湘豫联考2025届高三一轮复习质量检测数学试题（含答案与解析）

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湘豫名校联考

2024~2025学年高三一轮复习质量检测

数学

注意事项：

1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在

试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码

上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的

答题区域内.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

M=(%|-%+3>0),?/=J%---<0>

1.已知集合〔l1+xJ,则()

A.{x|l<%<3］B.{x|-3Wx<-l或久21}

C.1x|-l<x<ljD.或1<XW3}

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(—1,百)，则二^=()

Z

Al+y/3iB.1-V3i

C.-1+^iD.一后

3.在平面直角坐标系中，角1与角尸的顶点均与坐标原点重合，始边均与x轴的非负半轴重合，终边关于

直线丁=兀对称.若角a的终边经过点。卜君』)，则cos，=()

A.立B.一旦C.逅D.

6666

4.已知"％)是定义域为R的奇函数，且x>0时，f(x)=-x2+ax+5-a,贝甘"(%)在［—2,2］上单调

递增”的充要条件是（）

Aa>-5B.-5<a<4

C.a>4D.4<a<5

5.已知在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线/分别交龙轴的正半轴、y轴的正半轴于两点，^BOC

的面积为若点4（1,4）为平面内一点，且满足荏.*=13,贝（）

A.-B.1C.1D.2

42

6.汉代刘歆等人设计的“新莽嘉量”，是集能、合、升、斗、斛五量为一器的标准量器，各器均为圆筒形（可

视为圆柱）.如图，正中的圆柱体的上部为斛量，下部为斗量，左耳为升量，右耳上为合量，下为能量.某

兴趣小组制作一“新莽嘉量”模型，设升、斗、斛圆柱的底面半径分别为不公与，高分别为4,%,%,体积分

别为忆匕,匕.若■，%,%成等比数列，且2=与=5彳，4=10"，则3=（）

A.2B.4C.6D.8

7.已知抛物线。：丁2=2加（0>0）的焦点为£〃[3，&]为。上一点，N为。上一动点，。是坐标原

点.若MP工NF,垂足为P,贝||。目的最大值是（）

A3+A/17口V17-3

22

C.3+而D,屈.

44

8.已知函数/(x)=cosx—电竺+!(%＞兀)，其从小到大的第个零点记为区，，则

XX

sin4+sin旦+…+5出区包=()

222

A.0B.立C.3D.1

22

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.踢毯子是一项深受青少年儿童喜爱的民间体育活动.某校踢毯子社团共10名学生，下表记录了这10名

学生一分钟踢毯子的个数.

小于20个的人数3

不小于20个，小于30个的人数5

不小于30个的人数2

设这10名学生一分钟踢毯子的个数的平均数、方差、众数、中位数分别为则下列说法一定正

确的是（）

A.«>16B.s2<10

C.20<m<30D.20<<7<30

2%2-8%+9,%>2,

10已知函数/'（尤）=<1若实数七,々满足玉=/（%），则（）

------,x<2,

、3—九

A.f（x）（口,”）上不单调B.〃尤）没有极值，也没有最值

C.%=%2D.再+%2=6

11.已知数列｛4｝满足®+i—4|=l（"eN*）,且q=1总为数列｛叫的前〃项和，则（）

A.若01ao<0,则存在左w｛2,3,…,99｝,使得4=0

400

B.若010G=100,则q,%…，成等差数列

C.存在数列｛4｝,使得$02=1

D.存在左eN*，使得S4/+1=100

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数〃x）=lnx-依在（1,2）上存在极值，则实数。的取值范围是.

22

13.若直线x+@+3=0与双曲线工—？-=1有且只有一个交点，则实数k的值是.

