填空压轴题-2024年北京高考数学复习分类汇编（原卷版）

专题16填空压轴题

x+2,x<-a,

1.(2023•北京)设々>0,函数/(x)=<da2-f，-碑!k〃，给出下列四个结论，正确的序号为

-yfx-l,x>a•

①/(x)在区间(a-1,y)上单调递减；

②当Q..1时，/(X)存在最大值；

③设M(x，/(苔))(玉,,〃)，N(X2,f(x2))(x2>a),则

④设「(七，/(x3))(x3<-a),。(%4，/(X4))(X4...-6Z),若|尸。|存在最小值，则。的取值范围时(0,；］.

2.(2022•北京)已知数列｛4｝的各项均为正数，其前几项和S〃满足々/5〃=9(〃=1,2,...).给出下列四

个结论：

①｛%｝的第2项小于3；

②｛4｝为等比数列；

③｛4｝为递减数列；

④｛风｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是—.

3.(2021•北京)已知函数/(x)=|/gx|-fcr-2,给出下列四个结论：

(1)若1=0,则/(元)有2个零点；

(2)存在负数3使得/(x)恰有1个零点；

(3)存在负数左，使得/(x)恰有3个零点；

(4)存在正数3使得/(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是—.

4.(2020•北京)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业

要限期整改.设企业的污水排放量W与时间f的关系为W=/«),用一FS)一八°)的大小评价在刀,力这

b-a

段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

甲企业

Ot2

给出下列四个结论：

①在L，与这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在芍时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0,公，匕，£，L，刈这三段时间中，在［0，外的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是—.

5.(2023•朝阳区一模)某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力(战斗单位数)随时间的变化遵循

兰彻斯特模型：

x(t)=X。cosh(Va&r)-《匕sinh(yfabt)

<

y(t)=Yocosh(-Jabt)-sinh(y/abt)

其中正实数X。、为分别为红、蓝两方初始兵力，f为战斗时间；x(t),丁⑺分别为红、蓝两方f时刻的兵力；

正实数a,b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；coshx="+''和sinhx=分别为双

22

曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习

胜利，并记战斗持续时长为T.给出下列四个结论：

①若x°>为且。=6,贝I彳⑺>>«)(喷出T)；

②若X。〉为且a=6,则7=!勿近4；

a丫x°-4

③若强>2,则红方获得战斗演习胜利；

④若强>口，则红方获得战斗演习胜利.

y0

其中所有正确结论的序号是—.?

6.(2023•西城区一模)如图，在棱长为2的正方体中，点Af,N分别在线段和与弓

上.

出下列四个结论：

①MN的最小值为2；

②四面体MWBC的体积为3；

3

③有且仅有一条直线MN与ADt垂直；

④存在点M,N,使AA/BN为等边三角形.

其中所有正确结论的序号是

7.（2023•东城区一模）己知函数/'（xisi畤x+e）（X>0,0<e<万）的部分图象如图1所示，A,3分别

为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点A,点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该

图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|48|=加，则;1=

①展？；

②图2中，ABAC=5；

③图2中，过线段9的中点且与垂直的平面与x轴交于点C；

④图2中，S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T={QeS||AQ|,,2},则T表示的区域的面积大

于工.

4

其中所有正确结论的序号是—.

8.（2023•丰台区一模）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题.古

希腊数学家尸。卬（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点

C为圆心作圆交角的两边于A,3两点；取线段的三等分点O,D；以3为焦点，A,。为顶点作双

曲线双曲线H与弧AS的交点记为E,连接CE,则

3

①双曲线//的离心率为；

②若NAC3=^,|AC|=30,庭交AB于点P,则|OP|二^

2

修B

9.（2023•顺义区二模）已知玉，马，…，々023均为正数，并且」一+二一+...+—--=1,给出下列

1+再1+X21+/023

四个结论：

①玉，X2,马）23中小于1的数最多只有一个；

②玉，尤2，…，曲）23中小于2的数最多只有两个；

③不，x2,%023中最大的数不小于2。22；

④玉，尤2，…，尤2023中最小的数不小于天篙.

其中所有正确结论的序号为—.

10.（2023•石景山区一模）项数为左（左eN*,左..2）的有限数列伍“｝的各项均不小于-1的整数，满足

+a2-^+0^-^+...+ak_i-2+ak=0,其中％w0.给出下列四个结论：

①若k=2,则。2=2;

②若k=3,则满足条件的数列｛4｝有4个；

③存在4=1的数列｛an｝；

④所有满足条件的数列｛%｝中，首项相同.

