该居民5月份用水量m的范围.【答案】(1)x=3y=5;(2)12≤m≤25【详解】分析：（1）分两种情况：当x≤15时；当x>15时，求得用户用水为x立方米时的水费，列出方程组求解即可；（2）根据所交水费，列出不等式组求解即可.详解：（1）设基本水费价格为：x元/立方米，超过的部分的水费价格为：y元/立方米，根据题意得，15x+(16−15)y=5015x+(20−15)y=70解这个方程组得x=3y=5答：该市居民用水的基本价格为3元/立方米，超过15立方米部分的价格为5元/立方米.（2）根据题意得3m≥363×15+(m−15)×5≤95解之得12≤m≤25，∴该居民5月份用水量m的范围是12≤m≤25点睛：本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据题意列出x和y的二元一次方程组，此题难度不大【变式4-1】（23-24七年级·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数．下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单．户名电表号月份用电量（度）金额（元）刘××12054220112刘××12055265139(1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度?(2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？【答案】(1)该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元/度，第二阶梯电费单价为0.6元/度．(2)他家最大用电量为300度．【分析】（1）设该市规定的第一阶梯电费单价为x元/度，第二阶梯电费单价为y元/度，根据刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设刘先生6月份用电量为m度，根据刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】（1）解：设该市规定的第一阶梯电费单价为x元/度，第二阶梯电费单价为y元/度，依题意得：{200x+(220−200)y=112解得：{x=0.5答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元/度，第二阶梯电费单价为0.6元/度．（2）解：设刘先生6月份用电量为m度，依题意得：0.5×200+0.6(m−200)⩽160，解得：m⩽300．答：他家最大用电量为300度．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式4-2】（广西南宁市兴宁区新兴学校2024年七年级数学中考模拟试卷）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）.阶梯一户居民每月用电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）一档0＜x≤180a二档180＜x≤280b三档x＞2800.82（1）已知小华家四月份用电200度，缴纳电费105元；五月份用电230度，缴纳电费122.1元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值；（2）六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过208元，那么小华家六月份最多可用电多少度？【答案】（1）a的值是0.52，b的值是0.57；（2）小华家六月份最多可用电350度.【详解】（1）由题意得：，解得：，

答：a的值是0.52，b的值是0.57；

（2）因为当小华家用电量x=280时，

180×0.52+（280﹣180）×0.57=150.6＜208，

所以小华家用电量超过280度.