47

14.有4个不透明的袋子ABC,。，每个袋子中均装有形状、大小完全相同的4个小球，编号分别为1,

2,3,4.甲、乙、丙、丁4名同学依次随机从每个袋子中各取出1个球，取出不放回.已知甲取出的4个

小球编号之和为14,乙取出的4个小球编号之和为13,则丙取出的4个小球编号之和大于6的概率是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知在锐角7ABe中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,且满足

sin2A+sin2C-sin2B=V2sinAsinC.

(1)求5；

(2)若。=3祈,0=6,点。在3。延长线上，且CD=10,求cosNCLD.

16.如图，在三棱锥尸—ABC中，平面=3c=4,P3=AC=5,。为棱PC上的动点.

(1)求证：24,平面ABC；

(2)是否存在点。，使得平面A3D与平面5CD夹角的余弦值为主5?若存在，请求出点。的位置；

25

若不存在，请说明理由.

17.已知函数/(x)=e*(M+a).

(1)若曲线丁=〃力在*=1处的切线过点(2,5),求实数。的值；

(2)求函数/(尤)的单调递增区间.

22

18.己知椭圆E：总工+方=10〉0)的左、右焦点分别为耳,工，直线/过点尸2与E交于A3两点，且

的周长为8.

(1)求E的标准方程及离心率；

(2)设与N片痴的角平分线交于点尸，若点尸到直线/的距离为述，求直线/的方程.

19.已知集合A={4，%,…M〃},定义集合

1\.（4）={。叫+。吗+—+："/叫，牡，...，加上互不木目等，且根,・e{1,2,3,•••,«）,/=!,2,3,­••,^j（2<^<n-l）

（1）若4={1,2,3,4},3={1,2,4,8},写出集合马口）,'.）；

（2）若4={弓,。2,…,即）}£{1,2,3,…,100},且对任意%+。叫w72（A），如果。皿+。也<1°°，则

存在/e{l,2,3,…*10},使得=。西+a也,求证：4+a2T--<■%（）>500；

⑶给定整数左22,若存在集合入川4知…^/满足：对任意六乩义工…,”},存在

a+aH

mxm1卜'eT^.（A）,且“w/（i=l,2,3,…，左），使得力•=。仍+。也卜，,求"的最小

值.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

M={x|-x+320},N=<%-~-<0>

1.已知集合〔1+xJ,则M「N=（）

A.{x|l<x<3}B.{x|-3Wx<-l或x21}

C.1x|-l<x<l}D.{x|x<-l或1<XW3}

【答案】D

【解析】

【分析】先解一元一次不等式及分式不等式化简集合M与集合N,再利用集合交集运算求解.

【详解】因为集合〃={H—X+3N0}={X|XV3},

1-X

集合N=4x---<0}={x|x<-l或%>1],

1+X

所以加「N={x|x<—1或1<XW3}.

故选：D.

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（—1,百），则二^=（）

A.1+73ZB.l-73i

C.-1+y/3iD.—1—y/3i

【答案】A

【解析】

【分析】求出复数z,再利用复数的除法计算得解.

【详解】依题意，z=—l+©，所以心=-4(-1-731)=1+^L

z-1+V3i(-1+V3i)(-1-V3i)

故选：A

3.在平面直角坐标系中，角a与角尸的顶点均与坐标原点重合，始边均与x轴的非负半轴重合，终边关于

直线丁=%对称.若角a的终边经过点「卜际,1),贝ijcos，=()

A.&B.—@C,—D.—叵

6666

【答案】C

【解析】

【分析】根据角的对称性、三角函数的定义，即可得所求角得余弦值.

【详解】由角戊的终边经过点尸卜6』)，

因为结合角a与角夕的终边关于直线丁=x对称，

所以cos/?==^=Y^.

VU56

故选：C.

4.已知〃力是定义域为R的奇函数，且x>0时，f(x)=-x2+ax+5-a,贝『"(%)在［—2,2］上单调

递增”的充要条件是()

A.a>-5B.-5<a<4

C.a>4D.4<a<5

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性结合函数的单调性与二次函数的性质列不等式即可得"/(%)在［-2,2］上单调递

增”的充要条件的。的取值范围.