其中所有正确结论的序号是—.

11.（2023•东城区二模）定义在区间［1,+（»）上的函数/（尤）的图象是一条连续不断的曲线，/（尤）在区间［2左-1,

2月上单调递增，在区间［2左，2左+1］上单调递减，k=l,2,■.给出下列四个结论：

①若"（2左）｝为递增数列，则/（%）存在最大值；

②若"（24+1）｝为递增数列，则/（x）存在最小值；

③若/（2幻/（2左+1）＞0,且/（2幻+/（2左+1）存在最小值，则"（x）|存在最小值;

④若f（2k）f（2k+1）＜0,且/（2Q-f（2k+1）存在最大值，则|/（x）|存在最大值.

其中所有错误结论的序号有—.

12.（2023•海淀区二模）在数列｛%｝中，芯=1,尤2=2.设向量。"=（七,七+1）,已知a,34二-%j=0（〃=l,

2,…），给出下列四个结论：①F=3;②N*,玉>0；③N*,xn+2>xn；④N*,%+i。工〃.其

中所有正确结论的序号是—•

13.（2023•西城区二模）已知直线/:y=fcv+b和曲线C:y=」亏，给出下列四个结论：

1+X-

①存在实数左和使直线/和曲线C没有交点；

②存在实数左，对任意实数6,直线/和曲线C恰有1个交点；

③存在实数6,对任意实数左，直线/和曲线C不会恰有2个交点；

④对任意实数％和6,直线/和曲线C不会恰有3个交点.

其中所有正确结论的序号是―.

14.（2023•朝阳区二模）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那

契数列伍“｝满足4=〃2=1，an=an-l+an-2（Z7--3,7?6N*）.给出下列四个结论：

①存在meN*,使得金，am+l,金+2成等差数列；

②存在meN*,使得am+1,金十?成等比数列；

③存在常数乙使得对任意“eN*,都有a“，0+2，氏+4成等差数列；

④存在正整数Zj,Z2,，，且彳<，2<Y%"，使得4+嗔++%"=2023.

其中所有正确结论的序号是—.

15.（2023•海淀区一模）在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,。是边AC的中点，E是边至上的动

点（不与A,3重合），过点E作AC的平行线交于点P,将她跖沿历折起，点3折起后的位置记

为点、P,得到四棱锥尸-ACFE,如图所示，给出下列四个结论：

①ACV/平面PEF；

②APEC不可能为等腰三角形；

③存在点E,P,使得PDLAE；

④当四棱锥尸-ACRE的体积最大时，AE=A/2.

16.(2023•丰台区二模)已知函数/(x)Kcos2x|+l.给出下列四个结论：

①/(%)的最小正周期是万；

②/(X)的一条对称轴方程为x=—；

4

Q77"

③若函数且0)=/(4)+/?(6£尺)在区间［0,——］上有5个零点，从小到大依次记为玉，x2,x,x,x5,则

834

%+2(X2+%+%)+毛=5%；

....-rr1

④存在实数a，使得对任思meR,都存在玉，x2e［----，0］且占片々，满足4®)=/(m)H---------(k=1,2).

6f(m)

其中所有正确结论的序号是—.

17.(2023•房山区一模)设函数x’°，给出下列四个结论：①函数“X)的值域是R；②

［x+4x+1,x,0•

Va>l,方程/(%)=〃恰有3个实数根；③玉产火十，使得/(-/°)-/(%)=。；④若实数%<%2<%3<%4，且

4

/(再)=/(%2)=/(%3)=/(X4)・则(玉+%2)(马-％4)的最大值为4G——.其中所有正确结论的序号是.

e

18.(2023•平谷区一模)如图，矩形ABCD中，AD=2AB=2fM为5C的中点，将AAfiM沿直线AM翻

折，构成四棱锥4-AMCD,N为耳。的中点，则在翻折过程中，

①对于任意一个位置总有C7V//平面AM"；

②存在某个位置，使得CN，M；

③存在某个位置，使得用；

④四棱锥B「AMCD的体积最大值为孝.

上面说法中所有正确的序号是—.

19.(2023•通州区一模)两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数.欧拉函数以〃)(〃eN*)

的函数值等于所有不超过正整数"，且与〃互素的正整数的个数，例如。(1)=1,(p(4)=2.

关于欧拉函数给出下面四个结论:

①0(7)=6；

②V"eN*,T亘有cp(ji+1)..；

③若机，〃(机ww)都是素数，贝!J=夕(加)夕(")；

④若〃=p气/#eN*),其中“为素数，则0(")=(p-l)pJ.