设小华家六月份用电量为m度，根据题意得：

0.52×180+（280﹣180）×0.57+（m﹣280）×0.82≤208，

解得：m≤350

答：小华家六月份最多可用电350度.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用.根据四月份和五月份交的电费各列一个方程，组成方程组求解；先根据用电量280度，求出小华家的用电量缴费的档次，然后列不等式求解.【变式4-3】（2024·浙江杭州·一模）甲市居民生活用水收费按阶梯式水价计量：20立方米及以下，按基本水价计收，20﹣30立方米（包括30立方米）的部分，按基本水价的1.5倍计收，30立方米以上的部分，按基本水价的2倍计收．从2018年7月1日起，该市居民生活用水基本水价将进行调整，收费方式仍按原来阶梯式水价计量．小明读到有关新闻后立刻对他家两个月的水费进行计算，得到下表：请根据以上信息，回答以下问题：月份用水量（立方米）按调整前水价计费（元）若按调整后水价计费（元021645.652.832265.5575.9（1）求本次基本水价调整提幅的百分率？（保留3个有效数字）（2）小明家07年7月的水费是128.25元，该月用水量若按调整后水价计费需缴多少元？（3）小明又上网查了有关资料发现：甲市取水点分散，引水管线合计350千米，而同类城市乙市只有一座水库供水，引水管线合计70千米．若两市每年每千米引水管线的运行成本都为150万元，乙市的现行基本水价为2.35元，甲市共有200万户家庭，乙市共有180万户家庭．若甲乙两市都按平均每户每月用水量为11.21立方米计算，请你确定出甲市的基本水价至少调整为多少时甲市自来水公司的年收入（全市居民总水费﹣引水管线运行成本）不低于乙市？（保留3个有效数字）【答案】（1）15.8%；（2）148.5元；（3）甲市的基本水价至少调整为3.68元/立方米时，甲市自来水公司的年收入不低于乙市．【分析】（1）基本水价调整提幅的百分率为：（3月份的基本水价−2月份的基本水价）÷2月份的基本水价×100%；（2）应先判断出是否超过基本用水单位，若超过基本用水单位，应先算出用水量，则：新付费为：3.3×20+3.3×10×1.5+（用水数-30）×3.3×2；（3）关系式为：甲市水费收入-运营成本≥乙市水费收入-运营成本．【详解】解：（1）调整前基本水价为：45.6÷16＝2.85（元）；调整后基本水价为：52.8÷16＝3.3（元）；∴本次水价调整提幅为：3.3−2.852.85（2）∵2.85×20+2.85×1.5×10＝99.75＜128.25，∴用水量超过30m3，设小明家09年7月的用水量为x立方米．2.85×20+2.85×10×1.5+（x﹣30）×2.85×2＝128.25，解得：x＝35，∴新付费为：3.3×20+3.3×10×1.5+（35﹣30）×3.3×2＝148.5（元）；（3）设基本水价为y元/立方米，则11.21×12×y×200﹣350×150≥11.21×12×2.35×180﹣70×150，解得y≥3.68，答：甲市的基本水价至少调整为3.68元/立方米时，甲市自来水公司的年收入不低于乙市．【点睛】此类题目是一元一次方程和不等式的综合题目,旨在考查学生对一元一次方程和不等式求解的掌握程度,所以掌握解一元一次方程和不等式的一般步骤是解题的关键.【题型5行程问题】【例5】（23-24七年级·重庆永川·期末）甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发x小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息y小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍．(1)求甲、乙两人行驶的速度；(2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求x的取值范围；(3)当x=3时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出y的取值范围，如果不能，请说明理由．【答案】(1)甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时(2)11(3)当x=3时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求y的取值范围是0≤y<【分析】（1）根据甲的路程和时间求出速度，从而得到乙的速度；（2）根据题意列出不等式组，解之可得x的范围；（3）分若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，两种情况，列出不等式组，根据解集即可得解．【详解】（1）解：由题意，知甲从A地到B地用了2小时，行程是40千米，∴甲行驶的速度是402=20∵乙的速度是甲的3倍，∴乙行驶的速度是20×3=60（千米/时）．答：甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时．（2）由题意，得x+40解之，得116答：所求x的取值范围是116（3）∵116∴由（2）可知，当x=3时，在甲从B地到C地的行驶过程中，乙与甲第一次相遇．

