数学与球有关的“切”“接”问题课时过关培优训练-2024-2025学年高一下人教A版（2019）必修二

新人教版数学必修二课时过关培优（与球有关的“切”“接”问题）一、选择题。题号123456选项1.甲球与某正方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为()A.1∶2∶3 B.1∶eq\r(2)∶eq\r(3)C.1∶eq\r(3,4)∶eq\r(3,9) D.1∶2eq\r(2)∶3eq\r(3)2.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为()A.πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D.5πa23.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则该直三棱柱外接球的表面积为()A.72π B.114πC.136π D.144π4.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A.4π(r＋R)2B.4πr2R2C.4πRrD.π(R＋r)25.已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为2π.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为()A.4eq\r(3)πB.eq\f(2\r(3),27)πC.eq\f(\r(3),27)πD.eq\f(4\r(3),27)π6.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家.他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的eq\f(2,3)，且球的表面积也是圆柱表面积的eq\f(2,3)”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为12π，则该圆柱的内切球体积为()A.eq\f(4,3)πB.8πC.eq\f(8,3)πD.eq\f(8\r(2)π,3)二、多选题。7.已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为eq\r(3)－1，则下列说法正确的是()A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内切球的体积为eq\f(4π,3)C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为2eq\r(3)8.正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积可以为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.2eq\r(2)D.eq\r(2)三、填空题。9.三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝eq\f(4,3)，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________.10.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________.11.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2eq\r(3)，则该三棱锥的外接球的表面积为________.四、解答题。12.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体AEFG外接球的表面积为eq\f(π,4)，求正方形ABCD的边长.13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2eq\r(2).(1)求AB的长度；新人教版数学必修二课时过关培优（答案版）（与球有关的“切”“接”问题）一、选择题。1.甲球与某正方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为()A.1∶2∶3 B.1∶eq\r(2)∶eq\r(3)C.1∶eq\r(3,4)∶eq\r(3,9) D.1∶2eq\r(2)∶3eq\r(3)答案A2.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为()A.πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D.5πa2答案B3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则该直三棱柱外接球的表面积为()A.72π B.114πC.136π D.144π答案C4.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A.4π(r＋R)2B.4πr2R2C.4πRrD.π(R＋r)2答案C5.已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为2π.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为()A.4eq\r(3)πB.eq\f(2\r(3),27)πC.eq\f(\r(3),27)πD.eq\f(4\r(3),27)π答案D6.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家.他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的eq\f(2,3)，且球的表面积也是圆柱表面积的eq\f(2,3)”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为12π，则该圆柱的内切球体积为()A.eq\f(4,3)πB.8πC.eq\f(8,3)πD.eq\f(8\r(2)π,3)答案D二、多选题。7.已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为eq\r(3)－1，则下列说法正确的是()A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内切球的体积为eq\f(4π,3)C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为2eq\r(3)答案ABC8.正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积可以为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.2eq\r(2)D.eq\r(2)答案AB三、填空题。9.三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝eq\f(4,3)，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________.答案4eq\r(3)π10.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________.答案eq\f(3,2)11.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2eq\r(3)，则该三棱锥的外接球的表面积为________.答案16π四、解答题。12.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体AEFG外接球的表面积为eq\f(π,4)，求正方形ABCD的边长.解由题意，折叠后的四面体AEFG如图所示，设正方形边长为a，四面体AEFG外接球的半径为r，则AG＝a，EG＝FG＝eq\f(a,2)，易知在折叠后的四面体AEFG中，GA，GE，GF两两垂直，所以四面体AEFG的外接球半径r＝eq\f(\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)),2)＝eq\f(\r(6),4)a，由4πr2＝eq\f(π,4)，解得r＝eq\f(1,4)，所以a＝eq\f(4,\r(6))r＝eq\f(4,\r(6))×eq\f(1,4)＝eq\f(\r(6),6)，即正方形ABCD的边长为eq\f(\r(6),6).13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2eq\r(2).(1)求AB的长度；(2)求该长方体外接球的表面积.解(1)设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图甲的最短路程为AC1＝eq\r(x2＋4).图甲如图乙的最短路程为AC1＝eq\r(（x＋1）2＋1)＝eq