【详解】因为/(%)是定义域为R的奇函数，则/(。)=0,

且x>0时，/(x)=-x2+ax+5-a,

5—a20

若/(%)在［-2,2］上单调递增，则,解得4WaW5,

12

故""工)在［-2,2］上单调递增，，的充要条件是“4WaW5”.

故选：D.

5.已知在平面直角坐标系中，。为坐标原点,直线/分别交x轴的正半轴、y轴的正半轴于6,C两点，^BOC

的面积为j若点4(1,4)为平面内一点，且满足通.衣=13,贝U|OC|=()

A.-B.4C.1D.2

42

【答案】B

【解析】

【分析】不妨设根据数量积的坐标公式求出/,进而可得出答案.

【详解】根据题意，不妨设

则荏.恁=1；_1,_4)(_1/_4)=17_；_今=13,解得f=

故选：B.

6.汉代刘歆等人设计的“新莽嘉量”，是集能、合、升、斗、斛五量为一器的标准量器，各器均为圆筒形(可

视为圆柱）.如图，正中的圆柱体的上部为斛量，下部为斗量，左耳为升量，右耳上为合量，下为痛量.某

兴趣小组制作一“新莽嘉量”模型，设升、斗、斛圆柱的底面半径分别为不々,与，高分别为％,外,％,体积分

别为若匕成等比数列，且弓〃，,则〔=（）

K，%,=4=5/i,=IOA2

%

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的信息，利用圆柱的体积公式及等比数列定义求解即得.

【详解】依题意，％=篝勺=3=1°，即%所成等比数列的公比为io,则匕=8当=100,

V2h,吊叫~九

所哈=1。。4=4

故选：B

7.已知抛物线C:_/=2px（p>0）的焦点为5，及为C上一点，N为。上一动点，。是坐标原

点.若MP：LNF,垂足为尸，则|。周的最大值是（）

A

3+717R屈-3

D.----------

22

C3+而D.Q

'-44

【答案】C

【解析】

【分析】根据点"求得抛物线标准方程，然后根据题意列等式即可求解

【详解】由题可得2=2'x」,

所以p=2,所以F（l,0）.

2

因为A4PLEP，所以点尸在以线段加少为直径的圆上.

由题易得该圆的圆心为线段M户的中点,

所以圆心坐标为,半径为=]><,；+2:：

33+V17

所以|0P|的最大值为+—=

44­

故选：C.

pwc(xsin%1/、

8.已知函数/(X)=COSX------h—(x>7l),其从小到大的第«(neN*)个零点记为4,则

XJC

sin-^-+sin—+---+sin-^l=()

222

A.0B.也

2cTD1

【答案】A

【解析】

【分析】☆gabxcosx-sinx+l,/(x)在(私+⑹上的零点与函数g(x)的相同，利用导数判断函数

g(x)的单调性，分析可知，g(x)在每个单调区间内都有唯一零点，且注意到g2®+^=0peN*),

进而可得出出、%、L、%024的值，代值计算可得所求代数式的值•

sinYIxcosx-sinx+1

【详解】因为/(%)=cos%-----+—二

XXX

4g(^)=xcosx-sinx+l,显然/(%)在(兀,+“)上的零点与函数g(x)的相同,

又g'(%)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

由g'(x)>。且%>兀,可得2配+兀vx<2析+2兀(左6N),

令g'(x)<。且兀,可得2痴+2兀<1〈2痴+3兀(左£1\),

所以g(x)在(2E+兀,2为1+2兀)(左£N)上单调递增，

在(2E+2兀,2kn+3兀)(左eN)上单调递减.

又g(2E+ji)<0,g(2E+2ji)>0,g(2foi+37i)<0(^eN),

所以g(x)在每个单调区间内都有唯一零点.

另一方面，注意到g12E:+1J=0优eN*).