(注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数.)

则所有正确结论的序号为—.

20.(2023•海淀区校级模拟)对于满足一定条件的连续函数/(x),存在一个点无0,使得/(xo)=刈，那么

我们称该函数为“不动点”函数，而称刈为该函数的一个不动点，现新定义：若磔满足/(xo)=-刈，则

称xo为了(xo)的次不动点，有下面四个结论

①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点

②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点

③当"时，函数f(x)Rog?(l-a"2，］.)在。1］上仅有一个不动点和一个次不动点,

④不存在正整数m,使得函数f(x)=^eX卷x-m在区间〔0，U上存在不动点，其中，正确结论的序号

为.

21.(2023•昌平区二模)如图，在长方体ABCD-A耳G〃中，AB=2,AAl=AD=l,动点E,厂分别在

线段钻和CG上.

给出下列四个结论：

①/.DEF=g；

②△2所不可能是等边三角形；

③当尸时，DiF=EF；

④至少存在两组E,F,使得三棱锥OEF的四个面均为直角三角形.

其中所有正确结论的序号是—.

22.（2023•延庆区一模）四面体OABC的三条棱。4,OB,OC两两垂直，OA=OB=2,OC=4,D为

四面体Q4BC外一点，给出下列命题：

①不存在点使四面体ABCD三个面是直角三角形；

②存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥；

③存在无数个点。，使点。在四面体ABCD的外接球面上；

④存在点。，使CD与他垂直且相等，且80=后.

其中真命题的序号是—.

|lrvc\9x>0

23.（2023•海淀区校级模拟）已知函数/（©=1,有下列四个结论：

xH----Fa,x<0

①设函数F（x）的极大值点和极小值点分别为不和X?,则%-占=2；

②若a=0,函数/（尤）的极大值和极小值分别为〃和机，则M-〃z=2；

③存在实数。，对任意的实数6,函数y=/（x）-6都恰有两个零点；

④若方程/（x）=6有4个实根，从小到大记为菁，x2,x3,x4,则X］尤2=尤3%.

全部正确命题的序号为.

24.（2023•西城区校级模拟）如图，在棱长为1的正方体中，点尸是线段上一动点（不与A［，5重合），

则下列命题中：

①平面A41P±平面R4尸；

②ZAP'一定是锐角；

③£>G，2尸；

④三棱锥B「RPC的体积为定值.

其中真命题的有—.

AB

25.（2023•北京模拟）小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积y（机2）与时间，（月）的关系的散点图.有以

下叙述:

y/m2

12

11

10

9

8

7

6

4

3

2

1

1234~」

①与函数y=»+l相比，函数y=7作为近似刻画》与，的函数关系的模型更好；

②按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍的面积就会超过30/；

③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍;

④按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的4/蔓延到164至少需要经过3个月.

其中正确的说法有

（填序号）.

26.（2023•东城区校级模拟）设函数/（尤）=[«‘°瓢°,其中a>0.

log3x,x>a

①若a=3,则/"（9）]=；

②若函数y=/（x）-2有两个零点，贝心的取值范围是.

27.（2023•大兴区模拟）曲线C:J（x+l）2+y2.J（x_i）2+y2=3,点尸在曲线C上.给出下列三个结论:

①曲线C关于y轴对称；

②曲线C上的点的横坐标的取值范围是[-2,2]；

③若A(-1,O),5(1,0),则存在点P,使ARAB的面积大于

2

其中，所有正确结论的序号是—.

28.(2023•北京模拟)已知函数/(x)=,；2］2］，8⑴=+当-2a+2(a>0),给出下列

~~x+€［°，F

〔242

结论：

①函数/(%)的值域为［0,g］；

②函数g(元)在［0,1］上是增函数；

③对任意a>0,方程/(x)=g(x)在［0,1］内恒有解;

④若存在%,x2e［0,1］,使得/(占)=g(%)成立，则实数。的取值范围是］飘

其中所有正确结论的序号是—.

29.(2023•门头沟区一模)在正方体ABC。-A与C2中，棱长为1,已知点尸，。分别是线段A',AC1上

的动点(不含端点).其中所有正确结论的序号是—.

①尸。与耳C垂直；

②直线尸。与直线CD不可能平行；

③二面角P-AC-。不可能为定值；

④则IPQI+IQCI的最小值是巧.

3

30.(2023•通州区模拟)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数

学模型是函数y=Asin。"我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是

函数/(x)=sinx+；sin2x.给出下列四个结论：

①/(无)的最小正周期是万；

②/(尤)在［0,2万］上有3个零点；

③/(x)在［0,§上是增函数；

④/(无)的最大值为更.