若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，则3+8060+5若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，则有3+80解之，得0≤y<4答：当x=3时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求y的取值范围是0≤y<4【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，题中条件较多，要仔细理解题干，抽象出不等式组．【变式5-1】（23-24七年级·全国·课后作业）2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件．【答案】每个小组原来平均每天生产49个零件【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设每个小组原来平均每天生产x个零件，根据题意可知原来2个小组10天内生产的零件数小于1000，在每天比原来多生产2个零件后2个小组10天内生产的零件数大于1000，据此列出不等式组求解即可．【详解】解：设每个小组原来平均每天生产x个零件，根据题意，得20x<100020解得48<x<50．∵x是整数，∴x=49．答：每个小组原来平均每天生产49个零件．【变式5-2】（2024春·吉林四平·七年级统考期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时12km【答案】小明的爸爸至少以48km【分析】先设小明爸爸的速度为xkm【详解】解：设小明爸爸的速度为xkm2060解得x≥48．故小明的爸爸至少以48km【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键在于弄清题意，找出不等关系：小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程．【变式5-3】（2024春·江苏连云港·七年级统考期末）有a名居民在排队等候检查．检查开始后，仍有居民继续前来排队检查，设居民按m人/分钟的速度增加，每个窗口的检查速度为n人/分钟．若开放一个检查窗口，则需要25分钟将排队等候检查的居民全部检查完毕；若同时开放两个检查窗口，则需要10分钟将排队等候检查的居民全部检查完毕．(1)若a=100，求m和n的值；(2)根据（1）的结果猜想m与n的数量关系，并说明理由；(3)如果要在5分钟内将排队等候检查的居民全部检查完毕，以便后来的居民能随到随检，则至少要同时开放几个检查窗口？【答案】(1)m=2(2)n=3m，理由见解析(3)至少要同时开放4个检查窗口【分析】（1）根据等量关系：居民总数=所有窗口检查总人数，列方程计算即可；（2）当a为任意值时，根据等量关系：居民总数=所有窗口检查总人数，列方程计算即可；（3）设开放x个窗口，根据不等关系：5分钟总居民人数≤x个窗口5分钟检查人数，列不等式求解即可．【详解】（1）解：若a=100，由题意得：100解得：m=2n=6（2）解：n=3m，理由如下：由题意得：a由①−②得：（3）解：设开放x个窗口，由题意得：a+5m≤5xn，由（2）可得a=25n−25m=50m，∴50m+5m≤5x⋅3m，∵m>0，∴解得：x≥∴至少要同时开放4个检查窗口．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式：居民总数=所有窗口检查总数．难点是需要考虑的变量比较多．【题型6得分问题】【例6】（23-24七年级·重庆·期中）学校工会举行了一场趣味排球比赛，比赛为单循环制，即所有参赛选手彼此只比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得2分、负者扣1分，平局各得1分．赛后统计结果，发现所有参赛者的得分总和为32分，且平局数至少有5局，那么本次趣味排球赛共有参赛选手人．【答案】7或8/8或7【分析】由比赛的规则可知每场比赛会有两种结果，一种结果一胜一负，一种结果两个平局，设所有参赛者共胜了x局，平局y局，则共负了x局，共赛了x+y+x2场，根据所有参赛者的得分总和为32分，即可得出x+y=32，进而可得出x+y+x2=32-y2，结合x为非负整数且y≥5，y为偶数，即可得出16≤x+y+x2≤29，设本次趣味排球赛共有参赛选手m人，则共赛了12m（m-1）场，进而可得出32≤m（m【详解】解：设所有参赛者共胜了x局，平局y局，则共负了x局，共赛了x+y+x2依题意，得：2x+y-x=32，∴x+y=32，∴x+y+x2=32-y又∵y≥5且y为偶数，x为非负整数，∴16≤x+y+x2设本次趣味排球赛共有参赛选手m人，则共赛了12m（m∴16≤12m（m∴32≤m（m-1）≤58．又∵m为正整数，∴m可以为7或8．故答案为：7或8．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，由所有参赛者的得分总和，找出比赛场数的范围是解题的关键．【变式6-1】（23-24七年级·山东潍坊·期中）小亮和小颖共下了8盘围棋（没有平局），两人商定的规则为：小亮胜一盘记1分，小颖胜一盘记2分．下完第7盘后，小亮得分高于小颖；下完第8盘后，小颖得分高于小亮，小亮最终胜（

