第5讲四边形（讲义）解析版

第5讲四边形模块一：平行四边形一．多边形1、多边形：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形．由n条线段组成的多边形就称为n边形（）．组成多边形的每一条线段叫做多边形的边．相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．2、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（）．3、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．对于多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．多边形的外角和等于360°．二．平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2、平行四边形的性质：平行四边形性质定理1如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．简述为：平行四边形的对边相等．平行四边形性质定理2如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．简述为：平行四边形的对角相等．平行四边形性质定理3如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线相互平分．简述为：平行四边形的对角线互相平分．平行四边形性质定理4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．3、平行四边形的判定平行四边形判定定理1如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理2如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理3如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理4如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．三．特殊的平行四边形1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等．菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角．3、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．夯实基础一、单选题1．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A．7对 B．6对 C．5对 D．4对【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．【详解】图中相似三角形有△ABC∽△CDA,△AGE∽△ABC,△AFE∽△CBE,△BGE∽△BAF,△AGE∽△CDA共5对，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，∴△ABC≌△CDA，∴△ABC∽△CDA，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ABC∞△CDA，∵GE∥BC,AD∥BC，∴GE∥AD，∴△BGE∽△BAF，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE.故选：C.【点睛】本题考查相似三角形的判定,平行四边形的性质.2．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，，，已知，，那么等于（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明：四边形是平行四边形，可得，利用，再求解，再证明，利用相似三角形的性质求解，再利用线段的和差可得答案．【详解】解：，，四边形是平行四边形，，，，，,，，，，故选：【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．3．（2019·上海长宁区·）已知四边形的对角线相交于点，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【详解】A、∵∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，∵∠DAB=∠BCD，∴∠BAD+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ABC=∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∠DAB=∠BCD，AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、∵∠ABD=∠CDB，∠AOB=∠COD，OA=OC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB=OC，∴四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．二、填空题4．（2019·上海九年级月考）如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形:________________．【答案】△ABE∽△FDE【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，从而可推出∠ABD=∠CDB，已知对顶角相等，根据有两组角相等的两个三角形相似，从而得到△ABE∽△FDE．【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．

∵∠AEB=∠FED，∴△ABE∽△FDE．故答案为：△ABE∽△FDE.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用．5．（2020·上海九年级专题练习）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1cosα的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D【答案】54【分析】根据变形前后底边不变，可根据面积算的变形后的平行四边形的高.根据题意，变形度即为求∠B1的余弦，及转化为求B1D的长度，利用勾股定理可求得B1D，最终求得1cos【详解】过A1作A1D⊥B1C1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴ab＝5，3＝ah，∴b＝5a，h＝3a，∴B1D＝b2−ℎ2【点睛】本题考查了平行四边形与矩形的性质，勾股定理，三角函数的求法，解决本题的关键即为求变形后平行四边形的高，即可解题.6．（2020·上海崇明区·九年级一模）如图，在中，，点在上，且，的平分线交于点，点是的中点，连结.若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为____.【答案】10【分析】首先利用等腰三角形的性质得到点E是AD的中点，可得EF是△ACD的中位线，则EF∥CD，EF=CD，进而可证明△AEF∽△ADC，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ADC的面积，由点E是AD的中点得△BDE和△BAE面积相等，利用即可求解．【详解】解：∵BE平分∠ABC，BD=BA，∴BE是△ABD的中线，