兀兀71

所以。2=2兀+—,2=4兀+—,L,%024=2024兀+—,

所以sin'^+sin?H-----卜sin〃黄=sin[兀+£■J+sin[2兀+：JH-----i-sinf1012兀+巳

兀兀兀

=-sin—+sin---------Fsin—=0

।444।

1012项

故选：A.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，

然后将问题转化为函数图象与无轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思

想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

⑶参变量分离法：由/(力=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线丁=。与函数y=gO)的

图象的交点问题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.踢牌子是一项深受青少年儿童喜爱的民间体育活动.某校踢毯子社团共10名学生，下表记录了这10名

学生一分钟踢毯子的个数.

小于20个的人数3

不小于20个，小于30个的人数5

不小于30个的人数2

设这10名学生一分钟踢毯子的个数的平均数、方差、众数、中位数分别为M,52,m,d,则下列说法一定正

确的是()

A.w>16B.?<10

C.20<772<30D.20<J<30

【答案】AD

【解析】

【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的概念结合已知问题，逐项验证即可得结论.

0x3+20x5+30x2

【详解】对于A,平均个数的最小值=16,无法确定具体数据，因此A一定正确;

10

对于B,若10名学生一分钟踢毯子的个数为0,0,0,20,20,20,20,20,30,30,

0x3+20x5+30x2

则平均个数=16,方差

10

222

2（0-16）X3+（20-16）X5+（30-16）X2痂口才工施

1

S二-----L---------1----------/---------1----------L-----=124>10，故B不正确；

10

对于C,若10名学生一分钟踢毯子的个数为0,0,0,20,21,22,23,24,30,30,则众数根=0,故

C不正确;

对于D,中位数应为数据排序后，第五个数据和第六个数据的平均数，由题可知这两个数均在[20,30)

内，所以204d<30,故D正确.

故选：AD.

2x2-8x+9,x>2,

10.己知函数/'(%)=<1若实数七,吃满足%=/(%)，为2=/(%)，则()

-——,x<2,

、3一九

A./(X)在(1》,小»)上不单调B.7(%)没有极值，也没有最值

C.%1=x2D.再+々=6

【答案】BC

【解析】

【分析】判断出函数的单调性，从而判断A；根据函数的单调性判断B；设/</，根据函数在R上单调

递增，从而得马<%，即有玉=%2,从而判断C；分士22、X]<2求出的值，从而判断D.

【详解】作出函数y=/0)的图象，如图所示：

由于二次函数y=2三_8x+9在［2,+8)上单调递增，

而y=占在(—“a)上单调递增，

同时y=2/—8x+9在x=2处的函数值与>=―匚在x=2处的函数值相等,

3-x

所以/(%)在(―8,+。)上单调递增，故A错误；

由/(%)在(-8,+8)上单调递增，

所以/(可没有极值，也没有最值，故B正确；

不妨设％W々，则由/(九)单调递增可得“X)W/(W).

又用=/(%),W=/(%),

所以％2<%，所以只能占=%2，故C正确；

所以％=/(%1),

若为22,则%!=2x；-8%+9,此时占=%=3；

则%+尤2=6；

若工］<2,则玉={—,止匕时为=々=土史

3一再2

则/+%,=3—,故D错误.

故选：BC.

11.已知数列{qj满足|an+i-a/=l（"eN*）,且％=为数列{a“}前”项和，则（）

A.若0100V0,则存在左w{2,3,…,99},使得久=0

B.若qoo=lOO,则…,成等差数列

C.存在数列{4},使得耳02=1

D.存在keN*，使得S4Hl=100

【答案】ABC

【解析】

【分析】本题给出数列的首项及递推公式，引导学生利用递推关系研究数列的特定项，以及前〃项和，由于

递推关系不唯一确定，则需要用好不等式思想和特例思想来求解.

【详解】设为为数列中第一次取负值的项，则QT=0,否则何一与题设矛盾.