）A．2盘 B．3盘 C．4盘 D．5盘【答案】D【分析】本题考查的是一元一次不等式的运用，设小亮赢了x盘，然后列出一元一次不等式组x>27−xx<28−x【详解】解：设小亮最终胜了x盘．根据题意得x>27−x解得143∵x为正整数∴x=5答：小亮最终胜5盘．故选：D．【变式6-2】（23-24七年级·河北承德·期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况．参赛学生答对题数答错或不答题数得分甲17379乙11937(1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？(2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分．(3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？【答案】(1)小亮的得分是72分(2)参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分(3)小王答对了17道题【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式和一元一次不等组的应用：（1）先根据表格列出二元一次方程组，求出a,b的值，进而根据得分规则，列出算式进行计算即可；（2）设参赛学生要答对x道题，总分才不会低于60分，列出不等式进行求解即可；（3）设小王答对了y道题，列出不等式组，求出整数解，即可．【详解】（1）解：由题意，得：17a−3b=7911a−9b=37解得：a=5b=2故对1题得5分，答错或不答1题扣2分，16×5−20−16答：小亮的得分是72分；（2）设参赛学生要答对x道题，由题意，得：5x−220−x解得：x>100∴参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分；（3）设小王答对了y道题，由题意，得：75≤5y−220−y解得：1157∵x为整数，∴x=17，答：小王答对了17道题．【变式6-3】（23-24七年级·河南郑州·期中）“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加．(1)比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？(2)比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？【答案】(1)该班级胜了6场，负了8场(2)该班级在这场比赛中多选题最多能得44分【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审请题意、正确列出方程组和不等式组成为解题的关键．（1）设该班级胜了x场，负了y场．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设该班级在这场比赛中全部选对的有a道，则选对但选不全的有(18−a)道．然后根据题意列不等式组求解，然后根据实际意义即可解答．【详解】（1）解：设该班级胜了x场，负了y场．根据题意，得x+y=14,5x+3y=54.解得x=6答：该班级胜了6场，负了8场．（2）解：设该班级在这场比赛中全部选对的有a道，则选对但选不全的有(18−a)道．根据题意可列出不等式组18−a−a≥2,3a+218−a≥41,根据题意知全部选对的题越多，得分越多．∴当a=8时，多选题得分最多，为8×3+2×(18−8)=44（分）．答：该班级在这场比赛中多选题最多能得44分．【题型7古文问题】【例7】（2024七年级·全国·专题练习）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：(1)求每头牛、羊各值多少两银子？(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．【答案】(1)每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．(2)共有4种购买方法，方案1：购买10头牛，10只羊；方案2：购买9头牛，11只羊；方案3：购买8头牛，12只羊；方案4：购买7头牛，13只羊．【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，将实际问题转化为方程思想与不等式组求解．（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m头牛，则购买（20−m）只羊，利用羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，列出关于m的不等式组，结合【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得：5x+2y=192x+5y=16解得：x=3y=2答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；（2）解：设购买m头牛，则购买(20−m)只羊，依题意得：20−m≤2m3m+2解得：203∵m为整数，∴m=7，8，9，10∴有4种方案：①购买7头牛，购买13只羊；②购买8头牛，购买12只羊；③购买9头牛，购买11只羊；④购买10头牛，购买10只羊．【变式7-1】（23-24七年级·黑龙江大庆·阶段练习）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一方面学生了解了古代的数学知识，另一方面也考察了学生的思维能力．根据题意，类比我们现在的十进制满十进一，各个数位上的和不小于46，列不等式求解即可．【详解】解：设在第2根绳子上的打结数至少是x个．根据题意可知，从右到左的数分别为3，5x，1×5×5，所以有3+5x+1×5×5≥46解得：x≥3.6因为打结数为整数，所以最少为4个．故选：C【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”(1)请你求出上述问题的解；(2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬m尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬m尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求m至少要为多少尺？【答案】(1)绳长48尺，井深11尺(2)19【分析】（1）设绳长x尺，井深y尺，根据“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺”，列出方程组，求解即可；（2）根据题意可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口，把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为4m−2尺，因而离井口的距离为11−4【详解】（1）解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意，得：x3−y=5x答：绳长48尺，井深11尺；（2）解：因为要求的是m的最小值，所以可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口（若已爬出井口，则m的值会更大）．