27.2.1.1 相似三角形的性质定理1【课件】 2024-2025人教版九年级数学

第27章

相似形

27.2.1.1

相似三角形的性质定理1三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度等，如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？思考新课导入根据相似三角形的定义可知,相似三角形的对应角相等,对应边成比例.现在,我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系.新课讲解已知:如图,△ABC∽△A′B′C′,它们的相似比为k,AD,A′D′是对应高.1.相似三角形对应边上的高有什么关系呢？求证:ABCDC′B′A′D′新课讲解证明∵△ABC∽△A′B′C′,

∴∠B=∠B′.∵∠BDA=∠B′D′A′=90°,∴Rt△ABD∽Rt△A′B′D′.

∴ABCDC′B′A′D′相似三角形对应边上的高之比等于相似比.新课讲解2.相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？（1）如图,△ABC,AE为BC边上的中线,则把三角形扩大2倍后得△A′B′C′,A′E′为BC边上的中线.△ABC与△A′B′C′的相似比是多少？AE与A′E′的比是多少？ABCEE′A′B′C′新课讲解（2）如右图两个相似三角形的比为k,则对应边上的中线的比是多少呢？说说你判断的理由是什么？ABCEE′A′B′C′相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.新课讲解3.相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？B′A′C′D′BACD已知:如图,△ABC∽△A′B′C′,它们的相似比为k,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的角平分线.求证:新课讲解证明∵△ABC∽△A′B′C′,

∴∠BAC=∠B′A′C′,∴∠DAC=∠D′A′C′,∴△DAB∽△D′A′B′.

∴B′A′C′D′BACD∠C=∠C′.又∵AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的角平分线.相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比.新课讲解相似三角形的性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.ABCDEFA′B′C′D′E′F′新课讲解1.判断题（1）相似三角形的中线比等于相似比()（2）两个相似三角形的边长之比等于高之比.

()××课堂练习2.填空.（1）相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为_______,对应角的角平分线的比为______.（2）两个相似三角形的相似比为1∶4,则对应高的比为______,对应角的角平分线的比为______.2∶32∶31∶41∶4课堂练习3.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.（1）求证:△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.课堂练习（1）证明:∵在梯形ABCD中,AB∥CD,

∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,∴△CDF∽△BGF.

课堂练习（2）由（1）知△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,

∴BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=FG,CD=BG.又∵EF∥CD,AB∥CD,∴EF∥AG,得2EF=AB+BG.∴BG=2EF-AB=2×4-6=2,∴CD=BG=2cm．课堂练习课堂小结第三部分PART

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相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.ABCDEFA′B′C′D′E′F′课堂小结三边对应相等的两个三角形全等，这是判定三角形全等的SSS方法.类似地，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？新课导入任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍.度量这两个三角形的角，他们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.交流新课导入如图，在△ABC和△A'B'C‘中，求证:△ABC∽△A'B'C'.ABCA′B′C′新课讲解ABCA′B′C′证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′

,交A′C′于点E,根据前面的定理,可得△A'DE∽△A'B'C'.DE新课讲解∴.又,A'D=AB.∴,.∴DE=BC,A'E=AC.∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A'B'C'.ABCA′B′C′DE新课讲解如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.相似三角形判定定理3可以简单说成:三边成比例的两个三角形相似.新课讲解几何语言：∵ABCA′B′C′∴△A′B′C′∽△ABC.新课讲解例1在△ABC和△A′B′C′中,已知下列条件成立,判断这两个三角形是否相似,并说明理由.（1）AB=5,AC=3,∠A=45°,A′B′=10,A′C′=6,

∠A=45°;（2）∠A=38°,∠C=97°,∠A′=38°,∠B′=45°;（3）AB=5,BC=,AC=,A′B′=,B′C′=1,A′C′=.新课讲解（1）AB=5,AC=3,∠A=45°,A′B′=10,A′C′=6,

∠A=45°;解∵,

∴.

∵∠A=∠A′

=45°.

∴△ABC∽△A′B′C′

.

新课讲解（2）∠A=38°,∠C=97°,∠A′=38°,∠B′=45°;∵∠B=180°-(∠A+∠C)

=180°-(38°+97°)=45°.

∴∠B=∠B′=45°.∵∠A=∠A′=38°,∴△ABC∽△A′B′C′

.

新课讲解（3）AB=5,BC=,AC=,A′B′=,B′C′=1,A′C′=.∵,

,

,

∴.∴△ABC∽△A′B′C′

.

新课讲解A例3如图,方格网的小方格是边长为1的正方形,△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上,判断△ABC与△A′B′C′是否相似,为什么？CBA′B′C′新课讲解解由于△ABC与△A′B′C′的顶点均在格点上,根据勾股定理,得ACBA′B′C′,AC=2,

新课讲解ACBA′B′C′∴△ABC∽△A′B′C′

.

新课讲解

1.试判定△ABC与△A′B′C′是否相似并说明理由.已知:AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,

A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm.解∵∴△ABC∽△A′B′C′

.

课堂练习2.试判定△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由.在△ABC和△A′B′C′中,已知:AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm,A′B′=16cm,B′C′=

20cm,A′C′=30cm.不相似，因为对应边的比不相等.课堂练习3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？解设另外两条边长分别为x,y.

方案(1)课堂练习3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？方案(2)课堂练习3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,