∴点E是AD的中点，又∵F是AC的中点，∴EF是△ADC的中位线，

∴EF∥CD，EF=CD，∴△AEF∽△ADC，∴S△AEF：S△ADC=1：4，

∴S△AEF：S四边形DCFE=1：3，∵四边形DCFE的面积为3，∴S△AEF=1，

∴S△ADC=S△AEF+S四边形DCFE=1+3=4，∵点E是AD的中点，△BDE的面积为3，∴=3，∴=3+3+4=10.故答案为10.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ADC=1：4．三、解答题7．（2019·上海九年级月考）如图，是平行四边形的边上一点，交的延长线于点若，求的长．【答案】【分析】根据已知条件，要求AE的长，结合平行四边形的性质，只需求得AE：CD的值，根据平行线分线段成比例定理，可得AE：CD=AF：DF，从而进行计算．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴，又∵，AB=4，∴，∴AE=.【点睛】本题综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理，难度不大.8．（2020·上海黄浦区·九年级期末）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）先表示出，继而可表示出；（2）延长AE、BC交于G即可．【详解】解：（1）四边形是平行四边形，，∵，，；（2）如图，延长AE、BC交于G，则即为所求．四边形是平行四边形，∴AD∥BC，∴，∴，又∵，∴∴.【点睛】本题考查了平面向量及平行四边形的性质，解答本题注意利用平行线分线段成比例的知识，难度一般．能力提升一、单选题1．（2021·上海市静安区实验中学九年级一模）如图，在中，点在边上，，，联结，与相交于点，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可．【详解】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE=CF，DF=CE，∵DE∥BC，DF∥AC，∴△ADE∽△ABC，△BFD∽△BAC，∴，故A错误；，即，故B错误；∵DF∥AC，∴，故C正确；∵DE∥BC，∴，故D错误，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键．2．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形中，，对角线交于点是梯形的中位线，与分别交于点，如果的面积为，那么梯形的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设AD=2x，BC=6x，根据EF是梯形的中位线，求得EG=FH==x，GF==3x，证得GH=AD，由此得到，，，即可求出答案．【详解】设AD=2x，BC=6x，∵EF是梯形的中位线，∴点E、F、G、H分别为AB、CD、BD、AC的中点，EF∥AD∥BC，∴EF=x，∴EG=FH==x，GF==3x，∴GH=2x，∴GH=AD，∵GH∥AD,∴△OAD∽△OHG,∴，∴OG=OD，，∵GH∥BC,∴△OGH∽△OBC，∵∴，∵O是DG的中点，G是BD的中点，∴，，故选：C．．【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相似三角形的性质，这是一道与中位线相关的综合题．二、填空题3．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，点分别在边、上，，将沿直线翻折后与重合，、分别与边交于点、，如果，，那么的长是_____．【答案】4【分析】设，从而可得，先根据平行线的性质可得，再根据翻折的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据三角形的中位线定理即可得．【详解】设，则，，，由翻折的性质得：，，，，即点M是DF的中点，又，是的中位线，，故答案为：4．【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．4．（2021·上海市静安区实验中学九年级一模）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形中，点在边上，如果、和都相似，那么点就是四边形的“强相似点”；如图2，在四边形中，，，，，如果点是边上的“强相似点”，那么___．【答案】或【分析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，可证四边形ADCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD的长，利用“强相似点”的定义可得△ABQ∽△DQC，则由相似三角形的性质可得，再根据线段之间的数量关系建立关于AQ的方程，求解后即可求出AQ的长．【详解】解：如图，过点A作AE∥CD，交BC于点E，