所以一定存在左72,3,…,99},使得4=0,A正确;

因为。100—%9<1,生）9—“98<1,，，，,"2—"1<1,所以。100—499.所以—100,

当且仅当4+1—%.=1"=1,2,3,…,99时等号成立.所以外,外,…,。侬成等差数列，B正确；

a

取q=a5=…=。]0]=1,—,,,—%02=°，〃3=%=…=佝9—%=6=…=i00—0，

则S1O2=1,C正确；

由于“21（kGN*）一定是奇数，a2A一定是偶数，所以54Ml必为奇数，因此不存在左eN*，使得S4/+1=100,

D错误；

故选:ABC.

【点睛】方法点睛：利用好递推中的确定关系和不等式关系，从而根据相应问题去解答

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/（》）=-6在（1,2）上存在极值，则实数a的取值范围是.

【答案】（；.1）

【解析】

【分析】求出函数的导数，再探讨并求出极值点，列式求出范围.

1_Y|1

【详解】函数/3)=lnx-双的定义域为(0,+s),求导得/，(X)二——〃=二-----,

%%

当aWO时，/，(%)＞0,无极值点；当。＞0时，由/'(x)=0,得％=工，

a

当0＜x＜4时，f'(x)＞0,当x＞工时，/'(x)＜0,则％=工是函数/(x)的极值点，

aaa

依题意，1＜工＜2,解得!＜。＜1,

a2

所以实数。的取值范围是(；/).

故答案为：(//)

22

13.若直线x+6+3=O与双曲线L—二=1有且只有一个交点，则实数左的值是.

47

【答案】±也

7

【解析】

【分析】由直线恒过定点(-3,0),直线不可能与双曲线相切，只能直线平行与渐近线.

【详解】由于直线恒过定点(-3,0),所以直线不可能与双曲线相切.要满足有且只有一个交点，直线必须

平行于双曲线的渐近线，渐近线方程为y=±-x=±^-x，所以一,=±也，

a2k2

解得左=±些

7

故答案为：±—~—

7

14.有4个不透明的袋子A,5C,D,每个袋子中均装有形状、大小完全相同的4个小球，编号分别为1,

2,3,4.甲、乙、丙、丁4名同学依次随机从每个袋子中各取出1个球，取出不放回.已知甲取出的4个

小球编号之和为14,乙取出的4个小球编号之和为13,则丙取出的4个小球编号之和大于6的概率是.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】根据题意首先算出第一行数字之和为14,并且第二行数字之和为13的填法，再求出在第一行数字

之和为14,并且第二行数字之和为13的条件下，第三行数字之和大于6的填法，两个数相除即可.

【详解】题中问题等价于往如下表格中随机地填数字，其中每列都是1,2,3,4的排列，求在第一行数字

之和为14,并且第二行数字之和为13的条件下，第三行数字之和大于6的概率.

ABCD

甲

乙

丙

T

第一行数字之和为14,并且第二行数字之和为13包含的情况数可如下计算:

如果第一行数字是3个4,1个2,那么共C：x24种不同的填法；

如果第一行数字是2个4,2个3,那么共C；x2x2,种不同的填法.

所以共有©+2C：）X24种不同的填法.

第三行数字之和大于6包含的情况数可如下计算：

①第一行数字依次是4,4,4,2,则第二行只能依次为3,3,3,4,如下表.

ABCD

甲4442

乙3334

丙

T

如果第三行第四列是3,则前3列可以是2,2,2,或2,2,1,或2,1,1；

如果第三行第四列是1,则前3列可以是2,2,2,共有1+3+3+1=8种可能.

所以如果第一行数字是3个4,1个2,那么共C：x8种不同填法.

②第一行数字依次是3,3,4,4,则第二行可能为4,4,3,2或4,4,2,3,如下表（只列出其中一种情

况）.