4

其中所有正确结论的序号是—.

31.(2023•西城区校级模拟)已知正方体的棱长为1,P是空间中任意一点.给出下列四

个结论：

①若点尸在线段A2上运动，则始终有C/J_C4；

②若点P在线段M上运动，则过P,B,2三点的正方体截面面积的最小值为手；

③若点尸在线段A2上运动，三棱锥。-3尸£体积为定值；

④若点P在线段AtB上运动，则AP+PDX的最小值为也+也.

其中所有正确结论的序号有—.

32.(2023•房山区二模)如图所示，在正方体ABCD-A耳GO中，M是棱朋上一点，平面与棱CQ

交于点N.给出下面几个结论：

①四边形MBND、是平行四边形；

②四边形可能是正方形；

③存在平面MBNR与直线BB,垂直；

④任意平面MBNR与平面ACBt垂直；

⑤平面MBND｝与平面ABCD夹角余弦的最大值为半.

其中所有正确结论的序号是—.

33.(2023•海淀区校级模拟)已知函数/(x)=|x+l|+|ax-2|,函数/(x)的最小值记为A/(a),给出下面

四个结论：

①M(a)的最小值为0；

②M(a)的最大值为3；

③若/(尤)在(-oo,-l)上单调递减，则。的取值范围为(-co,-2]J[0,+00);

④若存在feR,对于任意的xeR,f(t+x)=f(t-x),则。的可能值共有4个;

则全部正确命题的序号为—.

34.（2023•海淀区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，E为CD的中点，BC±CD,AE±CD,M,

N分别是AD,BE的中点，将AADE沿AE折起，使点。不在平面ABCE内，则下命题中正确的序号为.

QMN11AB；

②MN1AE；

③MN//平面CDE；

④存在某折起位置，使得平面3CZ），平面ABD.

35.（2023•海淀区校级三模）若函数/（尤）的图象上存在不同的两点M0,y）,Ng,必），坐标满足关

系：1Al%+必%1..5/才+才々考+£，则称函数/（尤）与原点关联.给出下列函数：

①/（x）=2x；

②/（x）=sinx；

③/（x）=x+—（%>0）；

x

④/（x）=Inx.

其中与原点关联的所有函数为—（填上所有正确答案的序号）.

36.（2023•北京模拟）由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金

从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的

科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，

所谓戴德金分割，是指将有理数集。划分为两个非空的子集〃与N,且满足N=Q,M'N=0,M

中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割（M,N）,

下列选项中，可能成立的是—.

①没有最大元素，N有一个最小元素；②M■没有最大元素，N也没有最小元素；③Af有一个最大元素，

N有一个最小元素；④M有一个最大元素，N没有最小元素.

37.（2023•东城区模拟）在数列｛%｝中，对任意的都有凡>0,且给出下列四个结论:

①对于任意的”..3,都有下.2；

②对于任意％>0,数列｛%｝不可能为常数列；

③若0<%<2,则数列仅"｝为递增数列；

④若Oj>2,则当九.2时，2<%<%.

其中所有正确结论的序号为—.

38.(2023•顺义区一模)如果函数/(x)满足对任意s,fe(O,+8),f(s+t)<f(s)+f(t),则称f(x)为优

函数.给出下列四个结论：

①g(x)=ln(l+x)(x>0)为优函数；

②若/(尤)为优函数，则f(2023)<2023f(1)；

③若了(无)为优函数，则/(X)在(0,+oo)上单调递增；

④若尸(无)=也在(0,^o)上单调递减，则/(%)为优函数.

X

其中，所有正确结论的序号是—.

39.(2023•海淀区校级模拟)已知点。是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，

10Pl=1,AP=AAB+/JAD.

(1)X的取值范围是;

(2)当4+〃取得最大值时，\AP\=.

40.(2023•海淀区校级模拟)已知伍“｝是各项均为正数的无穷数列，其前〃项和为+-=l(aeN*).给

Sn

出下列四个结论：

①％=&；②数列｛对｝有最大值，无最小值；③.“>(〃+1)%”；④存在〃0eN*,使得时<然|.其中

所有正确结论的序号是—.

41.(2023•海淀区校级三模)已知/(尤)=〃尤2-2尤-6加|x-l|,给出以下命题：

①当a=0时，存在b>0,/(无)有两个不同的零点；

②当a=0时，存在b<0,7(x)有三个不同的