第08讲 平行线及三角形（含答案详解）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘

平行线及三角形一、单选题1．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（）A．85° B．75° C．65° D．30°2．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，为等边三角形，，则等于（

）A． B． C． D．3．（2021·全国·九年级竞赛）将长为15cm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种4．（2017秋·浙江杭州·八年级竞赛）下列图形中，正确画出AC边上的高的是（

）A． B．C． D．5．（2017秋·浙江杭州·八年级竞赛）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，那么∠ACB的度数是（

）A．45° B．75° C．90° D．60°6．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，直角中，，，，，点P是线段上一动点（可与点A、点B重合），连接，则线段长度的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，已知直线ABCD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M．G是射线MD上一动点（不与点M，F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH=α，∠EGF=β．现有下列四个式子：①2α=β，②2α-β=180°，③α-β=30°，④2α+β=180，在这四个式子中，正确的是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④8．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°二、填空题9．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则_____．10．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）①；②；③；④．11．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______．12．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．13．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．14．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图．在中，，．若，则______．15．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．16．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中结论正确的是___________（填序号）17．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）如上图，已知,则的度数是________.18．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，，BF，DF分别平分和，，与互补，则的度数为______．三、解答题19．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．20．（2017·全国·八年级竞赛）如图，中，D为BC的中点，DE平分，DF平分，，，P为AD与EF的交点，证明：．21．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图1，，点E，F分别在直线上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M．(1)直接写出之间的关系：．(2)若，求．(3)如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值．22．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图1，在五边形ABCDE中，，．(1)猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；(2)如图2，延长DE至F，连接BE，若，，，求∠C的度数．参考答案：1．B【分析】根据AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故选：B【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中，等边对等角是解题的关键．2．C【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．【详解】解：为等边三角形，，，，，，，解得，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．3．C【详解】试题分析：已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法．解：∵长棒的长度为15cm，即三角形的周长为15cm∴①当三角形的最长边为7时，有4种截法，分别是：7，7，1；7，6，2；7，5，3；7，4，4；②当三角形的最长边为6时，有2种截法，分别是：6，6，3；6，5，4；③当三角形的最长边为5时，有1种截法，是：5，5，5；④当三角形的最长边为4时，有1种截法，是4，3，8，因为4+3＜8，所以此截法不可行；∴不同的截法有：4+2+1=7种．故选C．考点：三角形三边关系．4．D【分析】根据高的定义即可求解．【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高，故选：D．【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义．5．B【详解】试题解析：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；∵△PCD中，∠APC=60°，∴∠DCP=30°，PC=2PD，∵PC=2PB，∴BP=PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，∵∠ABP=45°，∴∠ABD=15°，∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，∴∠ABD=∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，∴BD=DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD=AD，∴AD=DC，∵∠CDA=90°，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，故选B.6．D【分析】根据垂线段最短，找到点P的位置，利用面积法求出取值，再比较点P与点A重合，与点B重合时的情况，得到最大值，即可得解．【详解】解：当点时，最短，此时，，当点P与点A重合时，，当点P与点B重合时，，∴最大值为4，∴的取值范围是，故选D．【点睛】本题考查了垂线段最短，面积法，解题的关键是找到取最值的情况．7．B【分析】分两种情况讨论，即当G在F左侧时，当G在F的右侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义分别求出2α=β或2α+β=180°，则可作出判断.【详解】解：如图，当G在F左侧时，∵∠MEH=∠MEF-∠HEF=∠AEF-∠GEF=α，∠EGF=∠GEB=∠AEG=∠AEF-∠GEF=β，∴2α=β，故①正确；如图，当G在F的右侧时，∵∠MEH=∠MEF+∠HEF=∠AEF+∠GEF=α，∠EGF=∠GEB=180°-∠AEG=180°-∠AEF-∠GEF=β，∴2α+β=2(∠AEF+∠GEF)+180°-∠AEF-∠GEF=180°，故④正确；综上所述，正确的是①④；故选：B.【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质．8．B【分析】由三角形的内角和可求∠ABC，根据角平分线可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．【详解】解：∵∠A+∠C=100°∴∠ABC=80°，∵BD平分∠BAC，∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABD=40°，故答案为B．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．9．140【分析】欲求，因为，所以仅需求．根据三角形外角的性质，得．因为、分别是、平分线，所以，进而可求出．【详解】解：如图，、分别是、平分线，，．又，，又，，，，由题意得：，，，故答案为：140．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线的定义是解决本题的关键．10．①②④【分析】由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．【详解】解：，的平分线交于点，，，，，，，，故①正确，平分，，，，，故②正确；，，，，平分，平分，，，，，，故③错误；，，，．故④正确，综上正确的有：①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．11．【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则．【详解】作FH垂直于FE，交AC于点H，∵又∵，∴∵，FA=CF∴∴FH=FE∵∵∴又∵DF=DF∴∴∵∴∵∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题的关键．12．45°或36°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：①如图1，当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，设∠A=x°，则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，∴∠BCD=∠B=x°，∵∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x+x+x+x=180，解得x=45，∴原等腰三角形的底角是45°；②如图2，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∵∠CDA=2∠B，∴∠CAB=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴原等腰三角形的底角为36°；故答案为45°或36°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．13．1【分析】将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值．【详解】解：连接，如下图：于点于点，，，，故答案是：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将的面积拆成两个三角形面积之和来解答．14．54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．【详解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故答案为：54°．【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．15．或【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图∵，，∴∴∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，∴AC=PC∴∵∴∴②当点P在CB的延长线上时，如图由①得，∵AC=PC∴∴故答案为：或【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．16．①②③【分析】根据全等、等腰三角形以及三角形边的性质即可得出答案.【详解】∵∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE又∠BAD=∠BAC+∠CAD∠CAE=∠EAD+∠CAD∴∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS)∴BD=CE，故选项①正确；∴∠BDA=∠CEA=45°又∠ADE=45°∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°∴BD⊥CE，故选项②正确；∵△BAD≌△CAE∴∠ACE=∠ABD又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故选项③正确；在△BAE中AB+AE>BE又AB=AC，AE=AD∴AC+AD>BE，故选项④错误；故答案为：①②③.【点睛】本题考查的是等腰三角形，难度适中，需要熟练掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性质.17．20°/20度【分析】先证明△ABD≌△ACE，再利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵BE=CD，∴BD=CE．在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠C．∵∠BAC=80°，∴∠C=（180°﹣80°）÷2=50°，∴∠CAE=180°﹣110°﹣50°=20°．故答案为20°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握SAS证明三角形全等是关键．18．/36度【分析】延长FB交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.【详解】解：如图延长FB交CD于G∵BF∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDF=2∠F，∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F，∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，又∵∠F与∠ABE互补∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案为36°.【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.19．（1）见解析；（2）∠DEF＝70°．【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根据SAS推出△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠B=∠C=70°，根据全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，∴BD＝EC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS）∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝＝70°，∴∠BDE+∠DEB＝110°，又∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠FEC，∴∠FEC+∠DEB＝110°，∴∠DEF＝70°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．20．见解析【分析】想办法证明四边形DEFC是平行四边形，再证