∵在四边形中，，，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD＝AB＝2，AD＝CE．∵，∴△ABE是等边三角形．∴BE＝AE＝AB＝2．∴AD＝BC－BE＝6．∵点是边上的“强相似点”，∴△ABQ∽△DQC．∴．设AQ＝x，则DQ＝6－x，即．解得，．故答案为：或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键．5．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）如图，已知在平行四边形中，点E在边上，，联结交对角线于点O，那么的值为_____．【答案】【分析】由题意可以得到△AOE∽△COD，再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO：OC的值．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠OAE=∠DCO，∠OEA=∠ODC，∴△AOE∽△COD，∴，∵，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查平行四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质、三角形相似的判定和性质是解题关键．6．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．【答案】；．【分析】由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比．【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案为：或．【点睛】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．7．（2018·上海宝山区·中考模拟）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，如果△ABC的面积为S，那么以AD、BE、CF为边的三角形的面积是_____．【答案】【解析】分析：延长AD至G，使得DG=AD，连接BG，CG，取BG的中点H，连接CH，FH，依据三角形中线、中位线的性质以及平行四边形的性质，即可得到△CHG的面积=△BCG的面积的一半=平行四边形ABGC的面积的=S，△BFH的面积=△ABG的面积的=S，△ACF的面积=S，进而得出△CFH的面积=2S﹣S﹣S﹣S=S．详解：如图所示，延长AD至G，使得DG=AD，连接BG，CG，则△ACD≌△GBD，△ABD≌△GCD，四边形ABGC为平行四边形，∴四边形ABGC的面积=2S，取BG的中点H，连接CH，FH，则BH∥CE，BH=CE，故四边形BHCE是平行四边形，∴BE=CH，由题可得，FH是△ABG的中位线，∴FH=AG=AD，∴△CFH即为以AD、BE、CF为边的三角形，∵△CHG的面积=△BCG的面积的一半=平行四边形ABGC的面积的=S，△BFH的面积=△ABG的面积的=S，△ACF的面积=S，∴△CFH的面积=2S﹣S﹣S﹣S=S，故答案为S．点睛：主要考查了三角形的重心的运用，三角形的重心是三角形三边中线的交点．解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形以及以AD、BE、CF为边的三角形，利用基本图形的性质求解．8．（2019·上海九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=_____cm【答案】2.5．【分析】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，CD=5cm，∴BC=AD=10cm，AD∥BC，∴∠2=∠3．∵BE=BC，CE=CD，∴BE=BC=10cm，CE=CD=5cm，∠1=∠2，∠3=∠D．∴∠1=∠2=∠3=∠D．∴△BCE∽△CDE．∴，即，解得DE=2.5cm．三、解答题9．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）已知：如图，在梯形中，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线于点F．（1）求证：；（2）如果，求证：线段是线段、的比例中项．【分析】（1）延长AF交BC于点G，可证AD=GC，由，可证，由，可证，进而可证结论成立；（2）证明，可证，由（1）得，即，进而可证线段是线段、的比例中项．【详解】证明：（1）如图，延长AF交BC于点G，∵，，∴四边形AGCD是平行四边形，∴AD=GC．∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．10．（2021·上海青浦区·九年级期末）如图，在平行四边形中，，点、是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点．（1）求的长；（2）设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示）【答案】（1）；（2）【分析】（1）由△ADE∽△GBE，可求出BG的长，再由△HDF∽△GBF，即可求出HD的长；（2）由△ADE∽△GBE，可求出S△ADE=4S△BGE=4a，再由△HDF∽△GBF，即可求出S△DHF=S△BGF，由三角形的面积公式可求出S△DHF=S△BGF，进而可求四边形的面积．【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC=8，∴△ADE∽△GBE，∴．∵，∴BG=AD=4．∵AD//BC，∴△HDF∽△GBF，∴．∵，∴HD=BG=2；（2）∵△ADE∽△GBE，，∴S△ADE=4S△BGE=4a．∵△HDF∽△GBF，∴S△DHF=S△BGF．∵，∴S△BGF=2S△BGE，∴S△DHF=S△BGE=a，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．模块二：梯形梯形1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形的底：在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）．梯形的腰：在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰．2、直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．等腰梯形的性质及判定等腰梯形性质定理：（1）等腰梯形在同一底上的两个内角相等．（2）等腰梯形两条对角线相等．2、等腰梯形判定定理：（1）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．梯形的中位线1、中位线：联接梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线．2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．夯实基础一、填空题1．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．【答案】【分析】作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案．【详解】作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2，∴BC＝2，AC＝4，∴CM＝＝＝4，∵正方形DEFG内接于△ABC，∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴，即，解得：EF＝；故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．（2021·上海嘉定区·九年级期末）正方形的边长与其对角线长的比为________.【答案】.【分析】设正方形的边长为1，则由勾股定理易求得正方形的对角线长为，计算即得结果.【详解】解：设正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为，所以正方形的边长与其对角线长的比为.【点睛】此题主要考查对正方形的性质和线段比的定义的理解及运用．难度不大，属于基础题型．3．（2020·上海虹口区·九年级二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BD＝BC，如果∠C＝50°，那么∠ABD的度数是_____．【答案】20°【分析】根据题意可得△BDC和△ABD是等腰三角形，再根据AD∥BC，可得∠BDA＝∠DBC，再根据三角形内角和即可求出∠ABD的度数．【详解】解：∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝50°，∴∠DBC＝180°﹣2∠C＝80°，∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC＝80°，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDA＝80°，∴∠ABD＝180°﹣2∠A＝20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了梯形及等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形等边对等角的性质．能力提升一、填空题1．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于_________．【答案】【分析】由折叠的性质可得，由矩形的性质可证明，故可得，再证明求得CD=2，在中由勾股定理可得解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到，∴，，∴，，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，又BD=DB∴∴∴，∴四边形ABDE是等腰梯形，∵，∴，∠∵∠∴∠∴∴，即∴或-2（舍去）在中，，∵∠∴在中，由勾股定理得，即∴解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．（2021·上海宝山区·九年级一模）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是，，要截得的正方形的边在上，顶点、分别在边、上，如果，，那么正方形铁皮的边长为______．【答案】6【分析】设正方形铁皮的边长为x，证明△AEF∽△DBG，得到，，求解即可．【详解】设正方形铁皮的边长为x，∵，∴∠A+∠B=，在正方形中，EF=DG=FG=x，∠EFG=∠DGF=,∴∠AFE=∠BGD=，∴∠A+∠AEF=,∴∠AEF=∠B，∴△AEF∽△DBG，∴，∴，解得x=6（负值舍去），故答案为：6．【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，根据已知条件证明△AEF∽△DBG是解题的关键．3．（2020·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．【答案】6或10【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tanA＝＝，即可得出AP的值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tanA＝，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tanA＝＝，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去.【详解】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tanA＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，∴AP＝6+4＝10；如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠APB＝∠BPQ＝90°，在Rt△APB中，∵tanA＝＝，AB＝10，∴AP＝6；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP的值是6或10，故答案为：6或10．【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键.二、解答题4．（2020·上海市青浦区第一中学九年级期中）在四边形中，，平行于，，，点在线段上，联结，过点作，与交于点，设的长为．（1）当时，求线段的长；（2）设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当与相似时，求线段的长．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）过C作CE垂直于AE，交AD的延长线于E点，先求得四边形ABCE为矩形，然后根据直角三角