ABCD

甲3344

乙4432

丙

T

此种情况下，余下两行也有8种不同的填法，

所以如果第一行数字是2个4,2个3,那么共Cjx2x8种不同的填法.

所以第三行数字之和大于6共有（C：+2C：）x8种不同的填法.

Q1

所以第三行数字之和大于6的概率为—

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知在锐角7ABe中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

sin2A+sin2C-sin2B=V2sinAsinC.

（1）求5；

（2）若。=3#,。=6,点。在3。延长线上，且CD=10,求cosNC4£）.

TT

【答案】（1）B=—

4

⑵u

14

【解析】

【分析】（1）由正弦定理将角化为边，再用余弦定理即可求出角8的值

（2）利用正弦定理先求出NAC3=工，进而得到NA8=交，再利用余弦定理即可求得结果.

33

【小问1详解】

由正弦定理，得a?+c2—b2=拒知，

由余弦定理，得COSBJ+C、”,所以cosBnXZ

lac2

IT

因为5为三角形内角，所以5=7.

4

【小问2详解】

b

在VA5C中，由正弦定理，得

sinBsin/ACS

所以sin〃C废迹=£^=色

b62

因为VA3C为锐角三角形，所以NAC3=«.所以=

33

在AACD中，由余弦定理，得AD?=4。2+“2—2ACxCDxcosNACD，

1

所以AD?9=36+100+2x6xl0x-=196,所以AD=14.

2

后2AC2+AD--CD236+196-10011

所以cosACAD=----------------------=--------------=一

2xACxAD2x6x1414

16.如图，在三棱锥尸—ABC中，平面为棱PC上的动点.

(1)求证：Q4,平面ABC；

(2)是否存在点。，使得平面A血与平面5CD夹角的余弦值为主6?若存在，请求出点。的位置；

25

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在点。，且当点。位于PC上靠近尸的三等分点

【解析】

【分析】(1)由线面垂直的性质定理得到由勾股定理得到再根据线面垂直的定义即

可证明平面ABC.

(2)过A作Ay〃3C,建立空间直角坐标系，设丽=2正,OVXW1,由平面A3。与平面BCD夹角的

余弦值为主5,即可求出D的坐标.即得答案.

25

【小问1详解】

因为BC_L平面。AB,PAu平面ABu平面

所以3C，PA且.

由且3c=4,AC=5,可得AB=3.

由A3=3,PA=4,P3=5,因为AB?+P42=.2,可得八4,AB.

因为AB。BC=B,ABu平面ABC,BCu平面ABC,所以上4J_平面ABC.

【小问2详解】

过A作Ay〃5C,则AP,AB,Ay两两垂直，

建立如图空间直角坐标系.

则P（0,0,4）,A（0,0,0）,B（3,0,0）,C（3,4,0）.

设平面BCD的法向量为％=（%,%，4）,

由题可得BC=（0,4,0）,BP=（-3,0,4）,

n,-BC=0,f4y.=0,

则一即1

4"BP=0,1-3%+4Z]=0.

取罚=4,则平面BCD的一个法向量为%=（4,0,3）.

由于。在棱PC上，设而=4定

所以赤=彳（3,4,—4）=（3/1,44T/L）.

所以£）（3442,4-42）.

设平面ABD的法向量为为=（%2，y2,z2）,

由题可得AB=（3,0,0）,AD=（32,42,4-42）,

心•AB=0,3%,=0,

则《一_.即《/、

ii2AD=0,|3也+4/1%+（4-4/1”2=0.

取为=九—1，则平面ABD的一个法向量为%=（O,X—LX）.

由题意，得叫/—--2-\=5__义___&|13）川_）_2_+__川___=3三亚’

整理得3/!?+22—1=0.

解得2=1或x=—1.

3

因为0W4W1,所以

3

故存在点O,且当点。位于PC上靠近尸三等分点时，

平面与平面BCD夹角的余弦值为也.

25

17.己知函数/（司=6*（国+々）.

