甘肃省张掖市某校2023-2024学年高三下学期3月模拟考试 数学 含解析

数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（）A． B． C．3 D．23．已知，则（）A． B． C． D．4．“或”是“圆与圆存在公切线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，则（）A． B． C． D．6．如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则异面直线与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．7．已知函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．8．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知曲线，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（）A．若，则曲线的离心率为B．若，则曲线的渐近线方程为C．若曲线是双曲线，则曲线的焦点一定在轴上D．若曲线是圆，则的最大值为410．已知数列满足，则下列说法正确的是（）A． B．数列为递减数列C．数列为等差数列 D．11．如图，球的半径为，球面上的三个点的外接圆为圆，且，则下列说法正确的是（）A．球的表面积为B．若的面积为C．若，则三棱锥的体积是D．三棱锥体积的最大值为12．已知函数，下列说法正确的是（）A．在处的切线方程为 B．的最小值为C．的最小值为 D．若恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量满足，，则_______．14．在中，角所对的边分别为，且，若，则_______．15．已知数列是各项均为正数的等比数列，则的最小值为_______．16．已知，点为椭圆上的动点，当取最小值时，点的横坐标的值为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调减区间；（2）求函数在上的值域．18．（12分）已知数列的前项和为，等比数列的公比为．（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前10项和．19．（12分）已知中，在线段上，．（1）若，求的长；（2）求面积的最大值．20．（12分）在直三棱柱中，分别为的中点，．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．21．（12分）已知抛物线，垂直于轴的直线与圆相切，且与交于不同的两点．（1）求；（2）已知，过的直线与抛物线交于两点，过作直线的垂线，与直线分别交于两点，求证：．22．（12分）已知函数有两个零点．（1）求的取值范围；（2）设两零点分别为，证明：．数学参考答案及评分意见1．A【解析】．故选A．2．B【解析】．故选B．3．C【解析】．故选C．4．C【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以两圆的圆心距为，两圆内含时，即，解得，所以当两圆有公切线时，或，所以“或”是“圆与圆存在公切线”的充要条件．故选C．5．D【解析】由题意得．故选D．6．D【解析】作的中点，连接，则或其补角（为针角时）的余弦值即为所求．，则异面直线与的夹角的余弦值为．故选D．7．A【解析】由题意得为偶函数且在上单调递增，又，．故选A．8．B【解析】因为函数在上有两个极值点，所以在上有两个变号零点，．令，，令，得，令，得在上递增，在上递减．．故选B．\h9．AC【解析】A选项，时，曲线为，曲线的离心率为，故A选项正确；B选项，时，曲线为，则曲线的渐近线方程为，故B选项错误；C选项，若曲线是双曲线，则，则曲线的焦点一定在轴上，故C选项正确；D选项，若曲线是圆，则4，即，令，则的最大值为，故D选项错误．故选AC．10．BCD【解析】，，，故A错误，BCD正确．故选BCD．11．ACD【解析】A选项，，故A正确；B选项，，，，故B错误；C选项，设，由，可得，因为为的外心，所以，故，由已知，，所以，所以，由球的截面性质可得平面，所以三棱锥的体积，故C正确；D选项，设，令，则，令当时，的最大值为，故D正确．故选ACD．12．ABD【解析】的定义域为，则，故切线方程为，即，故A正确．由得，在区间单调递减，在区间单调递增，所以，故B正确，C错误．恒成立，其中，所以，记，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，则实数的取值范围为，D正确．故选ABD．13．【解析】，，，．14．【解析】由，得，因为解得，又，由余弦定理得，解得．15．【解析】（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），故的最小值为．16．【解析】因为为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为，则，由椭圆的定义，得，所以为射线与椭圆交点时，取最小值，因为直线方程为，设，联立消去得或（舍）．17．解：（1），的最小正周期为．令，得，化简得，的单调减区间为．（2），．令，则，，，在上的值域为．18．解：（1）当时，，，，，当时，．经检验，当时，满足上式，．（2）设的前10项和为，．19．解：（1）在中，，，，，．在中，，．另解：，，．（2）在中，，，，当且仅当时，等号成立．，的最大值为．，的最大值为．20．（1）证明：连接交于点，连接，延长与延长线交于点．因为，所以，所以，所以，则．又因为，所以为的中位线，则．因为平面平面，所以平面．（2）解：因为，所以．如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，则．设为平面的一个法向量，则即令，解得．又平面的一个法向量，设所求夹角为，则．21．（1）解：由题意得的方程为．又，不妨设，代入抛物线，解得．（2）证明：①当直线中有一条直线斜率存在时，不妨设直线的斜率不存在，则，此时直线的斜率为0．，．（2）当直线斜率均存在时，记直线斜率为，直线斜率为到直线的距离为，到直线的距离为，设，则，．由得，则，．因为，同理，，则．22．（1）解：令，得，令，则，令，得，令，得．则在单调递增，在单调递减．当时，，当时，，若要与有