把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为4m−2尺，因而，离井口的距离为11−4根据题意，得：11−4m−2≤解得：m≥195答：m的最小值为195【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组和不等式是解题的关键．【变式7-3】（23-24七年级·福建龙岩·期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题：(1)笼中鸡、兔各有多少只？(2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？【答案】(1)笼中鸡有23只，兔有12只(2)这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元【分析】（1）设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设笼中有m只鸡，则兔有94−2m4【详解】（1）解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只，依题意得：x+y=352x+4y=94解得：x=23y=12答：笼中鸡有23只，兔有12只；（2）设笼中鸡有m只，则兔有94−2m4依题意得：m+94−2m解得：13≤m≤17.∵m为整数∴m=13、14、15、16、17①当m=13时，94−2m这笼鸡兔共值80×13+60×17=2060（元）②当m=14时，94−2m此种情况不符合题意③当m=15时，94−2m这笼鸡兔共值80×15+60×16=2160（元）④当m=16时，94−2m此种情况不符合题意⑤当m=17时，94−2m这笼鸡兔共值80×17+60×15=2260（元）综上所述，当m=13，m=15，m=17，符合实际意义答：这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理清题中的数量关系列出方程不等式是解题的关键．【题型8数字问题】【例8】（23-24七年级·重庆·阶段练习）若一个自然数，其十位数字比个位数字大3，百位数字比十位数字大3，千位数字比百位数字大3，…，这样的数，我们称为“大3数”．例如：52，9630．写出一个两位数，要求既是奇数又是“大3数”．将一个两位的“大3数”，再加上这个“大3数”各位数字之和的2倍，所得的结果能被4整除，求满足条件的两位“大3数”的和．【答案】41或63或85104【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和一元一次方程的应用．设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是x+3，根据x+3≤9x+3≥1得到0≤x≤6，结合是奇数，确定x=1,x=3,x=5，计算即可；设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是x+3，根据题意，10x+3【详解】设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是x+3，根据题意，得x+3≤9x+3≥1∴0≤x≤6，∵是奇数，∴x=1,x=3,x=5，∴既是奇数又是“大3数”的两位数有41或63或85；故答案为：41或63或85．设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是x+3，根据题意，得10x+3∵所得的结果能被4整除，∴15x4是整数即可，且0≤x≤6故x=0或x=4，∴所有“大3数”是30或74，∴30+74=104，故答案为：104．【变式8-1】（23-24七年级·重庆长寿·期末）有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，且这个两位数在50和70之间，则这个两位数是．【答案】53或64【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为：x+2，可得50＜10(x+2)+x＜70，再解不等式组可得答案．【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为：x+2，由题意得，50＜10(x+2)+x＜70，∴50＜11x+20＜70，∴30＜11x＜50，∴3011＜x＜50∵x为非负整数，∴x=3或x=4，∴这个两位数为：53或64．故答案为：53或64．【点睛】本题考查的是数字问题，一元一次不等式组的应用，准确理解题意列出不等式组是解题的关键，注意这里未知数的值为非负整数．【变式8-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）2024年央视春晚上的扑克牌魔术不仅是一场视觉盛宴，还是数学文化的传播．受此启发，小丽设计了一个魔术：从代表数字1到9的扑克牌中，依次抽出两张牌，记下牌面上的数字．将第一个数乘7后加6，然后乘3，再加上第二个数，最后减去8，得到计算结果．根据计算结果，可以知道抽出两张牌的牌面数字．(1)如果小明依次抽出两张牌的牌面数字是2和5，则计算结果是______；(2)如果小明得到的计算结果是143，求小明抽出两张牌的牌面数字；(3)如果小明得到的计算结果是106，小图思考片刻后，认为小明算错了．你赞成小图的观点吗？请说明理由．【答案】(1)57(2)6，7(3)赞成，理由见解析【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，列出不等式组．（1）根据题意列式计算即可；（2）设小明抽出两张牌的牌面数字依次为x，y，1≤x≤9,1≤y≤9,x≠y，根据小明得到的计算结果是143得出37x+6+y−8=143，整理得出y=133−21x，根据1≤y≤9得出133−21x≥1133−21x≤9，求出12421≤x≤6，根据x（3）设小明抽出两张牌的牌面数字依次为x，y，1≤x≤9,1≤y≤9,x≠y，计算结果是106得出37x+6+y−8=106，得出y=96−21x，再根据解析（2）的方法得出297≤x≤95【详解】（1）解：根据题意得：2×7+6×3+5−8=57（2）解：设小明抽出两张牌的牌面数字依次为x，y，1≤x≤9,1≤y≤9,x≠y，根据题意得：37x+6整理得：21x+y=133，∴y=133−21x，∴133−21x≥1133−21x≤9解得：519∵x取正整数，∴x=6，∴y=133−21×6=7，∴小明抽出两张牌的牌面数字为6，7．（3）解：赞成；理由如下：设小明抽出两张牌的牌面数字依次为x，y，1≤x≤9,1≤y≤9,x≠y，根据题意得：37x+6整理得：21x+y=96，∴y=96−21x，∴96−21x≥196−21x≤9解得：41∵x取正整数，∴没有适合x的值，∴小明得到的计算结果不可能是106．【变式8-3】（2024·四川达州·二模）一个正数N的各位数字不全相等，且都不为为0，现要将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数与最小数的差记为N的“差数”，此最大数与最小数的和记为N的“和数”，例如，245的“差数”为542-245=297，“和数”为：542+245=787，一个四位数M，其中千位数字和百位数字为a，十位数字为1，个位数字为b（且a≥1，b≥1）若它的“和数”是6666，求M的“差数”．【答案】4356或3996【分析】分a>b，a=b，a<b，三种情况讨论，分别利用和数列出方程，求出a，b，从而确定这个数并求“差数”．【详解】①当a>b时，最大数千位数字和百位数字为a，十位数字为b，个位数字为1，即最大数是1000a+100a+10b+1=1100a+10b+1，最小数千位数字为1，百位数字为b，十位数字和个位数字为a，即最小数是1000×1+100b+10a+a=11a+100b+1000．