2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题8.3 完全平方公式与平方差公式【十大题型】（举一反三）（沪科版2024）（原卷版）

专题8.3完全平方公式与平方差公式【十大题型】【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用乘法公式进行简便运算】 2【题型2利用乘法公式求代数式的值】 2【题型3由完全平分式求字母的值】 2【题型4平方差公式的几何背景】 3【题型5完全平方公式的几何背景】 4【题型6乘法公式的应用】 6【题型7乘法公式的证明】 7【题型8由乘法公式求最值】 9【题型9乘法公式的规律探究】 9【题型10乘法公式中的新定义问题】 10知识点：乘法公式1．平方差公式（1）平方差公式语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．（2）平方差公式的特点①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．②右边是相同项的平方减去相反项的平方．③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．2．完全平方公式（1）完全平方公式，语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．【题型1利用乘法公式进行简便运算】【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算：502−49×51=．【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·阶段练习）计算：(1)99×101；(2)20012【变式1-2】（23-24八年级·上海徐汇·阶段练习）计算：201920192【变式1-3】（23-24八年级·湖南怀化·期末）计算：1012÷1−1【题型2利用乘法公式求代数式的值】【例2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为．【变式2-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）若x+2y=8，x2+4y2【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如果a2−2a=1，那么代数式a(a−2)+(a−1)A．−1 B．1 C．3 D．2【变式2-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）已知a，b满足a2+1b2【题型3由完全平分式求字母的值】【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）若多项式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q【变式3-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）若x2−kx+36是一个完全平方式，则k=【变式3-2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期末）已知x2+2k+1x+16是一个完全平方式，则A．2 B．3或−5 C．1 D．±2【变式3-3】（23-24八年级·上海长宁·期中）填空：已知多项式x2+【题型4平方差公式的几何背景】【例4】（23-24八年级·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成．(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB=a，CD=b．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，A．4a2−4b2 B．4ab 【变式4-2】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）【知识生成】（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；【知识应用】（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=a+2ma−2m，Q=a+ma−m，比较【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．

【变式4-3】（23-24八年级·河南濮阳·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．

（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式）（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；（4）结合（3）的公式，计算：①(x−2)(x+2)x②1+1【拓展】直接写出2+12【题型5完全平方公式的几何背景】【例5】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）我们知道，通过几何图形的面积可以表示一些代数慎等式．例如：如图1得到a+b2(1)【直接应用】若x+y=3，x2+y(2)【类比应用】若x3−x=1，则(3)【知识迁移】两块完全一样的直角三角板∠AOB=∠COD=90°如图2放置，其中A，O，D在一条直线上，连接AC，BD．若AD=16，△AOC和△BOD的面积和S△AOC【变式5-1】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（

）A．24 B．29 C．41 D．45【变式5-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，不正确的有（

）A．a−b2=28； C．a2+b【变式5-3】（23-24八年级·安徽合肥·期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式2a+ba+b=2a2+3ab+b2

(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；(2)已知等式x+px+q(3)请你设计一个几何图形，并解释：a+ba−b【题型6乘法公式的应用】【例6】（23-24八年级·山东青岛·期中）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是．【变式6-1】（23-24八年级·湖南邵阳·期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四个班的清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为a−2bm

(1)分别求出八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积．(2)八年级（4）班的清洁区的面积比八年级（1）班的清洁区的面积多多少？【变式6-2】（23-24八年级·浙江温州·期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地ABCD上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长b的值．【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·期中）某楼盘推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米（0<b<a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园，如图3所示，设户型一与户型二的主房面积之差为M，入户花园的面积之差为N．请计算M−N．【题型7乘法公式的证明】【例7】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【变式7-1】（23-24八年级·山西吕梁·期末）初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式．

(1)利用这个图形可以证明的数学公式是；(2)在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？(3)请你写出完整的证明过程．【变式7-2】（23-24八年级·江苏南京·期末）（1）求证：a2（2）已知41×53=2173，证明2173是两个正整数的平方之和．【变式7-3】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图1，△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、C.实验一：小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形.（1）在图2中，正方形CDEF的面积可表示为，正方形IJKL的面积可表示为(用含a，b的式子表示)（2）请结合图2，用面积法说明a+b2，ab，a−b实验二：小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现，a2（3）请你用面积法证明：a2【题型8由乘法公式求最值】【例8】（23-24·江苏南通·二模）已知实数a，b满足a2+ab+b2=1，若p=ab+2a+2b【变式8-1】（23-24八年级·山东威海·期中）当多项式−x2−12【变式8-2】（23-24八年级·江苏常州·期末）已知：x+y＝12，则代数式3x2+y2的最小值为．【变式8-3】（23-24八年级·全国·竞赛）已知实数a,b满足a2−2a+6b=5，则a+3b的最大值为【题型9乘法公式的规律探究】【例9】（23-24八年级·宁夏银川·期末）观察下列等式，并回答问题．4×1=24×2=34×3=44×4=5……(1)将2024写成两整数平方差的形式：2024=4×______=______−______(2)用含有字母n（n≥1的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律．(3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由．【变式9-1】（23-24·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是.【变式9-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律：(1)a−ba+ba−baa−ba①a−ban−1+an−2②2−1×③2−1×④2−1×⑤2−1×(2)根据上述规律求22023(3)根据上述规律：29【变式9-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）观察下列各式：152=225，252=625(1)个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律?(2)如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n（1≤n≤9且n为整数），请你借助代数式解释（1）中的规律．(3)如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算5952【题型10乘法公式中的新定义问题】【例10】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：x+a，x+b，x+c(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式x+1，x+2，x+4，因为x+2²−x+1x+4÷x=−1，所以x+1，x+2，(1)小明发现多项式x+3，x+6，x+12是一组和谐多项式，求其和谐值；(2)若多项式x−2，x+3，x+p(p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值．【变式10-1】（23-24·四川泸州·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如32−1A．502