（1）若曲线丁=/（可在％=1处的切线过点（2,5）,求实数a的值;

(2)求函数的单调递增区间.

53

【答案】(1)«=---

2e2

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)求导，得到切线斜率，点斜式得到曲线y=/(x)在x=l处的切线方程，代入(2,5)可求实数

a的值；

(2)对无讨论两种情况，分别求出导函数，再分别对。进行讨论，对每种情况判断导函数的符号，即可求

得函数/(尤)的单调递增区间.

【小问1详解】

当x>0时，/(%)=ex(x+a).

因为/=,

所以/,(l)=e(2+a),/(l)=e(l+a).

所以切线方程为y-e(l+a)=e(2+a)(x-l).

53

又切线过点(2,5),代入切线方程可得。=3-e.

【小问2详解】

当x>0时，/(x)=eA(x+a).

因为/'(x)=e*(x+a+l),

所以若1,则当xe(0,+8)时，/'(x)>OJ(x)单调递增；

若a<—1,则当xe(O,—a—1)时，/'(x)<OJ(x)单调递减；

当xe(—a—l,+co)时，/'(x)>O,/(x)单调递增.

当了<0时，/(x)=e¥(-x+a).

因为/'(x)=e"(―x+a—1).

所以若时，则当x«y,o)时，r(x)>OJ(x)单调递增；

若a<l时，则当尤e(a—1,0)时，/'(x)<0J(x)单调递减;

当次«-8,。一1)时，y'(x)>o,/(x)单调递增.

又易知a21时，对任意不<0,々〉0,均有/(%)</(0)</(9)，

所以1时，单调递增区间是(—a,+").

综上所述，a<—1时，单调递增区间(y,a—1),(—a—1,+。)；

—l<a<l时，单调递增区间是(―cqa—+8)；

时，单调递增区间是(—a,+“).

22

18.己知椭圆E：高工+2=1伍〉0)的左、右焦点分别为耳,K，直线/过点尸2与E交于两点，且

的周长为8.

(1)求E的标准方程及离心率；

(2)设/耳A3与/耳痴的角平分线交于点尸，若点尸到直线/的距离为述，求直线/的方程.

16

V2V21

【答案】(1)土+匕=1,e=—

432

(2)x-2y-1=0或x+2y-l=0

【解析】

【分析】(1)由AAB片的周长为8,可得4a=8,a=2,即可得椭圆方程，再根据离心率公式求解即可；

(2)当直线斜率不存在时，不满足题意；当斜率左存在时，设直线/:丁=左(％-1),与椭圆方程联立，从而

得AABFI的面积为S=乎，则+4%%=孚，结合韦达定理求出k的值即可；

【小问1详解】

解：由题可知4a=8,

所以a=2.

所以匕2+1=4，解得b=y/3■

22

所以E的标准方程是土+乙=1.

43

又H=〃2一人2=i，

C|

所以离心率e=—=—.

a2

【小问2详解】

解：由（1）可知F2（1,0）,

当直线/的斜率存在时，可设直线/:y=k（x—1）.

与椭圆方程联立得（4左一+3）尤~—8k°x+4k~-12=0.

设40i，yi）,B（久2，%）・

因为直线/过椭圆内的定点F2,所以keR均能保证A>0,

2

8k之4k-12

则%+%=

4左2+3

因为与ZF.BA的角平分线交于点p,

所以点尸到耳A耳5,A5的距离均为延.

16

所以AABG的面积为s=g（|AK|+忸用+|A卸乂手=乎.

所以gx由工区%一％|=乎。

所以J（M+=~~■

_6k

又%+%=左（为_1）+左（々-1）=左（为+%—2）=^^.

_942

%%=%一（七一1）仁一=

36k2.-9k2_45

所以（4左2+3）2―X4^+3=16-

化简得176k4+136尸-45=0-

所以（4左2—1）（44左2+45）=0.

解得心士;.

当直线/的斜率不存在时，