∵M的“和数”是6666，∴1100a+10b+1+∴110b=5665−1111a．∵1≤b≤9，∴110≤110b=5665−1111a≤990，∴425101∴a=5．将a=5代入110b=5665−1111a解得b=1，所以这个数是5511，最大数是5511，最小数是1155，所以M的“差数”是：5511-1155=4356．②当a=b时，最大数千位数字、百位数字和十位数字为a，个位数字为1，此时a即最大数是1000a+100a+10a+1=1110a+1，最小数千位数字为1，百位数字、十位数字和个位数字为a，即最小数是1000×1+100a+10a+a=111a+1000．∵M的“和数”是6666，∴1110a+1+∴a=515即此时无解．③当a<b时，最大数千位数字为b，百位数字和十位数字为a，个位数字为1，即最大数是1000b+100a+10a+1=1000b+110a+1，最小数千位数字为1，百位数字和十位数字为a，个位数字为b，即最小数是1000×1+100a+10a+b=110a+b+1000．∵M的“和数”是6666，∴1000b+110a+1+∴220a=5665−1001b．∵1≤a≤9，∴220≤220a=5665−1001b≤1980，∴33591∴b=4或将b=4代入220a=5665−1001b解得a=151将b=5代入220a=5665−1001b解得a=3，∴这个数是3315，最大数是5331，最小数是1335，所以M的“差数”是：5331-1335=3996．综上所述，M的“差数”为4356或3996．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，二元一次方程的正整数解，审清题意列出方程以及分类讨论是解题的关键．【题型9几何问题】【例9】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）【项目式学习】项目主题：数学智慧拼图项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．任务一：观察建模如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（x<y），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组5x=30x+y=16，则：x=，y=任务二：推理分析第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；任务三：设计方案第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中a<b<c且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．【答案】任务一：5，10任务二：31任务三：a=1，b=6，c=11，图见解析【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用积不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键．任务一：直接解方程组即可；任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可；任务三：先列方程组求出b=8−2ac=a+10，根据题意得出a=1或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当a=2时无法放置，当a=1【详解】解：任务一：5x=30由①得：x=6，把x=6代入②，得：y=10，∴原方程组的解是x=6y=10任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得：m+3n=13m+2n−3n=5解得：m=7n=2则图2中阴影部分的面积=13×5+3×2任务三：由题意得：2×18a+3×18b+4×18c+144=36解得：b=8−2ac=a+10∵a<b<c且a、b、c均为正整数，∴a<8−2a解得：0<a<8∴a=1或2，当a=2时，b=8−2a=4，c=a+10=12，分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：3×18×2+2×18×4+5×18×12=1332>36故此时不能放置；当a=1时，b=8−2a=6，c=a+10=11，分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：3×18×1+2×18×6+5×18×11=1260<36故此时能放置，放置方式如下图：【变式9-1】（2024春·江苏淮安·七年级校考期末）已知用于国际比赛的足球场的长在100∼110m之间，宽在64∼75m之间．一个长方形足球场的长为xm，宽为70m，如果它的周长大于350m【答案】这个足球场可以用于国际足球比赛【分析】长方形足球场的长为xm，根据长方形的周长大于350m，而面积小于【详解】解：长方形足球场的长为xm2x+70解这个不等式组，得105<x<108，已知用于国际比赛的足球场的长在100∼110m之间，而这个足球场的长在105∼108【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意，找准不等关系列出不等式组是解题的关键．【变式9-2】（23-24七年级·内蒙古兴安盟·期末）如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x=1时，SΔAQE=平方厘米；当x=32时，（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过14厘米时，求x（3）若ΔAQE的面积为13平方厘米，直接写出x【答案】（1）1；32

（2）194≤x≤【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解；（2）根据题意列出不等式组故可求解；（3）分Q点在AB上、BC上和CD上分别列出方程即可求解．【详解】（1）当x=1时，SΔAQE=当x=32时，SΔAQE=故答案为1；32（2）解：根据题意，得5−x≤解得194故x的取值范围为194（3）当Q点在AB上时，依题意可得1解得x=1当Q点在BC上时，依题意可得2×2−解得x=19当Q点在AB上时，依题意可得12×解得x=143或∴x值为x=1【点睛】此题主要考查不等式组与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程或不等式组进行求解．【变式9-3】（23-24七年级·江苏泰州·期中）如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．（1）设课本的长为acm，宽为bcm，厚为ccm，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3cm，用含a，b，c的代数式，分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽；（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典，你能用一张长为43cm，宽为26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗．请说明理由．【答案】（1）长为（2b+c+